計算教學中的創(chuàng)新思維培養(yǎng)匯總

以內進位加法計算是一種映射。如果給出若干元素，按照某種法則存在唯一元素與它相對應，稱之為計算。計算學習包括算法理解，技能習得和問題解決，它們相互聯系并構成教學的整體。教學中要處理好三者之間的關系，注意避免把獲得正確的計算結果作為教學的唯一要求，應當重視在計算活動中對學生的思考性訓練，注重培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。下面以20以內進位加法為例，談一些思考和實踐。一、學前基礎的調查與教學啟示現在的小學生大部分受過學前教育，在學習20以內進位加法之前，已有相當一部分學生能熟練計算。2000年11月，我們曾在學生正式學習這一內容之前的一個月，對杭州市上城區(qū)一年級470名學生進行調查，得出的結論是45.93%的學生能較熟練地進行計算，計算速度達到每分8題，平均每題的通過率是77.53%。2009年11月，我們再次對這一地區(qū)一年級新入學的491名學生進行調查，學前平均每題的通過率竟高達91.62%。兩次測試每題通過率如下表：20012009年2001200920012009題年通題目年通年通過題目年通過年通過目通過率過率過率率率率98.0296.22%8+792.2186.94%6+871.9090.38%9+2%%96.2392.78%8+881.0393.13%6+965.5392.44%9+3%%97.4496.22%8+958.5189.00%5+696.0895.19%9+4%%91.0691.41%7+468.7293.81%5+782.3489.69%9+5%%84.8990.38%7+571.7094.50%5+868.5190.38%9+6%%64.6887.63%7+669.7987.97%5+978.7294.85%9+7%65.7487.63%7+774.0489.69%4+770.8590.38%9+8%%84.0489.00%7+870.2189.00%4+882.5592.10%9+9%%75.3293.13%7+944.6889.00%4+950.8590.72%8+3%%94.7491.07%6+574.8992.44%3+863.4091.75%8+4%%73.8395.88%6+692.3491.97%3+995.2893.81%8+5%%87.7087.63%6+780.3191.75%2+982.7796.56%8+6%%需要說明的是，測試題目就是表中所列的36式，但并非按上述順序，而是打亂順序隨機排列的。兩次調查的結果都表明，僅就獲得計算結果而言，學生在正式學習20以內進位加法之前，已經具備十分扎實的基礎，與《課程標準》（實驗稿）提出的每分8～10題的要求已十分接近?；谶@樣的事實，教學20以內進位加法，學習起點如何定位？教學的重心如何轉向？我們的回答是，教學的重心不再是計算技能的習得，而應該在理解算理和掌握算法的基礎上，把重心放在計算活動中的數學方法訓練上，通過合適的訓練形式挑戰(zhàn)學生的思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。二、問題情境的設計與算理理解理解算理是掌握算法的邏輯起點。在學習 20以內的進位加法之前，學生已經學習了 10以內的加法與減法，包含相應的十幾加幾或減幾，這些計算都不涉及進位與退位，側重于對運算意義的理解并把計算關聯到廣泛而不同的情境。 從20以內的進位加法開始，教學轉向形式化的計算并側重于對算理理解和算法掌握。教學時以“湊 10法”為基礎，通過問題情境，幫助學生理解算理，探索多種算法。如，先出示情境圖。師：觀察這幅圖，你知道了什么？生：左邊有 8個雞蛋，右邊有 5個雞蛋。師：一共有多少個雞蛋，可以怎么算？生：8+5＝13.師：你是怎么算出答案 13的？生：8與10相差2，5里面有2，把2分到8這里去就是10了，還多3個，就是13。師：剛才這位同學說的是什么意思？生：只要把左邊擺成 10個，右邊就剩下 3個，一看就知道是 13。學生解釋，教師根據師生對話，先動態(tài)演示移動雞蛋的過程，再完成下面的板書（如下面左圖）。師：還有沒有別的方法也能算 8＋5？討論中，學生以匯報了以下三種方法：生1：把8分成3和5，5加5等于10，再加上3就是13.（如上面右圖）生2：把8當成10，用10＋5，因為8不到10，多算了2，要減去，這樣它的答案也是13。學生解決問題策略多樣化是創(chuàng)新思維的表現。但是這些策略不是無源之水，與教材的編排設計與學生經歷的訓練有關，限于篇幅，這里主要討論“湊 10法”。首先，“拿雞蛋”的活動情境隱含了“湊 10”的思考過程，情境支持了算理的理解。教學中，教師的主要任務就是引導學生解釋和說明，讓學生通過多樣的方法演繹“湊 10”的思考過程。學生經歷了問題情境、語言敘述和算式表征之間相互聯系和轉譯的過程，并在這個過程中理解算理，掌握算法。其次，學生為什么會對“湊10”比較敏感？這個問題可以聯系到教材設計認數活動中。我們在設計“認識10”時，強調把“10”作為一個新的計數單位，重視以“十”為單位計數。如延續(xù)到認識十幾的數時，十分重視“圈 10”的訓練。如20以內進位加法的教學，以“湊 10”為基礎，讓學生在相似情境中遷移計算方法，這樣就可以改變以往 8加幾、7加幾?逐類教學的方式， 通過集中一兩節(jié)課理解算理， 探索多樣算法，然后在后繼的鞏固練習中形成熟練的技能，提高教學的效率，把更多精力投入到更有價值的學習活動中去。三、數學思想滲透與數學方法的訓練20以內進位加法，是進一步學習數運算的重要基礎。 教學時，不能止步于形成熟練的計算技能，而應當通過豐富多樣的形式，加強計算活動中的思考性訓練，滲透數學思想，訓練數學方法，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。形數轉換。通過坐標圖中的形與數、形與式的轉換，建立數、式、形的聯系，滲透形數結合的思想。信息推理。根據情境信息，在理解基數與序數關系的基礎上，對信息進行加工處理，解決問題。聯系比較。根據式與式之間的關系，靈活選擇計算的方法，并為后繼學習乘加、乘減作準備。代數思維。從同數連加求和到同圖連加已知和求圖形所示的數，培養(yǎng)可逆思考能力，滲透初步代數思維。構造性方法。如，等距搭配。觀察數列的規(guī)律，構建和相等的式子。先從4,5,6,7,8這五個數中，找出兩個數相加后和相等的三對數。4+7＝□+□ □+□＝□+□ □+□＝□+□再把這五個數填在每個圖的小方格里，使橫、豎三個數的和相等。4和是□ 6 和是□ 8 和是□又如，選數填空。先構建出基本的等式，再通過數的分解獲得多種解法。此題共有52個解，按和值分類，解的個數呈正態(tài)分布。在限定的時間內，學生能否得到解答，能得到幾個解答，可以反映學生的基本運算能力和解題策略水平。我們對兩個地區(qū)567名學生進行調查發(fā)現，通過和值相等的口算系列訓練之后，學生解題此題的通過率比自然狀態(tài)（沒有經過系統訓練）有很大提高，能獨立得到1個及1個以上解的從提高到95.3%，其中能得到5個以上解的從12.7%提高到63.3%。再如，方格連數。

