2022年秋高中數(shù)學第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.2一元線性回歸模型及其應用8.2.1一元線性回歸模型8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最玄乘估計課件新人教A版選擇性必修第三冊

8.2.1一元線性回歸模型8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計第八章課標要求1.了解隨機誤差、殘差、殘差圖的概念,會通過殘差分析判斷線性回歸模型的擬合效果.2.了解回歸分析的基本思想方法和初步應用.內容索引0102基礎落實?必備知識全過關重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學以致用?隨堂檢測全達標基礎落實?必備知識全過關知識點1

一元線性回歸模型

我們稱該式為Y關于x的一元線性回歸模型.其中,Y稱為因變量或響應變量,x稱為自變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù),a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間的隨機誤差.過關自診判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)兩個變量之間產(chǎn)生隨機誤差的原因僅僅是因為測量工具產(chǎn)生的誤差.(

)(2)在畫兩個變量的散點圖時,響應變量在x軸上,解釋變量在y軸上.(

)(3)隨機誤差一般是不可觀測的隨機變量.(

)××√知識點2

一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計1.經(jīng)驗回歸方程2.殘差與殘差分析對于響應變量Y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值,通過經(jīng)驗回歸方程得到的

稱為預測值,觀測值減去預測值稱為殘差.殘差是隨機誤差的估計結果,通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果,以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等,這方面工作稱為殘差分析.在殘差圖中,當殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出經(jīng)驗回歸方程.(

)(2)殘差平方和越接近0,線性回歸模型的擬合效果越好.(

)(3)R2越小,線性回歸模型的擬合效果越好.(

)(4)進行回歸分析前,要先進行相關性的分析.(

)(5)經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心().(

)×√×√√2.在回歸分析中,利用經(jīng)驗回歸方程求出的值一定是真實值嗎?為什么?提示

不一定是真實值.利用經(jīng)驗回歸方程求出的值,在很多時候只是預測值,例如,人的體重與身高存在一定的線性相關關系,但體重除了受身高的影響外,還受其他因素的影響,如飲食、是否喜歡運動等.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一求經(jīng)驗回歸方程【例1】

某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù):x681012y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程;(3)試根據(jù)求出的經(jīng)驗回歸方程,預測記憶力為9的同學的判斷力.解(1)散點圖如圖:規(guī)律方法

求經(jīng)驗回歸方程:變式訓練1(2022陜西咸陽月考)某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計了口罩生產(chǎn)車間每名工人的生產(chǎn)速度,并將所得數(shù)據(jù)分成五組,繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計口罩生產(chǎn)車間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)(結果寫成分數(shù)的形式);(2)為了解該車間工人的生產(chǎn)速度是否與他們的工作年限有關,現(xiàn)從車間所有工人中隨機調查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡(參加工作的年限),所得數(shù)據(jù)如表:工齡x(單位:年)4681012生產(chǎn)速度y(單位:件/小時)4257626267根據(jù)上表數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關于他的工齡x的經(jīng)驗回歸方程解

(1)由頻率分布直方圖可知,(0.006+0.016+0.026+a+0.016)×10=1,解得a=0.036,∵0.06+0.16+0.26=0.48<0.5,0.06+0.16+0.26+0.36=0.84>0.5,∴中位數(shù)位于50~60之間,設中位數(shù)為m,則0.06+0.16+0.26+0.036(m-50)=0.5,探究點二回歸分析【例2】

某運動員訓練次數(shù)x與成績y的數(shù)據(jù)如下:次數(shù)x3033353739444650成績y3034373942464851(1)作出散點圖;(2)建立成績y關于次數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程;(3)作出殘差圖;(4)計算R2,并用R2說明擬合效果的好壞.解(1)該運動員訓練次數(shù)x與成績y之間的散點圖如圖所示,由散點圖可知,它們之間具有線性相關關系.(3)某運動員訓練次數(shù)與成績之間的數(shù)據(jù)及相應的殘差數(shù)據(jù)為

殘差圖如圖所示.由圖可知,殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明選用的模型比較合適.(4)計算得R2≈0.985

