北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第五章3簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形課件

初中數(shù)學(xué)（北師大版）七年級(jí)下冊(cè)第五章生活中的軸對(duì)稱初中數(shù)學(xué)（北師大版）第五章生活中的軸對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)一

等腰三角形1.等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰,另一條邊叫做

底邊,兩腰所夾的角叫做頂角,底邊與腰的夾角叫做底角.如圖5-3-1.圖5-3-1知識(shí)點(diǎn)一

等腰三角形1.等腰三角形的定義圖5-3-122.等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”).(2)等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(簡(jiǎn)稱“三

線合一”),其所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸.(3)等腰三角形是以頂角的平分線(底邊上的中線、底邊上的高)所在直線

為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形,通常只有一條對(duì)稱軸.注意(1)“等邊對(duì)等角”是在同一個(gè)三角形中,否則,不能使用該性質(zhì).(2)等腰三角形“三線合一”的應(yīng)用非常廣泛,它可以用來(lái)得到角相等、線

段相等、垂直關(guān)系等.(3)等腰三角形的對(duì)稱軸是直線.2.等腰三角形的性質(zhì)33.等邊三角形(1)等邊三角形的概念:三邊都相等的三角形叫做等邊三角形,也叫正三角

形.(2)等邊三角形的性質(zhì):①等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,它有三條對(duì)稱軸.②等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°.3.等邊三角形4例1(1)已知等腰三角形的一個(gè)角是30°,求三角形的另外兩個(gè)角的度數(shù);(2)已知等腰三角形的一個(gè)角是160°,求三角形的另外兩個(gè)角的度數(shù).分析已知等腰三角形的一個(gè)角,沒(méi)有明確是等腰三角形的底角還是頂角,

所以需要分類討論.解析(1)若已知角是頂角,則另外兩角是底角,底角的度數(shù)為

×(180°-30°)=75°;若已知角是底角,則頂角的度數(shù)為180°-30°×2=120°.所以另外兩個(gè)角

的度數(shù)分別是75°,75°或30°,120°.(2)已知等腰三角形的一個(gè)角是160°,由于三角形內(nèi)角和為180°且等腰三角

形的兩個(gè)底角相等,因此已知的這個(gè)角只能是頂角,所以兩個(gè)底角的度數(shù)都

是

×(180°-160°)=10°.所以另外兩個(gè)角的度數(shù)分別是10°,10°.例1(1)已知等腰三角形的一個(gè)角是30°,求三角形的另外兩5知識(shí)點(diǎn)二

線段的垂直平分線

線段的垂直平分線圖形定義經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線(也叫中垂線)

直線l是線段AB的垂直平分線,P為l上一點(diǎn),則PA=PB性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條

線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等知識(shí)詳解(1)線段的垂直平分線(也稱為中垂線)是直線而不是線段.(2)由線段的垂直平分線的性質(zhì)可直接構(gòu)造等腰三角形,從而得等角、等邊,不必再由三角形全等得到.(3)應(yīng)用格式,∵l垂直平分AB,點(diǎn)P是l上一點(diǎn),∴PA=PB.(4)線段是軸對(duì)稱圖形,垂直并且平分線段的直線是它的一條對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)二

線段的垂直平分線線段的垂直平分線圖形定義經(jīng)6例2如圖5-3-2,△ABC中,AC=5,AB的垂直平分線DE交AB,AC于點(diǎn)E,D.

圖5-3-2(1)若△BCD的周長(zhǎng)為8,求BC的長(zhǎng);(2)若BC=4,求△BCD的周長(zhǎng).分析由DE是AB的垂直平分線,得AD=BD,所以BD與CD的長(zhǎng)度和等于AC

的長(zhǎng),所以由△BCD的周長(zhǎng)可求BC的長(zhǎng),同樣,由BC的長(zhǎng)也可求△BCD的周

長(zhǎng).例2如圖5-3-2,△ABC中,AC=5,AB的垂直平分線7解析

∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∴BD+CD=AD+CD=AC=5.(1)∵△BCD的周長(zhǎng)為8,∴BC=△BCD的周長(zhǎng)-(BD+CD)=8-5=3.(2)∵BC=4,∴△BCD的周長(zhǎng)=BC+BD+CD=4+5=9.解析

∵DE垂直平分AB,8知識(shí)點(diǎn)三

角平分線的性質(zhì)定理附:角是軸對(duì)稱圖形,角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸.

內(nèi)容符號(hào)語(yǔ)言表示圖形表示角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到這

個(gè)角的兩邊的距離相

等如果點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,且PD⊥OA于點(diǎn)D,PE⊥OB于點(diǎn)E,則PD=PE

牢記(1)角平分線的性質(zhì)定理是證明線段相等的一個(gè)比較簡(jiǎn)單的方法;(2)當(dāng)遇到有關(guān)角平分線的問(wèn)題時(shí),通常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂

線,構(gòu)造相等的線段知識(shí)點(diǎn)三

角平分線的性質(zhì)定理附:角是軸對(duì)稱圖形,角平分9例3如圖5-3-3,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,△ABC的面積為7,AB

=4,DE=2,則AC的長(zhǎng)是

()

圖5-3-3A.2B.3C.4D.5例3如圖5-3-3,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥10解析如圖5-3-4,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC交AC于點(diǎn)F,∵AD是∠BAC的平分線,

DE⊥AB,∴DE=DF=2.∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=

AB·DE+

AC·DF=

×4×2+

AC×2=7,即4+AC=7,∴AC=3.故選B.

圖5-3-4答案

B解析如圖5-3-4,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC交AC于點(diǎn)F,∵AD11題型

運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)求解或說(shuō)理例如圖5-3-5,在△ABC中,AB=AC=6,AB的垂直平分線分別交BC,AB于點(diǎn)

D,E.(1)若BC=10,求△ACD的周長(zhǎng);(2)若∠C=25°,求∠CAD的度數(shù).