78.5%根據不同的年級，可以把和數改成30，40或其它，答案多達數十種。這種類型的練習，結構比較簡單，但是訓練的容量很大。以上練習，可以安排在學習了20以內進位加法之后進行，練習目的除了鞏固基本的計算方法，形成熟練的計算技能之外，更側重于數學思想的滲透和數學方法的訓練。由于計算的算式一般不是直接給出，而是由學生自己構造出來，計算時需要思考數與數的關系或數的空間位置，思考性和挑戰(zhàn)性明顯增強。應當強調，這些富有挑戰(zhàn)性的數學問題聯系的知識基礎并不復雜，學生創(chuàng)新思維主要體現在觀察、比較、探索和發(fā)現的過程之中。數學教育應當注重開發(fā)既聯系重要基礎，又能拓展思維空間的學習材料，把加強基礎知識與培養(yǎng)創(chuàng)新思維有機地結合起來。同時，那種認為學生年齡太小，學習內容太簡單，不能進行創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)的想法也是錯誤的。表內乘、除法乘、除法是學生學習了加、減法之后再學習的新運算。學生學習乘、除法需要更多的數學理解，要以新的思維方式進行思考，一般認為，學生學習乘、除法是計算概念的一次擴展，是認知上的一次飛躍。在學生學習乘、除法之前，應當進行鋪墊性訓練，以降低學生在學習新知識第一時間所產生的難度，提高新知的掌握水平。同時，乘、除法的學習拓展了學生數學視野和應用數學的空間， 教學應當重視培養(yǎng)學生的數學思維，特別是推理能力。一、乘、除法學習的鋪墊性訓練乘法表示兩個集合之間“一與多”相對應的恒定關系。乘法涉及兩個數，分別是每個集合中物體的個數和集合的個數，即通常教學中所說的相同加數和相同加數的個數。乘法是表示同數連加的一種方法，求幾個相同加數的和可以用乘法計算，這說明乘法與加法密切聯系。但是，與加法相比較，由于乘法中每個數所起的作用不同，理解乘法中三個數是如何聯系的，對學生的抽象思維能力要求更高。因此，在正式學習乘法之前，有必要安排鋪墊性的訓練。同數相加。乘法的本質是一類特殊的加法，這里所指的特殊就是加數相同。如結合圖示直觀，初步感知每份量、份數與總數之間的關系。把同數相加的問題情境轉譯成“幾個幾相加等于幾”，為學習乘法這一新知識的含義打下基礎。2.一與多對應。一與多對應是指一個與多個相對應，學生遇到的比較簡單的乘法形式，如1輛汽車有4個輪子，就是這種對應關系。日常生活中這種例子比比皆是。如在正式學習乘法之前，讓學生通過數集合中物體的個數與集合的個數，體會這些數的含義以及它們之間的關系，為學習乘法積累活動經驗。遞推計算。這里所指的“遞推”不是指演繹推理中遞推關系，而是在同數相加的計算中，基于已有的計算結果，結合相同加數個數的變化推算出新的得數。如這種訓練結合20以內的進位加法進行，使學生在熟練加法計算的同時，獲得對相同加數，相同加數個數等概念的初步理解。隨著學生認數范圍的擴展，這類鋪墊可以結合不同的基礎進行。如學習兩位數加一位數之后安排：聯系進位加法的學習，安排：除法學習的早期鋪墊，主要包括兩個方面：一是理解除法的上位概念平均分，二是積累把物體平分的活動經驗，這兩個方面是相互聯系的，在實際教學中也可以結合在一起進行。如教學時，可以呈現幾種不同的分法，如通過正反兩種例子的比較，幫助學生建立平均分的概念。進一步，可引導學生通過畫圖或操作學具，把物體拆分成相等的集合。如平分對兒童來說是很生動的數學活動，在平分活動中，需要考慮三個因素，一是全體的大小，二是分為幾部分和每部分的大小，三是每部分必須相等。這些思考構成了理解平均分的基礎。平均分通常有兩種含義：一是多個物體的平均分配，二是一個物體的平均分。前者是認識除法的基礎，后進是認識分數的起點。一般在學習除法之前只講前者，對于基礎較好的班級，也可以適當考慮后者。如讓學生判斷下圖中哪些是把長方形平均分的？乘法是加法的重復，除法也可以看作減法的重復， 乘法和除法的實際計算結果可以由連加或連減導出，這些運算之間的聯系，可以通過問題情境的驅動與形數結合的方式，讓學生感受和體會，如需要說明的是，以上這些鋪墊訓練都是結合不同學習階段的重要基礎進行的， 這樣既可以鞏固當前學習基礎，又不會增加學習負擔。換句話說，我們所強調的早期鋪墊，側重于從知識內在聯系的角度設計，而不是為了新知學習提前重新構建一個基礎。二、表內乘除法練習中的思考性訓練采用橫排的方式學習乘法口訣，以“同數相乘”作為“幾”的口訣起始句，在學習 2～4的乘法口訣時，結合“乘加”、“乘減”的學習，引導學生推導乘法口訣，理解乘法口訣的相互聯系，如8×3+8=8×□三八24□八3232學習7，8，9的口訣時，只剩下 6句。借助正方形格子圖的直觀引導學生編寫同數相乘的口訣，先利用正方形內 8行8列的格子引出 8×8＝64,八八64。再將其內縮一行一列編“七七”的口訣，外擴一行一列編“九九”的口訣。進而以同數相乘的口訣為基礎，利用乘加、乘減計算推導出另外三句口訣。7×7+7＝568×8+8＝727×8+7＝637×7+7＝7×88×8+8＝8×97×8+7＝7×9七八56八九72七九638×8-8＝569×9-9＝729×8-9＝638×8-8＝8×79×9-9＝9×89×8-9＝9×7七八56八九72七九63在5～9的乘法口訣教學時，用口訣求積與用口訣求商相結合，相互促進，進一步理解乘除法的關系。乘、除法的問題情境豐富多變，如乘法主要有四種情境，分別是等組、倍數比較、矩形隊列、搭配（笛卡爾積），這些情境為設計多樣的練習提供了資源。教學中，教師應當提供不同的問題情境，豐富學生對乘、除法的理解，使學生有機會在學習乘、除法的過程中，培養(yǎng)靈活的思維能力，學習重要的數學思考。乘、除法聯系著許多重要的數學概念和數學思想，如倍數、比例、函數思想等等。這些知識可以整合在表格式的應用問題中加以滲透，如學習 4的乘法口訣時，可以安排：這里創(chuàng)設了兩個量“共變”的情境，學生需要考慮變量之間是如何聯系的，初步體會函數關系，并可為理解比例關系打下基礎。乘、除法學習聯系廣泛，教學時應當有目的地開展數學活動， 通過設計有針對性的練習，培養(yǎng)不同的數學能力。如同樣是形數結合，可以安排：兩個問題情境都需要學生自己構建算式，但側重的基礎和培養(yǎng)的能力不一樣。一個是乘法中較為基礎的等組情境，但因為需要空間觀念而增加了思考性， 另一個乘法中的倍數比較，把計算建立在圖形合與分的基礎上。在乘、除法的學習中，對倍數概念進行正向和逆向的應用，可以培養(yǎng)學生的推理能力。推理是人們獲得新知的重要手段。任何推理都由兩部分組成，一部分是推理所依據的已知判斷，即前提；另一部分是推出新的判斷，即結論。根據前提與結論不同的聯系方式，可以設計出不同形式和不同層次的乘法推理。如一對多的推理。每份量（1條裙子）聯系著已知條件（前提）與所求問題（結論） ，根據條件與問題之間的直接聯系構建乘法算式。在學生發(fā)展的一定時候，可逐步抽象化，以圖形推算的形式呈現，并用邏輯聯結詞聯系條件與問題。如，三段推理。如果■＝★×4★＝▲×9那么■＝□個▲。由兩個條件作為前提，根據兩個條件之間的聯系，構建新的條件（結論） 。對應推理根據每份對應量的差不變，感知“每份量的差×份數＝總數差”的數量關系。掌握這種數量關系，可以解決較復雜的問題，如下面的差對應問題：關系推理。已知▲×●＝24如果▲-●＝5，那么▲+▲+●＝□如果▲-●＝2，那么▲+▲+●＝□根據數與數、式與式之間的關系，推算出圖形表示的數。有些數學問題之所以復雜， 是因為解決問題所需要的條件不是直接知道的， 或者說被隱蔽起來了。解題的關鍵是發(fā)現條件之間的關聯并推導新條件，這往往需要推理能力的支持。即使是較簡單的數學問題，這種能力也可能是解題的關鍵。如歸一問題，解題時需要根據已知條件構建出一個新的條件，即每個正方形表示 21÷3＝7?？傊?、除法的學習，不只是掌握運算技能，還要通過豐富多變的練習，培養(yǎng)學生的思維能力，特別是要重視運用抽象的推理解決問題。帶余除法整數a除以整數

