命題、定理、證明教案

-.z.13.1.1命題、定理、證明（1）教學目標了解命題的概念。能區(qū)分命題的題設和結論。經歷判斷命題真假的過程，對命題的真假有一個初步的了解。教學重難點重點：命題的概念和區(qū)分命題的題設與結論。難點：區(qū)分命題的題設和結論。學情分析：七年級學生對語句有一定的理解和判斷能力。課前預習預習教材第20頁至21頁，并嘗試完成課本隨堂練習。教學過程情境引入教師與學生們打招呼，說出以下四句話：（1）七（3）的同學們你們好嗎？（2）大家今天都能認真聽課嗎？（3）七（3）班的所有學生都是好學生。（4）有時間我請大家吃飯。問題1：下列四句話中，哪一句是對一件事情作出判斷的語句？（1）七（3）的同學們你們好嗎？（）（2）大家今天都能認真聽課嗎？（）（3）七（3）班的所有學生都是好學生。（）（4）有時間我請大家吃飯。（）問題2下列語句在表述形式上，哪些是對事情作了判斷？（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線也互相平行（）（2）畫一個角等于已知角（）（3）對頂角相等；（）（4）若a2＝b2，則a＝b。（）（5）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補；（）（6）若a2＝4，求a的值；（）二、新知探究，合作交流教師點評：象上題中的（1）、（3）、（4）、（5）這樣判斷一件事情的語句叫做命題。注意：1、只要對一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是命題。如：相等的角是對頂角。2、如果一個句子沒有對*一件事情作出任何判斷，則它就不是命題。如：畫線段AB=CD。問題3判斷下列語句是不是命題？（1）兩點之間，線段最短；（）（2）請畫出兩條互相平行的直線；（）（3）過直線外一點作已知直線的垂線；（）（4）如果兩個角的和是90o，則這兩個角互余．（）提問幾位學生，從而檢查學生們是否真正理解命題的概念。問題4你能舉出一些命題的例子嗎？（教師這時讓幾名學生發(fā)言）問題5請同學們觀察一組命題，并思考命題是由幾部分組成的？（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線也互相平行；（2）兩直線平行，同位角相等；（3）如果兩個角的和是90o，則這兩個角互余；教師點評：命題是由題設(或條件)和結論兩部分組成。題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項。例如：兩直線平行，同位角相等。題設（條件）結論前面的命題都能看得出它的題設與結論兩部分很明顯，但我們有些命題這兩部分是不明顯的，這時我們該如何很好的把握題設與結論呢？如：對頂角相等。這個命題我們怎么正確指出它的題設與結論呢？教師點評：命題一般都能寫成"如果…，則…”的形式。"如果”后接的部分是題設，"則”后接的部分是結論。注意：添加"如果”、"則”后，命題的意義不能改變，改寫的句子要完整，語句要通順，使命題的題設和結論更明朗，易于分辨，改寫過程中，要恰當增加詞語，不能生搬硬套例如對于命題：對頂角相等。改寫：如果兩個角是對頂角，則它們相等。題設：兩個角是對頂角結論：它們相等問題6下列語句是命題嗎？如果是，請將它們改寫成"如果……，則……”的形式.（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補；（2）等式兩邊都加同一個數(shù)，結果仍是等式；（3）同旁內角互補；注：此過程以問答形式為主，讓學生舉手發(fā)言。問題7請同學們說出一個命題，并說出此命題的題設和結論．注：些問題有助于學生更好的鞏固命題以及命題的題設和結論相關知識。問題8問題6中哪些命題是正確的，哪些命題是錯誤的？（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補；（）（2）等式兩邊都加同一個數(shù)，結果仍是等式；（）（3）互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（）（4）內錯角相等；（）（5）對頂角相等．（）教師點評：真命題：如果題設成立，則結論一定成立，這樣的命題叫做真命題．假命題：如果題設成立時，不能保證結論一定成立，這樣的命題叫做假命題．問題8請同學們舉例說出一些真命題和假命題問題9問題6中哪些命題是真命題，哪些命題是假命題？（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補；（2）等式兩邊都加同一個數(shù)，結果仍是等式；（3）互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（4）同旁內角互補；（5）對頂角相等．