圖5-3-5題型

運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)求解或說(shuō)理例如圖5-12解析(1)因?yàn)镈E是AB的垂直平分線,所以AD=BD,所以△ACD的周長(zhǎng)=AC

+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=16.(2)因?yàn)锳B=AC,所以∠B=∠C=25°,所以∠BAC=130°,因?yàn)锳D=BD,所以∠BAD=∠B=25°,所以∠CAD=130°-25°=105°.點(diǎn)撥運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)求三角形周長(zhǎng)常利用轉(zhuǎn)化思想,即把

三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成已知長(zhǎng)度的幾條線段的和.解析(1)因?yàn)镈E是AB的垂直平分線,所以AD=BD,所以13易錯(cuò)點(diǎn)

對(duì)“三線合一”的性質(zhì)理解有誤而出錯(cuò)例如圖5-3-6所示,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于點(diǎn)D,則∠CBD=

.

圖5-3-6錯(cuò)解36°正解18°錯(cuò)解提示本題錯(cuò)解的原因是認(rèn)為等腰三角形底角的平分線、腰上的中

線、腰上的高相互重合.等腰三角形的“三線合一”指的是頂角平分線、

底邊上的中線、底邊上的高相互重合.易錯(cuò)點(diǎn)

對(duì)“三線合一”的性質(zhì)理解有誤而出錯(cuò)例如圖5-14知識(shí)點(diǎn)一

等腰三角形1.(2017山東煙臺(tái)中考)某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖5-3-1所示,已知AB

∥CD,AE與AB的夾角為48°,若CF與EF的長(zhǎng)度相等,則∠C的度數(shù)為

(

)圖5-3-1A.48°

B.40°

C.30°

D.24°知識(shí)點(diǎn)一

等腰三角形1.(2017山東煙臺(tái)中考)某城市15答案

D∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAF=48°.∵CF=EF,∴∠C=∠E.∵∠C+∠E=∠DFE=48°,∴∠C=24°.答案

D∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAF=48°.162.(2018安徽合肥期中檢測(cè))如圖5-3-2,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),

∠BAD=35°,則∠C的度數(shù)為

()

圖5-3-2A.35°

B.45°

C.55°

D.60°答案

C∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AB=AC,D為BC的中點(diǎn),∴AD是∠BAC

的平分線(等腰三角形“三線合一”).又∵∠BAD=35°,∴∠BAC=2∠BAD

=70°,∴∠C=

×(180°-70°)=55°.故選C.2.(2018安徽合肥期中檢測(cè))如圖5-3-2,在△ABC中173.(2017江西中考)如圖5-3-3(1)是一把園林剪刀,把它抽象為圖5-3-3(2),其

中OA=OB,若剪刀張開(kāi)的角為30°,則∠A=

度.

圖5-3-3解析由對(duì)頂角相等可得∠AOB=30°,∵OA=OB,∴∠A=

=75°.3.(2017江西中考)如圖5-3-3(1)是一把園林剪刀,184.如圖5-3-4,在等邊三角形ABC中,BE和CD分別是AC、AB邊上的高,求∠BFC的度數(shù).

圖5-3-4解析∵△ABC是等邊三角形,BE、CD分別是AC、AB邊上的高,∴∠FBC=∠FCB=

×60°=30°,∴∠BFC=180°-30°-30°=120°.4.如圖5-3-4,在等邊三角形ABC中,BE和CD分別是A19知識(shí)點(diǎn)二

線段的垂直平分線5.(2017湖北荊州中考)如圖5-3-5,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平

分線l交AC于點(diǎn)D,則∠CBD的度數(shù)為

()

圖5-3-5A.30°

B.45°

C.50°

D.75°知識(shí)點(diǎn)二

線段的垂直平分線5.(2017湖北荊州中考)20答案

B∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∵AB的垂直平分線交AC于D,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=30°,∴∠BDC=60°,∴∠CBD=180°-75°-60°=45°.故選B.答案

B∵AB=AC,∠A=30°,216.(2017廣東深圳中考)如圖5-3-6,已知線段AB,分別以A,B為圓心,大于

AB為半徑作弧,連接弧的交點(diǎn)得到直線l,在直線l上取一點(diǎn)C,使得∠CAB=25°,

延長(zhǎng)AC至M,則∠BCM的度數(shù)為()

圖5-3-6A.40°

B.50°

C.60°

D.70°答案

B由作法可知直線l是線段AB的垂直平分線,∵C在l上,∴AC=BC,

∴∠B=∠CAB=25°,∴∠BCM=50°,故選B.6.(2017廣東深圳中考)如圖5-3-6,已知線段AB,分22知識(shí)點(diǎn)三

角平分線的性質(zhì)定理7.如圖5-3-7所示,AO是∠BAC的平分線,OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,若ON=8

cm,則OM的長(zhǎng)為

()

圖5-3-7A.8cm

B.4cmC.5cm

D.不能確定答案

A∵AO是∠BAC的平分線,OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,∴OM=ON,

而ON=8cm,∴OM=8cm.故選A.知識(shí)點(diǎn)三

角平分線的性質(zhì)定理7.如圖5-3-7所示,A238.如圖5-3-8,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,對(duì)角線BD平分∠ABC,則△BCD的面積為

()

圖5-3-8A.7.5

B.8

C.15

D.無(wú)法確定8.如圖5-3-8,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AD=24答案

A如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E.

∵∠A=90°,∴AD⊥AB.又∵BD平分∠ABC,∴DE=AD=3.又∵BC=5,∴S△BCD=

BC·DE=

×5×3=7.5.答案

A如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E.251.(2017安徽阜陽(yáng)潁州月考)若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是30°,則頂角的度數(shù)

是

()A.30°B.120°C.30°或120°

D.60°答案

C當(dāng)?shù)捉鞘?0°時(shí),頂角為180°-30°×2=120°,符合題意;當(dāng)頂角為30°

時(shí),符合題意.故選C.1.(2017安徽阜陽(yáng)潁州月考)若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是30262.(2018安徽安慶宿松二中期中預(yù)測(cè))在△ABC中,AB=AC,∠C=75°,則∠A的

度數(shù)是

()A.150°

B.50°

C.30°

D.75°答案

C∵AB=AC,∠C=75°,∴∠B=∠C=75°.又∵∠A+∠B+∠C=180°,

∴∠A=180°-(∠B+∠C)=30°.2.(2018安徽安慶宿松二中期中預(yù)測(cè))在△ABC中,AB=273.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥BC,則下列結(jié)論不正確的是

()

