2022年高中數學學業(yè)水平測試及答案

2022年高中數學學業(yè)水平測試下列說法正確的是（ ）A．向量a與b共線，b與c共線，則a與c也共線B．任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D．有相同起點的兩個非零向量不平行【答案】C【解析】AbA錯誤；BB錯誤；C：因為0CDD錯誤，故選C．下列條件中能得到ab的是（abCa0b為任意向量【答案】D

）Ba與b的方向相同Da0且b0【解析】由于ab，所以a與bDD．已知ee1

是不共線向量，則下列各組向量中是共線向量的有（ ）①a

，b

；②a1e1

，b

；③ae+

，b

3e．1 1 21 32 1 2

1 2 1 2A．①②【答案】A

B．①③ C．②③ D．①②③2【解析】a與b顯然共線；2②中，因為b

2e

61

1

6a，故a與b共線；221 2

1 3 ③中，設b1

2

k1

e)，得333

，無解，故a與b不共線，故選A．4VABCA，B，Ca，b，c，若ccosA，則VABC一定是（ ）等邊三角形【答案】B

等腰三角形 C．直角三角形 等腰直角三角形【解析】因為ccosA，所以c2bb2c2a2，2bc則c2b2c2a2，所以ab，所以VABCB．13已知向量a=( 3,1)是單位向量若|2ab|= 則a與b的夾角（ ）136【答案】B

33613【解析】∵a=( 3,1)，b是單位向量，若|2ab|= ，13∴|a2，|b|=1，(2ab)2=13，∴4a24ab+b2=13，∴44b+1=13，∴ab=1，∴cosa,b= ab = 1 =1，|a||b| 21 2由a,b0,π]a與b的夾角為B．3已知在VABCa、b、c分別為角A、B、C的對邊，則根據條件解三角形時恰有一解的一組條件是（ ）A．a=3，b=4，A=6

B．a=4，b=3，A=3C．a=1，b=2，A=4

D．a=2，b=3，A=3【答案】BAsinB故VABC有兩解；

bsinAa333

4123

2=3

sinAba，B選項，由正弦定理可得sinB故VABC只有一解；

bsinA=a

2 = sinA，且ba，334 833C選項，由正弦定理可得sinB

bsinA= 2 =22a 122

1，故VABC無解；2D選項，因為A解，2故選B．

，則角A為VABC的最大內角，且ab，故VABC無3如圖所示，在VCB=2C=3C=6，DC邊上的uur2

AM=

5AD，若AM=AB+BC，則+的值為（ ）43【答案】B

815

23

415【解析】在VCB=2C=3C=6，DC邊上的高，D=B0=1，uuurAM

2uuAD

( + ( +

21( + ( +

=2 AB=2 5 5 5 3 5 15=

2,

8AM

AB+

BC，所以=5 =15，所以+ =15，故選B．如圖，已知兩個單位向量OAOB

CO為圓? 心，1為半徑的B上運動，則AB的最小值為（ ）A．3－32

B．0

33C．2－23

3D．2【答案】A【解析】以O為坐標原點建立如圖坐標系，32 則由已知得B1,0,A1, ．32 由點C在以O為圓心，1B上運動可設Cs,sin，0,． 31∴

s,

n1 s,

nCACB=2

2 3 3323 1 32

=s2s+n n+2=

3sin+ ，2 32由0,知，

,2，3∴sin+

+33 333， 3

2,3 3

3因此當sin

3=1AB2

，故選A．二、多項選擇題：本題共 4小題，每小題 5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得 5分部分選對的得 2分，有選錯的得0分．在VABC中，角所對的邊為則下列說法正確的有（ ）A．A:B:C=a:b:cC．若A>B，則a>b【答案】BCD

B． a+b+c = asinA+sinB+sinC sinAD．A+B+C=π【解析】在三角形中，大角對大邊，所以C選項正確；三角形的內角和為π，所以D選項正確；由正弦定理得abcsinA:sinB:sinCA選項錯誤；設a = b = c

=k，sinA sinB sinC則 a+b+c

kA+sinB+sinC)= =k=

a，B選項正確，sinA+sinB+sinC sinA+sinB+sinC sinA故選BCD．10已知向量m=1,1n=2,3a0b0則下列說法正確的（ ）a b 6若ab1，則mn有最小值5266若ab1，則mn有最小值6若，則log23

