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第十五講正方形性質(zhì)與判定培優(yōu)輔導(dǎo)知識(shí)梳理1、正方形的定義:叫做正方形。2、正方形的性質(zhì):正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形.它具有前三者的所有性質(zhì),還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)①邊的性質(zhì):.②角的性質(zhì):.③對(duì)角線性質(zhì):.④對(duì)稱性:正方形是圖形,也是圖形.3、正方形的判定判定①是正方形.判定②是正方形.判定③是正方形.二、經(jīng)典例題<正方形形的性質(zhì)>【例1】如圖,為正方形對(duì)角線上一點(diǎn),于,于.PA與EF有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式題組】如圖所示,正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上,連結(jié)BE,DG.觀察猜想BE與DG之間的關(guān)系,并證明你的猜想的結(jié)論.【例2】如圖,正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別為AD,DC的中點(diǎn),BF,CE相交于點(diǎn)M,求證:AM=AB.【變式題組】如圖①,已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,E是AC上一點(diǎn),連結(jié)EB,過點(diǎn)A作AM⊥BE,垂足為M,AM交BD于點(diǎn)F.(1)求證:OE=OF;(2)如圖②,若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上,AM⊥BE于點(diǎn)M,交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,其他條件不變,則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎?如果成立,請(qǐng)給出證明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.圖①圖②<正方形的判定>【例3】如圖,已知平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,E是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且△ACE是等邊三角形.⑴求證:四邊形ABCD是菱形;⑵若∠AED=2∠EAD,求證:四邊形ABCD是正方形.AABDOCE【變式題組】如圖,△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于F.(1)探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并證明;⑵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),且△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AECF是正方形?⑶當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎?若是,請(qǐng)證明,若不是,則說(shuō)明理由;三、正方形最值問題【例4】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4a,E是BC的中點(diǎn),BE=2a,∠BAD=120°,P是BD上的動(dòng)點(diǎn),則PE+PC的最小值為
.2、如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn),則DQ+PQ的最小值為.3、如圖,正方形ABCD的面積為4,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小,則這個(gè)最小值為.【變式題組】如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABE是等邊三角形,M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM。(1)求證:△AMB≌△ENB;(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM+CM的值最??;②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM+BM+CM的值最小,并說(shuō)明理由;(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí),求正方形的邊長(zhǎng)。四、【綜合提升】【例5】數(shù)學(xué)課上,張老師提出了問題:如圖1,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn).∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F,求證:AE=EF.經(jīng)過思考,小明展示了一種正確的解題思路:取AB的中點(diǎn)M,連接ME,則似AM=EC,易證△AME≌△ECF,所以AE=EF.在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們進(jìn)一步的研究:⑴小穎提出:如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B、C外)的任意一點(diǎn)”,其他條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)小華提出:如圖3,點(diǎn)E是邊BC的延長(zhǎng)線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn),其他條件不變,結(jié)論“AE=EF”仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由.【例5】探究問題:(1)方法感悟:如圖①,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為DC,BC邊上的點(diǎn),且滿足∠EAF=45°,連接EF,求證DE+BF=EF.感悟解題方法,并完成下列填空:將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,此時(shí)AB與AD重合,由旋轉(zhuǎn)可得:AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,因此,點(diǎn)G,B,F(xiàn)在同一條直線上,∵∠EAF=45°,∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°,∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=45°,即∠GAF=∠_________,又AG=AE,AF=AF,∴△GAF≌_______,∴_________=EF,故DE+BF=EF;(2)方法遷移:如圖②,將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為DC,BC邊上的點(diǎn),且∠DAB=2∠EAF.試猜想DE,BF,EF之間有何數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.(3)問題拓展:如圖③,在四邊形ABCD中,AB=AD,E,F(xiàn)分別為DC,BC上的點(diǎn),滿足∠DAB=2∠EAF,試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí),可使得DE+BF=EF.請(qǐng)直接寫出你的猜想(不必說(shuō)明理由).培優(yōu)升級(jí)檢測(cè)選擇題1、正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是()A.對(duì)角線互相平分B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線平分一組對(duì)角D.對(duì)角線互相垂直2、如圖,正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,正方形EFGO繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),若兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等,則兩個(gè)正方形的重合部分的面積()A.由小變大B.由大變小C.始終不變D.先由大變小,然后又由小變大2題圖3題圖4題圖5題圖3、如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),將△ABP繞著B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與△CBP′重合,若PB=3,則PP′的長(zhǎng)為()A.2B.3C.3D.無(wú)法確定4、如圖,在△ABC中,O是AC上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F,若點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn),且∠ACB=()時(shí),則四邊形AECF是正方形.
