球面幾何選修球面三角形中邊角的基本性質市公開課金獎市賽課一等獎課件

導入新課球面三角形是一類特殊三角形，也含有三角形一些通性，一樣，在生活當中我們也能夠發(fā)覺它應用.一些天然礦石含有球面三角形態(tài)汽車標志設計一些精美飾品第1頁在前面所學平面幾何知識中，我們已經知道，在平面三角形中：三角形三內角和等于180°（在球面上，三角形內角之和大于180°）；三角形一個外角等于和它不相鄰兩個內角之和；第2頁三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；三角形一個外角大于任何一個和它不相鄰內角；在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊.第3頁那么對于球面三角形，這些性質是否依然成立呢？下面，我們將對球面三角形一些基本性質進行學習.第4頁2.3球面三角形邊角基本性質第5頁教學目標

【知識與能力】掌握球面三角形基本概念.熟記球面三角形中邊角基本性質.

【過程和方法】利用所學過平面三角形邊角關系進行知識遷移，掌握球面三角形基本性質.經過對球面三角形基本性質證實，加深對知識了解.第6頁

【情感態(tài)度和價值觀】經過平面幾何向空間幾何過渡，培養(yǎng)學生空間想象能力，和知識遷移能力.在球面三角形邊角性質證實過程中，鍛煉邏輯思維能力.第7頁重點球面三角形定義、概念，了解球面三角形中邊角對應關系.難點球面三角形邊角性質證實.教學重難點第8頁教學內容球面上，順次連接不在同一個大圓上三個點球面線段所組成圖形，稱為球面三角形.球面三角形定義：知識回顧這三條球面線段叫做球面三角形邊；這三個點叫做球面三角形頂點；每兩條球面線段所形成球面角，叫做球面三角形內角.AOBC第9頁基本性質1球面三角形兩邊之和大于第三邊.即在球面△ABC中，a+b>cc+a>bb+c>a第10頁證實：如圖，在球面△ABC中，將A,B,C三個頂點分別與球心O相連，從而得到三面角O-ABC.由三面角性質（三面角任意一個面角小于其它兩個面角之和而大于其差），可得D

AOB+D

AOBD

BOC>D

AOC又在單位圓中弧長與其對應圓心角弧度數相等，所以c+a>b同理，可證實a+b>c,b+c>a第11頁由球面三角形基本性質1，我們能夠推知，OABCabc球面三角形兩邊之差小于第三邊若在球面三角形中，三邊關系為a>b>c則a-b<ca-c<bb-c<a第12頁基本性質2球面三角形中，等邊所對角相等，等角所對邊相等.FOAEDBCbac即在球面ABC中，b=cDB=DCDB=DCb=c第13頁證實：FOAEDBCbac先證實在球面△ABC中，若b=c則∠B=∠C，如圖，過頂點A作平面OBC垂線交該平面于點D，過點D分別作OB,OC垂線DE,DF.因b=c，所以∠AOE=∠AOF又因為OA=OA,所以Rt△AEO≌Rt△AFO,第14頁所以∠AED=∠AFD,又因為∠AED=∠B,∠AFD=∠C,從而有∠B=∠C.所以AE=AF,又因為AD=AD，所以

Rt△ADE≌Rt△ADF,下面再證實由∠B=∠C推出b=c,第15頁觀察球面△ABC球極三角形，因為球極三角形邊與原三角形對應角之和為π，所以b'=c'.由上面證實可得∠B=∠C再由球極三角形邊與原三角形對應角之和為π，就可得b=cFOAEDBCbac第16頁基本性質3球面三角形中，大角對大邊，大邊對大角.即在球面ABC中，b>aDB>DADB=DAb>aABCbca第17頁則由基本性質2，可推知,依據基本性質1，ABCDabc證實：在球面三角形ABC中，設DABC=DBAC作球面角∠ABD,使其等于∠A，ADBD=有b=+=+>aADDCBDDC第18頁證實：因為a，b，c均為正，故a+b+c＞0°,又由立體幾何得知凸多面角各面角之和小于360°，所以課外擴展經過前面學習，我們知道了球面三角形中邊角對應關系，現在我們來學習兩條相關球面三角形中邊、角角度性質.球面三角形三邊之和大于0°而小于360°.

