線性代數(shù)：第一章 行列式 第一、二、三節(jié)

線性代數(shù)

LinearAlgebra一、研究對(duì)象

線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要處理線性關(guān)系問(wèn)題，即線性空間、線性變換和有限維的線性方程組。線性關(guān)系意即數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系是以一次形式來(lái)表達(dá)的。例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個(gè)平面相交，由兩個(gè)三元一次方程所組成的方程組來(lái)表示。含有n個(gè)未知量的一次方程稱為線性方程。關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù)。線性關(guān)系問(wèn)題簡(jiǎn)稱線性問(wèn)題。解線性方程組的問(wèn)題是最簡(jiǎn)單的線性問(wèn)題。基礎(chǔ)介紹二、歷史與發(fā)展

線性代數(shù)作為一個(gè)獨(dú)立的分支在20世紀(jì)才形成，而它的歷史卻非常久遠(yuǎn)?！半u兔同籠”問(wèn)題就是一個(gè)簡(jiǎn)單的線性方程組求解的問(wèn)題。

最古老的線性問(wèn)題是線性方程組的解法，在中國(guó)古代東漢年初成書的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·方程》章中，已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法。

由于法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（1601-1665）和笛卡兒（1596-1650）的工作，現(xiàn)代意義的線性代數(shù)基本上出現(xiàn)于十七世紀(jì)。直到十八世紀(jì)末，線性代數(shù)的領(lǐng)域還只限于平面與空間。十九世紀(jì)上半葉才完成了到n維線性空間的過(guò)渡。

隨著研究線性方程組和變量的線性變換問(wèn)題的深入，在18～19世紀(jì)期間先后產(chǎn)生行列式和矩陣的概念，為處理線性問(wèn)題提供了有力的工具，從而推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展。?

17世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家-萊布尼茲——?dú)v史上最早使用行列式概念。?1750年，瑞士數(shù)學(xué)家-克萊姆（克萊姆法則）——用行列式解線性方程組的重要方法。?

1772年，法國(guó)數(shù)學(xué)家-范德蒙——對(duì)行列式做出連貫的邏輯闡述，行列式的理論脫離開線性方程組。

三、有重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家英國(guó)數(shù)學(xué)家--西勒維斯特(1814-1897)

——首次提出矩陣的概念(矩型陣式)英國(guó)數(shù)學(xué)家--凱萊(1821-1895)

——矩陣論的創(chuàng)立德國(guó)數(shù)學(xué)家--高斯（1777-1855）——提出行列式的某些思想和方法?1841年，法國(guó)數(shù)學(xué)家-柯西——首先創(chuàng)立了現(xiàn)代的行列式概念和符號(hào)。

向量概念的引入，形成了向量空間的概念。凡是線性問(wèn)題都可以用向量空間的觀點(diǎn)加以討論。因此，向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)的矩陣?yán)碚?，?gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容。在十九世紀(jì)下半葉，因若當(dāng)?shù)墓ぷ鞫_(dá)到了它的頂點(diǎn)。1888年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（1858-1932）以公理的方式定義了有限維或無(wú)限維線性空間。托普利茨將線性代數(shù)的主要定理推廣到任意體（domain）上的最一般的向量空間中。

“代數(shù)”

（Algebra）這個(gè)詞在中文中出現(xiàn)較晚，在清代時(shí)才傳入中國(guó)，當(dāng)時(shí)被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數(shù)學(xué)家、翻譯家李善蘭（

1811-1882）才將它翻譯成為“代數(shù)學(xué)”，之后一直沿用。學(xué)術(shù)地位及應(yīng)用

線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位。在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無(wú)不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分。線性代數(shù)所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來(lái)的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對(duì)于強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增益科學(xué)智能是非常有用的。

隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái)，線性代數(shù)正是解決這些問(wèn)題的有力工具。線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴(kuò)大。線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)也是理論物理和理論化學(xué)所不可缺少的代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)。

“以直代曲”是人們處理很多數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)一個(gè)很自然的思想。很多實(shí)際問(wèn)題的處理，通常把非線性模型近似為線性模型，最后往往歸結(jié)為線性問(wèn)題，它比較容易處理。因此，線性代數(shù)在工程技術(shù)、科學(xué)研究以及經(jīng)濟(jì)、管理等許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，是一門基本的和重要的學(xué)科。線性代數(shù)的計(jì)算方法是計(jì)算數(shù)學(xué)里一個(gè)很重要的內(nèi)容。

線性（linear）指量與量之間按比例、成直線的關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可以理解為一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的函數(shù)。非線性（non-linear）則指不按比例、不成直線的關(guān)系，一階導(dǎo)數(shù)不為常數(shù)。什么是線性關(guān)系？線性代數(shù)研究對(duì)象：

線性空間、線性變換和有限維的線性方程組。研究工具：

行列式、矩陣與向量。線性代數(shù)（第六版）第一章行列式

第二章矩陣及其運(yùn)算第三章矩陣的初等變換與線性方程組

第四章向量組的線性相關(guān)性第五章相似矩陣及二次型

第六章線性空間與線性變換(選學(xué))

線性代數(shù)第一章行列式你能立即寫出方程組的解嗎在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過(guò)二元、三元等簡(jiǎn)單的線性方程組.但是，從許多實(shí)踐或理論問(wèn)題里導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng)多的未知量，并且未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)也不一定相等.我們先討論未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等的特殊情形.在討論這一類線性方程組時(shí)，我們引入行列式這個(gè)計(jì)算工具.第一章行列式內(nèi)容提要

§1二階與三階行列式

§2全排列及其逆序數(shù)

§3n

階行列式的定義

§4對(duì)換

§5行列式的性質(zhì)

§6行列式按行（列）展開

§7克拉默法則行列式的概念.行列式的性質(zhì)及計(jì)算.——

線性方程組的求解.

