【華師大版八年級下冊進階培優(yōu)訓(xùn)練】第十五講 正方形性質(zhì)與判定培優(yōu)輔導(dǎo)【含答案】

第十五講正方形性質(zhì)與判定培優(yōu)輔導(dǎo)知識梳理1、正方形的定義：叫做正方形。2、正方形的性質(zhì)：正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性質(zhì)，還具有自己獨特的性質(zhì)①邊的性質(zhì)：．②角的性質(zhì)：．③對角線性質(zhì)：．④對稱性：正方形是圖形，也是圖形．3、正方形的判定判定①是正方形．判定②是正方形．判定③是正方形．二、經(jīng)典例題<正方形形的性質(zhì)>【例1】如圖，為正方形對角線上一點，于，于.PA與EF有怎樣的關(guān)系？請說明理由．【變式題組】如圖所示，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連結(jié)BE，DG．觀察猜想BE與DG之間的關(guān)系，并證明你的猜想的結(jié)論．【例2】如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，DC的中點，BF，CE相交于點M，求證：AM=AB．【變式題組】如圖①，已知正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O，E是AC上一點，連結(jié)EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F．(1)求證：OE＝OF；(2)如圖②，若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，交DB的延長線于點F，其他條件不變，則結(jié)論“OE＝OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．圖①圖②<正方形的判定>【例3】如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形．⑴求證：四邊形ABCD是菱形；⑵若∠AED＝2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．AABDOCE【變式題組】如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于F．（1）探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并證明；⑵當(dāng)點O運動到何處時，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？⑶當(dāng)點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由；三、正方形最值問題【例4】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4a，E是BC的中點，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的動點，則PE+PC的最小值為

．2、如圖，正方形ABCD的邊長是2，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值為．3、如圖，正方形ABCD的面積為4，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為．【變式題組】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM。（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）①當(dāng)M點在何處時，AM+CM的值最??；②當(dāng)M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；（3）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時，求正方形的邊長。四、【綜合提升】【例5】數(shù)學(xué)課上，張老師提出了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊的中點．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE＝EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則似AM＝EC，易證△AME≌△ECF，所以AE＝EF．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們進一步的研究：⑴小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B、C外）的任意一點”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；(2）小華提出：如圖3，點E是邊BC的延長線上(除C點外)的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE＝EF”仍然成立．你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．【例5】探究問題：（1）方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．感悟解題方法，并完成下列填空：將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上，∵∠EAF=45°，∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°，即∠GAF=∠_________，又AG=AE，AF=AF，∴△GAF≌_______，∴_________=EF，故DE+BF=EF；（2）方法遷移：如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠DAB=2∠EAF．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點，滿足∠DAB=2∠EAF，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．培優(yōu)升級檢測選擇題1、正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）A.對角線互相平分B.對角線相等C.對角線平分一組對角D.對角線互相垂直2、如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，正方形EFGO繞點旋轉(zhuǎn)，若兩個正方形的邊長相等，則兩個正方形的重合部分的面積（）A.由小變大B.由大變小C.始終不變D.先由大變小，然后又由小變大2題圖3題圖4題圖5題圖3、如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，將△ABP繞著B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到與△CBP′重合，若PB=3，則PP′的長為（）A.2B.3C.3D.無法確定4、如圖,在△ABC中,O是AC上一動點,過點O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F,若點O運動到AC的中點,且∠ACB=()時,則四邊形AECF是正方形.

A.30°B.45°C.60°D.90°5、如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上，且DM＝2，N是AC上一動點，則DN＋MN的最小值為（）A.8B.C.D.106、P為正方形ABCD內(nèi)一點，若PA﹕PB﹕PC＝1﹕2﹕3，則∠APB的度數(shù)為（）A．120°B．135°C．150°D．以上都不對7、在正方形所在的平面內(nèi)有一點P，便△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有這樣性質(zhì)的P點共有（）A．9個B．7個C．5個D．1個二、填空題8、已知是正方形內(nèi)的一點，且為等邊三角形，那么．9、將n個邊長為1的正方形，按照如圖所示方式擺放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形對角線的交點，那么陰影部分面積之和等于________．10、如圖所示，是正方形，為上的一點，四邊形恰好是一個菱形，則15°.11、如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A、B分別是x、y軸上的動點，以AB為邊作邊長為2的正方形ABCD，則OC的最大值為_____．9題圖10題圖11題圖12題圖12、如圖，點分別在正方形的邊上，已知的周長等于正方形周長的一半，則的度數(shù)為_____．三、解答題13、如圖，已知正方形ABCD，P是對角線AC上任意一點，E為AD上的點，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．（1）求證：四邊形PMAN是正方形；（2）求證：EM=BN．14、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．（1）求證：CE=AD；（2）當(dāng)D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；（3）若D為AB中點，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．第十五講正方形性質(zhì)與判定培優(yōu)輔導(dǎo)答案知識梳理1、正方形的定義：有一組鄰邊相等的矩形或者有一個內(nèi)角是直角的菱形叫做正方形2、正方形的性質(zhì)：正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性質(zhì)，還具有自己獨特的性質(zhì)①邊的性質(zhì)：四條邊都相等．②角的性質(zhì)：四個角都是直角．③對角線性質(zhì)：對角線互相垂直平分且相等．④對稱性：正方形是軸對稱對稱圖形，也是中心對稱圖形．3、正方形的判定判定判定①有一組鄰邊相等的矩形是正方形．判定②有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形．判定③對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．二、經(jīng)典例題<正方形形的性質(zhì)>【例1】如圖，為正方形對角線上一點，于，于.PA與EF有怎樣的關(guān)系？請說明理由．解：法一：EF=AP．理由：