b，如果除盡，則余數為

0,

稱為整除。如果除不盡，余數不為

0,

就稱為帶余除法。帶余除法不僅是多位數除法的重要基礎，而且聯系著“周期性”等數學問題，甚至許多數論中的一些問題也與帶余除法有關。帶余除法的學習，深化了學生對除法意義的理解，極大地豐富了除法的應用背景。學生在運用帶余除法解決較復雜的問題當中，判斷、分析和推理等諸多數學能力得到發(fā)展。一、帶余除法的意義理解與新課教學帶余除法早期的學習經驗，來源于生活中對物體不能正好分成等組。如7個蘋果不能正好分給兩個小朋友，使每人一樣多。在學習帶余除法之前，這種經驗被用于學習平均分的概念。如讓學生通過具體的操作活動，認識平分一些物體，會出現兩種情況，一是正好分成等組的幾份，二是按等組分成幾份之后還有剩余，這與學生的生活經驗是一致的。之后，學生在學習乘加時，通過圈點子的活動構建乘加的算式，進一步豐富帶余除法學習之前的經驗積累。帶余除法不論是算理，還是求商和書寫格式上都比表內除法復雜。帶余除法教學的重點是意義理解，學習的難點是求商，這些都聯系著“余數要比除數小”的規(guī)律。教學時，要通過具體的操作活動，讓學生理解帶余除法的意義，并通過不同層級的抽象，幫助學生建立“余數要比除數小”的觀念。新課教學可以分為兩個階段：第一階段，橫式計算，理解算式的意義。帶余除法的橫式包括被除數、除數、商和余數，與具體的操作活動相聯系，每個數在操作活動中都有明確的意義。如被除數是物體的總數，除數是每份數，商是份數，余數是分了之后剩余的數量。讓學生通過具體的操作活動，不僅可以理解算式表示的意義，認識余數的真實存在，而且通過把操作活動與算式聯系起來思考，增進對帶余除法意義的理解。如，帶余除法的學習，是建立在理解除法意義的基礎上的。根據已有的知識基礎，上面的問題情境可以直譯成 20÷6＝□的算式，至于結果是多少，通過具體的操作活動來解決。 對余下2個球的討論包含兩個方面：一是它表示的意義是什么？二是如何在算式中表示出來？前者側重于這 2個球能不能單獨裝一盒， 后者側重于這個“2”在算式中是否可以不寫出來。需要強調的是，對這些問題的討論并不是多余的，通過對這些問題的討論，打破了學生原有的“認知平衡”是建立“余數要比除數小”的觀念起點。在構建了帶余除法的算式之后，再回到具體的情境中，尋找算式的意義。也就說，操作活動的情境在這里起到了雙重作用，一是引出帶余除法的算式，二是幫助理解算式的意義。不過，意義的理解需要通過不斷豐富的活動逐步清晰和完善，如大家來圈點子，要求每份一樣多，通過圈點子活動，構建帶余除法算式。23和19都是素數，不能寫成兩個因數相乘的積。因此，無論把幾個圈作一份，都會出現剩余。以 23為例，每份數與余數如下表：每份2 3 4 5 6 7 8 9 10 ?數余1 2 3 3 5 2 7 5 3 ?數在各種圈法的比較中，獲得余數雖然變化無常，但都比除數小的感性認識。進一步，通過把乘加式改寫成帶余除式，加深對“余數必須小于除數”的理解。如這個環(huán)節(jié)教學的核心， 是溝通新舊知識的聯系， 在實物操作與算式表達之間建立對應。具體地說，如果把圈點子、乘加算式、帶余除式看作三角形的 3個頂點，學生在這些頂點之間來回穿梭和轉譯的過程中，完成從實物操作到算式表示的水平數學化，從乘加到帶余除式的垂直數學化。脫離具體的問題情境，乘加式子中的加數與兩個乘數比較，有三種情況：一是加數分別小于兩個乘數，可以改寫成兩個帶余除式；二是加數小于其中一個乘數，只能改寫成一個帶余除式；三是加數分別大于兩個乘數，不能改寫成帶余除式。進一步，可以通過改寫算式的活動，把學生的思維再次聚焦于除數與余數的比較上。如，你能把乘加式子改寫成帶余除法式子嗎？4×6+2＝26