(mn)的值為1若mn，則22b+3a1【答案】AD【解析】m=1,1n=2,3mn=2+3．a b a b 2b3aa b a+b=1mn=2+3a+b)=5+2b+32b3aa b

=5+2 ，a a 66666當且僅當a=b，即a= 2，b=3 ，取得等號，故選項A正確；666B：若ab1，則mn

2+32abab2 3

=2 ，當且僅當a=

b= B錯誤；663 2661 3對C：若，則 12a b

0，即ab=3，2則log2

n)=

231C錯誤； 2 a b 3 3Dmn，則mn

2+3=2b+3a=0，a b ab所以ba022b3a1D正確，故選AD．已知兩個向量e和e滿足e 2

與e的夾角為7e1 2 1

2 1 2 3 1 2與向量e14114

te2

的夾角為鈍角，則實數t可能的取值為（ ）

2

12

45【答案】AD【解析】因為e1

2，e2

1e與e1

的夾角為，3所以ee1

21cos1，3因為向量2te1

7e2

與向量e1

te2

的夾角為鈍角，所以te1

7e2

e1

te2

0，且不能共線，所以e1

7e2

e1

te2

e1

2t27ee1 2

e2

2t215t70，解得7t1，2當向量2te1

7e2

與向量e1

te2

共線時，有2te1

7e2

e1

te2

，即t，t14解得t ，142所以實數t的取值范圍7,

142 U14

,1，142 214 所以實數t可能的取值為A，D，故選AD．已知abc分別是VABC三個內角BC的對邊，下列四個命題中正確的是（ ）若VABC是銳角三角形，則sinAcosB若acosAbcosB，則VABC是等腰三角形若bcosCccosBb，則VABC是等腰三角形若VABC是等邊三角形，則a b ccosA cosB cosC【答案】ACD【解析】A，因為VABC是銳角三角形，所以AB

，所以2sinAsin

B，即sinAcosB，故A正確；2 2 B，由acosAbcosB及正弦定理，可得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，所以AB或AB，所以VABCB錯誤；2C，由bcosCccosBb及正弦定理化邊為角，可知sinBcosCsinCcosBsinB，即sinAsinB，因為B為VABC的內角，所以A=B，所以VABCC正確；D，由VABC是等邊三角形，所以ABC，所以tanAtanBtanC，a b ccos

=cos

=cos

，故D正確，故選ACD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分．13．若a=1,b= 3,C=120，則SVABC

= ．34或0.75【解析】S

=1absinC

11 3

3 3，故答案為．3VABC3

2 2 2 4 414陽嘉元年，復造候風地動儀．以精銅鑄成，員徑八尺，ft一龍發(fā)機，而七首不動，尋其方面，乃知震之所在．驗之以事，合契若神．如200kmB在A的東偏北60°方向，若A地動儀正東方向的銅丸落下，B地東南方向的丸落下，則地震的位置在A地正東 km．【答案】1003【解析】CAB200km，

200 AC則由題意可得A60oB,Csin45232又232

，osin75osin75o

n

sin

cos

cos

sin30o

2 2 2 6 2，4

200 6 2AC

200sin75osin45o

4 1003，22A地正東1003km故答案為1003．315．已知a1，b1，ab ，則ab ．3【答案】13【解析】因為a1，b1，ab ，31所以ab2a2b22ab3，所以ab ，2ab2a2b2ab2a2b22ab故答案為1．16．已△ABC的內角的對邊分別為角B為鈍角．△ABC的面積為S，若bSab2c2a2，則nnC的最大值是 ．9【答案】8【解析】S

1acsinB，則2abcsinBa(b2c2a2，2∴sinB

b2c2a2

cosAsin(

A)，2bc 2B為鈍角即AB2又C(AB，

A

，即B2

A，cosBcos(sinA且sinBsin(cosA，2 21 而sinAsinCsinAsin(AB)sinA(1cosB)1 sin2Bcos2BcosB1cosB2cos2B2(cosB )2 ，4 8∴當cosB1sinAsinC9，4 89故答案為8．四、解答題：本大題共 6個大題，共 70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．ur ur uu17（10分）已知A(0,1)B(1,0)Ct,t)O是坐標原點．A，B，C三點共線時，求t的值；uuruur當tAB取最小值？并求出最小值．（1）t