5.說明擬合效果較好.規(guī)律方法

1.解答本類題目應先通過散點圖、樣本相關系數(shù)來分析兩個變量是否線性相關,再利用求經(jīng)驗回歸方程的公式求解經(jīng)驗回歸方程,并利用殘差圖或R2來分析模型的擬合效果.2.“R2、殘差圖”在回歸分析中的作用:(1)R2是用來刻畫回歸效果的,由R2=1-,可知R2越大,意味著殘差平方和越小,也就是說模型的擬合效果越好.(2)殘差圖也是用來刻畫回歸效果的,判斷依據(jù)是:殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定.變式訓練2在一段時間內,某種商品的價格x(單位:元)和需求量y(單位:件)之間的一組數(shù)據(jù)如下:x/元1416182022y/件1210753已知x與y線性相關,求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程,并用R2說明擬合效果的好壞.探究點三求非線性經(jīng)驗回歸方程【例3】

某地區(qū)六年來輕工業(yè)產(chǎn)品利潤總額y(單位:億元)與年次x的數(shù)據(jù)如下:年次x123456利潤總額y/億元11.3511.8512.4413.0713.5914.41由經(jīng)驗知,年次x與利潤總額y(單位:億元)近似有如下關系:y=abxe0.其中a,b均為正數(shù),求y關于x的經(jīng)驗回歸方程.解對y=abxe0兩邊取自然對數(shù),得ln

y=ln

ae0+xln

b.令z=ln

y,則z與x的數(shù)據(jù)如下表:x123456z2.432.472.522.572.612.67由z=ln

ae0+xln

b及最小二乘法,得ln

b≈0.047

7,ln

ae0≈2.378,規(guī)律方法

非線性經(jīng)驗回歸方程的求法

變式訓練3某展會一天上午9點半到下午2點的即時參觀人數(shù)如下表:時間x9.51010.51111.51212.51313.514人數(shù)y/萬12.3920.0225.5730.2635.7737.5740.2340.9541.7343.71已知時間與參觀人數(shù)具有很強的相關關系,試求出這段時間內即時參觀人數(shù)關于時間的經(jīng)驗回歸方程.解根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖如圖所示.由圖可以看出,樣本點分布在某條對數(shù)型函數(shù)曲線y=a+bln

x

的周圍.令z=ln

x,則y=a+bz,故y與z具有線性相關關系.可知y與z的數(shù)據(jù)如下表:z2.252.302.352.402.442.482.532.562.602.64人數(shù)y/萬12.3920.0225.5730.2635.7737.5740.2340.9541.7343.71本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)一元線性回歸模型;(2)最小二乘法、經(jīng)驗回歸方程的求法;(3)對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析:殘差圖法、殘差平方和法和R2法.2.方法歸納:代入法、數(shù)形結合、轉化與化歸.3.常見誤區(qū):(1)不判斷變量間是否具有線性相關關系;(2)盲目求解經(jīng)驗回歸方程致誤.學以致用?隨堂檢測全達標1.已知甲、乙、丙、丁四位同學在建立變量x,y的模型時,分別選擇了4種不同模型,計算它們的R2分別如下表:學生甲乙丙丁R20.980.780.500.85則建立的模型擬合效果最好的是(

)A.甲

B.乙

C.丙

D.丁答案A

解析

因為R2的值越大,模型擬合效果越好,所以甲的擬合效果最好.答案B

3.(2022貴州貴陽模擬)某公司為了確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:萬元)對年銷售量y(單位:千件)的影響.現(xiàn)收集了近5年的年宣傳費x(單位:萬元)和年銷售量y(單位:千件)的數(shù)據(jù),其數(shù)據(jù)如下表所示,且y關于x的線性回歸方程為

x-8.2,則下列結論錯誤的是(

)x4681012y1571418A.x,y之間呈正相關關系

C.該經(jīng)驗回歸直線一定經(jīng)過點(8,7)D.當該產(chǎn)品的年宣傳費為20萬元時,預測其年銷售量為34800件答案C

故當該產(chǎn)品的年宣傳費為20萬元時,預測其年銷售量為34800件,故選項D正確.故選C.4.某課題組調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位:萬元)和年飲食支出y(單位:萬元)的情況,調查結果顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系,并由調查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)關于x的經(jīng)驗回歸方程為

=0.254x+0.321.由經(jīng)驗回歸方程可知,家庭年收入每增加1萬元,年