數(shù)概-第二章2.6習(xí)題課

一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)(0-1)分布、二項(xiàng)分布和泊松分布的分布律正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布的分布函數(shù)、密度函數(shù)及有關(guān)區(qū)間概率的計(jì)算難點(diǎn)連續(xù)型隨 量函數(shù)的概率密度的求法二、主要內(nèi)容隨

量離

散

型隨

量連

續(xù)

型隨

量分布律密

度

函

數(shù)

分

布

函

數(shù)均勻分布指數(shù)分布*態(tài)分布兩二泊點(diǎn)項(xiàng)松分分分布布布隨

量

定的函數(shù)的分

布

義隨量是一個(gè)函數(shù),但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別,普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).定義

設(shè)E

是隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是

{eS}.如果對(duì)于每一個(gè)

Se,

有一個(gè)實(shí)數(shù)

eX與之對(duì)應(yīng),)這(樣就得到一個(gè)定義在S上的單值實(shí)值函數(shù)

(eX),稱量.(1)隨

量與普通的函數(shù)不同隨隨量隨量的取值具有一定的概率規(guī)律隨量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,因此隨量的取值也有一定的概率規(guī)律.隨量與隨機(jī)事件的關(guān)系隨機(jī)事件包容在隨量這個(gè)范圍更廣的概念之內(nèi).或者說:隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨

量則是從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象.隨

量的分類隨

量離散型非離散型連續(xù)型

其它隨

量所取的可能值是有限多個(gè)或無限可列個(gè),

叫做離散型隨 量.隨

量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間,叫做連續(xù)型隨

量.

pk

k

量X

的分布律.1,,}2.{,的概率,}為{P

X

xk(1)定義設(shè)離散型隨

量X所有可能取的值為xkk

1,(2,

),X

取各個(gè)可能值的概率,即事件稱此為離散型隨X

xk離散型隨量的分布律X

~

2121Xpkpnpp

n

p1

p2

pn

10(2)說明pk

0,

k

1,2,;

1;k

1k20

p量的分布律也可表為30離散型隨設(shè)隨 量

X

只可能取0與1兩個(gè)值,

它的分布律為X

0pk

1

p1p則稱X

服從(0-1)分布或兩點(diǎn)分布.兩點(diǎn)分布(k

0,1,2,,

n, 0

p

1)稱這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為

X

~

b(n,

p).n

1二項(xiàng)分布 兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布kpnpk

n

k

n

pkqnk

qn

n

pqn1

11X

的分布律為X

0是常數(shù).則0

稱X

服從參數(shù)為

的泊松分,,,210,,k!kX}{P

k

各個(gè)值的概率為k

e,,而,21取0其中

布

記為

X(π~).,設(shè)

0是一個(gè)常數(shù),n是任意正整則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)k,有設(shè)隨

量所有可能取的值為泊松分布泊松定理數(shù),設(shè)np

,knlim

n

pk

(1

p)nk

k!ke量,x

是任意實(shí)數(shù),函數(shù)

xX}{P)(xF(1)定義設(shè)

X

是一個(gè)隨分布函數(shù)

()

是Fxx的一個(gè)普通實(shí)函數(shù).隨量的分布函數(shù)量在某一區(qū)間內(nèi)取稱為X

的分布函數(shù).(2)說明分布函數(shù)主要研究隨值的概率情況.(,);10

0

F

(

x)

1,1

2

()(2),

(

0F

()

lim

F

x

0,

F

()

lim

F

(

x)

1;x

x30

);40000lim

F

(

x)

F

(

x

),

(

xx

x即任一分布函數(shù)處處右連續(xù).(3)性質(zhì)P{a

X

b}

F

(b)

F

(a),P{

X

a}

1

F

(a).離散型隨 量的分布函數(shù)F

(

x)

P{

X

x}

pk

.xi

x(4)重要公式則稱

X

為連續(xù)型隨 量

其中

(,)率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱概率密度.(())df,xtFt非負(fù)函數(shù),使對(duì)于任意實(shí)數(shù)x