1（2）t

1時，最小值為1．2 2 2ur ur uu【解析】（1）因為OA(0,1),OB(1,0),OC(t,t)，所以ururur1,0)0,)1,)uuuuurt,t)0,)t,t)，AB OB OA

ur

AC OC OA( )

t1．因為BCAB//AC，交集ur ur uu（2）因為OA(0,1),OB(1,0),OC(t,t，OAOC所以ururuu0,)t,t)t,1t)，OAOC

t1

1t，解得 2CBOBOCururuu1,0)t,t)1t,t)，CBOBOC)uuruur)(所以 (

()

121，CA

t1

t1

2

2t 22所以當t22

時，1AAB 18（12分）已知VC中CAB，點D是BE上一點．uura

1

設CA

CDbAEAB，請用abABCE；AE2EBADCE．

uurb a，

1a+b（2）證明見解析．【答案（1）AB2 CE 2（1）∵CAaCDb，點D是CB的中點，∴CB，∴ABCBCAa，uur∵ + a

1a

1a

1a+b．CE CA AE

AB2 2 2（2）以C點為坐標原點，以CBCA為xy軸，建立如圖所示平面直角坐標系，設A(0,a)B點坐標為(a,0)，另設點E坐標為(xy)，2∵點D是CB的中點，∴點D坐標為a,0，2(

) ( )

x=2a，y=a，AE2EB

x,ya

=2ax,y ，∴ 3 3所以uu=a,

，uur=2a,a，D 2 a

CE

3 3uuuur所以

aa+a

=0，∴ADCE．AD

2 3 319（12分）在C，，Ca，b，，其中b=4，3bsinAcosCcsinBcosA2 ，且ab．3B3若S =43VABC

，判斷△ABC的形狀．（1）B=（2）等邊三角形．33（1）∵23

= 4= b，∴bsinAcosC+csinBcosA= b，3332 2 2333a b由正弦定理 =

= c 得，sinBsinAcosC+sinCsinBcosA= sinB，3sinA sinB sinC 233∵sinB0，∴sinAcosC+sinCcosA= 2，33∴sin(A+C)=sinB)=sinB= ，32又ab，所以0B，可得B．2 3（2）由（1）知B，33余弦定理b2a2c22accosB，16a2c2ac①．3S△

1acsinB ac2 4

，ac16②3由①②可得ac，3又B，所以acb4，所以該三角形為等邊三角形．320（12分）已知VC，，Ca，b，，且(bc)(sinB+sinC)a(sinA+sinC)．B；當b1時，求VABC面積的最大值．32π3（1）3（2）12．【解析由c)(sinBsinC)aAsinC，得c)(bc)ac)，a2+c2b2 1即a2c2b2

ac，sB

2ac

2，又B0,π)，故B2π．3（2）由（1）B

2π，∴S3 V

1acsinB ac．32 43由余弦定理得1a2c22ac33當且僅當ac時等號成立，33

a2+c2+ac2ac+ac3ac，即ac ，2π 13 32π 1∴S△

12，∴VABC12．21（12分）如圖，梯形DB//DDCBBCBDAEBD相交于G．

1AB2EF分2uruu uuurABADAFAE；uu uruur urAGAEDGDB，求的值；uuurAGABAF=uuAF=【答案】（1）

1(ur

ur3ur1AEAE= AB+

7））

563） ．AB+AB+AD)（1）ABCDAB//CDAD=DC=CB=EFBCBDAEBD相交于G，

1AB=2，2AF=uuAF=∴

1(ur

uur1uuFEFE= DC=

1uuur，AB+AB+AD)uruuuur1uruu 1ur3ur1uu∴AE=AF+FE= (AB+AD)+ AB= AB+ AD ．DC= DC= GE= BG=FEuurFE（2）∵

1uu

1ur uuAGAG

4ur4ur，uu

uuGFGF=

4uuur，2 4 5 5uu ur 4∵AG=AE，∴=5，uu

FBDBGBF，uu1ur uu1ur uu1ur∴DF= DB，FG= FB，即FG= DB，2 5 10uuruuuu1 1ur3ur∴DG=DF+FG= + DB= DB，2 10 5uur ur=

3 7∵DG