2022年秋高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.3圓及其方程2.3.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

2.3.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程第二章課標(biāo)要求1.掌握?qǐng)A的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程;2.能根據(jù)圓心、半徑寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題;3.能用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;4.能用圓的幾何性質(zhì)處理與圓心及半徑有關(guān)的問(wèn)題.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

圓的定義平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的

是圓,其中定點(diǎn)是

,定長(zhǎng)是圓的

.

知識(shí)點(diǎn)2

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般地,如果平面直角坐標(biāo)系中☉C的圓心為C(a,b),半徑為r(r>0),設(shè)M(x,y)為平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn),則點(diǎn)M在☉C上的充要條件是|CM|=r,即

=r,兩邊平方,得

,通常稱(chēng)為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

集合

圓心半徑(x-a)2+(y-b)2=r2

過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2一定是圓的方程.(

)(2)函數(shù)y=b-

(r>0)的圖象是以(a,b)為圓心,半徑為r的位于直線y=b下方的半圓弧.(

)×√2.在平面直角坐標(biāo)系中,圓是函數(shù)的圖象嗎?提示根據(jù)函數(shù)知識(shí),對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的某一曲線,如果任意一條垂直于x軸的直線與此曲線至多有一個(gè)交點(diǎn),那么這條曲線是函數(shù)的圖象,否則,不是函數(shù)的圖象.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圓,存在一條垂直于x軸的直線與其有兩個(gè)交點(diǎn),因此圓不是函數(shù)的圖象.知識(shí)點(diǎn)3

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0,y0)與☉C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系及判斷方法

位置關(guān)系利用距離判斷利用方程判斷點(diǎn)M在圓上|CM|=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2點(diǎn)M在圓外|CM|>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2點(diǎn)M在圓內(nèi)|CM|<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2過(guò)關(guān)自診點(diǎn)P(1,3)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是(

)A.點(diǎn)在圓外 B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓上 D.不確定答案

B重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

(1)圓心在點(diǎn)C(2,1),半徑長(zhǎng)是

的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

(2)圓心在點(diǎn)C(8,-3),且過(guò)點(diǎn)P(5,1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

(3)已知兩點(diǎn)A(-1,-3),B(3,a),以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

答案

(1)(x-2)2+(y-1)2=3

(2)(x-8)2+(y+3)2=25

(3)(x-1)2+(y+2)2=5

∵以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),∴(0,0)代入①成立,解得a=-1.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+2)2=5.規(guī)律方法

1.確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑,因此用直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),要首先求出圓心坐標(biāo)和半徑,然后直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.確定圓心和半徑時(shí),常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式,有時(shí)還用到平面幾何知識(shí),如“弦的中垂線必過(guò)圓心”,“兩條弦的中垂線的交點(diǎn)必為圓心”等.變式訓(xùn)練以?xún)牲c(diǎn)A(-3,-1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是(

)A.(x+1)2+(y+2)2=100 B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x+1)2+(y+2)2=25 D.(x-1)2+(y-2)2=25答案D

解析

∵線段AB為直徑,∴AB的中點(diǎn)(1,2)為圓心,∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=25.

探究點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例2】

已知在平面直角坐標(biāo)系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四點(diǎn),這四點(diǎn)能否在同一個(gè)圓上,為什么?(x-1)2+(y-3)2=5.把點(diǎn)D的坐標(biāo)(-1,2)代入上述圓的方程,得(-1-1)2+(2-3)2=5.所以點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓上,即A,B,C,D四點(diǎn)能在同一個(gè)圓上.規(guī)律方法

判斷點(diǎn)P(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系的方法

變式探究試求過(guò)三點(diǎn)A(0,1),B(2,1),C(3,4)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并且判斷點(diǎn)(3,6)與所求圓的位置關(guān)系.解所求圓的方程同例題中的結(jié)論(x-1)2+(y-3)2=5.因?yàn)辄c(diǎn)(3,6)代入方程的左邊可得(3-1)2+(6-3)2=13>5,所以點(diǎn)(3,6)在該圓外.素養(yǎng)培優(yōu)一題多解——待定系數(shù)法與幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例】

求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn),并且圓心在直線2x+3y+1=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【規(guī)范答題】

解(方法一)待定系數(shù)法設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-4)2+(y+3)2=25.(方法二)幾何法由題意知OP是圓的弦,其垂直平分線為x+y-1=0.∵弦的垂直平分線過(guò)圓心,規(guī)律方法

1.待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟

2.幾何法即是利用平面幾何知識(shí),求出圓心和半徑,然后寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.有時(shí)待定系數(shù)法和幾何法交叉使用,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.圓心為(3,1),半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x+3)2+(y+1)2=25C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x-3)2+(y-1)2=25答案

D2.若點(diǎn)(5a+1,12a)在圓(x-1)2+y2=1的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)a滿足(

)答案

D解析

依題意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1,3.圓心在y軸上,半徑為1,且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1答案A

解析

(方法一)直接法

∴b=2,∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2+(y-2)2=1.(方法二)數(shù)形結(jié)合法作圖(如圖),根據(jù)點(diǎn)(1,2)到圓心的距離為1,且圓心在y軸上易知,圓心為(0,2),故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2+(y-2)2=1.4.圓(x-3)2+(y+1)2=1關(guān)于直線x+y-3=0對(duì)稱(chēng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是