交通流量數(shù)學(xué)模型

...wd......wd......wd...交通量?jī)?yōu)化配置摘要城市交通擁擠現(xiàn)象是城市交通規(guī)劃最為明顯的失策現(xiàn)象之一。從某種程度上說(shuō)，城市交通擁擠現(xiàn)象是汽車(chē)社會(huì)的產(chǎn)物，特別是在人們上下班的頂峰期．交通擁擠現(xiàn)象尤為明顯?！皳?jù)統(tǒng)計(jì)，上海市由于交通擁擠，各種機(jī)動(dòng)車(chē)輛時(shí)速普遍下降，50年代初為25km現(xiàn)在卻降為15kin左右。一些交通繁忙路段，頂峰時(shí)車(chē)輛的平均時(shí)速只有3—4km。交通阻塞導(dǎo)致時(shí)間和能源的嚴(yán)重浪費(fèi)，影響城市經(jīng)濟(jì)的效率。〞城市交通擁擠現(xiàn)象是現(xiàn)代我國(guó)大中城市存在的普遍問(wèn)題．由于公交車(chē)、小汽車(chē)流量較多，加上餐飲業(yè)商貿(mào)功能聚集，使本來(lái)就不寬的道路變得擁擠不堪，給進(jìn)展物資運(yùn)輸，急救搶險(xiǎn)，緊急疏散等狀況帶來(lái)不便。其中，城市各路段交通流量的合理分配可以有效緩解道路發(fā)生擁擠。接下來(lái)，我們將模擬一個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)，用節(jié)點(diǎn)流量方程、環(huán)路定理、網(wǎng)絡(luò)圖論模型去合理分配該交通網(wǎng)絡(luò)的交通流量已到達(dá)交通量?jī)?yōu)化配置。關(guān)鍵字：交通流量、節(jié)點(diǎn)、環(huán)路、網(wǎng)絡(luò)圖論問(wèn)題重述我們模擬某區(qū)域道路網(wǎng)絡(luò)如圖1所示，每條道路等級(jí)〔車(chē)道數(shù)〕完全一樣，某時(shí)間段內(nèi)，有N輛車(chē)要從節(jié)點(diǎn)1出發(fā)，目的地是節(jié)點(diǎn)0〔假設(shè)該時(shí)間段內(nèi)，路網(wǎng)中沒(méi)有其它車(chē)輛〕。在該時(shí)間段內(nèi)，道路截面經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)越多，車(chē)輛在該路段行駛的速度就越慢。我們?cè)诖艘鉀Q的問(wèn)題是確定有效的行駛路徑及其算法，合理分配每條道路的交通流量，使N輛車(chē)從節(jié)點(diǎn)1到節(jié)點(diǎn)0的總行駛時(shí)間最小。模型假設(shè)各路段單向通車(chē)道路截面經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)與車(chē)輛在該路段行駛的速度成反比例函數(shù)關(guān)系車(chē)流密度均勻不變假設(shè)N輛車(chē)在極短時(shí)間內(nèi)全部開(kāi)出〔即把車(chē)當(dāng)做質(zhì)點(diǎn)〕各環(huán)路兩條支路對(duì)時(shí)間負(fù)載均衡變量說(shuō)明Iim節(jié)點(diǎn)到n節(jié)點(diǎn)支路的車(chē)流數(shù)量ti車(chē)輛從m節(jié)點(diǎn)到n節(jié)點(diǎn)經(jīng)過(guò)所花費(fèi)的時(shí)間Q流量v車(chē)速L縱向路長(zhǎng)2L橫向路長(zhǎng)K反比例系數(shù)ρ*t車(chē)流密度隨時(shí)間的函數(shù)問(wèn)題分析假設(shè)直接對(duì)該交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)展優(yōu)化配置那么存在很多阻礙，對(duì)此我們對(duì)此模型進(jìn)展了一些理想化的處理。首先我們假設(shè)道路截面經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)與車(chē)輛在該路段行駛的速度嚴(yán)格成反比函數(shù)的關(guān)系，由此排除了雙向通車(chē)的可能性。例如位于56支路上不可能既有5開(kāi)向6的車(chē)也有6駛向5的車(chē)，因?yàn)橛杉僭O(shè)可知車(chē)越多行使速度越慢，因此為了使速度最大化我們不能將空間給予車(chē)流走“回頭路〞。接著由于該圖的“樹(shù)枝〞較多，我們把車(chē)流當(dāng)作流量模型〔即對(duì)每條支路的車(chē)流量對(duì)時(shí)間進(jìn)展積分然后再找最優(yōu)配置方案〕顯然是不切實(shí)際的，所以在此我們假設(shè)車(chē)流密度不隨時(shí)間發(fā)生變化，也就是說(shuō)我們把車(chē)看作質(zhì)點(diǎn)進(jìn)展分析。