7

×4+3＝315×3+4＝19

3

×4+5＝17根據上面的式子想像圈點子的圖，每個算式都有兩種圖的表示，如 5×3+4＝19，可以理解為每份 5個，圈了3份還余4個，這種情況可以用帶余除法表示，但如果是每份 3個，圈成5份還余4個，由于余下個數比每份個數還要多，還可以再分，這種情況就不能用帶余除法表示。從算式返回到實物，為算式尋找意義，獲得對余數要比除數小的理性理解。第二階段，豎式計算，掌握試商方法。計算除法的關鍵是試商。表內除法的商可直接從九九表中找到口訣，而帶余除法求商時，不能直接從九九表中找到，求商的過程比表內除法復雜得多，試商時需要把除數與商相乘，再與被除數作比較，并思考余數與余數的大小關系?；氐綆в喑ǖ脑停举|上就是把物體平分，最多可以分成幾份，這個思考過程也可以用不等式表示，如4×□＜39, □里最大能填幾？在實際的教學中， 這樣的思考常常作為帶余除法試商的階梯。但是，應當注意這種訓練只是試商中的技巧，或者說突破了試商中的關鍵思考，更為重要的是需要理解試商的意義究竟是什么。因此，回到具體情境中理解仍然是必要的。如39÷4＝9（堆）??3（個）與橫式相比，豎式計算的過程中會產生“冗余的數” ，如上式中的“ 36”。這個數在操作活動中不象其它數那樣明確意義，一般留存在計算的思考過程中。但事實上對它的理解仍然是重要的。在具體情境中，它是被用來分到每份中的總數，在試商過程中，它是乘法口訣的積。需要強調的是，無論是帶余除法的意義還是試商，教學都不能止于形式化的模仿，而應當深入到意義的理解。而意義的獲得，有賴于在操作活動、橫式表示、豎式求商之間建立聯系與對應。不僅如此，學生對于“余數必須比除數小”的理解也應當經歷從感性到理性的抽象過程。二、帶余除法掌握水平的能力評定如何評定學生的數學能力？如何結合具體知識點評價學生的能力發(fā)展水平？特別是如何把學生知識掌握與能力發(fā)展水平評價應用于改進教學？這些問題都是數學教育評價需要認真研究的問題。作為對這些問題的思考與實踐， 2010年1月，我們對使用浙教版《數學》的2409名學生進行了“帶余除法”掌握水平的調查。調查分知識掌握程度檢測和數學能力水平檢測兩項，這里重點介紹能力測試與評價。聯系不同的知識基礎和數學能力，我們設計了如下測試題。下列各題中，被除數最大是幾？最小是幾？□÷8＝6?□ □÷9＝7?□□÷8＝6?□ □÷9＝7?□解答此題的能力核心是對“余數要比除數小”規(guī)律的靈活運用。每組被除數相同，而且是兩位數。被除數和商分別填幾？□÷3＝□?2 □÷6＝□?3□÷5＝□?2 □÷4＝□?3每組題的兩個式子同余，對學生的挑戰(zhàn)是把兩個式子聯系起來考慮。在□里填數。這是“商×除數+余數＝被除數”關系以及估算等知識的綜合應用。4.70以內的數除以 7,余數是5。你能寫出哪些數？解題的關鍵有兩個，一是把題目轉譯成●÷ 7＝□?5,二是有序思考。一個兩位數除以8,商和余數相同，這樣的兩位數你能寫出哪一些？有什么特點？此題區(qū)別于上題主要的數學能力是對規(guī)律的發(fā)現與概括。求各圖形所表示的數（相同的圖形表示相同的數）。26÷▲＝3?●50÷●＝▲?234÷▲＝4?●▲-●＝2▲＝□●＝□●＝□▲＝□解題的關鍵是思考數與數、式與式之間的聯系，這是數感的核心。一串圖形，按2個●，3個▲，1個★這樣排下去：●●▲▲▲★●●▲▲▲★●●▲▲▲★??第35個圖形是（ ），第50個圖形是（ ）。這是比較常見的周期問題，解題的關鍵是確定一個周期。浙教版《數學》把帶余除法安排在二年級上冊學習，共 3課時，分別是橫式計算，練習，豎式計算。測試在學生學完帶余除法之后一周內進行。各題通過率和標準差如下表：題號 1 2 3 4 5 6 7通過率 76.35 74.80 95.72 89.87 74.47 89.74 92.15（%）標準差 0.42 0.43 0.20 0.30 0.43 0.30 0.25編制這組測試題圍繞的核心知識是帶余除法。解答上述各題需要的數學能力有別于一般的基礎訓練，除了運算求解之外，還有直覺猜想、歸納推理等多種數學能力。從解題的通過率來看，學生解答“帶余除法”的能力水平是比較高的，甚至超出了我們事先的預期。這對于我們的重要啟示是，學生的數學能力發(fā)展?jié)摿κ呛艽蟮模P鍵在于結合數學知識的教學，設計出合適的學習內容，讓學生的思維受到恰當的挑戰(zhàn)。在這項測試中，我們也積累了評價學生數學能力的一些經驗，特別是體會到根據核心知識評價學生的數學知識掌握水平與能力發(fā)展水平，是一個值得投入精力不斷探索的方向。不過，如何根據對學生的數學能力進行科學細分和準確刻畫，仍然是一個研究的難題，如果這個難題得以破解，學生能力評價對于改進教學的重要作用會進一步凸現出來。多位數認識和加減運算這里所指的多位數主要是三、四位數。一般來講，對數的認識包括意義、讀寫、組成、排序、分類等幾個方面。在不同的學習階段，根據數本身的特點和學生已有的經驗基礎，教學應當在以上幾個方面有不同側重。三、四位數的認識側重于數的意義、讀寫、組成等方面，教學的核心任務是掌握數的構造結構并運用這個結構生成新的數，主動認識“成千上萬”的數。同樣的，數的運算在不同的學習階段也有不同側重。在之前的運算教學中，主要是建立運算定義，掌握基本算理，認識運算類型，學習運算法則，而三、四位數的運算，應當側重于對類型的溝通和對法則的完善。在三、四位數的認識與運算中，對數的多元理解和表征，算法的多樣化以及運用數概念和運算靈活地解決數學問題等，都聯系著創(chuàng)新思維。一、三、四位數的認識與簡單的計算在認識20以內的數時，結合現實情境和數數是學生認數的重要方法， 比如，認識5時，可以伸出 5個手指數一數。相比較而言，三、四位數數目比較大，離學生的現實生活比較遠，學生需要學習“結構生成”的方法，以便能把握和運用更加龐大的數。認數與簡單計算相結合數的運算是建立在數概念發(fā)展的基礎上的， 有了數概念的擴展才有相應數運算的存在?；蛘哒f，數運算算理形成最基本的出發(fā)點是數概念的基本單位及其組成，在此基礎上才有可能抽象和建立相應的法則，這就是認數與計算相結合的意義所在。通常對認數與計算相結合的理解，主要體現為數意義的理解是學習計算的基礎，這里所指的認數與簡單的計算相結合，主要是計算支持意義理解。具體地說，有兩種含義：一是通過整千數、整百數、整十數和一位數相加或乘法的運算構造三、四位數；二是緊密聯系數的意義學習三、四位數的簡單計算，主要是不進位加法和不退位減法。這里重點介紹第一種含義。（1）認識三位數。在以100為單位的計數中，把整百數的認識與整百數的加減以及 100乘幾相結合起來。如，實際上是把數數的活動與加法或乘法計算聯系起來，擴展了學生認數的通道，可以豐富學生對數的認識與理解。又如，400+100 ×5＝□+□＝□本質上，運算只是發(fā)生在百位上，對于學生理解整百數的意義與構成可以起到促進作用。相應地，可以用類似的方法認識其它的三位數，掌握三位數的組成和數位。如100×3＝30010×2＝201×4＝4（2）認識四位數。