A.30°B.45°C.60°D.90°5、如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)M在DC上,且DM=2,N是AC上一動(dòng)點(diǎn),則DN+MN的最小值為()A.8B.C.D.106、P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),若PA﹕PB﹕PC=1﹕2﹕3,則∠APB的度數(shù)為()A.120°B.135°C.150°D.以上都不對(duì)7、在正方形所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,便△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形,那么具有這樣性質(zhì)的P點(diǎn)共有()A.9個(gè)B.7個(gè)C.5個(gè)D.1個(gè)二、填空題8、已知是正方形內(nèi)的一點(diǎn),且為等邊三角形,那么.9、將n個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,按照如圖所示方式擺放,O1,O2,O3,O4,O5,…是正方形對(duì)角線的交點(diǎn),那么陰影部分面積之和等于________.10、如圖所示,是正方形,為上的一點(diǎn),四邊形恰好是一個(gè)菱形,則15°.11、如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B分別是x、y軸上的動(dòng)點(diǎn),以AB為邊作邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD,則OC的最大值為_____.9題圖10題圖11題圖12題圖12、如圖,點(diǎn)分別在正方形的邊上,已知的周長(zhǎng)等于正方形周長(zhǎng)的一半,則的度數(shù)為_____.三、解答題13、如圖,已知正方形ABCD,P是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn),E為AD上的點(diǎn),且∠EPB=90°,PM⊥AD,PN⊥AB.(1)求證:四邊形PMAN是正方形;(2)求證:EM=BN.14、如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點(diǎn)C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.(1)求證:CE=AD;(2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí),四邊形BECD是什么特殊四邊形?說(shuō)明你的理由;(3)若D為AB中點(diǎn),則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí),四邊形BECD是正方形?請(qǐng)說(shuō)明你的理由.第十五講正方形性質(zhì)與判定培優(yōu)輔導(dǎo)答案知識(shí)梳理1、正方形的定義:有一組鄰邊相等的矩形或者有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形叫做正方形2、正方形的性質(zhì):正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形.它具有前三者的所有性質(zhì),還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)①邊的性質(zhì):四條邊都相等.②角的性質(zhì):四個(gè)角都是直角.③對(duì)角線性質(zhì):對(duì)角線互相垂直平分且相等.④對(duì)稱性:正方形是軸對(duì)稱對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形.3、正方形的判定判定判定①有一組鄰邊相等的矩形是正方形.判定②有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形.判定③對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.二、經(jīng)典例題<正方形形的性質(zhì)>【例1】如圖,為正方形對(duì)角線上一點(diǎn),于,于.PA與EF有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.解:法一:EF=AP.理由:
∵PE⊥BC,PF⊥CD,四邊形ABCD是正方形,
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°,
∴四邊形PECF是矩形,
連接PC,
∴PC=EF,
∵P是正方形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn),
∴AD=CD,∠PDA=∠PDC,
在△PAD和△PCD中,
∴△PAD≌△PCD(SAS),
∴PA=PC,
∴EF=AP.