最后我們來(lái)解釋一下我們模型的重點(diǎn)，也就是假設(shè)5〕。就一般而言我們可以任意選取一環(huán)路〔帶進(jìn)出口的環(huán)路〕如以下列圖：我們假設(shè)，那么必有或，不管是哪種可能我們必然可以通過(guò)上調(diào)時(shí)間花費(fèi)短的路徑負(fù)載I使得該路徑的行車(chē)速度v下降、行使時(shí)間t上升，以及下調(diào)時(shí)間長(zhǎng)的路徑負(fù)載I使得該路徑的行車(chē)速度v上升、行使時(shí)間t下降，那么在這個(gè)動(dòng)態(tài)變化中總有一個(gè)“時(shí)刻〞使得以此到達(dá)對(duì)時(shí)間的負(fù)載均衡。又因?yàn)?，所以這個(gè)靜態(tài)點(diǎn)的配置優(yōu)于原配置。換而言之，在一個(gè)環(huán)內(nèi)當(dāng)兩條支路對(duì)于時(shí)間負(fù)載不均衡時(shí)，我們總可以通過(guò)調(diào)整支路的車(chē)流負(fù)載以此找到一個(gè)靜態(tài)點(diǎn)使得該點(diǎn)對(duì)時(shí)間負(fù)載均衡，使得該點(diǎn)的時(shí)間值小于原狀態(tài)的時(shí)間值。而不管多復(fù)雜的電路網(wǎng)絡(luò)我們總可以把其分解成為一個(gè)又一個(gè)環(huán)路的鏈接，所以我們認(rèn)為交通網(wǎng)絡(luò)中的所有環(huán)路在對(duì)時(shí)間負(fù)載均衡時(shí)到達(dá)最優(yōu)化配置。在接下來(lái)的模型建設(shè)中，我們將以我們的分析假設(shè)作為根基進(jìn)展數(shù)學(xué)建模，最終用matlab編程完成對(duì)該交通優(yōu)化配置的求解。模型建設(shè)對(duì)于該網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化配置，首先我們定義一下幾點(diǎn)：樹(shù)枝：〔1〕串聯(lián)的節(jié)點(diǎn)我們視它為一條樹(shù)枝；〔2〕進(jìn)入該樹(shù)枝的車(chē)流量等于出去的車(chē)流量2、節(jié)點(diǎn)：〔1〕樹(shù)枝與樹(shù)枝的連接點(diǎn)；〔2〕兩條以上的樹(shù)枝的連接點(diǎn)；3、環(huán)路：〔1〕閉合的樹(shù)枝；〔2〕閉合節(jié)點(diǎn)的集合。每條路徑上的車(chē)流量與行車(chē)速度之間的函數(shù)關(guān)系現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)歷告訴我們這兩者成反比關(guān)系，那么在這里我們理想的認(rèn)為兩者成嚴(yán)格的反比例函數(shù)關(guān)系車(chē)流密度函數(shù)生活經(jīng)歷告訴我們車(chē)流密度與某時(shí)刻的車(chē)間距，車(chē)長(zhǎng)等關(guān)系相關(guān)，在這里我們近似認(rèn)為與車(chē)流密度是時(shí)間，但為了模型的簡(jiǎn)化我們不得不認(rèn)為那么constant流量流量大了就必然要控制車(chē)速，我們用量綱分析結(jié)合這個(gè)常識(shí)可以得到流量與車(chē)速成正比關(guān)系每條路徑上的行車(chē)時(shí)間〔道路是否優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)〕行車(chē)時(shí)間即為道路的車(chē)流數(shù)量與車(chē)流量的比值時(shí)間，流量，路徑之間的函數(shù)關(guān)系通過(guò)上述公式的等效變換我們最終可以得到即現(xiàn)在我們對(duì)最優(yōu)解下的交通網(wǎng)絡(luò)列線性方程組，然后求解該線性方程組即可以得到最優(yōu)解下個(gè)路段的交通負(fù)載。