三、歸納小結1．什么叫做命題？2．命題是由哪兩部分組成的？3．什么是真命題，什么是假命題．四、布置作業(yè)題目：判斷下列命題是真命題還是假命題，同時將下列命題改寫成"如果……則……”的形式，指出他們的題設和結論。（1）兩個銳角的和是銳角。（2）鄰補角是互補的角。（3）同旁內角互補。五、教學反思：本節(jié)課引入較自然，學生也較容易理解命題的概念。只是一部分學生在確定題設和結論時，還是比較容易把"如果”和"則”放在里面。13.1.2命題、定理、證明一、教學目標1．了解"證明”的必要性和推理過程中要步步有據．2．了解綜合法證明的格式和步驟．3．通過一些簡單命題的證明，初步訓練學生的邏輯推理能力．4．通過證明步驟中由命題畫出圖形，寫出已知、求證的過程，繼續(xù)訓練學生由幾何語句正確畫出幾何圖形的能力．5．通過舉例判定一個命題是假命題，使學生學會反面思考問題的方法．二、學法引導1．教師教法：嘗試指導，引導發(fā)現(xiàn)與討論相結合．2．學生學法：在教師的指導下，積極思維，主動發(fā)現(xiàn)．三、重點·難點及解決辦法（－）重點證明的步驟和格式是本節(jié)重點．（二）難點理解命題，分清其題設和結論，正確對照命題畫出圖形，寫出已知、求證．（三）解決辦法通過學生分組討論，教師歸納得出證明的步驟和格式，再以練習加以鞏固，解決重點、難點及疑點．四、課時安排l課時五、教具學具準備投影儀、三角板、自制膠片．六、師生互動活動設計1．通過引例創(chuàng)設情境，點題，引入新課．2．通過情境教學，學生分組討論，歸納總結及練習鞏固等手段完成新授．3．通過提問的形式完成小結．七、教學步驟（－）明確目標使學生嚴密推理過程，掌握推理格式，提高推理能力。（二）整體感知以情境設計，引出課題，引導討論，例題示范講解新知，以練習鞏固新知．（三）教學過程創(chuàng)設情境，引出課題師：上節(jié)課我們學習了定理與證明，了解了這兩個概念．并以證明"兩直線平行，內錯角相等”來說明什么是證明．我們再看這一命題的證明（投影出示）．例1已知：如圖1，，是截線，求證：．證明：∵（已知），∴（兩直線平行，同位角相等）．∵（對項角相等），∴（等量代換）．這節(jié)課我們分析這一命題的證明過程，學習命題證明的步驟和格式．［板書］2.9定理與證明探究新知1．命題證明步驟學生活動：由學生分組討論以上命題的證明過程，按自己的理解說出證明一個命題都需要哪幾步．【教法說明】根據上一節(jié)"兩直線平行，內錯角相等”這一命題的證明過程讓學生討論、分析、歸納命題證明的一般步驟，一是可以加深對命題證明的理解，二是培養(yǎng)學生歸納總結能力。在總結步驟時，學生所說的層次不一定有邏輯性，或不太嚴密，教師要注意引導，使學生分清命題證明幾個步驟的先后層次．根據學生討論，回答結果．教師歸納小結，師生共同得出證明命題的步驟（出示投影）：第一步，畫出命題的圖形．先根據命題的題設即已知條件，畫出圖形，再把命題的結論即求證的內容在圖上標出．還要根據證明的需要，在圖上標出必要的字母或符號，以便于敘述或推理過程的表達．第二步，結合圖形寫出已知、求證．把命題的題設化為幾何符號的語言寫在已知中，命題的結論轉化為幾何符號的語言寫在求證中．第三步，經過分析，找出由已知推得求證的途徑，寫出推理的過程．學生活動：結合"兩直線平行，內錯角相等”這一命題的證明，理解以上命題證明的一般步驟（給學生一定時間理解記憶）．【教法說明】在以上第二個步驟中，將文字語言轉化為符號語言是教學中的難點，要注意在練習中加強輔導，第三步由學生獨立完成有困難，要逐步培養(yǎng)訓練，現(xiàn)階段暫不要求學生獨立完成．反饋練習：（1）畫出證明命題"兩直線平行，同旁內角互補”時的圖形，寫出已知、求證．（2）課本第112頁A組第5題．【教法說明】由學生依照例1"兩直線平行，內錯角相等”這一命題的證明畫出圖形，寫出已知、求證，鞏固命題證明的第一、二步．2．命題的證明例2證明：鄰補角的平分線互相垂直．【教法說明】此例題完全放手讓學生獨立完成有一定困難，但教師也不能包辦代替，最好通過讓學生分步討論，同桌互相磋商，分步完成的方法，使學生對命題證明的每一步都進一步理解，教師可以給學生指明思考步驟．（1）分析命題的題設與結論，畫出命題證明所需要的圖形．鄰補角用圖2表示：

圖2添畫鄰補角的平分線，見圖3：

