八上反比例函數(shù)的幾種解題技巧

-.z.反比例函數(shù)的幾種類型解題技巧摘要：由反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)衍生出了好多數(shù)學(xué)問題，這對(duì)"數(shù)形結(jié)合”思想還有點(diǎn)欠缺的中學(xué)生來說無疑是一個(gè)難點(diǎn)。關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)、函數(shù)圖象、函數(shù)性質(zhì)一、給出自變量*的取值范圍，讓我們判斷函數(shù)值y的范圍；能把函數(shù)的圖像正確的畫出來，我們解決這種問題就相對(duì)比較直觀，也比較簡(jiǎn)單，但是對(duì)于中學(xué)生來說好多學(xué)生不能對(duì)函數(shù)的圖像有一個(gè)很好的掌握：1、反比例函數(shù)y=(k＞0),當(dāng)*＞a或*＜b（a、b是非零常數(shù)）時(shí)，求y的取值范圍。這種問題只需要把這里的a或b代入函數(shù)的解析式中，得到y(tǒng)的值或，對(duì)應(yīng)的y的取值范圍就是y＜或y＞，由于反比例函數(shù)y=當(dāng)k＞0時(shí)，y隨*的增大而減小。例如：函數(shù)y=,當(dāng)*＞－1時(shí)，y的取值范圍就是y＜－2；當(dāng)*＜2時(shí)y的取值范圍就是y＞1。2、反比例函數(shù)y=(k＜0),當(dāng)*＞a或*＜b（a、b是非零常數(shù)）時(shí)，求y的取值范圍。我們同樣把這里的a或b代入函數(shù)的解析式中，得到y(tǒng)的值或，對(duì)應(yīng)的y的取值范圍就是y＞或y＜，由于反比例函數(shù)y=當(dāng)k＜0時(shí)，y隨*的減小而增大。例如：函數(shù)y=,當(dāng)*＞－1時(shí)，y的取值范圍就是y＞2；當(dāng)*＜2時(shí)y的取值范圍就是y＜－1。3、反比例函數(shù)y=（k0），當(dāng)a＜*＜b，a、b同號(hào)時(shí)，求y的取值范圍。我們還是把這里的a、b代入函數(shù)的解析式中，得到y(tǒng)的值、，然后對(duì)、按小到大排序，排好序后他們之間用"＜y＜”連接即可。若＞，則y的取值范圍就是＜y＜。例如：函數(shù)y=，當(dāng)－3＜*＜－1時(shí)求y的取值范圍，把－3和－2代入解析式得到的y的值為和－2,則y的取值范圍就是－2＜y＜。4、反比例函數(shù)y=（k0），當(dāng)a＜*＜b，a*b＜0時(shí)，求y的取值范圍。同樣先是把這里的a、b代入函數(shù)的解析式中，得到y(tǒng)的值、，然后對(duì)這里的、進(jìn)行大小比較，y的取值范圍是"大于大的，小于小的”。若＜則y的取值范圍就是y＜，y＞。例如：函數(shù)y=，當(dāng)－2＜*＜2時(shí)求y的取值范圍，把－2和2代入解析式得到的y的值為－1和1,則y的取值范圍就是y＜－1，y＞1。二、已知反比例函數(shù)圖像上的若干個(gè)點(diǎn)，知道橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，讓我們來判斷縱坐標(biāo)的大小關(guān)系；對(duì)于這種問題，如果能正確的畫出反比例函數(shù)的圖像，并會(huì)熟練的分析反比例函數(shù)的圖像，則這類問題也很容易解決，但面對(duì)一些實(shí)際情況，我們只能尋找一些學(xué)生更容易例接受的方式，下面我就對(duì)這些問題稍作分析：1、反比例函數(shù)y=(k＞0)，點(diǎn)A1(*1,Y1),A2(*2,Y2)……An(*n,Yn)都在反比例函數(shù)的圖像上，已知*1＜*2＜*3……＜*n（*1、*2、*3……*n同號(hào)），求Y1，Y2，Y3……Yn的大小關(guān)系。這個(gè)問題我們直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)（當(dāng)k＞0時(shí)，y隨著*的增大而減?。?，很容易得到Y(jié)1＞Y2＞Y3＞……＞Yn。例如：已知函數(shù)y=，點(diǎn)A(1,Y1),B(,Y2),C(2,Y3)在函數(shù)的圖像上，求Y1，Y2，Y3的大小關(guān)系。由于＜1＜2，按照上面方法很容易得到Y(jié)2＞Y1＞Y3。2、反比例函數(shù)y=(k＜0)，點(diǎn)A1(*1,Y1),A2(*2,Y2)……An(*n,Yn)都在反比例函數(shù)的圖像上，已知*1＜*2＜*3……＜*n（*1、*2、*3……*n同號(hào)），求Y1，Y2，Y3……Yn的大小關(guān)系。這個(gè)問題我們直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)（當(dāng)k＜0時(shí)，y隨著*的增大而增大），很容易得到Y(jié)1＜Y2＜Y3＜……＜Yn。例如：已知函數(shù)y=，點(diǎn)A(1,Y1),B(,Y2),C(2,Y3)在函數(shù)的圖像上，求Y1，Y2，Y3的大小關(guān)系。由于＜1＜2，按照上面方法很容易得到Y(jié)2＜Y1＜Y3。3、反比例函數(shù)y=(k＞0)，點(diǎn)A1(*1,Y1),A2(*2,Y2)……An(*n,Yn)都在反比例函數(shù)的圖像上，已知*1＜*2＜…＜*k＜0＜*k+1＜…＜*n,求Y1，Y2，Y3……Yn的大小關(guān)系。這個(gè)問題就不能像上面一樣直接比較，A1、A2……An這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)中間被"0”隔開，做這類問題要分兩塊來進(jìn)行解決。我們首先要分清楚每個(gè)點(diǎn)所在的函數(shù)圖像在哪個(gè)象限，在每個(gè)象限內(nèi)我們還是按照1和2的比較方式進(jìn)行就可以了。反比例函數(shù)y=，當(dāng)k＞0時(shí)，它的圖像在一、三象限，并且在函數(shù)圖象的每一支上，y隨著*的增大而減小。