法二:延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)G,
則四邊形PEBG是正方形,
∴PE=PG,∠AGP=∠EPF=90°,
∵AG=AB-BG,PF=FG-PG,
∴AG=PF,
在△APG和△FEP中,∴△PAG≌△EFP(SAS),
∴AP=EF.【變式題組】如圖所示,正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上,連結(jié)BE,DG.觀察猜想BE與DG之間的關(guān)系,并證明你的猜想的結(jié)論.解:BE與DG之間的關(guān)系是BE=DG,BE⊥DG,
證明:延長(zhǎng)GD交BE于H,
∵四邊形ABCD和四邊形EFGC是正方形,
∴∠DCG=∠ECB=90°,CE=CG,CD=BC,
∵在△DCG和△BCE中∴△DCG≌△BCE(SAS),
∴BE=DG,∠1=∠2,
∵∠3=∠4,∠2+∠4=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠EHD=180°-90°=90°,
∴BE⊥DG,
即BE與DG之間的關(guān)系是BE=DG,BE⊥DG.【例2】如圖,正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別為AD,DC的中點(diǎn),BF,CE相交于點(diǎn)M,求證:AM=AB.證明:分別延長(zhǎng)BA,CE交于N點(diǎn),
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=CD=AB=CD,∠D=∠BCF=90°,AB∥CD,
∵E是AD中點(diǎn),F(xiàn)是CD中點(diǎn),
∴DE=CF,
在△BCF和△CDE中,
∴△BCF≌△CDE(SAS),
∴∠CBF=∠DCE,
∴∠CBF+∠BCM=∠DCE+∠BCM=90°,
∵E是AD的中點(diǎn),AN∥CD,
∴AE=DE,∠N=∠ECD,∠NAE=∠CDE,
在△ANE和△DCE中,
∴△ANE≌△DCE(AAS),
∴AN=CD,
∴AN=AB,
在Rt△BMN中,AM=BN,
∴AM=AB.【變式題組】如圖①,已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,E是AC上一點(diǎn),連結(jié)EB,過點(diǎn)A作AM⊥BE,垂足為M,AM交BD于點(diǎn)F.(1)求證:OE=OF;(2)如圖②,若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上,AM⊥BE于點(diǎn)M,交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,其他條件不變,則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎?如果成立,請(qǐng)給出證明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.圖①圖②解:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形
∴∠BOE=∠AOF=90°,
OB=OA,
又∵AM⊥BE,
∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,
∴∠MEA=∠AFO,
∴Rt△BOE≌Rt△AOF,
∴OE=OF;
(2)OE=OF成立;
證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA,
又∵AM⊥BE,
∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE,
又∵∠MBF=∠OBE,
∴∠F=∠E,
∴Rt△BOE≌Rt△AOF,
∴OE=OF。<正方形的判定>【例3】如圖,已知平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,E是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且△ACE是等邊三角形.⑴求證:四邊形ABCD是菱形;⑵若∠AED=2∠EAD,求證:四邊形ABCD是正方形.ABDOCE證明:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AO=CO,
又∵△ACE是等邊三角形,
∴,即,
∴平行四邊形ABCD是菱形;
(2)∵△ACE是等邊三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴,
∴四邊形ABCD是正方形。ABDOCE【變式題組】如圖,△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于F.(1)探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并證明;⑵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),且△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AECF是正方形?⑶當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎?若是,請(qǐng)證明,若不是,則說(shuō)明理由;解:(1),
其證明如下:
∵CE是∠ACB的平分線,
∴
∵,∴,
∴,∴,
同理可證,
∴;
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí),,則四邊形為平行四邊形,要使為正方形,必須使,
∵,∴,
∴是以為直角的直角三角形,∴當(dāng)點(diǎn)O為AC中點(diǎn)且是以為直角的直角三角形時(shí),四邊形是正方形。
(3)四邊形不可能是菱形,若為菱形,則,而由(1)可知,在平面內(nèi)過同一點(diǎn)F不可能有兩條直線同垂直于一條直線;
三、正方形最值問題【例】1、如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4a,E是BC的中點(diǎn),BE=2a,∠BAD=120°,P是BD上的動(dòng)點(diǎn),則PE+PC的最小值為
.2、如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn),則DQ+PQ的最小值為.3、如圖,正方形ABCD的面積為4,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小,則這個(gè)最小值為2.【變式題組】如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABE是等邊三角形,M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM。(1)求證:△AMB≌△ENB;(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM+CM的值最??;②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM+BM+CM的值最小,并說(shuō)明理由;當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí),求正方形的邊長(zhǎng)。解:(1)∵△ABE是等邊三角形,∴BA=BE,∠ABE=60°,∵∠MBN=60°,∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN,即∠BMA=∠NBE,又∵M(jìn)B=NB,∴△AMB≌△ENB(SAS);①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí),AM+CM的值最小;
②如圖,連接CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BM+CM的值最小,
理由如下:連接MN,
由(1)知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN,
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等邊三角形,
∴BM=MN,
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM,
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長(zhǎng);(3)過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F,
∴∠EBF=90°-60°=30°,
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則BF=x,EF=,
在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2,
∴()2+(x+x)2=,
解得,x=(舍去負(fù)值),
∴正方形的邊長(zhǎng)為?!揪C合提升】1、數(shù)學(xué)課上,張老師提出了問題:如圖1,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn).∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F,求證:AE=EF.經(jīng)過思考,小明展示了一種正確的解題思路:取AB的中點(diǎn)M,連接ME,則似AM=EC,易證△AME≌△ECF,所以AE=EF.在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們進(jìn)一步的研究:⑴小穎提出:如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B、C外)的任意一點(diǎn)”,其他條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)小華提出:如圖3,點(diǎn)E是邊BC的延長(zhǎng)線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn),其他條件不變,結(jié)論“AE=EF”仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:小題1:正確;小題2:正確(1)正確.證明:在AB上取一點(diǎn)M,使AM=EC,連結(jié)ME,∴BM=BE.