首先是認識1000。在認識三位數的基礎上，可以用不同的計算單位數數，逐步逼近1000，不同的數數方法都可以用算式表征出來。其次是認識了不同的計算單位之后，通過對這些單位的整理，引出個位到萬位的數位順序表，并以此為“框架”，認識更多、更大范圍的數。如，5000+400+60+7＝5467對照數位順序表認識任意四位數，把撥珠記數與寫數、讀數相結合，加減計算與讀數相結合。如在一定階段，可以把數與物質實體相分離，擺脫具象（數位表、算盤）的支撐，在抽象的層面上理解數的意義和相應數位上的運算。這種練習，可以直接與數的組成相聯系，并在相互轉譯過程中獲得對數的多角度理解。理解數的意義也是形成運算技能的基礎。整數加減法的計算法則是相同數位上的數相加減，其本質是相同計數單位個數的加減運算。從以意義理解為基礎到依據法則進行計算是個循序漸進的過程。在概括計算法則之前，應當不斷地把數的運算與其意義相聯系。三、四位數的簡單計算，由于這些計算不涉及進位或退位，可以“孤立”地計算每個數位上的數，把每個數位上的運算歸結到計數單位個數的相加減上來。如，從學習一個過渡到學習一類在整數運算中，雖然數的概念不斷擴展，但運算方法和相應的法則并沒有變化。教學應當讓學生運用運算之間的互逆關系，理解不同數域范圍的計算有著相同本質，這不僅有利提高教學效率，也有利于學生理解知識的內在聯系和掌握“類方法”，并發(fā)展學生的概括、類比、推理和遷移等多方面的數學能力，而這些數學能力的發(fā)展，正是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的基礎。（1）從表內乘除法擴展到整十數、整百數乘一位數與相應的除法。如，觀察算式，找規(guī)律：5 ×3＝15 50 ×3＝150 500用發(fā)現的規(guī)律在 里填數?！?＝15007 ×9＝63 63 ÷7＝9 63在一定的抽象和方法層面，以上每組題都可以看作同一類。運用已有知識并結合類比÷9＝7的方法探索新知識，使學生的思維從具象逐步向抽象提升，并聚集到“類”上來。2）從兩位數加兩位數進位加法與相應減法擴展到幾百幾十數加幾百幾十數，幾千幾百數和幾千幾百數的進位加法與相應的減法。如，47470用發(fā)現的規(guī)律在里填數。470029+4542-15＝這樣安排，把數本身的結構和運算方法提煉為學生學習的結構和方法， 學生在經歷“觀＝察發(fā)現——概括方法——遷移運用”的過程中，完成對知識的主動建構，并獲得成功的學習體驗。二、三、四位數的進位加法和退位減法進位加法和退位減法有相對應的類型和相似的學習層次。教學要區(qū)分不同類型并設計好層次，運用知識的聯系在組合中引進新知，通過比較突破難點。進位加法。教學進位加法，可以從組合中引進，教學分三個層次：第一，把兩個四位數分解為一個幾千幾百數和一個兩位數，再用幾千幾百數的進位加法和100以內進位加法的計算，引出隔位進位加法。4567 ＝4500+ 2815 ＝ +154500674567重點讓學生理解哪幾位上的數相加滿十后往哪里進位。+2800+15+2815第二，從改變隔位進位加法中一個加數某一位上的數字，引出連續(xù)進位的加法。73008245674567在相似性的計算中，把思維集中于連續(xù)進位與隔位進位的比較，突破學習的難點。+2815+2845第三，在一般連續(xù)進位加法和遇“9”連續(xù)進位加法的比較中，突破遇“9”連續(xù)進位73827412加法的難點。95674567第一層次在組合中引進，第二、三層次在比較中突破。+2845+2835以上我們可以看到，每一個例題總是放在一定的關系和一定的聯系中，并展示了教學7□□2的三個層次，使學生不僅掌握計算方法，并且在聯系與比較中，形成主動學習的能力。三位數進位加法，難點是個位進位后十位遇 9,又向百位進位?？梢栽O計專項練習，如作為對后繼學習的基礎，還應當重點加強幾百幾十數加兩位數的訓練，其中一部分題目是兩位數乘一位數的基礎。如 480+56是67×8的計算過程。此外，還應適當安排一些四位數加幾百幾十數的練習題， 如安排1463+560之類的訓練，為探索三位數乘一位數的算法作準備，即289×7＝1463+560＝2023，計算時，先用7乘百位、個位得部分積 1463,再用7乘十位得到部分積 560,然后把兩個部分積相加。教學退位減法與進位加法一樣，在組合中引進，在比較中突破。教學的三個層是：第一，通過幾千幾百數退位減法和兩位數退位減法計算，引出隔位退位減法；第二，從改變隔位退位減法中被減數某一位數字，引出連續(xù)退位減法；第三，通過與一般連續(xù)退位減法的比較，突破某一位同數相減與被減數中間有 0的連續(xù)退位減法的難點。三、多位數認識與運算的思考性訓練三、四位數的加減法，如果把筆算定義為循規(guī)蹈矩的正規(guī)算法，那么與“正規(guī)算法”相比，學生在估算、簡便運算或用自己的方法計算的活動中，更有利于加深他們對數的理解，計算的靈活性更高，培養(yǎng)創(chuàng)新思維的價值更突出。如估算教學，要求學生做到：①探討估算的策略。②認識何時適用估算。③對估算結果的合理性進行判斷。④掌握一些估算方法。顯然，這些要求比按標準程序計算對學生的挑戰(zhàn)更大。再以算法多樣化為例，強調讓學生發(fā)展自己的計算策略，可以深化對運算的理解，培養(yǎng)學生計算活動中的創(chuàng)新思維。如，（1）討論386+275的不同計算方法。400+275-14380+270+11＝400+261＝650+1186-25＝6175×2+11＝161＝661＝661300+200+161300×2+61角度設計富有思考性的練習。1.結合數的大小比較如下圖所示，一個點子放在百位上表示 100,放在十位上表示 10,放在個位上表示 1。試用5個點表示三位數，并按從小到大的順序排列起來。百位十位個位這個練習著重于位值理解， 先通過有序思考構建出不同的數， 并以圖示獲得大小比較的直觀理解。如，用“→”表示大于（ 232→223），找出字母所表示的數，并把它們從大到小排列起來。D只有射出的箭頭，最大。D＝643C只有射進的箭頭，最小。C＝346A射出2個箭頭，B射出一個箭頭。A＞BA＝634B＝463D＞A＞B＞C這個練習以數的大小比較為基礎，能力核心是運用推理思考數與數之間的關系。結合簡單的計算如，將50,100,150,250,300,350 這六個數分別填入右圖中，使每行兩個數的和相等，同時使每列三個數的和相等。解題的關鍵是確定每行兩個數的和為 400,每列三個數的和為600,得到一種答案之后，通過變換得到多解。又如，B與C的和是多少？A與C的差是多少？解題時需要通過聯系兩個條件，發(fā)現新的關系，并選擇這些關系作為解題的條件。結合進位加法和退位減法結合三、四位數的進位加法和退位減法，可以設計出不同難度的豎式數字謎題，這些題目結合了基本的運算技能和一些推理的技巧。較簡單的，如，較復雜的，如，8888+980很復雜的，如，按要求在方框里填數。（填1～9的數） （填0～9的數）①□□□