但不論怎樣，第一象限內(nèi)圖像的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值都比第三象限內(nèi)圖像的每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值要大。因此我們恒有Ak+1……An這些點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的y值要比A1……Ak點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值要大。Y1，Y2……Yk的大小順尋很容易判斷是：Y1＞Y2＞……＞Yk；Yk+1,Yk+2……Yn的大小順序是：Yk+1＞Yk+2＞……＞Yn。綜上我們得到Y(jié)1，Y2，Y3……Yn的大小關(guān)系是：Yk+1＞Yk+2＞……＞Yn＞Y1＞Y2＞……＞Yk；如果不考慮這么多，用一句簡(jiǎn)單化來概括的話就是：反比例函數(shù)y=，k＞0時(shí)，圖像上任意的點(diǎn)，橫坐標(biāo)為正的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值比橫坐標(biāo)為負(fù)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值要大，若橫坐標(biāo)的符號(hào)相同時(shí)我們就按照反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較即可。例如：已知函數(shù)y=，點(diǎn)A(－1,Y1),B(－,Y2),C(2,Y3)，D(2.5,Y4)在函數(shù)的圖像上，求Y1，Y2，Y3，Y4的大小關(guān)系。解析：k=2是大于零的，A,B,C,D四點(diǎn)的橫坐標(biāo)有正有負(fù)，橫坐標(biāo)為正的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值比橫坐標(biāo)為負(fù)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值要大，因此肯定有Y3，Y4要大于Y1，Y2，當(dāng)k＞0時(shí)在反比例函數(shù)圖像的每一支上，y隨著*的增大而減小，因此有Y4＜Y3,Y2＜Y1,進(jìn)而Y1，Y2，Y3，Y4的大小關(guān)系是：Y2＜Y1＜Y4＜Y3。4、反比例函數(shù)y=(k＜0)，點(diǎn)A1(*1,Y1),A2(*2,Y2)……An(*n,Yn)都在反比例函數(shù)的圖像上，已知*1＜*2＜…＜*k＜0＜*k+1＜…＜*n,求Y1，Y2，Y3……Yn的大小關(guān)系。同樣A1、A2……An這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)中間被"0”隔開，首先還是要分清楚每個(gè)點(diǎn)所在的函數(shù)圖像在哪個(gè)象限，在每個(gè)象限內(nèi)我們還是按照1和2的比較方式進(jìn)行就可以了。反比例函數(shù)y=，當(dāng)k＞0時(shí)，它的圖像在二、四象限，并且在函數(shù)圖象的每一支上，y隨著*的增大而增大。但不論怎樣，第二象限內(nèi)圖像的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值都比第四象限內(nèi)圖像的每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值要大。因此我們恒有A1……Ak這些點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的y值要比Ak+1……An點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值要大。Y1，Y2……Yk的大小順尋很容易判斷是：Y1＜Y2＜……＜Yk；Yk+1,Yk+2……Yn的大小順序是：Yk+1＜Yk+2＜……＜Yn。綜上我們得到Y(jié)1，Y2，Y3……Yn的大小關(guān)系是：Yk+1＜Yk+2＜……＜Yn＜Y1＜Y2＜……＜Yk；如果不考慮這么多，用一句簡(jiǎn)單化來概括的話就是：反比例函數(shù)y=，k＜0時(shí)，圖像上任意的點(diǎn)，橫坐標(biāo)為負(fù)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值比橫坐標(biāo)為正的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值要大，若橫坐標(biāo)的符號(hào)相同時(shí)我們就按照反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較即可。例如：已知函數(shù)y=，點(diǎn)A(－1,Y1),B(－,Y2),C(2,Y3)，D(2.5,Y4)在函數(shù)的圖像上，求Y1，Y2，Y3，Y4的大小關(guān)系。解析：k=－2是小于零的，A,B,C,D四點(diǎn)的橫坐標(biāo)有正有負(fù)，橫坐標(biāo)為負(fù)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值比橫坐標(biāo)為正的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值要大，因此肯定有Y1，Y2要大于Y3，Y4，當(dāng)k＜0時(shí)在反比例函數(shù)圖像的每一支上，y隨著*的增大而增大，因此有Y1＜Y2,Y3＜Y4,進(jìn)而Y1，Y2，Y3，Y4的大小關(guān)系是：Y3＜Y4＜Y1＜Y2。反比例函數(shù)中的面積問題一、利用反比例函數(shù)中|k|的幾何意義求解與面積有關(guān)的問題設(shè)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作*軸、y軸的垂線PM、PN，垂足分別為M、N，則兩垂線段與坐標(biāo)軸所圍成的的矩形PMON的面積為S=|PM|×|PN|=|y|×|*|=|*y|

