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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱,若圓柱的高為2,則球的體積與圓柱的體積的比為()A. B. C. D.2.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則的值為().A.21 B.63 C.13 D.843.已知,復(fù)數(shù),,且為實(shí)數(shù),則()A. B. C.3 D.-34.半正多面體(semiregularsolid)亦稱“阿基米德多面體”,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體,是由正方體切截而成的,它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形為面的半正多面體.如圖所示,圖中網(wǎng)格是邊長為1的正方形,粗線部分是某二十四等邊體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.5.已知,,,則()A. B.C. D.6.某地區(qū)高考改革,實(shí)行“3+2+1”模式,即“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目,“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門,“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科,則一名學(xué)生的不同選科組合有()A.8種 B.12種 C.16種 D.20種7.已知集合,集合,則()A. B. C. D.8.已知全集,集合,則=()A. B.C. D.9.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.10.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知集合,,,則()A. B. C. D.12.已知數(shù)列中,,(),則等于()A. B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)與函數(shù),在公共點(diǎn)處有共同的切線,則實(shí)數(shù)的值為______.14.過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為__________.15.已知為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),,,設(shè)直線和分別與直線交于,兩點(diǎn),若與的面積相等,則線段的長為______.16.已知數(shù)列滿足,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)運(yùn)輸一批海鮮,可在汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇,它們的速度分別為60千米/小時(shí)、120千米/小時(shí)、600千米/小時(shí),每千米的運(yùn)費(fèi)分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運(yùn)輸過程中每小時(shí)的損耗為m元(),運(yùn)輸?shù)穆烦虨镾(千米).設(shè)用汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用(包括運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi))分別為(元)、(元)、(元).(1)請(qǐng)分別寫出、、的表達(dá)式;(2)試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.19.(12分)函數(shù)(1)證明:;(2)若存在,且,使得成立,求取值范圍.20.(12分)4月23日是“世界讀書日”,某中學(xué)開展了一系列的讀書教育活動(dòng).學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況,采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書小組(每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書小組)學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:小組甲乙丙丁人數(shù)12969(1)從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求這2人來自同一個(gè)小組的概率;(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.(12分)已知集合,集合,.(1)求集合B;(2)記,且集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.22.(10分)在中,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大??;(2)已知外接圓半徑,求的周長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
分別求出球和圓柱的體積,然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為,則,所以圓柱的體積.又球的體積,所以球的體積與圓柱的體積的比,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2、B【解析】
由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求,,然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】解:因?yàn)?,,所以,解可得,,,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
把和代入再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡,利用虛部為0求得m值.【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù),所以,解得.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,考查運(yùn)算求解能力.4、D【解析】
根據(jù)三視圖作出該二十四等邊體如下圖所示,求出該幾何體的棱長,可以將該幾何體看作是相應(yīng)的正方體沿各棱的中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的,可求出其體積.【詳解】如下圖所示,將該二十四等邊體的直觀圖置于棱長為2的正方體中,由三視圖可知,該幾何體的棱長為,它是由棱長為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的,該幾何體的體積為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,幾何體的體積,對(duì)于二十四等邊體比較好的處理方式是由正方體各棱的中點(diǎn)得到,屬于中檔題.5、C【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡可得,即可求得結(jié)果.【詳解】,所以,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡三角函數(shù),難度較易.6、C【解析】
分兩類進(jìn)行討論:物理和歷史只選一門;物理和歷史都選,分別求出兩種情況對(duì)應(yīng)的組合數(shù),即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門,則有種組合;若一名學(xué)生物理和歷史都選,則有種組合;因此共有種組合.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理,熟記其計(jì)數(shù)原理的概念,即可求出結(jié)果,屬于??碱}型.7、C【解析】
求出集合的等價(jià)條件,利用交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解:∵,,∴,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
先計(jì)算集合,再計(jì)算,最后計(jì)算.【詳解】解:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交,補(bǔ)混合運(yùn)算,注意分清集合間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡運(yùn)算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題10、C【解析】
討論當(dāng)時(shí),是否恒成立;討論當(dāng)恒成立時(shí),是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,由開口向上,則恒成立;當(dāng)恒成立時(shí),若,則不恒成立,不符合題意,若時(shí),要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問題.對(duì)于探究兩個(gè)命題的關(guān)系時(shí),一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.11、D【解析】