A.∠BAD=45°B.△ABD≌△ACDC.AD=

BCD.AD=

AB3.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥28答案

D在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=90°,∴BD=CD=

BC,∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°,∴AD=BD=

BC,故A、C正確;在△ABD與△ACD中,∵

∴△ABD≌△ACD(SAS),故B正確;由已知條件無(wú)法推得AD=

AB,故D錯(cuò)誤.答案

D在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∠B294.(2017浙江臺(tái)州中考)如圖,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以點(diǎn)B為圓心,

BC長(zhǎng)為半徑畫弧,交腰AC于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一定正確的是

()

A.AE=EC

B.AE=BEC.∠EBC=∠BAC

D.∠EBC=∠ABE答案

C∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由題意可知BC=BE,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BAC=∠EBC,故選C.4.(2017浙江臺(tái)州中考)如圖,已知等腰三角形ABC,AB305.(2017山東棗莊中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以頂點(diǎn)A為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)

度為半徑畫弧,分別交AC,AB于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于

MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線AP交邊BC于點(diǎn)D,若CD=4,AB=15,則△ABD的面積是

()A.15

B.30

C.45

D.60答案

B由題意得AP是∠BAC的平分線,如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,∴DE=CD=4,∴△ABD的面積=

AB·DE=

×15×4=30.

5.(2017山東棗莊中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=9316.(2017浙江麗水中考)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°,則頂角的度數(shù)是

.答案100°解析∵100°>90°,∴100°的角是頂角,故答案為100°.6.(2017浙江麗水中考)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°,327.(2017江蘇常州中考)如圖,已知在△ABC中,DE是BC的垂直平分線,垂足

為E,交AC于點(diǎn)D,若AB=6,AC=9,則△ABD的周長(zhǎng)是

.

答案15解析∵DE是BC的垂直平分線,∴DB=DC,∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=15,故答案為15.7.(2017江蘇常州中考)如圖,已知在△ABC中,DE是B331.(2017內(nèi)蒙古包頭中考)若等腰三角形的周長(zhǎng)為10cm,其中一邊長(zhǎng)為2cm,

則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為

()A.2cm

B.4cmC.6cm

D.8cm答案

A當(dāng)腰長(zhǎng)為2cm時(shí),底邊長(zhǎng)為6cm,但是2+2=4<6,即兩邊之和小于

第三邊,不合題意;當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為2cm時(shí),腰長(zhǎng)為4cm,符合題意,故選A.1.(2017內(nèi)蒙古包頭中考)若等腰三角形的周長(zhǎng)為10cm342.(2017貴州黔西南州中考)已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6,則

該等腰三角形的周長(zhǎng)是

.答案15解析當(dāng)腰為3時(shí),3+3=6,∴3、3、6不能組成三角形;當(dāng)腰為6時(shí),3+6=9>6,∴3、6、6能組成三角形,∴該三角形的周長(zhǎng)為3+6+6=15.2.(2017貴州黔西南州中考)已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分353.(2018甘肅敦煌期末)如圖5-3-9,△ABC中,AB+AC=7cm,BC的垂直平分線l

與AC相交于點(diǎn)D,則△ABD的周長(zhǎng)為

cm.

圖5-3-9答案7解析∵BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D,∴DB=DC,∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=7cm,故答

案為7.3.(2018甘肅敦煌期末)如圖5-3-9,△ABC中,AB364.(2018吉林松原寧江期末)如圖5-3-10,四邊形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,

M為BC邊上的一點(diǎn),且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.(8分)

圖5-3-10求證:(1)AM⊥DM;(2)M為BC的中點(diǎn).4.(2018吉林松原寧江期末)如圖5-3-10,四邊形AB37證明(1)∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM.(2)如圖,過(guò)M作MN⊥AD交AD于N,∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM,即M為BC的中點(diǎn).證明(1)∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,381.(2017湖南湘潭中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于

點(diǎn)D,DE垂直平分AB,垂足為E點(diǎn),請(qǐng)任意寫出一組相等的線段

.

答案

BC=BE(或DC=DE或BE=AE)解析已知∠C=90°,BD平分∠ABC,DE垂直平分AB,顯然BE=AE;利用角平

分線性質(zhì)定理可知DC=DE;根據(jù)已知條件易得△BCD≌△BED,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)可得BC=BE.1.(2017湖南湘潭中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=9392.(2017湖南益陽(yáng)中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是線段AC

的垂直平分線,若BE=a,AE=b,則用含a、b的代數(shù)式表示△ABC的周長(zhǎng)為

.

2.(2017湖南益陽(yáng)中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,40解析∵AB=AC,BE=a,AE=b,∴AC=AB=a+b,∵DE是線段AC的垂直平分線,∴AE=CE=b,∴∠ECA=∠BAC=36°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=72°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECA=36°,∴∠BEC=180°-∠ABC-∠ECB=72°,∴∠BEC=∠ABC,∴CE=BC=b,∴△ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=2a+3b.答案2a+3b解析∵AB=AC,BE=a,AE=b,∴AC=AB=a+b41一、選擇題1.(2017北京昌平臨川育人學(xué)校第二次月考,10,★☆☆)下列說(shuō)法中正確的

是

()①角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的線段長(zhǎng)相等;②角是軸對(duì)稱圖形;③線段不是軸對(duì)稱圖形;④線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.A.①②③④

B.①②③C.②④

D.②③④答案

C角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離(垂線段長(zhǎng)度)相等;線段是軸

對(duì)稱圖形.一、選擇題答案

C角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離(垂線422.(2018河北唐山路北期末,10,★★☆)如圖5-3-11,在△ABC中,點(diǎn)D在邊BC

上,若∠BAD=∠CAD,AB=6,AC=3,S△ABD=3,則S△ACD=

()

圖5-3-11A.3

B.6

C.

D.

2.(2018河北唐山路北期末,10,★★☆)如圖5-3-143答案

C如圖,過(guò)D作DP⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于P,DQ⊥AB于Q,∵∠BAD

=∠CAD,∴DP=DQ,∵S△ABD=

AB·DQ=

×6·DQ=3,∴DQ=1,∴DP=1,∴S△ACD=

·AC·DP=

,故選C.