圖3（2）根據命題的題設與結論寫出已知、求證．鄰補角用幾何符號語言提示：，角平分線用幾何符號語言表示：，，求證鄰補角平分錢互相垂直，用符號語言表示：．（3）分析由已知誰出求證途徑，寫出證明過程．有什么結論后可得（），由已知可以推導嗎？學生討論思考．【教法說明】以上步驟的完成教師只提供思路，具體結論的得出與操作要由學生獨立完成．找一個學生到黑板上板演，其他同學在練習本上寫出完成整過程．已知：如圖，，，．求證：證明：∵（已知），又∵，（已知），∴．∴（垂直定義）．證明完成后提醒學生注意以下幾點：①要證明的是一個簡單敘述的命題，題設和結論不明顯，可以先根據題意畫出圖形．如例2，結合圖形分析命題的題設和結論．②在寫已知、求證的內容時，要將文字語言轉化為符號語言來表示，轉化時的寫法也不是惟一的，要根據使用的方便來寫，如：與互為鄰補角，在已知中寫為，角平分線有幾種表示方法，如是的平分線，，，根據此題寫成較好，方便于下面的推理計算．③對命題的分析、畫圖，如何推理的思考過程，證明時不必寫出來，不屬于證明內容．反饋練習：按證明命題的步驟證明："兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，則內錯角相等．”【教法說明】由學生獨立完成，找學生板演，發(fā)現(xiàn)問題教師及時糾正．3．判定一個命題是假命題的方法師：以上我們的推理是說明一個命題是真命題的判定方法．則如何判定一個命題是假命題呢？如"相等的角是對項角”，同學們都知道這是一個假命題，如何說明它是一個假命題呢？誰能試著說明一下？【教法說明】教師先不告訴學生判定一個命題是假命題的方法，而是由很明顯的"相等角是對頂角”這一假命題，讓學生自己嘗試著去說明，體驗從反面去說明一個問題的方法，然后教師歸納小結．根據學生說明，教師小結：判定一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可，也就是說你所舉命題符合命題的題設，但不滿足結論．如"同位角相等”可如圖，與是同位角但不相等就說明"同位角相等是假命題”．反饋練習：課本第111頁習題2.3A組第4題．【教法說明】在做以上練習時一定讓學生學會從反面思考問題的方法，再就是要澄清一些錯誤的概念．反饋練習投影出示以下練習：1．指出下列命題的題設和結論（1）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．（2）兩個角的和等于直角，這兩個角互為余角．（3）對項角相等．（4）同角或等角的余角相等．2．畫圖，寫出已知，求證（不證明）（1）同垂直于一條直線的兩條直線平行．（2）兩條平行直線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行．3．抄寫下題并填空已知：如圖，．求證：．證明：∵（），∴（）．∴（）．【教法說明】以上練習讓學生獨立完成，第1題主要是訓練學生分清命題的題設和結論；第2題是訓練學生把命題轉化為幾何語言、幾何圖形的能力；第3題是讓學生進一步體會命題證明的三個步驟．總結、擴展教學反思：13.2.1全等三角形教學目標 一：知識與技能：1、了解三角形及全等三角形的概念。2、運用同底數(shù)冪的乘法法則解決一些實際問題。二、過程與方法：1、知道全等三角形的性質，能用符號正確地表示兩個三角形全等；2、能熟練找出兩個全等三角形的對應角、對應邊．教學過程Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設情境1、問題：你能發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有什么美妙的關系嗎？這兩個三角形是完全重合的．2．學生自己動手（同桌兩名同學配合）取一張紙，將自己事先準備好的三角板按在紙上，畫下圖形，照圖形裁下來，紙樣與三角板形狀、大小完全一樣．3．獲取概念讓學生用自己的語言敘述：全等形、全等三角形、對應頂點、對應角、對應邊，以及有關的數(shù)學符號．形狀與大小都完全相同的兩個圖形就是全等形．要是把兩個圖形放在一起，能夠完全重合，就可以說明這兩個圖形的形狀、大小相同．概括全等形的準確定義：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．請同學們類推得出全等三角形的概念，并理解對應頂點、對應角、對應邊的含義．仔細閱讀課本中"全等”符號表示的要求．Ⅱ．導入新課利用投影片演示將△ABC沿直線BC平移得△DEF；將△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；將△ABC旋轉180°得△AED．議一議：各圖中的兩個三角形全等嗎？不難得出：△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．