② □□□+ □□□ + □□□這個練習解題過程比較復雜，并涉及重要數學規(guī)律的運用，可以設計系列的訓練引導□□□ □□□□學生探索發(fā)現。兩三位數乘一位數計算教學的目標之一是培養(yǎng)學生的數感。 關于數感的定義有很多， 這些定義并沒有統一起來。在眾多定義中，我們比較認同把數感理解為對數之間的關聯意識以及靈活地解決計算問題的能力。在小學數學教學中，計算不能只局限于掌握某種方法和求得最后結果，而是應當把計算學習與發(fā)展思維聯系起來考慮， 在計算活動中突出對數與數之間關系的思考，探索算法的多樣化，培養(yǎng)思維的靈活性。我們以兩三位數乘一位數的計算為例，通過對計算方法的改造和教學體系的調整，進行探索和嘗試。一、兩位數乘一位數的類型與口算的可行性分析兩位數（不含整十數）乘一位數的題目共 648題。這些題目可分為 6種類型：編類型 題數 說明號1十位積、個位積都不進位34不進位2十位積進位，個位積不進位92一次進位3十位積不進位，個位積進位584十位積、個位積都進位，乘積十位疊加33不進位6二次進位十位積不進位，個位積進位，乘積十位534疊加進位6十位積、個位積都進位，乘積十位疊加94三次進位進位我們認為，計算的難易程度取決于進位的次數，以上 6種類型，比較簡單的是第 1-3類，最難的是第