答案

C如圖,過(guò)D作DP⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于P,D443.(2018陜西榆林府谷期中,19,★☆☆)如圖5-3-12,在△ABC中,AD⊥BC于

點(diǎn)D,AC的垂直平分線分別交BC,AC于點(diǎn)E,F,已知AE=AB,則AB,BD,DC三

者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?說(shuō)明理由.(6分)

圖5-3-12二、解答題3.(2018陜西榆林府谷期中,19,★☆☆)如圖5-3-145解析

AB+BD=DC.理由:∵AB=AE,AD⊥BC,∴BD=DE,∵點(diǎn)E在AC的垂直平分線上,∴AE=CE,∴AB=CE,∴AB+BD=CE+DE=DC,即AB+BD=DC.解析

AB+BD=DC.464.(2019上海楊浦月考,29,★★☆)如圖5-3-13,已知△ABC和△BDE都是等

邊三角形,試說(shuō)明:BD+DC=AD.

圖5-3-134.(2019上海楊浦月考,29,★★☆)如圖5-3-13,47解析∵△ABC和△BDE都是等邊三角形,∴AB=BC,EB=DB=ED,∠ABC=∠EBD=60°,∴∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC,即∠ABE=∠CBD,在△ABE和△CBD中,

∴△ABE≌△CBD(SAS),∴DC=AE,∴AD=ED+AE=BD+CD.解析∵△ABC和△BDE都是等邊三角形,481.(2018浙江寧波鎮(zhèn)海期末,17,★★☆)如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平

分線,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC的面積是45cm2,AB=16cm,AC=14

cm,則DE=

cm.

1.(2018浙江寧波鎮(zhèn)海期末,17,★★☆)如圖,在△AB49解析∵AD為∠BAC的平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∵△ABC的面積是45cm2,AB=16cm,AC=14cm,∴

×16·DE+

×14·DF=45,∴DE=3cm.答案3解析∵AD為∠BAC的平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,答案502.(2017內(nèi)蒙古烏加河學(xué)校期末,13,★☆☆)已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別

是4cm和5cm,則它的周長(zhǎng)是

;若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm

和9cm,則它的周長(zhǎng)是

.答案13或14cm;22cm解析三角形的三邊長(zhǎng)分別為4cm,4cm,5cm或4cm,5cm,5cm,故周長(zhǎng)為

4+4+5=13cm或4+5+5=14cm;因?yàn)?+4<9,所以三角形的三邊長(zhǎng)不能為4cm,4cm,9cm,只能為4cm,9cm,9cm,故周長(zhǎng)為9+9+4=22cm.2.(2017內(nèi)蒙古烏加河學(xué)校期末,13,★☆☆)已知等腰三513.(2018廣東云浮云城期末,19,★★☆)如圖,在△ABC中,DE是AC的垂直平

分線,AE=5cm,△ABD的周長(zhǎng)為17cm,求△ABC的周長(zhǎng).

解析∵DE垂直平分AC,∴AE=EC=5cm,AD=DC,∵AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=17cm,∴AB+BC+AC=17+10=27cm.即△ABC的周長(zhǎng)為27cm.3.(2018廣東云浮云城期末,19,★★☆)如圖,在△AB524.(2019河北保定十三中階段性考試,22,★★☆)如圖,Ox,Oy是兩條公路,在

兩條公路夾角的內(nèi)部有一油庫(kù)A,現(xiàn)在想在兩條公路上建兩個(gè)加油站,為使

運(yùn)油的油罐車從油庫(kù)出發(fā)先到一加油站,再到另一加油站,最后回到油庫(kù)的

路程最短,問(wèn)兩加油站應(yīng)如何選址?

4.(2019河北保定十三中階段性考試,22,★★☆)如圖,53解析如圖,取點(diǎn)A關(guān)于Ox,Oy的對(duì)稱點(diǎn)A1,A2,連接A1A2,分別交Ox,Oy于點(diǎn)B,

C,則B,C兩點(diǎn)為兩加油站的地址.

解析如圖,取點(diǎn)A關(guān)于Ox,Oy的對(duì)稱點(diǎn)A1,A2,連接A154一、選擇題1.(2019廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)中考,7,★★☆)如圖5-3-14,在△ABC中,AC=BC,

∠A=40°,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡,可知∠BCG的度數(shù)為

()

圖5-3-14A.40°

B.45°C.50°

D.60°一、選擇題55答案

C由作法得CG⊥AB,∵BC=AC,∴CG平分∠ACB,∠A=∠B,∴∠ACB=180°-40°-40°=100°,∴∠BCG=

∠ACB=50°.故選C.答案

C由作法得CG⊥AB,562.(2019內(nèi)蒙古赤峰中考,8,★★☆)如圖5-3-15,DE是△ABC的邊AB的垂直

平分線,D為垂足,DE交AC于點(diǎn)E,且AC=8,BC=5,則△BEC的周長(zhǎng)是

()

圖5-3-15A.12

B.13

C.14

D.15答案

B∵DE是△ABC的邊AB的垂直平分線,∴AE=BE,∵AC=8,BC=5,∴△BEC的周長(zhǎng)=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=13.故選B.2.(2019內(nèi)蒙古赤峰中考,8,★★☆)如圖5-3-15,573.(2019山東青島中考,7,★★☆)如圖5-3-16,BD是△ABC的角平分線,AE⊥

BD,垂足為F,若∠ABC=35°,∠C=50°,則∠CDE的度數(shù)為

()

圖5-3-16A.35°

B.40°C.45°

D.50°3.(2019山東青島中考,7,★★☆)如圖5-3-16,B58答案

C∵BD是△ABC的角平分線,AE⊥BD,∴∠ABD=∠EBD=

∠ABC=17.5°,∠AFB=∠EFB=90°,∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°=72.5°,∴AB=EB,∴AF=EF,∴AD=ED,∴∠DAF=∠DEF,∴∠BED=∠BAD,∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°,∴∠BED=95°,∴∠DEC=180°-95°=85°,∴∠CDE=180°-85°-50°=45°,故選C.答案

C∵BD是△ABC的角平分線,AE⊥BD,∴∠594.(2019四川成都中考,12,★★☆)如圖5-3-17,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E都

在邊BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,則CE的長(zhǎng)為

.