（注意強調書寫時對應頂點字母寫在對應的位置上）啟示：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，所以平移、翻折、旋轉前后的圖形全等，這也是我們通過運動的方法尋求全等的一種策略．觀察與思考：尋找甲圖中兩三角形的對應元素，它們的對應邊有什么關系？對應角呢？（引導學生從全等三角形可以完全重合出發(fā)找等量關系）得到全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等．全等三角形的對應角相等．[例1]如圖，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是對應頂點，說出這兩個三角形中相等的邊和角．問題：△OCA≌△OBD，說明這兩個三角形可以重合，思考通過怎樣變換可以使兩三角形重合？將△OCA翻折可以使△OCA與△OBD重合．因為C和B、A和D是對應頂點，所以C和B重合，A和D重合．∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．總結：兩個全等的三角形經過一定的轉換可以重合．一般是平移、翻轉、旋轉的方法．[例2]如圖，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的對應邊和對應角．分析：對應邊和對應角只能從兩個三角形中找，所以需將△ABE和△ACD從復雜的圖形中分離出來．根據位置元素來找：有相等元素，它們就是對應元素，然后再依據已知的對應元素找出其余的對應元素．常用方法有：（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊；兩個對應角所夾的邊也是對應邊．（2）全等三角形對應邊所對的角是對應角；兩條對應邊所夾的角是對應角．解：對應角為∠BAE和∠CAD．對應邊為AB與AC、AE與AD、BE與CD．[例3]已知如圖△ABC≌△ADE，試找出對應邊、對應角．（由學生討論完成）Ⅲ．課堂練習課本練習1．Ⅳ．課時小結找對應元素的常用方法有兩種：（一）從運動角度看1．翻轉法：找到中心線，沿中心線翻折后能相互重合，從而發(fā)現(xiàn)對應元素．2．旋轉法：三角形繞*一點旋轉一定角度能與另一三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對應元素．3．平移法：沿*一方向推移使兩三角形重合來找對應元素．13.2.2三角形全等的條件教學目標 一：知識與技能：1、三角形全等的"邊邊邊”的條件．2、了解三角形的穩(wěn)定性．二、過程與方法：經歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學結論的過程．三、情感態(tài)度與價值觀：從中感受具體到抽象、特殊到一般的思考方法，發(fā)展數(shù)感和歸納能力。教學重點：三角形全等的條件。教學難點：尋求三角形全等的條件。教學準備：多媒體課件。教學過程Ⅰ．創(chuàng)設情境，引入新課出示投影片，回憶前面研究過的全等三角形．已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的邊與角．圖中相等的邊是：AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．展示課作前準備的三角形紙片，提出問題：你能畫一個三角形與它全等嗎？怎樣畫？（可以先量出三角形紙片的各邊長和各個角的度數(shù)，再作出一個三角形使它的邊、角分別和已知的三角形紙片的對應邊、對應角相等．這樣作出的三角形一定與已知的三角形紙片全等）．這是利用了全等三角形的定義來作圖．則是否一定需要六個條件呢？條件能否盡可能少呢？現(xiàn)在我們就來探究這個問題．Ⅱ．導入新課出示投影片1．只給一個條件（一組對應邊相等或一組對應角相等），畫出的兩個三角形一定全等嗎？2．給出兩個條件畫三角形時，有幾種可能的情況，每種情況下作出的三角形一定全等嗎？分別按下列條件做一做．①三角形一內角為30°，一條邊為3cm．②三角形兩內角分別為30°和50°．③三角形兩條邊分別為4cm、6cm．學生分組討論、探索、歸納，最后以組為單位出示結果作補充交流．結果展示：1．只給定一條邊時：只給定一個角時：2．給出的兩個條件可能是：一邊一內角、兩內角、兩邊．可以發(fā)現(xiàn)按這些條件畫出的三角形都不能保證一定全等．給出三個條件畫三角形，你能說出有幾種可能的情況嗎？歸納：有四種可能．即：三內角、三條邊、兩邊一內角、兩內有一邊．在剛才的探索過程中，我們已經發(fā)現(xiàn)三內角不能保證三角形全等．下面我們就來逐一探索其余的三種情況．已知一個三角形的三條邊長分別為6cm、8cm、10cm．