根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解:,,,則故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
分別代值計(jì)算可得,觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,問題得以解決.【詳解】解:∵,(),
,
,
,
,
…,
∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,
,
,
故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性和運(yùn)用:求數(shù)列中的項(xiàng),考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
函數(shù)的定義域?yàn)?,求出?dǎo)函數(shù),利用曲線與曲線公共點(diǎn)為由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,解得,,聯(lián)立解得的值.【詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)?,,,設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為,由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,∴,解得,.由,可得.聯(lián)立,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,切線方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.14、【解析】
根據(jù)與已知直線垂直關(guān)系,設(shè)出所求直線方程,將已知圓圓心坐標(biāo)代入,即可求解.【詳解】圓心為,所求直線與直線垂直,設(shè)為,圓心代入,可得,所以所求的直線方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程、直線方程求法,注意直線垂直關(guān)系的靈活應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),由三角形面積相等得出兩個(gè)三角形的邊之間的比例關(guān)系,這個(gè)比例關(guān)系又可用線段上點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來,從而可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入橢圓方程得縱坐標(biāo),然后可得.【詳解】如圖,設(shè),,,由,得,由得,∴,解得,又在橢圓上,∴,,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓相交問題,解題時(shí)由三角形面積相等得出線段長的比例關(guān)系,解題是由把線段長的比例關(guān)系用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示.16、【解析】
項(xiàng)和轉(zhuǎn)化可得,討論是否滿足,分段表示即得解【詳解】當(dāng)時(shí),由已知,可得,∵,①故,②由①-②得,∴.顯然當(dāng)時(shí)不滿足上式,∴故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了利用求,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算,分類討論的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)或;(2).【解析】
(1)利用絕對(duì)值的幾何意義,將不等式,轉(zhuǎn)化為不等式或或求解.(2)根據(jù)-2在R上恒成立,由絕對(duì)值三角不等式求得的最小值即可.【詳解】(1)原不等式等價(jià)于或或,解得:或,∴不等式的解集為或.(2)因?yàn)?2在R上恒成立,而,所以,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法和不等式恒成立問題,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.18、(1),,.(2)當(dāng)時(shí),此時(shí)選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最??;當(dāng)時(shí),此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最?。划?dāng)時(shí),此時(shí)選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【解析】
(1)將運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)相加得出總費(fèi)用的表達(dá)式.(2)作差比較、的大小關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】(1),,.(2),故,恒成立,故只需比較與的大小關(guān)系即可,令,故當(dāng),即時(shí),,即,此時(shí)選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最省,當(dāng),即時(shí),,即,此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.當(dāng),即時(shí),,,此時(shí)選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【點(diǎn)睛】本題考查了常見函數(shù)的模型,考查了分類討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)證明見詳解;(2)或或【解析】
(1)(2)首先用基本不等式得到,然后解出不等式即可【詳解】(1)因?yàn)樗裕?)當(dāng)時(shí)所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立因?yàn)榇嬖?,且,使得成立所以所以或解得:或或【點(diǎn)睛】1.要熟練掌握絕對(duì)值的三角不等式,即2.應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要滿足“一正二定三相等”.20、(1)(2)見解析,【解析】
(1)采用分層抽樣的方法甲組抽取4人,乙組抽取3人,丙組抽取2人,丁組抽取3人,從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,基本事件總數(shù)為,這兩人來自同一小組取法共有,由此可求出所求的概率;(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,而甲、丙兩個(gè)小組學(xué)生分別有4人和2人,所以抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題設(shè)易得,問卷調(diào)查從四個(gè)小組中抽取的人數(shù)分別為4,3,2,3(人),從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名的取法共有(種),抽取的兩名學(xué)生來自同一小組的取法共有(種),所以,抽取的兩名學(xué)生來自同一個(gè)小組的概率為(2)由(1)知,在參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中,來自甲、丙兩小組的學(xué)生人數(shù)分別為4人、2人,所以,抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0,1,2,因?yàn)樗噪S機(jī)變量的分布列為:012所求的期望為【點(diǎn)睛】此題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查分層抽樣、古典概型、排列組合等知識(shí),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】
(1)由不等式可得,討論與的關(guān)系,即可得到結(jié)果;(2)先解得不等式,由集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù),當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為;當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為,進(jìn)而求解即可.【詳解】解:(1)因?yàn)?所以,當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),.(2)由得,當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即;當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即;綜上,滿足題意的k的
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