2020年江蘇省蘇州市常熟市高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷

第第14頁(yè)，共15頁(yè)15.【答案】證明：(1)連結(jié)BC1,AC1,???ABC—A1B1C1是斜三棱柱，???四邊形BCC1B1為平行四邊形，由平行四邊形性質(zhì)得點(diǎn)E也是BC］的中點(diǎn)，?點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，???DE//AC,，又DEu平面ACC1A1，AC1u平面ACC1A1，?DE//平面ACC1A1；(2)連結(jié)CD，?CA=CB，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，???CD丄AB，又DE丄AB,DEaCD=D,DEu平面CDE,CDu平面CDE,???AB丄平面CDE，?吋u平面CDE，:.AB丄B1C.【解析】(1)連結(jié)Bq，A",由三角形中位線定理可得DE//AC1，根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論；(2)由等腰三角形的性質(zhì)可得CD丄結(jié)合DE丄由線面垂直的判定定理可得丄平面CDE,再由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論.本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．【答案】解：(1)?(sinA+sinB)(a—b)=(sinC—sinB)c?(a+b)(a—b)=(c—b)c,:.b2+c2—a.2=be,在△ABC中，由余弦定理得cosA=以+宀2,2bc將決+c2—a2=be代入上式，得cosA=1,2???AE(0,n),?A=K.3(2)由BE(0,n),cosB=広，得sinB=瓦33???sinC=sin3+B)=sinAcosB???sinC=sin3+B)6?由正弦定理得a=csinA=3.sinC【解析】(1)由(sinA+sinB)(a—b)=(sinC—sinB)c，利用正弦定理可得b2+c2—a2=be，再利用余弦定理可得cosA=丄，從而可得結(jié)果；2(2)由cosB=@，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求得sinB的值，結(jié)合(1)利用誘導(dǎo)公式以及3兩角和的正弦公式可求得sinC的值，再由正弦定理可得結(jié)果.本題主要考查了正弦定理，余弦定理和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值等，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.【答案】解：(1)f(%)=—2^3sin2x+2sinxcosx+a=sin2x+V3cos2x+a—43nl=2sin(2x+3)+u-\3f(0)=V3,f(0)=2sin-+a—^3=a=V3,

即a=V3；(2)令f(x)=0,則$誼(2處+；)=0,???xE［0,兀］,???2e+互G嚴(yán),2兀e+門,333f(x)在［0,兀］上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，n<2兀e+^<2n,?1<^<5,336???G的取值范圍為：［丄,5］.36【解析】(1)化簡(jiǎn)/(%)，根據(jù)/(0)=V3，得出a的值;(2)根據(jù)x的范圍得到2e%+忑的范圍，由條件可得兀<2兀e+^<2兀，解不等式即可.3本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎(chǔ)題.E18.【答案】解：(1)如圖，延長(zhǎng)AM與BC交于點(diǎn)Q連接PQ，直線PQ即為所求交線l.E證明：(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以丄BC.又平面P4B丄平面ABCD，平面P4B門平面ABCD=AB,BCu平面ABCD，C所以BC丄平面PAB,又4Pu平面PAB,所以4P丄BC.解：(3)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH丄于點(diǎn)H,連接CH,因?yàn)槠矫鍼4B丄平面ABCD,平面P4BC平面ABCD=AB,PH丄佔(zhàn),所以PB=2^3，ZP4B=60°，PHu平面PAB,所以PH丄平面ABCD.所以ZPCH即為PC與平面ABCD所成的角，在△APB中，Z4PB=90。，4P=2,AB=4,從而所以PB=2^3，ZP4B=60°，在骯ABCH中，CH=5,所以tan—滬:【解析】(1)延長(zhǎng)AM與BC交于點(diǎn)Q,連接PQ,直線PQ即為所求交線l；由正方形的性質(zhì)可得丄BC，由面面垂直的性質(zhì)可得，BC丄平面PAB,再由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)果；過(guò)點(diǎn)P作PH丄佃于點(diǎn)H,連接CH,由面面垂直的性質(zhì)可得PH丄平面4BCD.則ZPCH即為PC與平面ABCD所成的角，利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，以及面面垂直的性質(zhì)，線面角的求法，屬于中檔題．解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理．19.【答案】解：(1)設(shè)外輪到我國(guó)海岸線的距離PQ為x海里，