你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形剪下與同伴畫的三角形進行比較，它們全等嗎？1．作圖方法：先畫一線段AB，使得AB=6cm，再分別以A、B為圓心，8cm、10cm為半徑畫弧，兩弧交點記作C，連結線段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它們的邊長分別為AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．2．以小組為單位，把剪下的三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)都能夠重合．這說明這些三角形都是全等的．3．特殊的三角形有這樣的規(guī)律，要是任意畫一個三角形ABC，根據前面作法，同樣可以作出一個三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．將△A′B′C′剪下，發(fā)現(xiàn)兩三角形重合．這反映了一個規(guī)律：三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為"邊邊邊”或"SSS”．用上面的規(guī)律可以判斷兩個三角形全等．判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等．所以"SSS”是證明三角形全等的一個依據．請看例題．[例]如圖，△ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連結點A與BC中點D的支架．求證：△ABD≌△ACD．Ⅲ．隨堂練習13.2.3三角形全等的判定---邊角邊一、教學目標：1、使學生理解并掌握"邊角邊基本事實”并能初步運用"邊角邊基本事實”解決實際問題。2、經歷探究"邊角邊”判定兩個三角形全等的過程，體會數(shù)學知識來源于生活又應用于實際生活；通過直觀感知、操作確認的方式來探索兩個三角形全等的判定方法；培養(yǎng)分類、推理、歸納和應用能力。3、通過幾何證明的教學，使學生養(yǎng)成尊重客觀事實和形成質疑的習慣；二、教學重、難點：1、重點：掌握"邊角邊”判定兩個三角形全等的方法及簡單應用，并能嚴謹、規(guī)范地寫出證明的過程；2、難點：正確找出證明兩個三角形全等所需的條件。教學用具：作圖教具、多媒體設備教學方法：采用"操作---實驗”的教學方法，讓學生有一個直觀的感受。教學過程：一、創(chuàng)設情境、激趣導入九寨溝以他獨特的自然風光吸引著中外游客，游客小聰在五彩池邊突然產生了這樣的一個想法：他想測量出五彩池兩邊AB兩點間的距離，可隨身只帶了一把5米的卷尺，你能幫他想想辦法嗎？相信大家通過這節(jié)課的學習一定會解決這個問題的！（出示課題）【設計意圖】通過這個小活動，可以激發(fā)學生的探究欲望，吸引學生的注意力。二、提出問題、探索新知我們探究過：有一組元素對應相等的兩個三角形不一定全等，有兩組元素對應相等的兩個三角形也不一定全等。有三組元素對應相等的兩個三角形又如何能？如果兩個三角形有三組對應相等的元素（邊或角）,則此時會出現(xiàn)幾種可能的情況呢？（學生：三邊、三角、兩邊一角、兩角一邊）好，對這四種情況我們將一一探究。今天我們先探究兩邊一角這種情況。兩個三角形有兩條邊和一個角分別對應相等，有可能會出現(xiàn)哪幾種情況呢？(結合圖形說明)可能出現(xiàn)的情況有：也就是說應該分兩種情況：一種是角夾在兩邊的中間，形成兩邊夾一角；一種是角不夾在兩邊中間，形成兩邊一對角。我們先來看第一種情況，兩邊夾一角。三、合作交流探究一：已知兩條線段和一個角，試畫一個三角形，使這兩條線段為其兩邊，這個角為這兩邊的夾角。(一)教師示范作圖（二）學生分組作圖1.小組自己規(guī)定角的度數(shù)和線段長度。2.按照規(guī)定的數(shù)據畫三角形(畫在透明紙上)。3.把你畫的三角形和組內其他同學畫的三角形進行比較，是否重合？（三）觀察歸納：1.觀察這兩個三角形，剛才是根據哪些相等的邊、角來畫的？2.這些相等的邊角有何相對位置關系？【設計意圖】通過學生動手畫圖，讓學生明確已知兩邊及夾角怎樣畫出三角形．通過學生展示作品，以及同學之間觀察對比，讓學生確信結論的正確性。這一過程符合學生的認知規(guī)律（四）概括：三兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。簡記為S.A.S（或邊角邊）幾何語言：在△ABC和△A′B′C′中∵AB=A’B’(已知)∠A=∠A’AC=AC’∴△ABC≌△A′B′C′（S.A.S）