6類。2008

年

10月下旬至

11月初，我們對杭州市

9個縣（市、區(qū)）

3－6

年級的

33所學校4471名學生進行了兩位數乘一位數的口算測試。

其中上城區(qū)的

2048名被試使用浙教版《數學》，其余

2423名被試使用其它版本教材。表一：

兩位數乘一位數口算速度

（每分鐘做對題數）統計表年級 三年級 四年級 五年級 六年級浙教版 11.03 10.64 14.00 14.19其它版 ∕ 9.70 10.8 12.8（注：測試時使用其它版本教材的三年級學生還沒有學習兩位數乘一位數）數據表明，學生口算兩位數乘一位數的速度，已經超過了課程中更為基礎的其它學習內容的要求，如《課程標準》 （實驗稿）對 20以內的加減法和表內乘除法口算的要求是每分8～10題。測試時，以上 6種類型的題目打亂順序，隨機編排。我們對不同年級學生口算各種類型的正確率也作了統計，結果如下：表二： 三至六年級兩位數乘一位數各種題型正確率統計表第1類第2類第3類第4類第5類第6類三年級88.44%87.32%72.46%68.70%66.78%64.29%四年級94.02%94.47%88.01%84.06%82.47%69.37%五年級94.67%97.92%93.76%90.47%79.20%68.11%六年級98.41%98.67%97.61%94.69%93.63%80.64%從以上數據中可以看出，不同年級的學生口算第1至第6類題型，通過率比較一致地呈現依次降低的趨勢。這說明，依據進位的次數區(qū)分題目的難易程度是比較科學的。相比較而言，第 6類的通過率比較低，可適當增加兩位數加一位數進位加法以及兩個一位數相乘再加上一位數（進位）的乘加訓練。二、兩位數乘一位數的口算方法與訓練形式兩位數乘一位數口算的難點在于兩個部分積十位上的疊加。同樣的題目選擇不同的起算點，口算的難易程度不一樣。兩種不同計算過程比較如下：個位算起的計算順序 十位算起的計算順序47 47（注：①、②、③、④表示口算時在頭腦中出現數字的順序。 ）× 3 × 3從個位算起，是把計算過程中第①次和第④次出現的數字相加，十位上疊加的兩個數是間隔的，容易產生錯誤。從十位算起，把計算過程中第②次和第③次出現的數字相加，十位上疊加的兩個數字是相鄰的， 相對比較容易。比較兩種計算方法不同的心理運演過程，不難得出，兩位數乘一位數的口算，從高位算起比較簡單。浙教版《數學》設計了豐富多樣的計算訓練形式，這些訓練有別于常規(guī)的按標準程序計算，突出了計算過程中對數與數之間關系的分析和思考，有利于加強計算活動中的思考性和靈活性。突出位值理解的分解式訓練在初學兩位數乘一位數的時，按照位值原則先對兩位乘數進行拆分，用橫式表征計算過程，再與豎式計算聯系起來，幫助學生理解計算的步驟與方法。如橫式分解的計算過程，一頭聯系數與運算的意義，另一頭聯系豎式的計算。如果不考慮起算點的問題，橫式與豎式的計算存在著過程的對應。教學時，可以讓學生把豎式的計算步驟從橫式中找出來，這對于學生理解算理和算法都是有益的。降低口算認知負荷的過渡性訓練兩位數乘一位數的計算，要用到乘法和加法兩種運算，思考過程比較長。口算時可以把關鍵的步驟寫下來，以降低計算過程中的認知負荷。如58 ×3＝150+□

85

×3＝□+□＝□進一步，這種訓練還可以不同的變化。如

＝□這些訓練，既可以幫助學生理解乘除法之間的關系，又是含有括號的兩步混合運算訓練。以前面的橫式分解作為基礎，還可以進行把加法算式轉化乘法算式的訓練。如進一步，讓學生自己發(fā)現兩個加數之間的關系，先找出公有的因數，再把加法算式轉化為乘法算式。如m+n=ab×c，m為幾百幾十數，n為兩位數。把 m,n分別分解為兩個因數， ab則為整十數與一位數之和，