在厶ABP中，sin'APB=sin(?！猘—B)=sin(&+B)，由正弦定理得亠=亠,sin'PMsin"PB所以BP=所以BP=s?sin■伉

sin@+")在Rt△BPQ中,x=PQ=BPsin(n—0)=BPsinp=s，sinasinB,sin(a+")TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)x<d,即沁皿<°=血時(shí)，就該向外輪發(fā)出警告，今其退出我國(guó)海域.sin(a+”)s3(2)當(dāng)a+0=也時(shí)，s?sinasinB=2^1s[nas[n2^—a)=2^3sinaf^3cosa+1sina)3s[n(^+P)333222^3范.12范.麗.1—cos2a=3^2+2sin2^)=3^^^2^+4)V3n43^^sin(2^—6)^^要使不被警告，則則皿皿沁=4，即43^n(2a—^)+43>43,sin(a+P)s33663解得sin(2a—勺>丄，si62所以2kn+^<2a—^<2kn+5^,kEZ,666即kn+K<a<kn+K,kEZ,62又因?yàn)閍E(0,血)，3所以^<a<^.62當(dāng)aE嚴(yán)嚴(yán))時(shí)可以避免使外輪進(jìn)入被警告區(qū)域.62【解析】1)設(shè)外輪到我國(guó)海岸線的距離PQ為x海里，先由正弦定理求得BP=3」,sin(a+^)再利用直角三角形的性質(zhì)可得％=PQ=皿皿，根據(jù)％<d即可得結(jié)果；sin(a+^)(2)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)皿瞬化為43sin(2^—K)+43,然后解不等式43sin(2a—勺+強(qiáng)〉強(qiáng),進(jìn)而可得結(jié)果.sin(a+^)3663663本題主要考查正弦定理的應(yīng)用以及二倍角公式與輔助角公式的應(yīng)用,屬于綜合題.正弦定理是解三角形的有力工具,其常見用法有以下四種：(1)知道兩邊和一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角(一定要注意討論鈍角與銳角)；(2)知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊,求另一個(gè)角的對(duì)邊；(3)證明化簡(jiǎn)過(guò)程中邊角互化；(4)求三角形外接圓半徑.20.【答案】解：(1)當(dāng)m=2時(shí)，直線々的方程為：l12x—y+2=0,且斜率心=2,設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線"的對(duì)稱點(diǎn)為(x0,y0)，則由斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程得：俗=一1{X022^0—y^+2=022

解得：『0_解得：『0_854，5故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(-8,4)?(2)法一：由mx1+(_1)xm0,得J丄故△ABC為直角三角形，且BC為斜邊，中線長(zhǎng)為1EC,2,\mx_y+m0心」“亠-叫(m+1)%-y+(m+1)0，得"與-的父點(diǎn)C(_1,0)，丄(m+1)x_y+(m+1)0,“亠./、由｛c+my_m(m+1)0，得-與-的父點(diǎn)*(0"+1),故中線長(zhǎng)丄BC丄丿1+伽+1)2，即當(dāng)m_1時(shí)，中線長(zhǎng)有最小值為丄.222法二：因?yàn)辄c(diǎn)B是y軸上動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)BC垂直y軸時(shí)BC最短，此時(shí)中線長(zhǎng)最小值為1.2/x,\mx_y+m0心」“亠八如八、⑶由*+/“(肌+1)°，得"與的父點(diǎn)為：班羔？七嚴(yán)'由兩點(diǎn)間距離公式得佔(zhàn)〒—，Jl+m2點(diǎn)C(_1,0)到22的距離為：d日壬^211+^±^2,J1+m2Jl+m2三角形面積S嚴(yán).三角形面積S嚴(yán).11+m+m2J1+m2J1+m2丄(1+^^),21+m20，；m1+m21+mm1+m21+m21m+壬m七?[_丄，0)m+十2mG(0,1】；2所以，_1<^<丄，]<s<3.21+m2244答：故答案為(1)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(_8,4).(2)最小值；.(3片<^<4【解析】(1)當(dāng)m2時(shí)，直線"的方程為：〈2%—y+20,設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線J的對(duì)稱點(diǎn)為(%0，兒)，利用斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程求解即可；「mx_y+m0J:%+my—m(m+1)0,(m+1)x_y+(m+1)0