北京西城161中學(xué)2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，但陀螺這個名詞，直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的表面積為（）A． B．C． D．2．?dāng)?shù)列的通項公式為．則“”是“為遞增數(shù)列”的（）條件．A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要3．設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為（）A． B．C． D．4．已知集合，，則()A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若，則等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．06．已知，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖像上，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知雙曲線：，，為其左、右焦點，直線過右焦點，與雙曲線的右支交于，兩點，且點在軸上方，若，則直線的斜率為()A． B． C． D．9．金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）以上的肉混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（）A．20 B．24 C．25 D．2610．已知雙曲線的實軸長為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上運動，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．設(shè)直線的方程為，圓的方程為，若直線被圓所截得的弦長為，則實數(shù)的取值為A．或11 B．或11 C． D．12．若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則的最大值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧，兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù)，人數(shù)如下表所示：不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取個人做進一步的調(diào)研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人，則的值為______.14．等邊的邊長為2，則在方向上的投影為________．15．已知函數(shù)，則過原點且與曲線相切的直線方程為____________.16．如圖，某市一學(xué)校位于該市火車站北偏東方向，且，已知是經(jīng)過火車站的兩條互相垂直的筆直公路，CE,DF及圓弧都是學(xué)校道路，其中，，以學(xué)校為圓心，半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點.當(dāng)?shù)卣顿Y開發(fā)區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟，其中分別在公路上，且與圓弧相切，設(shè)，的面積為.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)為何值時，面積為最小，政府投資最低？三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是橢圓上且不在軸上的一個動點，為坐標(biāo)原點，過右焦點作的平行線交橢圓于、兩個不同的點，求的值．18．（12分）已知正實數(shù)滿足.（1）求的最小值.（2）證明：19．（12分）如圖中，為的中點，，，.（1）求邊的長；（2）點在邊上，若是的角平分線，求的面積.20．（12分）已知數(shù)列滿足：對一切成立.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）如圖，三棱柱的所有棱長均相等，在底面上的投影在棱上，且∥平面（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值.22．（10分）在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標(biāo)原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.（1）求的直角坐標(biāo)方程與點的直角坐標(biāo)；（2）求證：.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【答案解析】

根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構(gòu)成，由此計算出陀螺的表面積.【題目詳解】最上面圓錐的母線長為，底面周長為，側(cè)面積為，下面圓錐的母線長為，底面周長為，側(cè)面積為，沒被擋住的部分面積為，中間圓柱的側(cè)面積為.故表面積為，故選C.【答案點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化，考查三視圖還原為原圖，考查幾何體表面積的計算，屬于基礎(chǔ)題.2、A【答案解析】

根據(jù)遞增數(shù)列的特點可知，解得，由此得到若是遞增數(shù)列，則，根據(jù)推出關(guān)系可確定結(jié)果.【題目詳解】若“是遞增數(shù)列”，則，即，化簡得：，又，，，則是遞增數(shù)列，是遞增數(shù)列，“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選：.【答案點睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.3、C【答案解析】根據(jù)命題的否定，可以寫出：，所以選C.4、D【答案解析】

先求出集合B，再與集合A求交集即可.【題目詳解】由已知，，故，所以.故選：D.【答案點睛】本題考查集合的交集運算，考查學(xué)生的基本運算能力，是一道容易題.5、D【答案解析】分析：因為題設(shè)中給出了的值，要求的值，故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解：由題設(shè)有，故有，所以，從而，故選D.點睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.6、D【答案解析】

分析：由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解：由題意可知：，即，，即，，即，綜上可得：.本題選擇D選項.點睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．7、A【答案解析】

可將問題轉(zhuǎn)化，求直線關(guān)于直線的對稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨界點，進一步確定的取值范圍即可【題目詳解】可求得直線關(guān)于直線的對稱直線為，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，單減，當(dāng)時，，單增；當(dāng)時，，，當(dāng)，,當(dāng)時，單減，當(dāng)時，單增；根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：當(dāng)與（）相切時，得，解得；當(dāng)與（）相切時，滿足，解得，結(jié)合圖像可知，即，故選：A【答案點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點問題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題8、D【答案解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.設(shè)直線l的方程x＝my+，m＞0，設(shè)，，即y1＝﹣3y2①，聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直線的斜率.【題目詳解】雙曲線C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，則F2（，0），設(shè)直線l的方程x＝my+，m＞0，∵雙曲線的漸近線方程為x＝±2y，∴m≠±2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，聯(lián)立①②得，聯(lián)立①③得，，即：，，解得：，直線的斜率為，故選D．【答案點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，屬于中檔題．9、D【答案解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為，再利用組合數(shù)的計算公式可得所求的種數(shù).【題目詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（種），故選：D.【答案點睛】本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.10、A【答案解析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結(jié)合即可解決.【題目詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設(shè)點在雙曲線右支上運動，則，當(dāng)時，此時，所以，，所以；當(dāng)軸時，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.【答案點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.11、A【答案解析】

