電動力學五一(電磁場的矢勢與標勢)課件

第五章

電磁波的輻射1第五章

電磁波的輻射1電磁波是由運動電荷輻射出來的。本章研究高頻交變電流輻射電磁波的規(guī)律。例如：無線電波是由發(fā)射天線上的高頻交變電流輻射出來的。2電磁波是由運動電荷輻射出來的。本章研究高頻交變電流輻嚴格來說，天線上的電流和它激發(fā)的電磁場是相互作用的。天線電流激發(fā)電磁場，而電磁場又反過；來作用到天線電流上，影響著天線電流的分布。所以輻射問題本質上也是一個邊值問題。3嚴格來說，天線上的電流和它激發(fā)的電磁場是相互作用的。天線電流和空間電磁場是相互作用的兩方面，需要應用天線表面上的邊界條件，同時確定空間中的電磁波的形式和天線上的電流分布。

這種問題的求解一般比較復雜。僅局限于討論：給定天線上電流分布,計算輻射電磁波4天線電流和空間電磁場是相互作用的兩方面，需要應用天線主要內容把勢的概念并推廣到一般變化電磁場通過勢求解電磁輻射高頻交變電流輻射電磁波的規(guī)律5主要內容把勢的概念并推廣到一般變化電磁場通過勢求解電磁輻射高§5.1電磁場的矢勢和標勢6§5.1電磁場的矢勢和標勢6考慮真空中的電磁場，麥克斯韋方程組其中1.勢的引入7考慮真空中的電磁場，麥克斯韋方程組其中1.勢的引入7由B的無源性引入矢勢A一般情況下，仍然保持無源性，所以上式是普遍成立的。A的物理意義：在任意時刻，A沿任一閉合回路的線積分等于該時刻通過回路內的磁通量。恒定場：8由B的無源性引入矢勢A一般情況下，仍然保持無源性，一般的情況下，電場E既受到電荷的激發(fā)，也受到變化磁場的激發(fā)，而變化磁場激發(fā)的是有旋的電場。因此，一般情況電場是有源和有旋的，不可能用一個單獨的標勢來描述。在變化情況下電場與磁場發(fā)生直接聯(lián)系，則電場的表示式必然包含矢勢A在內。9一般的情況下，電場E既受到電荷的激發(fā)，也受到變化磁場上式表明矢量E+A/t是無旋場，因此可以用標勢描述，一般情況下電場的表示式為10上式表明矢量E+A/t是無旋場，因此可以用標勢描述，一此兩式把電磁場用矢勢和標勢表示出來。注意現(xiàn)在的電場E不再是保守力場，一般不存在勢能的概念，標勢失去作為電場中的勢能的意義。因此，在高頻系統(tǒng)中，電壓的概念也失去確切的意義。在變化場中，磁場和電場是相互作用著的整體，必須把矢勢和標勢作為一個整體來描述電磁場。11此兩式把電磁場用矢勢和標勢表示出來。注意現(xiàn)在的電場E不再是保2.規(guī)范變換和規(guī)范不變性用矢勢A和標勢描述電磁場不是唯一的，即給定的E和B并不對應于唯一的A和。對矢勢A可以加上一個任意函數(shù)的梯度，結果不影響B(tài)，而這加在A上的梯度部分又可以從中除去，結果也不影響B(tài)。設為任意時空函數(shù)，做變換122.規(guī)范變換和規(guī)范不變性用矢勢A和標勢描述電磁場有描述同一電磁場一種規(guī)范勢的規(guī)范變換13有描述同一電磁場一種規(guī)范勢的規(guī)范變換13在經(jīng)典電動力學中，由于表示電磁場客觀屬性的可測量的物理量為E和B，而不同規(guī)范又對應著同一的E和B，因此如果用勢來描述電磁場，客觀規(guī)律應該和勢的特殊的規(guī)范選擇無關。規(guī)范不變性:當勢作規(guī)范變換時，所有物理量和物理規(guī)律都應該保持不變的一種不變性。