該線性方程組的組成分為2局部〔注：由于假設(shè)5〕中所述對(duì)于一個(gè)開(kāi)放的環(huán)路內(nèi)兩條樹(shù)枝對(duì)于時(shí)間負(fù)載均衡，所以沿著該環(huán)對(duì)時(shí)間進(jìn)展線積分其結(jié)果必然是0，那么對(duì)于環(huán)路就可以用環(huán)路定理列出方程組〕由網(wǎng)絡(luò)圖論知識(shí)可列有效的節(jié)點(diǎn)方程9-1=8個(gè)，有效的環(huán)路方程5個(gè)，那么13條樹(shù)枝的最優(yōu)負(fù)載即可通過(guò)以下這13個(gè)方程進(jìn)展確定模型求解我們選擇用矩陣運(yùn)算來(lái)求解這個(gè)線性方程組，以此得到各個(gè)路段之間的車(chē)流量,計(jì)算結(jié)果如下〔算法程序見(jiàn)附錄〕〔行駛速度即為〕其中8,9兩條流量為負(fù)數(shù)表示車(chē)流方向與預(yù)定方向相反，那么有效的行駛路徑就可以是一下8種1-2-3-4-7-01-2-3-6-7-01-2-5-6-7-01-2-5-6-10-01-2-3-6-10-01-8-9-10-01-8-9-5-6-7-01-8-9-5-6-10-0假設(shè)按上述交通流量分配，即可得到最優(yōu)化的交通，此時(shí)這N輛車(chē)從1走到0所需的時(shí)間最短但在實(shí)際的求解的過(guò)程中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果未必是整數(shù)，而車(chē)輛不可能是小數(shù)，所以這個(gè)模型的求解過(guò)程中還存在一個(gè)整數(shù)規(guī)劃的問(wèn)題，我們?cè)谶@邊提供了一個(gè)簡(jiǎn)單的解決方案：我們將針對(duì)幾個(gè)特殊樹(shù)杈〔1,2,3,6,9〕的每一端乘以一個(gè)與前樹(shù)杈相對(duì)應(yīng)的比例系數(shù)使得樹(shù)杈的輸入端為整數(shù)，這樣子我們對(duì)輸出端進(jìn)展簡(jiǎn)單的四舍五入處理時(shí)可以保證車(chē)輛數(shù)量是合理的〔不多車(chē)，不丟車(chē)〕接下來(lái)我們用這段算法程序〔算法程序見(jiàn)附錄〕嘗試運(yùn)算當(dāng)N=10000時(shí)的各路段交通負(fù)載分配可見(jiàn)我們這種整數(shù)規(guī)劃模型的解與理論值相比較，誤差接近萬(wàn)分之一，所以可以說(shuō)我們這個(gè)模型的求解是準(zhǔn)確的。模型評(píng)價(jià)交通規(guī)劃在城市規(guī)劃中必不可少，解決交通配置在運(yùn)輸，急救，搶險(xiǎn)，疏散方面都是不可或缺的。而本模型就能分析相關(guān)問(wèn)題較為精準(zhǔn)用matlab最終解決相關(guān)的交通網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化配置，并且具有普遍性。但是這個(gè)模型存在一下三點(diǎn)缺陷的：我們將流量模型近似的看作質(zhì)點(diǎn)模型N值越大模型的準(zhǔn)確性越高，反之，當(dāng)N值小時(shí)由于小數(shù)位的取舍會(huì)造成不小的誤差我們忽略了所有的外界因素參考文獻(xiàn)?我國(guó)城市交通規(guī)劃開(kāi)展的思考?郎詩(shī)濤?離散數(shù)學(xué)?上?？茖W(xué)技術(shù)出版社?工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)?同濟(jì)大學(xué)出版社附錄對(duì)于能夠自行輸入具體的N〔即1點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)〕，并對(duì)其進(jìn)展計(jì)算得到各路段準(zhǔn)確理論車(chē)輛數(shù)的編程程序如下：N=input('輸入N值');A=[-1011000000000;000-1110000000;00-10001010000;000001110-1000;0000-100100100;01000000100-10;000000000101-1;0000000000101;2-4023000001-2-2;001-2-300010-122;00-1201-2000000;0000000201-102;00003-10200000;];b=[0000000N00000]';x=A\b;for(i=1:13)x(i)=abs(x(i));end;xLilunFZ(x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),x(7),x(8),x(9),x(10),x(11),x(12),x(13)%此句為調(diào)用同文件中的下述程序進(jìn)展整數(shù)規(guī)劃的過(guò)程編程程序如下：functionLilunFZ(I1,I2,I3,I4,I5,I6,I7,I8,I9,I10,I11,I12,I13,N)N=input('輸入');i1=round(N*I1