圓的圓心坐標(biāo)為（1，1），該圓心到直線的距離，結(jié)合弦長公式得，解得或，故選A．12、C【答案解析】

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示復(fù)數(shù)，對應(yīng)的兩點間的距離，由兩點間距離公式即可求解.【題目詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，所以，其中，故選C【答案點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)數(shù)的幾何意義，將轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對應(yīng)點的距離求值即可，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、32【答案解析】

由已知可得抽取的比例，計算出所有被調(diào)查的人數(shù)，再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【題目詳解】由題可知，抽取的比例為，被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為：32【答案點睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量，屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析】

建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算求解在方向上的投影即可.【題目詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知：，，，則：，，且，，據(jù)此可知在方向上的投影為.【答案點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量投影的定義與計算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.15、【答案解析】

設(shè)切點坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在切點的切線方程，將原點代入切線方程，求出的值，于此可得出所求的切線方程．【題目詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，，，，則曲線在點處的切線方程為，由于該直線過原點，則，得，因此，則過原點且與曲線相切的直線方程為，故答案為．【答案點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查過點作函數(shù)圖象的切線方程，求解思路是：（1）先設(shè)切點坐標(biāo)，并利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程；（2）將所過點的坐標(biāo)代入切線方程，求出參數(shù)的值，可得出切點的坐標(biāo)；（3）將參數(shù)的值代入切線方程，可得出切線的方程．16、（1）；（2）.【答案解析】

（1）以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，在中，設(shè)，又，故，，進而表示直線的方程，由直線與圓相切構(gòu)建關(guān)系化簡整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面積公式表示面積即可；（2）令，則，由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得t的取值范圍，進而對原面積的函數(shù)用含t的表達式換元，再令進行換元，并構(gòu)建新的函數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【題目詳解】解：（1）以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，在中，設(shè)，又，故，.所以直線的方程為，即.因為直線與圓相切，所以.因為點在直線的上方，所以，所以式可化為，解得.所以，.所以面積為.（2）令，則，且，所以，.令，，所以在上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)，即時，取得最大值，取最小值.答：當(dāng)時，面積為最小，政府投資最低.【答案點睛】本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實際建立合適的數(shù)學(xué)模型，再按模型求最值，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）1【答案解析】

（Ⅰ）由題，得，，解方程組，即可得到本題答案；（Ⅱ）設(shè)直線，則直線，聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，由此即可得到本題答案.【題目詳解】（Ⅰ）由題可得，即，，將點代入方程得，即，解得，所以橢圓的方程為：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)直線，則直線，聯(lián)立，整理得，所以，聯(lián)立，整理得，設(shè)，則，所以，所以．【答案點睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線與橢圓的綜合問題，考查學(xué)生的運算求解能力.18、（1）；（2）見解析【答案解析】

（1）利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.【題目詳解】（1）因為，所以因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立），所以（2）證明：因為，所以故（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）【答案點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.19、（1）10；（2）.【答案解析】

（1）由題意可得cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD2﹣52+9+BD2﹣16＝0，進而解得BC的值．（2）由（1）可知△ADC為直角三角形，可求S△ADC6，S△ABC＝2S△ADC＝12，利用角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)S△ABC＝S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值．【題目詳解】（1）因為在邊上，所以，在和中由余弦定理，得，因為，，，，所以，所以，.所以邊的長為10.（2）由（1）知為直角三角形，所以，.因為是的角平分線，所以.所以，所以.即的面積為.【答案點睛】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，角平分線的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．20、（1）；（2）【答案解析】

（1）先通過求得，再由得，和條件中的式子作差可得答案；（2）變形可得，通過裂項求和法可得答案.【題目詳解】（1）①，當(dāng)時，，，當(dāng)時，②，①②得：，，適合，故；（2），.【答案點睛】本題考查法求數(shù)列的通項公式，考查裂項求和，是基礎(chǔ)題.21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【答案解析】

（Ⅰ）連接交于點，連