14在經(jīng)典電動力學中，由于表示電磁場客觀屬性的可測量的物在量子力學中，E和B不能完全描述電磁場的所有物理效應。例如在A-B效應中，在非單連通區(qū)域內繞閉合路徑一周的電子波函數(shù)相位差，就由回路積分描述，它不能用B的局域作用來描述。15在量子力學中，E和B不能完全描述電磁場的所有物理效應但是，此回路積分仍然是規(guī)范不變的。因為對A做規(guī)范變換后表明在量子力學中，所有可測量的物理量仍然保持規(guī)范不變性。16但是，此回路積分仍然是規(guī)范不變的。因為對A做規(guī)范變換后表明在在經(jīng)典電動力學中，勢A和的引入是作為描述電磁場的一種方法，規(guī)范不變性是對這種描述方法所加的要求。在近代物理中，規(guī)范變換是由量子力學的基本原理引入的，規(guī)范不變性是一條重要的物理原理。17在經(jīng)典電動力學中，勢A和的引入是作為描述電磁場的一在量子力學中A和的地位也比在經(jīng)典電動力學中重要得多。因此要熟悉用勢描述電磁場的方法。18在量子力學中A和的地位也比在經(jīng)典電動力學中重要現(xiàn)在已經(jīng)清楚，不僅在電磁相互作用中，而且在其他基本相互作用，包括弱相互作用和強相互作用中，規(guī)范不變性是決定相互作用形式的一條基本原理。傳遞這些相互作用的場稱為規(guī)范場電磁場是最熟知的一種規(guī)范場19現(xiàn)在已經(jīng)清楚，不僅在電磁相互作用中，而且在其他基本相從數(shù)學上來說，規(guī)范變換自由度的存在是由于在勢的定義式中，只給出A的旋度，而沒有給出A的散度。因此，還不足以確定這矢量場。為了確定它還必須給定它的散度。20從數(shù)學上來說，規(guī)范變換自由度的存在是由于在勢的定義式電磁場E和B本身對A的散度沒有任何限制。因此，作為確定勢的輔助條件，我們可以取A為任意的值。21電磁場E和B本身對A的散度沒有任何限制。因此，作為確每一種選擇對應一種規(guī)范。采用適當?shù)妮o助條件可以使基本方程和計算簡化，而且物理意義也較明顯。從計算方便考慮，在不同問題中可以采用不同的輔助條件。應用最廣泛的是以下兩種規(guī)范條件。(1)庫侖規(guī)范(2)洛倫茲規(guī)范22每一種選擇對應一種規(guī)范。采用適當?shù)妮o助條件可以使基本(1)庫侖規(guī)范輔助條件A為無源場無源場(橫場)--感應電場無旋場(縱場)--庫侖場23(1)庫侖規(guī)范輔助條件A為無源場無源場(橫場)--感應電場這種規(guī)范在基本理論以及解決實際輻射問題中是特別方便的(2)洛倫茲規(guī)范輔助條件采用這種規(guī)范時,勢的基本方程化為特別簡單的對稱形式,對其物理意義也特別明顯。24這種規(guī)范在基本理論以及解決實際輻射問題中是特別方便的(2)3.達朗貝爾(d’Alembert)方程由麥克斯韋方程組推導A和所滿足的基本方程253.達朗貝爾(d’Alembert)方程由麥克斯韋方程組推應用這是適用一般規(guī)范的方程組。26應用這是適用一般規(guī)范的方程組。26(1)采用庫侖規(guī)范這種規(guī)范的特點是標勢所滿足的方程與靜電場情形相同，其解是庫侖勢。解出后代入第一式可解出A，因而可以確定輻射電磁場。