河南省洛陽(yáng)市2018屆高三上學(xué)期尖子生第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精洛陽(yáng)市2017—2018學(xué)年上學(xué)期尖子生第一次聯(lián)考高三試題數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)吻合題目要求的。1.設(shè)會(huì)集11，Bx|lnx0，則R(AB)等于(Ax|）xA．x|x0B．x|x1C．RD．0,12。已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(1i)21i（i為虛數(shù)單位），則|z|為（）A．1B．2C．2D．1223。如圖，圓O：x2y22內(nèi)的正弦曲線(xiàn)ysinx與x軸圍成的地域記為M(圖中陰影部分)，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在地域M內(nèi)的概率是（)A．4B．4C．2D．32324。一個(gè)幾何體的三視圖以下列圖，則該幾何體的體積為（）A．2B．1C．2D．1335.設(shè)alog36，blog510,clog714，則（)A．cbaB．bcaC．a(chǎn)cbD．a(chǎn)bc6。圖中的程序框圖所描述的算法，若輸入m209，n121，則輸出的m的值為（）學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精A．0B．11C．22D．887.在等比數(shù)列an中，a3,a16是方程x26x20的根,則a2a16的值為(）a9A．22B．2C．2D．2或228。已知點(diǎn)O是銳角三角形ABC的外心,若OCmOAnOB（m,nR），則（）A．mn2B．2mn1C．mn1D．1mn09。設(shè)雙曲線(xiàn)C：x2y21的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N,若d是雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)P169到直線(xiàn)MN的距離,則d的值為（）|PF|A．3B．4C．5D．無(wú)法確定45410。已知球O與棱長(zhǎng)為4的正周?chē)w的各棱相切，則球O的體積為（)A．82B．83C．86D．162333311.已知函數(shù)f(x)sin(sinx)cos(sinx)，xR，則以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A．函數(shù)f(x)是周期函數(shù)且最小正周期為B．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)C．函數(shù)f(x)在區(qū)間0,上的值域?yàn)?,22學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精D．函數(shù)f(x)在,是增函數(shù)4212.已知函數(shù)f(x)(axlnx)(xlnx)x2有三個(gè)不相同的零點(diǎn)x1，x2，x3（其中x1x2x3），則(1lnx1)2(1lnx2)(1lnx3)的值為(）x1x2x3A．1aB．a(chǎn)1C．1D．1第Ⅱ卷(共90分）二、填空題（每題5分,滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上）x0,則x2y3的取值范圍是13。已知x,y滿(mǎn)足條件yx,．3x4y12,x114。已知隨機(jī)變量，2)，若P(X1)0.64，P(0Y2)p，則P(Y4)．X~B(2,p)Y~N(2,15.已知(1axby)5（a,b為常數(shù)aN*，bN*)的張開(kāi)式中不含字母x的項(xiàng)的系數(shù)和為243，則函數(shù)sin2xb0,的最小值為．f(x),x2sin(x)2416.已知數(shù)列an滿(mǎn)足nan2(n2)an(n22n),其中a11,a22,若anan1對(duì)任意的nN*恒建立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17。如圖，在ABC中，點(diǎn)P在BC邊上,PAC60，PC2，APAC4．（1）求

ACP

；（2）若

APB的面積是

33，求

sin

BAP

．218。如圖

1，在直角梯形

ABCD

中，

AD//BC

,

AB

BC

,

BD

DC

，點(diǎn)E

是BC邊的中點(diǎn)

,將

ABD

沿BD

折起，使平面

ABD

平面

BCD

,連接

AE，

AC，DE

，的如圖

2所示的幾何體．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精（1）求證

:AB

平面

ADC

；（2）若

AD

1，二面角

C

AB

D的平面角的正切值為

6，求二面角

B

AD

E的余弦值．19。隨著搬動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，

基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車(chē)應(yīng)運(yùn)而生．

某市場(chǎng)研究人員為了認(rèn)識(shí)共享單車(chē)運(yùn)營(yíng)公司

M的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司近來(lái)六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了相應(yīng)的折線(xiàn)圖．（1)由折線(xiàn)圖可以看出，可用線(xiàn)性回歸模型擬合閱讀市場(chǎng)占有率

y與月份代碼

x之間的關(guān)系．求

y關(guān)于

x的線(xiàn)性回歸方程

,并展望

M

公司

2017

年

4月份（即

x

7時(shí))的市場(chǎng)占有率；(2）為進(jìn)一步擴(kuò)大市場(chǎng)，公司擬再采買(mǎi)一批單車(chē)，現(xiàn)有采買(mǎi)成本分別為