圖5-3-17二、填空題4.(2019四川成都中考,12,★★☆)如圖5-3-17,60答案9解析∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BAD和△CAE中,

∴△BAD≌△CAE,∴CE=BD=9,故答案為9.答案9解析∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BAD和△CA615.(2018湖南湘潭中考,12,★★☆)如圖5-3-18,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D是

邊BC的中點(diǎn),則∠BAD=

.

圖5-3-18答案30°解析∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC.又點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),∴∠BAD=

∠BAC=30°.5.(2018湖南湘潭中考,12,★★☆)如圖5-3-18,621.(2018湖北黃岡中考,4,★★☆)如圖,在△ABC中,直線DE是AC的垂直平分

線,且分別交BC,AC于點(diǎn)D和E,∠B=60°,∠C=25°,則∠BAD的度數(shù)為

(

)

A.50°

B.70°

C.75°

D.80°1.(2018湖北黃岡中考,4,★★☆)如圖,在△ABC中,63答案

B因?yàn)橹本€DE是AC的垂直平分線,所以AD=DC,所以∠DAC=∠C=25°,所以∠ADC=180°-(25°+25°)=130°.因?yàn)椤螦DC=∠B+∠BAD,所以∠BAD=∠ADC-∠B=130°-60°=70°,故選B.答案

B因?yàn)橹本€DE是AC的垂直平分線,642.(2018江蘇揚(yáng)州中考,7,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于

D,CE平分∠ACD交AB于E,則下列結(jié)論一定成立的是

()

A.BC=EC

B.EC=BEC.BC=BE

D.AE=EC2.(2018江蘇揚(yáng)州中考,7,★★☆)如圖,在Rt△ABC65答案

C∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°,∴∠BCD=∠A.∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.又∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∴∠BEC=∠BCE,∴BC=BE.故選C.答案

C∵∠ACB=90°,CD⊥AB,663.(2019甘肅蘭州中考,14,★☆☆)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,則∠B=

.答案70°解析∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B=

×(180°-40°)=70°.3.(2019甘肅蘭州中考,14,★☆☆)在△ABC中,AB671.如圖5-3-19,在四邊形ABCD中,AC為∠BAD的平分線,AB=AD,點(diǎn)E,F分別

在AB,AD上,且AE=DF,請(qǐng)說(shuō)明四邊形AECF的面積為四邊形ABCD的一半.

圖5-3-191.如圖5-3-19,在四邊形ABCD中,AC為∠BAD的平68解析如圖,作CG⊥AB于點(diǎn)G,CH⊥AD于點(diǎn)H,因?yàn)锳C為∠BAD的平分線,

所以CG=CH.因?yàn)锳B=AD,AE=DF,所以S△ABC=S△ACD,S△AEC=S△CDF.因?yàn)镾四邊形AECF

=S△AEC+S△ACF,所以S四邊形AECF=S△CDF+S△ACF=S△ACD=

S四邊形ABCD.

解析如圖,作CG⊥AB于點(diǎn)G,CH⊥AD于點(diǎn)H,因?yàn)锳C為692.如圖5-3-20,在△ABC中,DM,EN分別垂直平分AC和BC,交AB于點(diǎn)M,N.(1)若△CMN的周長(zhǎng)為18cm,求AB的長(zhǎng);(2)若∠MCN=50°,求∠ACB的度數(shù).

圖5-3-202.如圖5-3-20,在△ABC中,DM,EN分別垂直平分A70解析(1)因?yàn)镈M,EN分別垂直平分AC和BC,所以AM=CM,CN=BN.因?yàn)椤鰿MN的周長(zhǎng)為18cm,即CM+CN+MN=18cm,所以AB=AM+BN+MN=CM+CN+MN=18cm.(2)如圖,因?yàn)镈M垂直平分AC,所以AM=CM,所以∠1=∠2.因?yàn)镋N垂直平分

BC,所以BN=CN,所以∠3=∠4,又因?yàn)椤?+∠2+∠3+∠4+50°=180°,則2(∠1

+∠4)=180°-50°=130°,即∠1+∠4=65°,所以∠ACB=(∠1+∠4)+∠MCN=65°

+50°=115°.

解析(1)因?yàn)镈M,EN分別垂直平分AC和BC,所以AM=71如圖,在一張長(zhǎng)為8cm,寬為6cm的長(zhǎng)方形紙片上,要剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為5cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)A重合,其余的兩個(gè)頂點(diǎn)都在長(zhǎng)方形的邊上).這個(gè)等腰三角形的剪法有

()

A.1種

B.2種

C.3種

D.4種答案

C當(dāng)?shù)妊切沃幸訟為頂點(diǎn)的角為頂角時(shí),如圖1,此時(shí)AE=AF=5

cm.如圖,在一張長(zhǎng)為8cm,寬為6cm的長(zhǎng)方形紙片上,要剪72

圖1當(dāng)?shù)妊切沃幸訟為頂點(diǎn)的角為底角時(shí),有兩種情況:如圖2,圖3.

故選C.

73初中數(shù)學(xué)（北師大版）七年級(jí)下冊(cè)第五章生活中的軸對(duì)稱初中數(shù)學(xué)（北師大版）第五章生活中的軸對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)一

等腰三角形1.等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰,另一條邊叫做

底邊,兩腰所夾的角叫做頂角,底邊與腰的夾角叫做底角.如圖5-3-1.圖5-3-1知識(shí)點(diǎn)一

等腰三角形1.等腰三角形的定義圖5-3-1752.等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”).(2)等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(簡(jiǎn)稱“三

線合一”),其所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸.(3)等腰三角形是以頂角的平分線(底邊上的中線、底邊上的高)所在直線

為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形,通常只有一條對(duì)稱軸.注意(1)“等邊對(duì)等角”是在同一個(gè)三角形中,否則,不能使用該性質(zhì).(2)等腰三角形“三線合一”的應(yīng)用非常廣泛,它可以用來(lái)得到角相等、線

段相等、垂直關(guān)系等.(3)等腰三角形的對(duì)稱軸是直線.2.等腰三角形的性質(zhì)763.等邊三角形(1)等邊三角形的概念:三邊都相等的三角形叫做等邊三角形,也叫正三角