27(1)采用庫侖規(guī)范這種規(guī)范的特點是標勢所滿足的方程與靜電場(2)采用洛倫茲規(guī)范達朗貝爾方程非齊次的波動方程電荷產(chǎn)生標勢波動電流產(chǎn)生矢勢波動28(2)采用洛倫茲規(guī)范達朗貝爾方程非齊次的波動方程電荷產(chǎn)生標離開電荷電流分布區(qū)域以后，矢勢和標勢都以波動形式在空間中傳播，由它們導出的電磁場E和B也以波動形式在空間中傳播。當然E和B的波動性質是和規(guī)范無關的。29離開電荷電流分布區(qū)域以后，矢勢和標勢都以波動形式在空在洛倫茲規(guī)范下，方程連同輔助條件（洛倫茲條件式）是用勢表述的電動力學基本方程組。求得勢的基本解后，電磁場E和B由勢定義給出。30在洛倫茲規(guī)范下，方程連同輔助條件（洛倫茲條件式）是用例求平面電磁波的勢從下例可以看出這兩種規(guī)范各自的優(yōu)點。平面電磁波在沒有電荷電流分布的空間中傳播，因而勢的方程變?yōu)椴▌臃匠?，其平面波解為?1例求平面電磁波的勢從下例可以看出這兩種規(guī)范各自的優(yōu)點。對A和加上洛倫茲條件得32對A和加上洛倫茲條件得32因此，只要給定矢量A0，就可以確定平面電磁波。場強E和B為和第四章§1結果一致。33因此，只要給定矢量A0，就可以確定平面電磁波。場強E和B為和注意：平面電磁場只依賴于矢勢A的橫向分量，對A加上任意縱向部分k（同時對加上0，為任意常數(shù)）都不影響電磁場值。這說明在平面波情形，即使加上洛倫茲條件后，A和仍然不是唯一確定的，還剩下一些規(guī)范變換自由度。最簡單的選擇是取A只有橫向部分，k·A=0則=0。用這規(guī)范時有34注意：平面電磁場只依賴于矢勢A的橫向分量，對A加上任意縱向部如果我們采用庫侖規(guī)范，勢的方程在自由空間中變?yōu)槠矫娌ń鉃楫斎臻g沒有電荷分布時，庫侖場的標勢=0

35如果我們采用庫侖規(guī)范，勢的方程在自由空間中變?yōu)槠矫娌ń鉃楫斎珟靵鰲l件保證A只有橫向分量36庫侖條件保證A只有橫向分量36(1)庫侖規(guī)范的優(yōu)點:它的標勢描述庫侖作用，可直接由電荷分布求出;它的矢勢只有橫向分量，剛好足夠描述電磁波的兩種獨立偏振。37(1)庫侖規(guī)范的優(yōu)點:它的標勢描述庫侖作用，可直(2)洛倫茲規(guī)范的最大優(yōu)點是它使矢勢和標勢的方程具有對稱性，在相對論中顯示出協(xié)變性，因而對于理論探討和實際計算都提供很大的方便，本書后面都采用洛倫茲規(guī)范，盡管在采用洛倫茲規(guī)范時，A的縱向部分和標勢的選擇還可以有任意性。38(2)洛倫茲規(guī)范的最大優(yōu)點是它使矢勢和標勢的方程具有第五章

電磁波的輻射39第五章

電磁波的輻射1電磁波是由運動電荷輻射出來的。本章研究高頻交變電流輻射電磁波的規(guī)律。例如：無線電波是由發(fā)射天線上的高頻交變電流輻射出來的。40電磁波是由運動電荷輻射出來的。本章研究高頻交變電流輻嚴格來說，天線上的電流和它激發(fā)的電磁場是相互作用的。天線電流激發(fā)電磁場，而電磁場又反過；來作用到天線電流上，影響著天線電流的分布。所以輻射問題本質上也是一個邊值問題。41嚴格來說，天線上的電流和它激發(fā)的電磁場是相互作用的。天線電流和空間電磁場是相互作用的兩方面，需要應用天線表面上的邊界條件，同時確定空間中的電磁波的形式和天線上的電流分布。