1000元/輛和

1200元/輛的

A、B兩款車(chē)型可供選擇，按規(guī)定每輛單車(chē)最多使用4年，但由于多種原因到公司運(yùn)營(yíng)的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定先對(duì)兩款車(chē)型的單車(chē)各表：

(如騎行頻率等）會(huì)以致車(chē)輛報(bào)廢年限各不相同．考慮100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試，獲取兩單車(chē)使用壽命頻數(shù)如經(jīng)測(cè)算，平均每輛單車(chē)每年可以帶來(lái)收入

500元．不考慮除采買(mǎi)成本之外的其他成本

,假設(shè)每輛單車(chē)的使用壽命都是整數(shù)年，且以頻率作為每輛單車(chē)使用壽命的概率．若是你是決策依據(jù)，你會(huì)選擇采買(mǎi)哪款車(chē)型?

M

公司的負(fù)責(zé)人，以每輛單車(chē)產(chǎn)生利潤(rùn)的希望值為學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精nybxa,其中bxiyinxy，aybx．參照公式：回歸直線(xiàn)方程為i1n2xi2nxi120。如圖，點(diǎn)F是拋物線(xiàn)：x22py（p0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線(xiàn)上的定點(diǎn),且AF(2,0)，點(diǎn)B，C是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AB，AC斜率分別為k1,k2．(1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）若k2k12，點(diǎn)D是拋物線(xiàn)在點(diǎn)B，C處切線(xiàn)的交點(diǎn)，記BCD的面積為S,證明S為定值．21。已知函數(shù)f(x)(x36x23xt)ex,tR．（1)若函數(shù)yf(x)有三個(gè)不相同的極值點(diǎn),求t的值;(2)若存在實(shí)數(shù)t0,2,使對(duì)任意的x1,m，不等式f(x)x恒建立，求正整數(shù)m的最大值．請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，若是多做，則按所做的第一題記分。22.選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為xm2t,(t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸y2t建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為24，且直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)曲線(xiàn)C的左焦點(diǎn)F．1sin2（1）求直線(xiàn)l的一般方程;（2）設(shè)曲線(xiàn)C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，求L的最大值．23。選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f(x)|x12a||xa2|，aR，g(x)x22x44．(x1)2(1）若f(2a21)4|a1|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精（2）若存在實(shí)數(shù)x,y，使f(x)g(y)0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．洛陽(yáng)市2017—2018學(xué)年上學(xué)期尖子生第一次聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題（理科）答案一、選擇題1-5:CBBCD6-10:BBCBA11、12：CD二、填空題13。3,914。0.115。216。[0,)三、解答題17。解:(1）在APC中，由于PAC60，PC2，APAC1，由余弦定理得PC2AP2AC22APACcosPAC，因此22AP2(4AP)22AP(4AP)cos60,整理得AP24AP40，解得AP2，因此AC2，因此APC是等邊三角形，因此ACP60．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精(2）由于APB是APC的外角，因此APB120，由于APB的面積是33，因此1APPBsinAPB33，222因此PB3，在APB中,AB2AP2PB22APPBcosAPB2232223cos12019，因此AB19．在APB中,由正弦定理得ABPBsinAPBsin，BAP因此sinBAP3sin120357．193818。（1)證明：由于平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD，又BDDC，因此DC平面ABD，由于AB平面ABD，因此DCAB，又由于折疊前后均有ADAB，DCADD,因此AB平面ADC．（2)解：由（1)知AB平面ADC，因此二面角CABD的平面角為CAD．又DC平面ABD，AD平面ABD，因此DCAD．依題意tanCADCD6，AD由于AD1,因此CD6，設(shè)ABx（x0),則BDx21，依題意ABD~BDC，因此ABCD，即x6，ADBD1x21解得x2,故AB2,BD3，BCBD2CD23．