（選學(xué)內(nèi)容）

行列式是線性代數(shù)的一種工具！學(xué)習(xí)行列式主要就是要能計(jì)算行列式的值.§1

二階與三階行列式我們從最簡(jiǎn)單的二元線性方程組出發(fā)，探求其求解公式，并設(shè)法化簡(jiǎn)此公式.一、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組由消元法，得當(dāng)時(shí)，該方程組有唯一解（3）-（4），得:同理求解公式為二元線性方程組

請(qǐng)觀察，此公式有何特點(diǎn)？分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.分子、分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減而得.其求解公式為二元線性方程組我們引進(jìn)新的符號(hào)來(lái)表示“四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減”.記號(hào)數(shù)表表達(dá)式稱為由該數(shù)表所確定的二階行列式，即其中，稱為元素.i為行標(biāo)，表明元素位于第i行；j為列標(biāo)，表明元素位于第j

列.原則：橫行豎列二階行列式的計(jì)算主對(duì)角線副對(duì)角線即：主對(duì)角線上兩元素之積－副對(duì)角線上兩元素之積。——對(duì)角線法則二元線性方程組若令(方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為例1求解二元線性方程組解因?yàn)樗远?、三階行列式定義

設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表原則：橫行豎列引進(jìn)記號(hào)稱為三階行列式.主對(duì)角線副對(duì)角線二階行列式的對(duì)角線法則并不適用！三階行列式的計(jì)算——對(duì)角線法則注意：對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式.實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積冠正號(hào)，虛線上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號(hào).例2

計(jì)算行列式解按對(duì)角線法則，有方程左端解由得例3

求解方程§2

全排列和對(duì)換引例用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解123123百位3種放法十位1231個(gè)位1232種放法1種放法種放法.共有一、排列及其逆序數(shù)問(wèn)題把n個(gè)不同的元素排成一列，共有多少種不同的排法？定義把n個(gè)不同的元素排成一列，叫做這n個(gè)元素的全排列.n個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示.顯然即n個(gè)不同的元素一共有n!種不同的排法.所有6種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前.因此大部分的排列都不是“順序”，而是“逆序”.

3個(gè)不同的元素一共有3!=6種不同的排法123，132，213，231，312，321對(duì)于n個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序.n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.定義

當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就稱這兩個(gè)元素組成一個(gè)逆序.例如在排列32514中，32514逆序逆序逆序思考題：還能找到其它逆序嗎？答：2和1，3和1也構(gòu)成逆序.定義排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).排列的逆序數(shù)通常記為.奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列.思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？答：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：123）的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列.計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法則此排列的逆序數(shù)為設(shè)是1,2,…,n這n個(gè)自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.先看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為；再看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為;……最后看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為;例1：求排列32514的逆序數(shù).解：練習(xí)：求排列453162的逆序數(shù).解：二、對(duì)換定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換．例如備注相鄰對(duì)換是對(duì)換的特殊情形.一般的對(duì)換可以通過(guò)一系列的相鄰對(duì)換來(lái)實(shí)現(xiàn).如果連續(xù)施行兩次相同的對(duì)換，那么排列就還原了.m次相鄰對(duì)換

m+1次相鄰對(duì)換

m次相鄰對(duì)換

m+1次相鄰對(duì)換

二、對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系定理1

對(duì)換改變排列的奇偶性.證明先考慮相鄰對(duì)換的情形．注意到除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.當(dāng)時(shí)，，，.當(dāng)時(shí)，，，.因此相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性.既然相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性，那么2m+1次相鄰對(duì)換因此，一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列的奇偶性改變.推論奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).

由定理1知，對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為零)，因此可知推論成立.證明§3

n階行列式的定義一、概念的引入規(guī)律：三階行列式共有6項(xiàng)，即3!項(xiàng)．每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積．每一項(xiàng)可以寫成（正負(fù)號(hào)除外），其中是1、2、3的某個(gè)排列.當(dāng)是偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào).所以，三階行列式可以寫成

其中表示對(duì)1、2、3的所有排列求和.二階行列式有類似規(guī)律.下面將行列式推廣到一般的情形.二、n階行列式的定義

n

階行列式共有

n!項(xiàng)．每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的

n

個(gè)元素的乘積．每一項(xiàng)可以寫成（正負(fù)號(hào)除外），其中是1,2,…,n的某個(gè)排列.當(dāng)是偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào).簡(jiǎn)記作，其中為行列式D的(i,j)元思考題：成立嗎？答：符號(hào)可以有兩種理解：若理解成絕對(duì)值，則；若理解成一階行列式，則.注意：當(dāng)n=1時(shí)，一階行列式|a|=a，注意不要與絕對(duì)值的記號(hào)相混淆.例如：一階行列式.說(shuō)明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;2、階行列式是項(xiàng)的代數(shù)和;3、階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列個(gè)元素的乘積;4、一階行列式不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;5、的符號(hào)為例1計(jì)算對(duì)角行列式分析展開式中項(xiàng)的一般形式是從而這個(gè)項(xiàng)為零，所以只能等于,同理可得解即行列式中不為零的項(xiàng)為例2

計(jì)算上三角行列式分析展開式中項(xiàng)的一般形式是所以不為零的項(xiàng)只有解例3同理可得下三角行列式證明下三角行列式證

由于當(dāng)j>i

時(shí)，aij

=0,故D中可能不為0的元素aipi,其下標(biāo)應(yīng)有pi≤i。即p1≤1,p2≤2,pn≤n

。能不為0的項(xiàng)只