這種問題的求解一般比較復雜。僅局限于討論：給定天線上電流分布,計算輻射電磁波42天線電流和空間電磁場是相互作用的兩方面，需要應用天線主要內容把勢的概念并推廣到一般變化電磁場通過勢求解電磁輻射高頻交變電流輻射電磁波的規(guī)律43主要內容把勢的概念并推廣到一般變化電磁場通過勢求解電磁輻射高§5.1電磁場的矢勢和標勢44§5.1電磁場的矢勢和標勢6考慮真空中的電磁場，麥克斯韋方程組其中1.勢的引入45考慮真空中的電磁場，麥克斯韋方程組其中1.勢的引入7由B的無源性引入矢勢A一般情況下，仍然保持無源性，所以上式是普遍成立的。A的物理意義：在任意時刻，A沿任一閉合回路的線積分等于該時刻通過回路內的磁通量。恒定場：46由B的無源性引入矢勢A一般情況下，仍然保持無源性，一般的情況下，電場E既受到電荷的激發(fā)，也受到變化磁場的激發(fā)，而變化磁場激發(fā)的是有旋的電場。因此，一般情況電場是有源和有旋的，不可能用一個單獨的標勢來描述。在變化情況下電場與磁場發(fā)生直接聯(lián)系，則電場的表示式必然包含矢勢A在內。47一般的情況下，電場E既受到電荷的激發(fā)，也受到變化磁場上式表明矢量E+A/t是無旋場，因此可以用標勢描述，一般情況下電場的表示式為48上式表明矢量E+A/t是無旋場，因此可以用標勢描述，一此兩式把電磁場用矢勢和標勢表示出來。注意現(xiàn)在的電場E不再是保守力場，一般不存在勢能的概念，標勢失去作為電場中的勢能的意義。因此，在高頻系統(tǒng)中，電壓的概念也失去確切的意義。在變化場中，磁場和電場是相互作用著的整體，必須把矢勢和標勢作為一個整體來描述電磁場。49此兩式把電磁場用矢勢和標勢表示出來。注意現(xiàn)在的電場E不再是保2.規(guī)范變換和規(guī)范不變性用矢勢A和標勢描述電磁場不是唯一的，即給定的E和B并不對應于唯一的A和。對矢勢A可以加上一個任意函數(shù)的梯度，結果不影響B(tài)，而這加在A上的梯度部分又可以從中除去，結果也不影響B(tài)。設為任意時空函數(shù)，做變換502.規(guī)范變換和規(guī)范不變性用矢勢A和標勢描述電磁場有描述同一電磁場一種規(guī)范勢的規(guī)范變換51有描述同一電磁場一種規(guī)范勢的規(guī)范變換13在經(jīng)典電動力學中，由于表示電磁場客觀屬性的可測量的物理量為E和B，而不同規(guī)范又對應著同一的E和B，因此如果用勢來描述電磁場，客觀規(guī)律應該和勢的特殊的規(guī)范選擇無關。規(guī)范不變性:當勢作規(guī)范變換時，所有物理量和物理規(guī)律都應該保持不變的一種不變性。52在經(jīng)典電動力學中，由于表示電磁場客觀屬性的可測量的物在量子力學中，E和B不能完全描述電磁場的所有物理效應。例如在A-B效應中，在非單連通區(qū)域內繞閉合路徑一周的電子波函數(shù)相位差，就由回路積分描述，它不能用B的局域作用來描述。53在量子力學中，E和B不能完全描述電磁場的所有物理效應但是，此回路積分仍然是規(guī)范不變的。因為對A做規(guī)范變換后表明在量子力學中，所有可測量的物理量仍然保持規(guī)范不變性。54但是，此回路積分仍然是規(guī)范不變的。因為對A做規(guī)范變換后表明在在經(jīng)典電動力學中，勢A和的引入是作為描述電磁場的一種方法，規(guī)范不變性是對這種描述方法所加的要求。