∴∠BME=45°.
∴∠AME=135°.∵CF是外角平分線,∴∠DCF=45°.
∴∠ECF=135°.∴∠AME=∠ECF.∵∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF.∴△AME≌△ECF(ASA).∴AE=EF.(2)正確.證明:在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N,使AN=CE,連接NE.∴BN=BE.∴∠N=∠FCE=45°.∵四邊形ABCD是正方形,∴AD∥BE∴∠DAE=∠BEA.∴∠NAE=∠CEF∴△ANE≌△ECF(ASA).∴AE=EF.2、探究問題:(1)方法感悟:如圖①,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為DC,BC邊上的點(diǎn),且滿足∠EAF=45°,連接EF,求證DE+BF=EF.感悟解題方法,并完成下列填空:將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,此時(shí)AB與AD重合,由旋轉(zhuǎn)可得:AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,因此,點(diǎn)G,B,F(xiàn)在同一條直線上,∵∠EAF=45°,∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°,∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=45°,即∠GAF=∠_________,又AG=AE,AF=AF,∴△GAF≌_______,∴_________=EF,故DE+BF=EF;(2)方法遷移:如圖②,將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為DC,BC邊上的點(diǎn),且∠DAB=2∠EAF.試猜想DE,BF,EF之間有何數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.(3)問題拓展:如圖③,在四邊形ABCD中,AB=AD,E,F(xiàn)分別為DC,BC上的點(diǎn),滿足∠DAB=2∠EAF,試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí),可使得DE+BF=EF.請(qǐng)直接寫出你的猜想(不必說(shuō)明理由).解:(1)EAF、△EAF、GF;(2)DE+BF=EF,證明如下:假設(shè)∠BAD的度數(shù)為m,將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)m°得到△ABG,此時(shí)AB與AD重合,由旋轉(zhuǎn)可得:AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,∴點(diǎn)G,B,F(xiàn)在同一條直線上,∵∠EAF=,
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF,
即,
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=,即∠GAF=∠EAF,又∵AG=AE,AF=AF,∴△GAF≌△EAF(SAS),∴GF=EF,又∵GF=BG+BF=DE+BF,∴DE+BF=EF;(3)當(dāng)∠B與∠D互補(bǔ)時(shí),可使得DE+BF=EF。培優(yōu)升級(jí)檢測(cè)選擇題1、正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是(B)A.對(duì)角線互相平分B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線平分一組對(duì)角D.對(duì)角線互相垂直2、如圖,正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,正方形EFGO繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),若兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等,則兩個(gè)正方形的重合部分的面積(C)A.由小變大B.由大變小C.始終不變D.先由大變小,然后又由小變大2題圖3題圖4題圖5題圖3、如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),將△ABP繞著B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與△CBP′重合,若PB=3,則PP′的長(zhǎng)為(B)A.2B.3C.3D.無(wú)法確定4、如圖,在△ABC中,O是AC上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F,若點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn),且∠ACB=(D)時(shí),則四邊形AECF是正方形.
A.30°B.45°C.60°D.90°5、如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)M在DC上,且DM=2,N是AC上一動(dòng)點(diǎn),則DN+MN的最小值為(D)A.8B.C.D.106、P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),若PA﹕PB﹕PC=1﹕2﹕3,則∠APB的度數(shù)為(B)A.120°B.135°C.150°D.以上都不對(duì)7、在正方形所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,便△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形,那么具有這樣性質(zhì)的P點(diǎn)共有(A)A.9個(gè)B.7個(gè)C.5個(gè)D.1個(gè)二、填空題8、已知是正方形內(nèi)的一點(diǎn),且為等邊三角形,那么15°或75°.9、將n個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,按照如圖所示方式擺放,O1,O2,O3,O4,O5,…是正方形對(duì)角線的交點(diǎn),那么陰影部分面積之和等于________.10、如圖所示,是正方形,為上的一點(diǎn),四邊形恰好是一個(gè)菱形,則15°.11、如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B分別是x、y軸上的動(dòng)點(diǎn),以AB為邊作邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD,則OC的最大值為_____.9題圖10題圖11題圖12題圖12、如圖,點(diǎn)
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