∴*y=k

故S=|k|

從而得結(jié)論1：過雙曲線上任意一點(diǎn)作*軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值|k|對(duì)于下列三個(gè)圖形中的情形，利用三角形面積的計(jì)算方法和圖形的對(duì)稱性以及上述結(jié)論，可得出對(duì)應(yīng)的面積的結(jié)論為：結(jié)論2：在直角三角形ABO中，面積S=結(jié)論3：在直角三角形ACB中，面積為S=2|k|結(jié)論4：在三角形AMB中，面積為S=|k|1．已知面積，求反比例函數(shù)的解析式（或比例系數(shù)k）例1如圖，已知雙曲線（）經(jīng)過矩形的邊的中點(diǎn)，且四邊形的面積為2，則．分析：連結(jié)OB，∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)∴而由四邊形OEBF的面積為2得解得k=2評(píng)注：第①小題中由圖形所在象限可確定k>0，應(yīng)用結(jié)論可直接求k值。第②小題首先應(yīng)用三角形面積的計(jì)算方法分析得出四個(gè)三角形面積相等，列出含k的方程求k值。例2如圖，矩形ABOD的頂點(diǎn)A是函數(shù)與函數(shù)在第二象限的交點(diǎn)，軸于B，軸于D，且矩形ABOD的面積為3．（1）求兩函數(shù)的解析式．（2）求兩函數(shù)的交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）由圖象知k<0，由結(jié)論及已知條件得-k=3

∴∴反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為（2）由，解得，∴點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（，3），（3，）（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m）直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，2）∵∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）評(píng)注：依據(jù)圖象及結(jié)論求k值是本題的關(guān)鍵，只有求出k代值，才能通過解方程組求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后才能解決第③小問。2．已知反比例函數(shù)解析式，求圖形的面積例3在反比例函數(shù)的圖象中，陰影部分的面積不等于4的是（）

分析：因?yàn)檫^原點(diǎn)的直線與雙曲線交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B、C、D的面積易求。對(duì)于A：S=4，對(duì)于B：陰影中所含的三個(gè)小直角三角形面積相等，故S=，對(duì)于C：S=4，對(duì)于D：S=4故選（B）評(píng)注：過雙曲線上作坐標(biāo)軸垂線所圍成的矩形的面積可直接由結(jié)論求解，過程簡(jiǎn)單。二、利用點(diǎn)的坐標(biāo)及面積公式求面積例4如圖，已知，是一次函數(shù)的圖像和反比例函數(shù)的圖像的兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)及三角形的面積．解：（1）在上．反比例函數(shù)的解析式為：．點(diǎn)在上經(jīng)過，，解之得一次函數(shù)的解析式為：（2）是直線與軸的交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)例5:如圖，直線與反比例函數(shù)（＜0）的圖象相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與*軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，4），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－4.（1）試確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）求△AOB的面積..解：（1）∵點(diǎn)A（-2，4）在反比例函數(shù)圖象上∴k=-8∴反比例函數(shù)解析式為y=（2）∵B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-4，∴縱坐標(biāo)為y=2

∴B(-4，2)∵點(diǎn)A（-2，4）、點(diǎn)B（-4，2）在直線y=k*+b上∴4=-2k+b且2=-4k+b解得k=1

b=6∴直線AB為y=*+6與*軸的交點(diǎn)坐標(biāo)C（-6，0）∴S==12評(píng)注：對(duì)于例4、例5類型的題目，其解題方法基本上都是分三步：先由條件求函數(shù)解析式，再通過解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，最后由面積公式計(jì)算面積。難度屬中檔題。三、利用對(duì)稱性求反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題例6已知,A、B、C、D、E是反比例函數(shù)（*>0）圖象上五個(gè)整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)），分別以這些點(diǎn)向橫軸或縱軸作垂線段，由垂線段所在的正方形邊長(zhǎng)為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成如圖5所示的五個(gè)橄欖形（陰影部分），則這五個(gè)橄欖形的面積總和是（用含π的代數(shù)式表示）分析：∵*,y為正整數(shù)，∴*=1,2,4,8,16即A、B、C、D/r/