《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案-第一章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案第一章1．寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件中的樣本點(diǎn)：擲一顆骰子，記錄出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).A=‘出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)'將一顆骰子擲兩次，記錄出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).a=‘兩次點(diǎn)數(shù)之和為10'B=‘第一次的點(diǎn)數(shù)，比第二次的點(diǎn)數(shù)大2'一個(gè)口袋中有5只外形完全相同的球，編號(hào)分別為1,2,3,4,5;從中同時(shí)取出3只球，觀察其結(jié)果，a=‘球的最小號(hào)碼為1'；將a,b兩個(gè)球，隨機(jī)地放入到甲、乙、丙三個(gè)盒子中去，觀察放球情況，a=‘甲盒中至少有一球'記錄在一段時(shí)間內(nèi)，通過某橋的汽車流量，a=‘通過汽車不足5臺(tái)'b=‘通過的汽車不少于3臺(tái)'解(1)S={e,e,e,e,e,e}其中e=‘出現(xiàn)i點(diǎn)'TOC\o"1-5"\h\z123456ii=1,2,,6，A={e,e,e}。135???S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；A={(4,6),(5,5),(6,4)}；B={(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}。⑶S={(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}A={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}S={(ab,-,-),(一,ab,-),(一,一,ab),(a,b,-),(a,—,b),(b,a,—),(b,-,a),(-,a,b,),(-,b,a)}，其中‘-'表示空盒;A={(ab,-,-),(a,b,-),(a,-,b),(b,a,-),(b,-,a)}。S={0,1,2,},A={0,1,2,3,4},B={3,4,}。2?設(shè)A,B,C是隨機(jī)試驗(yàn)e的三個(gè)事件，試用A,B,C表示下列事件：僅A發(fā)生；A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生；A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生；A,B,C中恰有兩個(gè)發(fā)生；A,B,C中至多有一個(gè)發(fā)生。解⑴ABC(2)ABACBC或ABCABCABCABC；uuuuu(3)ABC或ABCABCABCABCABCABCABC；j(4)U_U丄Juu4)ABCABCABC；⑸AB寸CBC或ABCABCABCABC；—個(gè)工人生產(chǎn)了三件產(chǎn)品，，，以a(?=1,2,3)表示第i件產(chǎn)品是正品，試用a表示下列事件：(1)沒有一件產(chǎn)品是次品；(2)至少有一件產(chǎn)品是次品；(3)恰有一件產(chǎn)品是次品；(4)至少有兩件產(chǎn)品不是次品。解(1)AAA；(2)AAA；(3)123123AAAAAAAAA；(4)AAAA(AAI。123123123121323在電話號(hào)碼中任取一個(gè)電話號(hào)碼求后面四個(gè)數(shù)字全不相同的概率。解設(shè)a=‘任取一電話號(hào)碼后四個(gè)數(shù)字全不相同'則P4126P(A)=斑==0.504104250一批晶體管共40只，其中3只是壞的，今從中任取5只，求(1)5只全是好的的概率；(2)5只中有兩只壞的的概率。解(1)設(shè)a=‘5只全是好的'則P(A)=C5-0.662；40

(2)設(shè)B=‘5只中有兩只壞的'則C2C3P(B)二—70.0354?C5406?袋中有編號(hào)為1到10的10個(gè)球，今從袋中任取3個(gè)球，求1)3個(gè)球的最小號(hào)碼為51)3個(gè)球的最小號(hào)碼為5的概率；2)3個(gè)球的最大號(hào)碼為5的概率(1)設(shè)a=‘最小號(hào)碼為5'則C21P(A)二4二-；C312102)設(shè)2)設(shè)B=‘最大號(hào)碼為5'則C21P(B)二4=-C320107.(1)教室里有廠個(gè)學(xué)生，求他們的生日都不相同的概率；(2)的概率.(2)的概率.房間里有四個(gè)人，求至少兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月(1)設(shè)A=‘他們的生日都不相同'則PrP(A)二3635(2)設(shè)B=‘至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月'則