有xXx的f

概(1)定義如果對(duì)于隨 量

X

的分布函數(shù)F

(

x),

存在連續(xù)型隨

量的概率密度1o(2)性質(zhì)f

(

x)

0;f

(

x)d

x

1.2o1

xF)

221{3

o.1若

f

(4x)

在點(diǎn)

x

處連續(xù)

則有

F

x

(f,()x).o連續(xù)型離散型若X是連續(xù)型隨

量，{X=a

}是不可能事件,

則有

P{

X

a}

0.若

P{

X

a}

0,則不能確定{

X

a}

是不可能事件若

X

為離散型隨

量{X

a}是不可能事件

P{X

a}

0.(3)注意(~a,Ub)X.區(qū)間上服從均勻分布,記為0,則稱

X

在區(qū)間(,a)b,

a

x

b,其它,1(1)定義設(shè)連續(xù)型隨

量

X

具有概率密度f

()x

b

a均勻分布1,x

a,a

x

b,x

b.F

(

x)

b

a

,xoabF

(

x)1

(2)分布函數(shù)0,

x

a

0,1x

0,,ex

0.()xf

θ其中θ

為常數(shù),0則稱

X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布.分布函數(shù)量X

的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨

xθ0,1

1x

0,x

0.

xθθ()xF

指數(shù)分布,σμ的,e

x

,2πσ為常數(shù),0,(則)

稱X服從參數(shù)為分布記為

(~μ,N,

σ2X).1()xf

2σ

2量X

的概率密度為

xμ

)(2其中

σσμ正態(tài)分布或正態(tài)分布(或分布)(1)定義設(shè)連續(xù)型隨d

t2πσF

(

x)

x2σ

2

e1(

t

μ)2(2)分布函數(shù)e

x

,

x22

,(3)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)正態(tài)分布

N

(

μ,σ

2

)

中的

μ

0,

σ

1

時(shí),這樣的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為

N

(0,

1).標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為2π1

(

x)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為2π

t

2e

2

d

t,

x

.1(

x)

x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形10σ若

X

~

N

(

μ,σ

2

),則

Z

X

μ

~

N

(0,1).20

σσP{c

X

d

}

d

μ

c

μ

.

(

x)

1

(

x).30(4)重要公式(2)連續(xù)型隨

量的函數(shù)的分布如果

X

是連續(xù)型隨

量,其函數(shù)

Xg)(也是連續(xù)型隨

量.計(jì)算Y的概率密度通常是根據(jù)X的密度函數(shù)

f

X

(

x)

求出Y

的分布函數(shù)FY

(

y)

P{Y

y}

P{g(

X

)

y})((d

f),

()gyxX求導(dǎo)得到Y(jié)

的密度函數(shù).再對(duì)FYy()其中α

min((g

),

g()),

hygx

是

(的)(.反)

函數(shù)其他.β

max((g

),

g()),X

[(

)]

(),

βy,

αhyhfy

xg

(0)),

則稱

gY()x

是連續(xù)型隨

量,其概率密度為0,()yf

設(shè)隨又設(shè)函數(shù)gx()量

X

的具有概率密度

f

X

(

x),

x

R,處處可導(dǎo)且恒有

xg

(0

)(或恒有Y定理例1

已知離散型隨量X

的可能取值為

2,0,,5相,2應(yīng)的概率依次為

1

,

3

,

5

,

7

,試求概率2

4

8aaaaXXP0}2.{[思路]首先根據(jù)概率分布的性質(zhì)求出常數(shù)a的值,然后確定概率分布律的具體形式,最后再計(jì)算條件概率.利用概率分布律的性質(zhì)

pii解

1,三、典型例題因此X

的分布律為XP

202581210737373737iia

2a

4a有

1

p

1

3

5

7

37

,8a

8a8故

a

37

,從而P{

X

2

X

0}

P{

X

2,

X

0}P{

X

0}P{

X

0}

P{

X

2}

P{

X

5}P{

X

0}

P{

X

2}

22

.292且

P

X

2{}

1

,試確定常數(shù)