在近代物理中，規(guī)范變換是由量子力學的基本原理引入的，規(guī)范不變性是一條重要的物理原理。55在經(jīng)典電動力學中，勢A和的引入是作為描述電磁場的一在量子力學中A和的地位也比在經(jīng)典電動力學中重要得多。因此要熟悉用勢描述電磁場的方法。56在量子力學中A和的地位也比在經(jīng)典電動力學中重要現(xiàn)在已經(jīng)清楚，不僅在電磁相互作用中，而且在其他基本相互作用，包括弱相互作用和強相互作用中，規(guī)范不變性是決定相互作用形式的一條基本原理。傳遞這些相互作用的場稱為規(guī)范場電磁場是最熟知的一種規(guī)范場57現(xiàn)在已經(jīng)清楚，不僅在電磁相互作用中，而且在其他基本相從數(shù)學上來說，規(guī)范變換自由度的存在是由于在勢的定義式中，只給出A的旋度，而沒有給出A的散度。因此，還不足以確定這矢量場。為了確定它還必須給定它的散度。58從數(shù)學上來說，規(guī)范變換自由度的存在是由于在勢的定義式電磁場E和B本身對A的散度沒有任何限制。因此，作為確定勢的輔助條件，我們可以取A為任意的值。59電磁場E和B本身對A的散度沒有任何限制。因此，作為確每一種選擇對應一種規(guī)范。采用適當?shù)妮o助條件可以使基本方程和計算簡化，而且物理意義也較明顯。從計算方便考慮，在不同問題中可以采用不同的輔助條件。應用最廣泛的是以下兩種規(guī)范條件。(1)庫侖規(guī)范(2)洛倫茲規(guī)范60每一種選擇對應一種規(guī)范。采用適當?shù)妮o助條件可以使基本(1)庫侖規(guī)范輔助條件A為無源場無源場(橫場)--感應電場無旋場(縱場)--庫侖場61(1)庫侖規(guī)范輔助條件A為無源場無源場(橫場)--感應電場這種規(guī)范在基本理論以及解決實際輻射問題中是特別方便的(2)洛倫茲規(guī)范輔助條件采用這種規(guī)范時,勢的基本方程化為特別簡單的對稱形式,對其物理意義也特別明顯。62這種規(guī)范在基本理論以及解決實際輻射問題中是特別方便的(2)3.達朗貝爾(d’Alembert)方程由麥克斯韋方程組推導A和所滿足的基本方程633.達朗貝爾(d’Alembert)方程由麥克斯韋方程組推應用這是適用一般規(guī)范的方程組。64應用這是適用一般規(guī)范的方程組。26(1)采用庫侖規(guī)范這種規(guī)范的特點是標勢所滿足的方程與靜電場情形相同，其解是庫侖勢。解出后代入第一式可解出A，因而可以確定輻射電磁場。65(1)采用庫侖規(guī)范這種規(guī)范的特點是標勢所滿足的方程與靜電場(2)采用洛倫茲規(guī)范達朗貝爾方程非齊次的波動方程電荷產(chǎn)生標勢波動電流產(chǎn)生矢勢波動66(2)采用洛倫茲規(guī)范達朗貝爾方程非齊次的波動方程電荷產(chǎn)生標離開電荷電流分布區(qū)域以后，矢勢和標勢都以波動形式在空間中傳播，由它們導出的電磁場E和B也以波動形式在空間中傳播。當然E和B的波動性質是和規(guī)范無關的。67離開電荷電流分布區(qū)域以后，矢勢和標勢都以波動形式在空在洛倫茲規(guī)范下，方程連同輔助條件（洛倫茲條件式）是用勢表述的電動力學基本方程組。求得勢的基本解后，電磁場E和B由勢定義給出。68在洛倫茲規(guī)范下，方程連同輔助條件（洛倫茲條件式）是用例求平面電磁波的勢