形.(2)等邊三角形的性質(zhì):①等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,它有三條對(duì)稱軸.②等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°.3.等邊三角形77例1(1)已知等腰三角形的一個(gè)角是30°,求三角形的另外兩個(gè)角的度數(shù);(2)已知等腰三角形的一個(gè)角是160°,求三角形的另外兩個(gè)角的度數(shù).分析已知等腰三角形的一個(gè)角,沒(méi)有明確是等腰三角形的底角還是頂角,

所以需要分類討論.解析(1)若已知角是頂角,則另外兩角是底角,底角的度數(shù)為

×(180°-30°)=75°;若已知角是底角,則頂角的度數(shù)為180°-30°×2=120°.所以另外兩個(gè)角

的度數(shù)分別是75°,75°或30°,120°.(2)已知等腰三角形的一個(gè)角是160°,由于三角形內(nèi)角和為180°且等腰三角

形的兩個(gè)底角相等,因此已知的這個(gè)角只能是頂角,所以兩個(gè)底角的度數(shù)都

是

×(180°-160°)=10°.所以另外兩個(gè)角的度數(shù)分別是10°,10°.例1(1)已知等腰三角形的一個(gè)角是30°,求三角形的另外兩78知識(shí)點(diǎn)二

線段的垂直平分線

線段的垂直平分線圖形定義經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線(也叫中垂線)

直線l是線段AB的垂直平分線,P為l上一點(diǎn),則PA=PB性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條

線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等知識(shí)詳解(1)線段的垂直平分線(也稱為中垂線)是直線而不是線段.(2)由線段的垂直平分線的性質(zhì)可直接構(gòu)造等腰三角形,從而得等角、等邊,不必再由三角形全等得到.(3)應(yīng)用格式,∵l垂直平分AB,點(diǎn)P是l上一點(diǎn),∴PA=PB.(4)線段是軸對(duì)稱圖形,垂直并且平分線段的直線是它的一條對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)二

線段的垂直平分線線段的垂直平分線圖形定義經(jīng)79例2如圖5-3-2,△ABC中,AC=5,AB的垂直平分線DE交AB,AC于點(diǎn)E,D.

圖5-3-2(1)若△BCD的周長(zhǎng)為8,求BC的長(zhǎng);(2)若BC=4,求△BCD的周長(zhǎng).分析由DE是AB的垂直平分線,得AD=BD,所以BD與CD的長(zhǎng)度和等于AC

的長(zhǎng),所以由△BCD的周長(zhǎng)可求BC的長(zhǎng),同樣,由BC的長(zhǎng)也可求△BCD的周

長(zhǎng).例2如圖5-3-2,△ABC中,AC=5,AB的垂直平分線80解析

∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∴BD+CD=AD+CD=AC=5.(1)∵△BCD的周長(zhǎng)為8,∴BC=△BCD的周長(zhǎng)-(BD+CD)=8-5=3.(2)∵BC=4,∴△BCD的周長(zhǎng)=BC+BD+CD=4+5=9.解析

∵DE垂直平分AB,81知識(shí)點(diǎn)三

角平分線的性質(zhì)定理附:角是軸對(duì)稱圖形,角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸.

內(nèi)容符號(hào)語(yǔ)言表示圖形表示角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到這

個(gè)角的兩邊的距離相

等如果點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,且PD⊥OA于點(diǎn)D,PE⊥OB于點(diǎn)E,則PD=PE

牢記(1)角平分線的性質(zhì)定理是證明線段相等的一個(gè)比較簡(jiǎn)單的方法;(2)當(dāng)遇到有關(guān)角平分線的問(wèn)題時(shí),通常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂

線,構(gòu)造相等的線段知識(shí)點(diǎn)三

角平分線的性質(zhì)定理附:角是軸對(duì)稱圖形,角平分82例3如圖5-3-3,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,△ABC的面積為7,AB

=4,DE=2,則AC的長(zhǎng)是

()

圖5-3-3A.2B.3C.4D.5例3如圖5-3-3,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥83解析如圖5-3-4,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC交AC于點(diǎn)F,∵AD是∠BAC的平分線,

DE⊥AB,∴DE=DF=2.∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=

AB·DE+

AC·DF=

×4×2+

AC×2=7,即4+AC=7,∴AC=3.故選B.

圖5-3-4答案

B解析如圖5-3-4,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC交AC于點(diǎn)F,∵AD84題型

運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)求解或說(shuō)理例如圖5-3-5,在△ABC中,AB=AC=6,AB的垂直平分線分別交BC,AB于點(diǎn)

D,E.(1)若BC=10,求△ACD的周長(zhǎng);(2)若∠C=25°,求∠CAD的度數(shù).

圖5-3-5題型

運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)求解或說(shuō)理例如圖5-85解析(1)因?yàn)镈E是AB的垂直平分線,所以AD=BD,所以△ACD的周長(zhǎng)=AC

+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=16.(2)因?yàn)锳B=AC,所以∠B=∠C=25°,所以∠BAC=130°,因?yàn)锳D=BD,所以∠BAD=∠B=25°,所以∠CAD=130°-25°=105°.點(diǎn)撥運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)求三角形周長(zhǎng)常利用轉(zhuǎn)化思想,即把

三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成已知長(zhǎng)度的幾條線段的和.解析(1)因?yàn)镈E是AB的垂直平分線,所以AD=BD,所以86易錯(cuò)點(diǎn)

對(duì)“三線合一”的性質(zhì)理解有誤而出錯(cuò)例如圖5-3-6所示,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于點(diǎn)D,則∠CBD=

.

