高一數(shù)學(xué)概念(上)

-.z.集合和命題1.1集合我們把能夠確切指定的一些對象組成的整體叫做集合，簡稱集。集合中的各個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素。集合常用大寫字母表示，集合中的元素用小寫字母表示。如果是集合的元素，就記作，讀作"屬于〞。如果不是集合的元素，就記作，讀作"不屬于〞。數(shù)的集合簡稱數(shù)集，常用大寫的字母表示：全體自然數(shù)組成的集合，即自然數(shù)集記作N，不包括零的自然數(shù)組成的集合，記作N*；全體整數(shù)組成的集合即整數(shù)集，記作Z；全體有理數(shù)組成的集合即有理數(shù)集，記作Q；全體實(shí)數(shù)組成的集合即實(shí)數(shù)集，記作R。含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集。規(guī)定空集不含元素，記作集合的表示方法常用列舉法和描述法。將集合中的元素一一列舉出來，并且寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法。在大括號內(nèi)先寫出這個(gè)集合的元素的一般形式，再劃一條豎線，在豎線后面寫上集合中元素所共同具有的特性，即，這種表示集合的方法叫做描述法。1.2集合之間的關(guān)系如果集合A中任何一個(gè)元素都屬于集合B，則A叫做集合B的子集，記作或〔〕，讀作"A包含于B〞或"B包含A〞。對于兩個(gè)A和B，如果且，則叫做集合A與集合B相等，記作A＝B，讀作"集合A等于集合B〞。對于兩個(gè)集合A、B，如果，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，則集合A叫做集合B的真子集，記作或，讀作"A真包含于B〞或"B真包含A〞。1.3集合的運(yùn)算一般地，由集合A和集合B的所有公共元素組成的集合叫做A與B的交集，記作，讀作"A交B〞。集合A、B沒有公共元素，即交集為空集。由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素組成的集合叫做集合A、B的并集，記作，讀作"A并B〞。在研究集合與集合之間的關(guān)系時(shí)，這些集合往往是*個(gè)給定集合的子集，這個(gè)確定的集合叫做全集，常用符號U表示。設(shè)U為全集，A是U的子集，則由U中所有不屬于A的元素組成的集合叫做集合A在全集U中的補(bǔ)集。記作,讀作"A補(bǔ)〞。1.4命題的形式及等價(jià)關(guān)系可以判斷真假的語句叫做命題。正確的命題叫做真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題。一個(gè)數(shù)學(xué)命題用條件，結(jié)論表示就是"如果，則〞，如果把結(jié)論與條件互相交換，就得到一個(gè)新命題："如果，則〞，我們把這個(gè)命題叫做原命題的逆命題。一個(gè)命題的條件與結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否認(rèn)與結(jié)論的否認(rèn)，我們把這樣兩個(gè)命題叫做逆否命題，如果其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)命題就叫做原命題的否命題。如果我們把、的否認(rèn)分別記作、，則命題"如果，則〞的否命題就是："如果，則〞。如果A、B是兩個(gè)命題，，，則A、B叫做等價(jià)命題。原命題與逆否命題就是等價(jià)命題。1.5充分條件，必要條件一般地，用、分別表示兩個(gè)命題，如果命題成立，可以推出命題也成立，即，則叫做的充分條件。叫做的必要條件。1.6子集與推出關(guān)系設(shè)A、B是非空集合，A＝，B＝，則與等價(jià)。不等式2.1不等式的根本性質(zhì)a>b的充要條件是a-b>0；a=b的充要條件是a-b=0；a<b的充要每件是a-b<0。性質(zhì)1：如果a>b,b>c，則a>c；性質(zhì)2：如果a>b，則a+c>b+c；性質(zhì)3：如果a>b,c>0,則ac>bc；如果a>b,c<0，則ac<bc。2.2一元二次不等式的解法只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，這樣的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是：或〔〕一般地，設(shè)一元二次不等式為或〔〕當(dāng)對應(yīng)的一元二次方程的根式判別式時(shí)，先求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根〔不妨設(shè)〕，于是不等式的解集為；不等式的解集為。設(shè)、都為實(shí)數(shù)，并且，規(guī)定：集合叫做閉區(qū)間，表示為；集合叫做開區(qū)間，表示為；集合或叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為或。把實(shí)數(shù)集R表示為；把集合、、和分別用區(qū)間、、和表示，與也叫做區(qū)間的端點(diǎn)；"〞讀作"正無窮大〞，"〞讀作"負(fù)無窮大〞。當(dāng)判別式時(shí)，所以不等式的解集為實(shí)數(shù)集R；不等式的解集為空集。當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集為；不等式的解集為空集。2.3其他不等式的解法型如或〔其中、為整式且的不等式稱為分式不等式。2.4根本不等式及其應(yīng)用根本不等式1對任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。根本不等式2對任意正數(shù)、，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。把和分別叫做正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。函數(shù)的根本性質(zhì)3.1函數(shù)的概念在*個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量、，如果對于在*個(gè)實(shí)數(shù)集合D內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照*個(gè)對應(yīng)法則，都有唯一確定的實(shí)數(shù)值與它對應(yīng)，則就是的函數(shù)，記作，叫做自變量，叫做因變量，的取值范圍D叫做函數(shù)的定義域，和的值相對應(yīng)的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。當(dāng)函數(shù)的變量之間的對應(yīng)關(guān)系不適合或者難以用解析式刻畫時(shí)，圖或表是有效的表示函數(shù)的方法。當(dāng)一個(gè)函數(shù)可用分段的解析式表示時(shí)，把這個(gè)函數(shù)叫做分段函數(shù)。3.2函數(shù)關(guān)系的建立當(dāng)我們要用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題時(shí)，首先要把問題中的有關(guān)變量及其關(guān)系用數(shù)學(xué)的形式表示出來，通常，這個(gè)過程叫做建模。3.3函數(shù)的運(yùn)算一般地，兩個(gè)函數(shù)，，設(shè)，并且D不是空集，則當(dāng)時(shí)，與都有意義，于是把函數(shù)叫做函數(shù)與的和。3.4函數(shù)的根本性質(zhì)一般地，如果對于函數(shù)的定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，則就把函數(shù)叫做偶函數(shù)。函數(shù)定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱是這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)的必要非充分條件。如果函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于軸成軸對稱圖形，反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸成軸對稱圖形，則這個(gè)函數(shù)必是偶函數(shù)。如果對于函數(shù)的定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，則就把函數(shù)叫做奇函數(shù)。如果函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形，反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形，則這個(gè)函數(shù)必是奇函數(shù)。冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)〔上〕4.1冪函數(shù)的性質(zhì)與圖像一般地，函數(shù)〔為常數(shù)，)