,,

并求aX的b

分布律.量X

的分布函數(shù)為x

1,

x

1,1,

x

21,,3aa

b x

2.,F

()x

2

a例2

設(shè)離散型隨0,[思路]

首先利用分布函數(shù)的性質(zhì)求出常數(shù)

a,b,再用已確定的分布函數(shù)來求分布律.解利用分布函數(shù)F

(x)的性質(zhì):P{

X

xi

}

F

(

xi

)

F

(

xi

0),F

()

1,2知

1

P{

X

2}32

(a

b)

(

a)3

2a

b

2

,且

a

b

1.由此解得

a

1

,

b

5

.6

60,F

(

x)

2

a,

3x

1,a,

1

x

1,1

x

2,a

b,

x

2.1,2110,, 1

x

2,x

2.因此有

F

(

x)

6x

1,,

1

x

1,從而X

的分布律為XP236

1

1

21

1

1例3

已知隨

量

X

的概率密度為Axf

x

,e)(

x

.求系數(shù)

A;)1()2求(

X

的分布函數(shù)

(

xF);)3求(

XY2

的概率密度.解(1)由概率密

xf

(

x)d

x

1

0Ae d

x

2Ae d

x

x

2A,2故

A

1

.,(2)

F

(

x)

當(dāng)x

0

時(shí),有F

(2d

x

1

ex

;02]

1

1

e

x

;當(dāng)x

0

時(shí),有所以X

的分布函數(shù)為,

x

0.x

0,211

eF

(

x)

2

x

1

ex

,(3)

由于Y

X

2

0,故當(dāng)

y

0

時(shí),

有

FY

(

y)

P{Y

y}

0;當(dāng)y

0

時(shí),有y}2YF

(

y)

P{Y

y}

P{

X

P{

y

X

y}

y

y

212y

1

e

x

d

x,0e

x

d

x

2由于

FY

(

y)

fY

(

y),故當(dāng)y

0

時(shí),有ye

x

d

x]0Yd

F

(

y)

d

[d

y

d

y

e

y

1

,2

y從而,

Y

的概率密度為0,y

0.ey

,

y

01yf

(

y)

2Y問應(yīng)如何設(shè)計(jì)公共汽車車門的高度,使男子與車門頂碰頭的幾率小于0.01?若車門高為182

cm,求100

個(gè)成年男子與車門頂碰頭的人數(shù)不多于2

的概率.[(1)思路]設(shè)車門高度為l

cm,那么按設(shè)計(jì)要求應(yīng)有P{X

l}

0.01,確定l.例4

設(shè)某城市成年男子的身高

X

~

N

(170,

62

)(單位:

cm)解(1)

由題設(shè)知

X

~

N

(170,62

),P{

X

l}

1

P{

X

l}

6

6

1

P

X

170

l

1706

1

(l

170)

0.01,即(l

170)

0.99.6故

l

183.98(cm).6查表得l

170

2.33,問應(yīng)如何設(shè)計(jì)公共汽車車門的高度,使男子與車門頂碰頭的幾率小于0.01?若車門高為182

cm,求100

個(gè)成年男子與車門頂碰頭的人數(shù)不多于2

的概率.[(2)思路]首先要求出100名男子中身高超過182cm

的人數(shù)的分布律,然后用此分布律,求其不超過2的概率.例4

設(shè)某城市成年男子的身高

X

~

N

(170,

62

)(單位:

cm)(2)設(shè)任一男子身高超過182cm

的概率為p.

66則

p

P{

X

182}

P

X

170

182

170

1

(2)

0.0228.設(shè)Y

為100

個(gè)男子中身高超過182cm

的人數(shù),則

Y

~

B(100,

0.0228),

其中100kk

P{Y

k}

0.0228

0.9772100k

,k

0,1,,100.0!

1!

2!P{Y

2}

P