∵PE⊥BC，PF⊥CD，四邊形ABCD是正方形，

∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，

∴四邊形PECF是矩形，

連接PC，

∴PC=EF，

∵P是正方形ABCD對角線上一點，

∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，

在△PAD和△PCD中，

∴△PAD≌△PCD（SAS），

∴PA=PC，

∴EF=AP．

法二：延長FP交AB于點G，

則四邊形PEBG是正方形，

∴PE=PG，∠AGP=∠EPF=90°，

∵AG=AB-BG，PF=FG-PG，

∴AG=PF，

在△APG和△FEP中，∴△PAG≌△EFP（SAS），

∴AP=EF．【變式題組】如圖所示，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連結(jié)BE，DG．觀察猜想BE與DG之間的關(guān)系，并證明你的猜想的結(jié)論．解：BE與DG之間的關(guān)系是BE=DG，BE⊥DG，

證明：延長GD交BE于H，

∵四邊形ABCD和四邊形EFGC是正方形，

∴∠DCG=∠ECB=90°，CE=CG，CD=BC，

∵在△DCG和△BCE中∴△DCG≌△BCE（SAS），

∴BE=DG，∠1=∠2，

∵∠3=∠4，∠2+∠4=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠EHD=180°-90°=90°，

∴BE⊥DG，

即BE與DG之間的關(guān)系是BE=DG，BE⊥DG．【例2】如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，DC的中點，BF，CE相交于點M，求證：AM=AB．證明：分別延長BA，CE交于N點，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD=AB=CD，∠D=∠BCF=90°，AB∥CD，

∵E是AD中點，F(xiàn)是CD中點，

∴DE=CF，

在△BCF和△CDE中，

∴△BCF≌△CDE（SAS），

∴∠CBF=∠DCE，

∴∠CBF+∠BCM=∠DCE+∠BCM=90°，

∵E是AD的中點，AN∥CD，

∴AE=DE，∠N=∠ECD，∠NAE=∠CDE，

在△ANE和△DCE中，

∴△ANE≌△DCE（AAS），

∴AN=CD，

∴AN=AB，

在Rt△BMN中，AM=BN，

∴AM=AB．【變式題組】如圖①，已知正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O，E是AC上一點，連結(jié)EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F．(1)求證：OE＝OF；(2)如圖②，若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，交DB的延長線于點F，其他條件不變，則結(jié)論“OE＝OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．圖①圖②解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BOE=∠AOF=90°，

OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，

∴OE=OF；

（2）OE=OF成立；

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE，

又∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，

∴OE=OF。<正方形的判定>【例3】如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形．⑴求證：四邊形ABCD是菱形；⑵若∠AED＝2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．ABDOCE證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO，

又∵△ACE是等邊三角形，

∴，即，

∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）∵△ACE是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴，

∴四邊形ABCD是正方形。ABDOCE【變式題組】如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于F．（1）探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并證明；⑵當(dāng)點O運動到何處時，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？⑶當(dāng)點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由；解：（1），

其證明如下：

∵CE是∠ACB的平分線，

∴

∵，∴，

∴，∴，

同理可證，

∴；

（2）當(dāng)點O運動到AC中點時，，則四邊形為平行四邊形，要使為正方形，必須使，

∵，∴，

∴是以為直角的直角三角形，∴當(dāng)點O為AC中點且是以為直角的直角三角形時，四邊形是正方形。

（3）四邊形不可能是菱形，若為菱形，則，而由（1）可知，在平面內(nèi)過同一點F不可能有兩條直線同垂直于一條直線；

三、正方形最值問題【例】1、如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4a，E是BC的中點，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的動點，則PE+PC的最小值為