41；996n”、C2C1P2+C2C2+C3P241；996P(B)二4―1^T+4124^212124P441P(B)=1-P(B)=1-盂二968．設(shè)一個(gè)人的生日在星期幾是等可能的，求6個(gè)人的生日都集中在一個(gè)星期中的某兩天，但不是都在同一天的概率.解設(shè)A=‘生日集中在一星期中的某兩天，但不在同一天'，則P(A)二C；(26—2)二0.01107.為什么769?將C,C,E,E,I,N,S等7個(gè)字母隨機(jī)地排成一行，那么恰好排成英文單詞SCIENCE的概率是多少解設(shè)A二‘恰好排成SCIENCE'1將7個(gè)字母排成一列的一種排法看作基本事件，所有的排法：字母c在7個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有C2種占法，字母7E在余下的5個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有c2種占法，字母I,n,C剩下的3個(gè)位置上全排列的方法共3!種,故基本事件總數(shù)為C2?C2?引二1260，而A中的基本事件只有一個(gè)，故75P(AP(A)二11C2?C2?3^126075解七個(gè)字母中有兩個(gè)E,兩個(gè)C,把七個(gè)字母排成一2排，稱為不盡相異元素的全排列。一般地，設(shè)有n個(gè)元素，其中第一種元素有n個(gè)，第二種元素有n個(gè)…，第k種元素12有n個(gè)(nnnn),將這n排，稱為不盡相異元素的全排列。一般地，設(shè)有n個(gè)元素，其中第一種元素有n個(gè)，第二種元素有n個(gè)…，第k種元素12有n個(gè)(nnnn),將這n個(gè)元素排成一排稱為不盡相k12k異元素的全排列。不同的排列總數(shù)為n!,n!n!n!12k對(duì)于本題有P(A)141市7!面02T2~!10．從0,1,2,,9等10個(gè)數(shù)字中，任意選出不同的三個(gè)數(shù)字，試求下列事件的概率：A‘三個(gè)數(shù)字中不含0和5'，A‘三個(gè)數(shù)字中不含0或5'，A‘三個(gè)數(shù)字中含0但不23含5'.P(A)1C3C3C3C314，ct10ct10ct1015Ct10715P(A)2P(A)1P(A)22C11418-Cs1510P(A)3C28-Cs1073011?將n雙大小各不相同的鞋子隨機(jī)地分成n堆，每堆兩只，求事件A‘每堆各成一雙'的概率.

解n雙鞋子隨機(jī)地分成n堆屬分組問題，不同的分法共(2n)!=凹！‘每堆各成一雙'共有n!種情況，故2!2!2!(2!)n(2n)!(2n)!12?設(shè)事件A與B互不相容，P(A)=0.4,P(B)=0.3，求P(AB)與P(AB)解P(AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)=0.3因?yàn)锳,B不相容，所以A二B，于是P(AB)=P(A)=0.613?右P(AB)=P(AB)且P(A)二P，求P(B)?解P(AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)由P(AB)=P(AB)得UP(B)=1-P(A)=1-p14?設(shè)事件A,B及AB的概率分別為p,q,r，求P(AB)及P(AB)P(AB)二P(A)+P(B)—P(AB)二p+q—rP(AB)=P(A)+P(B)-P(AB憶P(A)+1-P(B)-P(A)+P(AB)=1一q+p+q一r=1+p一r-15?設(shè)P(A)+P(B)=0.7，且A,B僅發(fā)生一個(gè)的概率為，求A,B都發(fā)生的概率。解由題意有1———0.5=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.7-2P(AB),所以P(AB)=0.1.A,B僅發(fā)生一個(gè)可表示為AB—AB，故0.5=P(AB)—P(AB)=P(A)+P(—2P(AB),所以P(AB)=0.1.16?設(shè)P(A)=0.7,P(A—B)=0.3,P(B—A)=0.2，求P(AB)與P(AB)?解0.3=P(A—B)=P(A)—P(AB)=0.7—P(AB),所以P(AB)=0.4,故P(AB)=0.6；0.2=P(B)—P(AB)=P(B)—0.4?所以P(B)=0.6P(AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=0.117?設(shè)ABuC，試證明P(A)+P(B)-P(C)<1［證］因?yàn)锳BuC，所以P(C)>P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)>P(A)+P(B)-1故uP(A)+P(B)-P(C)<1證畢.18．對(duì)任意三事件A,B,C，試證P(AB)+P(AC)-P(BC)<P(A)?［證］P(AB)+P(AC)-P(BC)<P(AB)+P(AC)-P(ABC)=P(ABAC)=P{A(BC)}<P(A)19．設(shè)A,B,C是三個(gè)事件，且P(A)=P(B)=P(C)=P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=-，求A,B,C至少48有一個(gè)發(fā)生的概率。P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(AB0因?yàn)閁<P(ABC)<P(AB)=0，所以P(ABC)=0，于是

20?隨機(jī)地向半圓0<yy2ax-x2（a為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于冗/4的概率.設(shè)A二設(shè)A二‘原點(diǎn)與該點(diǎn)連線與x由幾何概率的定義11A的面積4兀a2+2a211==_+一半園的面積1冗a22兀221?把長(zhǎng)為a的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率.解設(shè)A=‘三段可構(gòu)成三角形'又三段的長(zhǎng)分別為解設(shè)A=‘三段可構(gòu)成三角形'又三段的長(zhǎng)分別為1解設(shè)三段長(zhǎng)分別為x,y,z，則0<x<a,0<y<a,0<z<a且x+y+Z二a，不等式確定了三維空間上的有界平面域S.A發(fā)生x/