0<a+b+c<360°∠AOB+∠BOC+∠COA＜360°OABCabc第19頁證實：由極三角形和原三角形關系得：a'+A=180°，b'+B=180°，c'＋C=180°，即A+B+C=540°-(a'+b'+c')但依據定理2有：0°＜a'＋b'＋c'＜360°所以上式化為180°＜A+B+C＜540球面三角形三角之和大于180°而小于540°.OABCabc第20頁課堂小結1.球面三角形兩邊之和大于第三邊.由三面角性質，兩面角之和大于第三個面角，并由單位球面中，弧長與圓心角對應關系可知.2.球面三角形等邊對應角相等，等角對應邊相等.經過作圖，添加輔助線，結構全等三角形來證實邊角間對應關系.第21頁3.球面三角中，大邊對大角，大角對大邊利用前面基本性質1、性質2能夠推知，邊（角）越大，對應角（邊）也越大.第22頁解析：本小題考查球截面圓性質、球表面積，基礎題.解：設球半徑為R，圓M半徑為r，則πr2=3π，即r2=3由題得R2-（）2=3，所以R2=44πR2=16π.R高考鏈接1.（09全國卷）已知OA為球O半徑，過OA中點M且垂直于OA平面截球面得到圓M，若圓M面積為3π，則球O表面積等于___________.2第23頁到圓C.若圓C面積等于，則球O表面積等于________.7π42.(09全國卷)設OA是球O半徑，M是OA中點，過M且與OA成45°角平面截球O表面得答案：8π解析：本題考查立體幾何球面知識，注意結合平面幾何知識進行運算，由47π.8)144(4422pppp===RS第24頁3.(09全國卷)直三棱柱ABC-A1B1C1各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2,D=BAC則此球表面積等于________.120°解:在△ABC中,AB=AC=2,DBAC=120°可得,BC=23由正弦定理,可得△ABC外接圓半徑r=2,設此圓圓心為O′，球心為O，在RT△OBO′中，易得球半徑R=5，故此球表面積為4πR2=20π.答案：20π第25頁弧長是（為R地球半徑），則這兩地間球1．三個球半徑之比為1:2:3，那么最大球體積是其余兩個球體積和_______倍；2.北緯60°圈上M,N兩地，它們在緯度圈上πR2面距離為______．課堂練習第26頁3.在半徑為13cm球面上有A,B,C三點，其中AB=BC=AC=12cm，求球心到經過這三點截面距離.ABCO第27頁兩點劣弧長為（R為地球半徑），求OO/AB24RpA,B兩點間球面距離.4．在北緯45°圈上有A,B兩點，設該緯度圈上A,B第28頁5．已知過球面上A,B,C三點截面和球心距離為球半徑二分之一，且AB=BC=CA=2，求球表面積．OAO/BC第29頁6．半球內有一個內接正方體，正方體一個面在半球底面圓內，若正方體棱長為，求球表面積和體積．A6OBCD第30頁所以，球心到截面距離為11cm.3.解：設經過A,B,C三點截面為⊙O′,設球心為O，連結OO′，則OO′⊥平面ABC,∵AO′=×12×=4,∴=-=11OOOAOA22￠￠1.2.33p習題答案3232第31頁∴a=，∴AB=r=R，∴△ABC中,∠AOB=，所以,A,B兩點球面距離等于R說明：要求兩點球面距離，必須先求出兩點直線距離，再求出這兩點球心角，進而求出這兩點球面距離.4.解：設北緯45°圈半徑為r，則r=，設O′為北緯45°圈圓心，∠AOB′=，a2424∴ar=πR，∴Ra=πR，2224π

223π3π第32頁64解：設截面圓心為O'，連結O'A，設球半徑為R，則323==2

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232O'A··在直角△O'OC中，OA2=O'A2+O'O232314R