．2、如圖，正方形ABCD的邊長是2，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值為．3、如圖，正方形ABCD的面積為4，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為2．【變式題組】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM。（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）①當(dāng)M點在何處時，AM+CM的值最小；②當(dāng)M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時，求正方形的邊長。解：（1）∵△ABE是等邊三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°，∵∠MBN=60°，∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，即∠BMA=∠NBE，又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）；①當(dāng)M點落在BD的中點時，AM+CM的值最?。?/p>

②如圖，連接CE，當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，

理由如下：連接MN，

由（1）知，△AMB≌△ENB，

∴AM=EN，

∵∠MBN=60°，MB=NB，

∴△BMN是等邊三角形，

∴BM=MN，

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，

根據(jù)“兩點之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短

∴當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長；（3）過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，

∴∠EBF=90°-60°=30°，

設(shè)正方形的邊長為x，則BF=x，EF=，

在Rt△EFC中，

∵EF2+FC2=EC2，

∴（）2+（x+x）2=，

解得，x=（舍去負值），

∴正方形的邊長為?！揪C合提升】1、數(shù)學(xué)課上，張老師提出了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊的中點．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE＝EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則似AM＝EC，易證△AME≌△ECF，所以AE＝EF．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們進一步的研究：⑴小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B、C外）的任意一點”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；(2）小華提出：如圖3，點E是邊BC的延長線上(除C點外)的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE＝EF”仍然成立．你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．解：小題1:正確；小題2:正確（1）正確.證明：在AB上取一點M，使AM=EC，連結(jié)ME，∴BM=BE.

∴∠BME=45°.

∴∠AME=135°.∵CF是外角平分線，∴∠DCF=45°.

∴∠ECF=135°.∴∠AME=∠ECF.∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF.∴△AME≌△ECF（ASA).∴AE=EF.（2）正確.證明：在BA的延長線上取一點N，使AN=CE，連接NE.∴BN=BE.∴∠N=∠FCE=45°.∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BE∴∠DAE=∠BEA.∴∠NAE=∠CEF∴△ANE≌△ECF（ASA).∴AE=EF.2、探究問題：（1）方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．感悟解題方法，并完成下列填空：將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上，∵∠EAF=45°，∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°，即∠GAF=∠_________，又AG=AE，AF=AF，∴△GAF≌_______，∴_________=EF，故DE+BF=EF；（2）方法遷移：如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠DAB=2∠EAF．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點，滿足∠DAB=2∠EAF，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．解：（1）EAF、△EAF、GF；（2）DE+BF=EF，證明如下：假設(shè)∠BAD的度數(shù)為m，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)m°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，∴點G，B，F(xiàn)在同一條直線上，∵∠EAF=，

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF，

即，

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠3=，即∠GAF=∠EAF，又∵AG=AE，AF=AF，∴△GAF≌△EAF（SAS），∴GF=EF，又∵GF=BG+BF=DE+BF，∴DE+BF=EF；（3）當(dāng)∠B與∠D互補時，可使得DE+BF=EF。培優(yōu)升級檢測選擇題1、正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（B）A.對角線互相平分B.對角線相等C.對角線平分一組對角D.對角線互相垂直2、如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，正方形EFGO繞點旋轉(zhuǎn)，若兩個正方形的邊長相等，則兩個正方形的重合部分的面積（C）A.由小變大B.由大變小C.始終不變D.先由大變小，然后又由小變大2題圖3題圖4題圖5題圖3、如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，將△ABP繞著B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到與△CBP′重合，若PB=3，則PP′的長為（B）A.2B.3C.3D.無法確定4、如圖,在△ABC中,O是AC上一動點,過點O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F,若點O運動到AC的中點,且∠ACB=(D)時,則四邊形AECF是正方形.

A.30°B.45°C.60°D.90°5、如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上，且DM＝2，N是AC上一動點，則DN＋MN的最小值為（D）A.8B.C.D.106、P為正方形ABCD內(nèi)一點，若PA﹕PB﹕PC＝1﹕2﹕3，則∠APB的度數(shù)為（B）A．120°B．135°C．150°D．以上都不對7、在正方形所在的平面內(nèi)有一點P，便△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有這樣性質(zhì)的P點共有（A）A．9個B．7個C．5個D．1個二、填空題8、已知是正方形內(nèi)的一點，且為等邊三角形，那么15°或75°．9、將n個邊長為1的正方形，按照如圖所示方式擺放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形對角線的交點，那么陰影部分面積之和等于________．10、如圖所示，是正方形，為上的一點，四邊形恰好是一個菱形，則15°.11、如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A、B分別是x、y軸上的動點，以AB為邊作邊長為2的正方形ABCD，則OC的最大值為_____．9題圖10題圖11題圖12題圖12、如圖，點