由于DC平面ABD，過(guò)點(diǎn)E作EF//DC交BD于F，則EF平面ABD，由于AD平面ABD，因此EFAD，過(guò)點(diǎn)F作FGAD于G，連接GE，因此AD平面EFG,因此ADGE，因此二面角BADE的平面角為EGF，由平面幾何知識(shí)求得EF1CD6，F(xiàn)G1AB2，2222學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精因此EGEF2FG22，因此cosEGFFG1，EG2因此二面角BADE的余弦值為1．219.解：（1）由數(shù)據(jù)計(jì)算可得123456x63.5，111316152021y616,由公式計(jì)算可得b2，a1623.59，因此月度市場(chǎng)占有率y與月份序號(hào)x之間的線(xiàn)性回歸方程為y2x9，當(dāng)x7時(shí)，y27923,故M公司2017年4月份的市場(chǎng)占有率預(yù)計(jì)為23%．（2）由頻率預(yù)計(jì)概率．每輛A款車(chē)可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0。2,0。35，0。35和0。1,因此每輛A款車(chē)可產(chǎn)生的利潤(rùn)希望值為E(X)(5001000)0.2(10001000)0.35(15001000)0.35(20001000)0.1175(元),由頻率預(yù)計(jì)概率．每輛B款車(chē)可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0。1,0。3，0.4和0.2，∴每輛B款車(chē)可產(chǎn)生的利潤(rùn)希望值為E(Y)(5001200)0.1(10001200)0.3(15001200)0.4(20001200)0.2150（元），∴E(X)E(Y)，∴應(yīng)該采買(mǎi)A款單車(chē)．20。解：（1）設(shè)A(x0,y0)，由題知F(0,p),因此AF(x0,py0)(2,0)，22x02,代入x2p2因此p2py(p0）中得4,即p2，y0,2學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精因此拋物線(xiàn)的方程是x24y．2）過(guò)D作y軸平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，并設(shè)B(x1,x12)，C(x2,x22)，44由（1)知A(2,1)，x221x121x2x1因此k2k144，x22x124又kk2，因此xx8，212122xDx1x2,直線(xiàn)BD:yx1xx1，直線(xiàn)CD：yx2xx2,解得22424yDx1x2,4因直線(xiàn)BC方程為yx12x14x2(xx2)，將xD代入得yEx128x22,4因此S1|DE|(x2x)1(yEyD)(xx)1(x2x1)2(x2x)32．2122128121。解：（1）f'(x)(x33x29x3t)ex，令g(x)x33x29x3t，則方程g(x)0有三個(gè)不相同的根,又g'(x)3x26x93(x22x3)3(x1)(x3)，令g'(x)0，得x1或3,且g(x)在區(qū)間(,1)，(3,)遞加，在區(qū)間(1,3)遞減，故問(wèn)題等價(jià)于g(1)0,t80,8t24．g(3)即有t24解得0,0,（2)不等式f(x)x，即(x36x23xt)exx，即txexx36x23x,轉(zhuǎn)變成存在實(shí)數(shù)t0,2，使對(duì)任意的x1,m,不等式txexx36x23x恒建立，即不等式0xexx36x23x在x1,m上恒建立，即不等式0exx26x3在x1,m上恒建立．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精設(shè)(x)exx26x3,則'(x)ex2x6，設(shè)r( )'()ex26，則r'(x)ex2，xxx由于1rm，有r'(x)0，故r(x)在區(qū)間1,m上是減函數(shù)，又r(1)4e10,r(2)2e20,r(3)e30，故存在x0(2,3),使得r(x0)'(x0)0,當(dāng)1xx0時(shí)，有'(x)0,當(dāng)xx0時(shí),有'(x)0，從而y(x)在區(qū)間1,x0上遞加,在區(qū)間[x0,)上遞減．又(1)e140,(2)e250,(3)e360，(4)e450，(5)e520，e630，因此當(dāng)1x5時(shí)，恒有(x)0；當(dāng)x6時(shí)，恒有'(x)0．故使命題建立的正整數(shù)m的最大值為5．22.解：（1）由于曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為24,即22sin24,1sin2將2x2y2，siny代入上式并化簡(jiǎn)得x2y21，42因此曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x2y21，于是c2a2b22，F(xiàn)(2,0)，42直線(xiàn)l的一般方程為xym,將F(2,0)代入直線(xiàn)方程得m2，因此直線(xiàn)l的一般方程為xy20．（2）設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的極點(diǎn)為(2cos,2sin)（0），2因此橢圓C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)2(4cos22sin)46sin()（其中tan2），此時(shí)橢圓C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)獲取最大值46．23.解：（1）∵f(2a21)4|a1|,∴|2a22a||a21|4|a1|，∴|1a|(2|a||a1|