圖5-3-6錯(cuò)解36°正解18°錯(cuò)解提示本題錯(cuò)解的原因是認(rèn)為等腰三角形底角的平分線、腰上的中

線、腰上的高相互重合.等腰三角形的“三線合一”指的是頂角平分線、

底邊上的中線、底邊上的高相互重合.易錯(cuò)點(diǎn)

對(duì)“三線合一”的性質(zhì)理解有誤而出錯(cuò)例如圖5-87知識(shí)點(diǎn)一

等腰三角形1.(2017山東煙臺(tái)中考)某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖5-3-1所示,已知AB

∥CD,AE與AB的夾角為48°,若CF與EF的長(zhǎng)度相等,則∠C的度數(shù)為

(

)圖5-3-1A.48°

B.40°

C.30°

D.24°知識(shí)點(diǎn)一

等腰三角形1.(2017山東煙臺(tái)中考)某城市88答案

D∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAF=48°.∵CF=EF,∴∠C=∠E.∵∠C+∠E=∠DFE=48°,∴∠C=24°.答案

D∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAF=48°.892.(2018安徽合肥期中檢測(cè))如圖5-3-2,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),

∠BAD=35°,則∠C的度數(shù)為

()

圖5-3-2A.35°

B.45°

C.55°

D.60°答案

C∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AB=AC,D為BC的中點(diǎn),∴AD是∠BAC

的平分線(等腰三角形“三線合一”).又∵∠BAD=35°,∴∠BAC=2∠BAD

=70°,∴∠C=

×(180°-70°)=55°.故選C.2.(2018安徽合肥期中檢測(cè))如圖5-3-2,在△ABC中903.(2017江西中考)如圖5-3-3(1)是一把園林剪刀,把它抽象為圖5-3-3(2),其

中OA=OB,若剪刀張開(kāi)的角為30°,則∠A=

度.

圖5-3-3解析由對(duì)頂角相等可得∠AOB=30°,∵OA=OB,∴∠A=

=75°.3.(2017江西中考)如圖5-3-3(1)是一把園林剪刀,914.如圖5-3-4,在等邊三角形ABC中,BE和CD分別是AC、AB邊上的高,求∠BFC的度數(shù).

圖5-3-4解析∵△ABC是等邊三角形,BE、CD分別是AC、AB邊上的高,∴∠FBC=∠FCB=

×60°=30°,∴∠BFC=180°-30°-30°=120°.4.如圖5-3-4,在等邊三角形ABC中,BE和CD分別是A92知識(shí)點(diǎn)二

線段的垂直平分線5.(2017湖北荊州中考)如圖5-3-5,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平

分線l交AC于點(diǎn)D,則∠CBD的度數(shù)為

()

圖5-3-5A.30°

B.45°

C.50°

D.75°知識(shí)點(diǎn)二

線段的垂直平分線5.(2017湖北荊州中考)93答案

B∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∵AB的垂直平分線交AC于D,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=30°,∴∠BDC=60°,∴∠CBD=180°-75°-60°=45°.故選B.答案

B∵AB=AC,∠A=30°,946.(2017廣東深圳中考)如圖5-3-6,已知線段AB,分別以A,B為圓心,大于

AB為半徑作弧,連接弧的交點(diǎn)得到直線l,在直線l上取一點(diǎn)C,使得∠CAB=25°,

延長(zhǎng)AC至M,則∠BCM的度數(shù)為()

圖5-3-6A.40°

B.50°

C.60°

D.70°答案

B由作法可知直線l是線段AB的垂直平分線,∵C在l上,∴AC=BC,

∴∠B=∠CAB=25°,∴∠BCM=50°,故選B.6.(2017廣東深圳中考)如圖5-3-6,已知線段AB,分95知識(shí)點(diǎn)三

角平分線的性質(zhì)定理7.如圖5-3-7所示,AO是∠BAC的平分線,OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,若ON=8

cm,則OM的長(zhǎng)為

()

圖5-3-7A.8cm

B.4cmC.5cm

D.不能確定答案

A∵AO是∠BAC的平分線,OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,∴OM=ON,

而ON=8cm,∴OM=8cm.故選A.知識(shí)點(diǎn)三

角平分線的性質(zhì)定理7.如圖5-3-7所示,A968.如圖5-3-8,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,對(duì)角線BD平分∠ABC,則△BCD的面積為

()

圖5-3-8A.7.5

B.8

C.15

D.無(wú)法確定8.如圖5-3-8,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AD=97答案

A如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E.

∵∠A=90°,∴AD⊥AB.又∵BD平分∠ABC,∴DE=AD=3.又∵BC=5,∴S△BCD=

BC·DE=

×5×3=7.5.答案

A如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E.981.(2017安徽阜陽(yáng)潁州月考)若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是30°,則頂角的度數(shù)

是

()A.30°B.120°C.30°或120°

D.60°答案

C當(dāng)?shù)捉鞘?0°時(shí),頂角為180°-30°×2=120°,符合題意;當(dāng)頂角為30°

時(shí),符合題意.故選C.1.(2017安徽阜陽(yáng)潁州月考)若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是30992.(2018安徽安慶宿松二中期中預(yù)測(cè))在△ABC中,AB=AC,∠C=75°,則∠A的

度數(shù)是

()A.150°

B.50°

C.30°

D.75°答案

C∵AB=AC,∠C=75°,∴∠B=∠C=75°.又∵∠A+∠B+∠C=180°,

∴∠A=180°-(∠B+∠C)=30°.2.(2018安徽安慶宿松二中期中預(yù)測(cè))在△ABC中,AB=1003.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥BC,則下列結(jié)論不正確的是

()

A.∠BAD=45°B.△ABD≌△ACDC.AD=

BCD.AD=

AB3.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥101答案

D在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=90°,∴BD=CD=

BC,∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°,∴AD=BD=

BC,故A、C正確;在△ABD與△ACD中,∵

∴△ABD≌△ACD(SAS),故B正確;由已知條件無(wú)法推得AD=

AB,故D錯(cuò)誤.答案

D在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∠B1024.(2017浙江臺(tái)州中考)如圖,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以點(diǎn)B為圓心,

BC長(zhǎng)為半徑畫弧,交腰AC于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一定正確的是

()

A.AE=EC

B.AE=BEC.∠EBC=∠BAC

D.∠EBC=∠ABE答案

C∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由題意可知BC=BE,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BAC=∠EBC,故選C.4.(2017浙江臺(tái)州中考)如圖,已知等腰三角形ABC,AB1035.(2017山東棗莊中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以頂點(diǎn)A為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)

度為半徑畫弧,分別交AC,AB于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于

MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線AP交邊BC于點(diǎn)D,若CD=4,AB=15,則△ABD的面積是

()A.15

B.30

C.45

D.60答案

B由題意得AP是∠BAC的平分線,如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,∴DE=CD=4,∴△ABD的面積=

AB·DE=

×15×4=30.

