曲線積分與曲面積分期末復(fù)習(xí)題高等數(shù)學(xué)下冊(上海電機(jī)學(xué)院)

-.z.第十章曲線積分與曲面積分答案一、選擇題1．曲線積分與路徑無關(guān)，其中有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則BA.B.C.D.02．閉曲線C為的正向，則CA.0B.2C.4D.63．閉曲線C為的正向，則DA.B.C.0D.4．為YOZ平面上，則DA.0B.C.D.5．設(shè)，則CA.B.C.D.6.設(shè)為球面，則曲面積分的值為[B]A.B.C.D.7.設(shè)L是從O(0,0)到B(1,1)的直線段，則曲線積分[C]A.B.C.D.8.設(shè)I=其中L是拋物線上點〔0,0〕與點(1,1)之間的一段弧,則I=[D]A.B.C.D.9.如果簡單閉曲線所圍區(qū)域的面積為，則是〔D〕A.；B.；C.；D.。10．設(shè)，為在第一卦限中局部，則有CA.B.C.D.二、填空題1.設(shè)L是以(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)為頂點的正方形邊界正向一周，則曲線積分-22.S為球面的外側(cè),則03. =4．曲線積分，其中是圓心在原點，半徑為的圓周，則積分值為5．設(shè)∑為上半球面，則曲面積分=32π6.設(shè)曲線為圓周,則曲線積分.7.設(shè)C是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)為頂點的三角形邊界，則曲線積分1+8.設(shè)為上半球面，則曲面積分的值為。9.光滑曲面z=f〔*，y〕在*oy平面上的投影區(qū)域為D，則曲面z=f〔*，y〕的面積是10．設(shè)是拋物線上從點到點的一段弧，則曲線積分1211、。12、設(shè)為的正向，則。三、計算題1．，其中為圓周，直線及*軸在第一象限所圍圖形的邊界。解：記線段方程，圓弧方程線段方程。則原式＝＋＋＝＋＋＝＃2．，其中為曲線與直線段所圍閉區(qū)域的正向邊界。解：利用格林公式，，，則，故原式＝＝＃3．，其中為圓周的上半局部，的方向為逆時針。解：的參數(shù)方程為，從0變化到。故原式＝＝＝＃4．求拋物面被平面所割下的有界局部的面積。解：曲面的方程為，這里為在*OY平面的投影區(qū)域。故所求面積＝＃5、計算，其中為圓的上半圓周，方向為從點沿到原點O。解：添加從原點到點A的直線段后，閉曲線所圍區(qū)域記為D，利用格林公式，，，于是＋＝而＝，于是便有＝＃6．，其中為球面在第一卦限局部的邊界，當(dāng)從球面外看時為順時針。解：曲線由三段圓弧組成，設(shè)在YOZ平面內(nèi)的圓弧的參數(shù)方程，從變化到0。于是＝＝由對稱性即得＃7．，其中為平面所圍立體的外表的外側(cè)。解：記為該外表在*OY平面內(nèi)的局部，為該外表在YOZ平面內(nèi)的局部，為該外表在*OZ平面內(nèi)的局部，為該外表在平面內(nèi)的局部。的方程為，根據(jù)定向，我們有＝＝同理，的方程為，故，由對稱性可得，故于是所求積分為＃8．計算曲面積分：，其中為曲面的外側(cè)。解：利用高斯公式，所求積分等于==8＃9.計算I=，其中S為*+y+z=1,*=0,y=0,z=0所圍立體的外表外側(cè)解：設(shè)V是*+y+z=1,*=0,y=0,z=0所圍的立體由Gass公式得:I===＃10．計算I=,其中是從點A(3,2,1)到點B(0,0,0)的直線段AB解：直線段AB的方程是；化為參數(shù)方程得：*=3t,y=2t,z=t,t從1變到0，所以：I=＝＝＃11.計算曲線積分I=其中是由點A(a,0)至點O(0,0)的上半圓周解：在*軸上連接點O(0,0),A(a,0)將擴(kuò)大成封閉的半圓形AMOA在線段OA上,從而又由Green公式得:＃12.計算曲線積分其中L是z=2與z=3的交線沿著曲線的正向看是逆時針方向解：將L寫成參數(shù)方程:*=cost,y=sint,z=2t:0于是:==另證：由斯托克斯公式得=上側(cè)，則：＃設(shè)曲面S為平面*+y+z=1在第一卦限局部，計算曲面S的面積I解：S在*oy平面的投影區(qū)域為：I==＝＝＃14.計算曲線積分其中L是沿著圓從點A(0,1)到點B(2,1)的上半單位圓弧解：設(shè)，當(dāng)時，故：所求曲線積分在不包圍原點的區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)則：===ln5-arctan2＃15.確定的值，使曲線積分在平面上與路徑無關(guān)。當(dāng)起點為，終點為時，求此曲線積分的值。解：由，；由條件得,即,＃16.設(shè)曲面S為球面被平面z=1截出的頂部，計算I=解：S的方程為：S在*oy平面的投影區(qū)域為：I=＝＝＃17.計算I=，其中是，，取下側(cè)解：作輔助曲面:z=a，取上側(cè)設(shè)為,所圍閉區(qū)域為平面區(qū)域===＃18.．為上半橢圓圓周，取順時針方向，求AB*AB*y0＃19．計算曲面積分，其中為錐面與所圍的整個曲面的外側(cè)。解：由高斯公式，可得＃20．計算曲線積分，其中是橢圓的正向。解：令,,則。設(shè)所圍成的閉區(qū)域為，則其面積。從而由格林公式可得.＃21．設(shè)為柱面在使得，的兩個卦限內(nèi)被平面及所截下局部的外側(cè)，試計算。解：將分成與，其中：〔取上側(cè)〕，：〔取下側(cè)〕，與在面上的投影為，故＃計算曲面積分，其中是柱面介于的局部。解：設(shè)為在第一卦限的局部曲面。，得。在面上的投影域為。故＃23.計算曲面積分，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于及之間局部的下側(cè)。解：利用高斯公式，取且。取上側(cè)，與構(gòu)成封閉的外側(cè)曲面，所圍的閉域為，對應(yīng)的為：。＃24．計算曲線積分，其中是自點沿曲線到點的曲線段。解：,取小圓周充分小,取逆時針方向,則由Green公式可得:＃25．用高斯公式計算，其中柱面及平面圍成封閉曲面的外側(cè)。解：原式=====26．計算曲面積分，其中是曲面被平面所截下的局部，取下側(cè)。解：補(bǔ),取上側(cè),,而,其中,＃27．計算曲線積分，其中L是區(qū)域0≤*≤1，0≤y≤1的邊界正向。解：利用Green公式=＃28、計算曲面積分，其中∑為平面方程*+y+z=1在第一卦限的上側(cè)。解：=或由對稱性：，而，故。或可知。＃29.計算，其中L是由點A〔0，0〕到B〔π，2π〕的直線段。解：AB的方程＃30、設(shè)可微，且曲線積分與路徑無關(guān)。求。解：因該項積分與路徑無關(guān)，所以。令，得微分方程，解得，〔2分〕代入條件得C=1從而有＃31、計算對面積的曲面積分。解:曲面在*OY平面上的投影為原式====32、計算