5.(2017山東棗莊中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=91046.(2017浙江麗水中考)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°,則頂角的度數(shù)是

.答案100°解析∵100°>90°,∴100°的角是頂角,故答案為100°.6.(2017浙江麗水中考)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°,1057.(2017江蘇常州中考)如圖,已知在△ABC中,DE是BC的垂直平分線,垂足

為E,交AC于點(diǎn)D,若AB=6,AC=9,則△ABD的周長(zhǎng)是

.

答案15解析∵DE是BC的垂直平分線,∴DB=DC,∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=15,故答案為15.7.(2017江蘇常州中考)如圖,已知在△ABC中,DE是B1061.(2017內(nèi)蒙古包頭中考)若等腰三角形的周長(zhǎng)為10cm,其中一邊長(zhǎng)為2cm,

則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為

()A.2cm

B.4cmC.6cm

D.8cm答案

A當(dāng)腰長(zhǎng)為2cm時(shí),底邊長(zhǎng)為6cm,但是2+2=4<6,即兩邊之和小于

第三邊,不合題意;當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為2cm時(shí),腰長(zhǎng)為4cm,符合題意,故選A.1.(2017內(nèi)蒙古包頭中考)若等腰三角形的周長(zhǎng)為10cm1072.(2017貴州黔西南州中考)已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6,則

該等腰三角形的周長(zhǎng)是

.答案15解析當(dāng)腰為3時(shí),3+3=6,∴3、3、6不能組成三角形;當(dāng)腰為6時(shí),3+6=9>6,∴3、6、6能組成三角形,∴該三角形的周長(zhǎng)為3+6+6=15.2.(2017貴州黔西南州中考)已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分1083.(2018甘肅敦煌期末)如圖5-3-9,△ABC中,AB+AC=7cm,BC的垂直平分線l

與AC相交于點(diǎn)D,則△ABD的周長(zhǎng)為

cm.

圖5-3-9答案7解析∵BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D,∴DB=DC,∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=7cm,故答

案為7.3.(2018甘肅敦煌期末)如圖5-3-9,△ABC中,AB1094.(2018吉林松原寧江期末)如圖5-3-10,四邊形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,

M為BC邊上的一點(diǎn),且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.(8分)

圖5-3-10求證:(1)AM⊥DM;(2)M為BC的中點(diǎn).4.(2018吉林松原寧江期末)如圖5-3-10,四邊形AB110證明(1)∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM.(2)如圖,過(guò)M作MN⊥AD交AD于N,∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM,即M為BC的中點(diǎn).證明(1)∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,1111.(2017湖南湘潭中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于

點(diǎn)D,DE垂直平分AB,垂足為E點(diǎn),請(qǐng)任意寫出一組相等的線段

.

答案

BC=BE(或DC=DE或BE=AE)解析已知∠C=90°,BD平分∠ABC,DE垂直平分AB,顯然BE=AE;利用角平

分線性質(zhì)定理可知DC=DE;根據(jù)已知條件易得△BCD≌△BED,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)可得BC=BE.1.(2017湖南湘潭中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=91122.(2017湖南益陽(yáng)中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是線段AC

的垂直平分線,若BE=a,AE=b,則用含a、b的代數(shù)式表示△ABC的周長(zhǎng)為

.

2.(2017湖南益陽(yáng)中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,113解析∵AB=AC,BE=a,AE=b,∴AC=AB=a+b,∵DE是線段AC的垂直平分線,∴AE=CE=b,∴∠ECA=∠BAC=36°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=72°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECA=36°,∴∠BEC=180°-∠ABC-∠ECB=72°,∴∠BEC=∠ABC,∴CE=BC=b,∴△ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=2a+3b.答案2a+3b解析∵AB=AC,BE=a,AE=b,∴AC=AB=a+b114一、選擇題1.(2017北京昌平臨川育人學(xué)校第二次月考,10,★☆☆)下列說(shuō)法中正確的

是

()①角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的線段長(zhǎng)相等;②角是軸對(duì)稱圖形;③線段不是軸對(duì)稱圖形;④線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.A.①②③④

B.①②③C.②④

D.②③④答案

C角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離(垂線段長(zhǎng)度)相等;線段是軸

對(duì)稱圖形.一、選擇題答案

C角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離(垂線1152.(2018河北唐山路北期末,10,★★☆)如圖5-3-11,在△ABC中,點(diǎn)D在邊BC

上,若∠BAD=∠CAD,AB=6,AC=3,S△ABD=3,則S△ACD=

()

圖5-3-11A.3

B.6

C.

D.

2.(2018河北唐山路北期末,10,★★☆)如圖5-3-1116答案

C如圖,過(guò)D作DP⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于P,DQ⊥AB于Q,∵∠BAD

=∠CAD,∴DP=DQ,∵S△ABD=

AB·DQ=

×6·DQ=3,∴DQ=1,∴DP=1,∴S△ACD=

·AC·DP=

,故選C.

答案

C如圖,過(guò)D作DP⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于P,D1173.(2018陜西榆林府谷期中,19,★☆☆)如圖5-3-12,在△ABC中,AD⊥BC于

點(diǎn)D,AC的垂直平分線分別交BC,AC于點(diǎn)E,F,已知AE=AB,則AB,BD,DC三

者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?說(shuō)明理由.(6分)

圖5-3-12二、解答題3.(2018陜西榆林府谷期中,19,★☆☆)如圖5-3-1118解析

AB+BD=DC.理由:∵AB=AE,AD⊥BC,∴BD=DE,∵點(diǎn)E在AC的垂直平分線上,∴AE=CE,∴AB=CE,∴AB+BD=CE+DE=DC,即AB+BD=DC.解析

AB+BD=DC.1194.(2019上海楊浦月考,29,★★☆)如圖5-3-13,已知△ABC和△BDE都是等

邊三角形,試說(shuō)明:BD+DC=AD.

圖5-3-134.(2019上海楊浦月考,29,★★☆)如圖5-3-13,120解析∵△ABC和△BDE都是等邊三角形,∴AB=BC,EB=DB=ED,∠ABC=∠EBD=60°,∴∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC,即∠ABE=∠CBD,在△ABE和△CBD中,

∴△ABE≌△CBD(SAS),∴DC=AE,∴AD=ED+AE=BD+CD.解析∵△ABC和△BDE都是等邊三角形,1211.(2018浙江寧波鎮(zhèn)海期末,17,★★☆)如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平

分線,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC的面積是45cm2,AB=16cm,A