c則是幾百幾十數與兩位數中相同的因數。

教學時，可以引導學生先想口訣，確定一位乘數，兩個加數共同的因數就是一位乘數。如積是

32的口訣有四八

32,積是48的口訣是六八 48.兩個加數共同的因數就是 8,320+48＝46×8。提高計算技能的鋪墊性訓練在兩位數乘一位數的計算過程中，會產生兩個部分積，在兩位數乘一位數較復雜的類型中（如第 5,6類），這兩個部分積分別是幾百幾十數和兩位數?？梢园才帕讼鄳挠柧殹Ｈ缃虒W時，這些訓練既可以安排在兩位數乘一位數的學習之前，作為口算的基礎，也可以安排在兩位數乘一位數的學習之后，要求找出與各個式子相對應的兩位數乘一位數的乘法算式。三、在兩、三位數乘一位數計算中突出思考性的實踐兩、三位數乘一位數計算中的思考性訓練，可以安排一些數字謎題，如□□×□1-9的數字中選擇三個數學組成兩此外，還可以把計算活動和探索規(guī)律結合起，如從□2位數乘一位數的算式，找出積最大和積最小的算式，探索其中的規(guī)律。教學時，可以讓學生自己想三個數字，先組成六個算式并算出結果，再觀察積最大或積最小的算式數字是怎樣排列的。根據觀察的結果形成猜想，然后再舉例驗證，從等差數列到任意三個數字。在實踐中，我們發(fā)現學生基于對數與數、式與式之間關系的思考，有許多創(chuàng)造性地解決問題的方法。 如用1,2,3 三個數字組成積最大的算式是 21×3，積最小的算式是23×1。進而選擇3,6,9 這組數時，學生就把這三個數字分別與 1,2,3 對應，迅速寫出積最大的算式是 63×9，積最小的算式是 69×3。如前所述，“數感”主要表現為對數與數之間關聯意識，并根據需要靈活地進行分解、組合。有良好的數感，有可能把運算從“逐個計算”的機械操作變成有思維含量的“組塊計算”。如果在計算中將數字與數字之間按某種法則對應稱為“逐個計算” ，那么運算中將幾個數組成模塊之間按某種法則對應稱為“組塊計算”?！敖M塊計算”對促進學生思維的發(fā)展有一定作用。如37×3＝111 143 ×7＝1001以兩位數乘一位數的口算作為基礎，三位數乘一位數也可進行口算?？梢园讶粩挡?37×3＝300+111＝411 286×7＝1001×2＝2002分成幾百幾十數加一位數或者是整百數加兩位數的形式， 如367×8＝360×8+7×8或者367×8＝300×8+67×8。相比較而言，這樣的計算更為簡單： 367×8＝307×8+60×8,因為任何一個十位是 0的三位數乘一位數，計算過程中不會出現疊加進位， 這種算法具有一般性，有的學生形象地把它稱作“踢十法” 。兩三位數乘一位數，如果教學不囿于算出正確的結果， 而是把重心轉向獲得結果的思考過程，那么就給學生靈活分析數與數之間的關系，培養(yǎng)創(chuàng)新思維留下了廣闊的空間。三位數除以一位數從教學序列上看，從三位數除以一位數筆算起，學生開始真正學習多位數除以一位數。學生掌握了計算三位數除以一位數的方法，就能遷移到位數更多的多位數除以一位數的計算中去。三位數除以一位數的豎式計算，主要由運算順序的確定、分步運算結果的定位、運算最終結果的形成三個步驟構成，計算過程可以看作由一位數除兩位數（或一位數）復合而成的。但是這種復合既不是幾個相互獨立的計算程序的疊加，更不像算完一個算式再算另一個算式那樣簡單，因為復合之后帶來了確定除的順序和商的定位等新情況，這些構成了三位數除以一位數的學習難點，同時又是教學的重點。一、三位數除以一位數的類型分析根據豎式計算的內部結構， 可以把三位數除以一位數劃分成不同的類型， 以區(qū)分不同的學習難點和教學側重，并為設計教學思路提供可靠的依據。粗略地看，三位數除以一位數，可以分為被除數首位不夠除與夠除兩類，與此相對應，商分別是兩位數和三位數。應當先學習首位夠除的還是首位不夠除的，不同教材編排的順序并不相同。這里從兩位數除以一位數的除法入手，并聯系學生已有的基礎進行分析。兩位數除以一位數的除法（除數是 1的除外），首位夠除的共 360題，其中帶余除法有254題，約占70.6%；首位不夠除的共 360題，其中帶余除法有 302道，約占83.9%。兩類合計，涉及帶余除法的約占 77.2%左右。如果把首位夠除的第二次商考慮在內， 帶余除法所占的比例會有增加。由此可以想見，在三位數除以一位數的計算中，出現帶余除法的比例也很高。此外，學生在學習三位數除以一位數之前，已經學習了表內帶余除法的豎式計算，可以作為學習三位數除以一位數的直接基礎，試商的方法也可以較快地遷移過來。三位數除以一位數，被除數首位不夠除的共有 3600道題，其中能歸結為表內除法的幾百幾十數或整百數除以一位數的有 58道題，如640÷8，300÷6，這些題目可以從“九九表”直接找到商。其余 3542題都是由幾百幾十數（或整百數）除以一位數與表內除法（含帶余除法）組合而成。如738 ÷9 574 ÷6720 ÷9 540 ÷618 ÷9 34 ÷6被除數首位夠除的也有

3600題，這些題目也可以進行類似的拆分。如738 ÷6 574 ÷5720 ÷6 550 ÷518 ÷6 24 ÷5在計算幾百幾十數除以一位數的環(huán)節(jié)，首位不夠除都是“表內”除法，而首位夠除的都是“表外”除法。從這樣的角度進行比較，首位不夠除的這類題計算更為簡單，應當安排在首位夠除的學習之前。從前面那樣的拆分過程中可以看出， 計算三位數除以一位數的關鍵是根據除數從被除數中分解出幾百幾十數（或整百數）和兩位數。特別地，拆分不僅是計算過程中重要的思考環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)學生數感的重要訓練，因為拆分的核心是思考數與數之間的關系。以 336÷□為例，如果除數是 6，分解為300÷6與36÷6；如果除數是 7，則分解為280÷7與567；如果除數是9，則分解為270÷9與66÷9，等等。二、三位數除以一位數的教學思路被除數首位不夠除如前所述，三位數除以一位數計算的關鍵是把被除數進行拆分， 把這個思考的過程設計成教學思路，就是 “在組合中引進，在分解中展開” 。例如，320÷4＝80與8÷4＝2都是學生熟悉的計算，把這兩個計算組合在一起，就不難得出 328÷4＝82。這就是“在組合中引進”。320÷4＝把上面橫式的計算過程與豎式進行比較，不難發(fā)現橫式計算的三個步驟分別對應于豎式8082中十位與個位的商以及最后結果。 因此，橫式計算的思考過程本質上與豎式計算是一致的，4）328利用橫式記錄的組合過程可以加深對豎式計算程序的理解。教學的序列是，先出現被除數的百位和十位都能整除的，這種計算比較簡單，不需要處理余數的問題，這樣可以集中精力突破除的順序與商的定位問題。在此基礎上，學習被除數的百位或十位除后帶余的。計算時先把被除數進行拆分， “在分解中展開”計算過程。如552÷8＝548÷7＝480÷8＝490÷7＝□□橫式突出了組合或分解的過程，其優(yōu)點是計算的步驟和數的位值都很顯然，豎式計算是□□思考被壓縮的計算過程，它的優(yōu)點是簡約，缺點是不容易被學生理解。在學生學習的初始8）5527）548階段，可以讓橫式與豎式并列呈現，發(fā)揮橫式計算對豎式計算的支持作用。具體地說，就是讓學生找出橫式的計算步驟與豎式計算過程的對應關系，重點突破除的順序問題，并理解豎式計算過程中被隱藏的位值。在正式學習三位數除以一位數之前，還需要先進行鋪墊訓練， 如，322＝280+552＝480+280÷7＝480÷8＝42÷7＝72÷8＝這種訓練是“從組合中引進”的重要基礎，計算之后可以進一步引導學生觀察式與式之間的關系，學生經歷的這種思考過程，可以為探索三位數除以一位數的計算方法積累思維經驗。在具體情境中引入新知的學習，是計算教學中普遍采用的方法。 但是，為什么要創(chuàng)設情境呢？情境的作用有很多，如讓學生感知新知應用的具體場景，了解新知識學習的價值，體會數學與生活的聯系等等。如果設計情境的目的只是停留在這些層面，那么情境在教學中所起的作用僅僅是引入新知的學習。下面這個學習三位數除以一位數的問題情境設計，除了作為“引子”之外，還有“弦外之音” ，即利用情境支持學生對算理的理解。如下圖：先算每輛車坐學生的人數，再算每輛車坐老師的人數，情境本身提示了兩步計算的思路。即使在計算出結果之后，也可以引導學生由算式再回到情境中去尋找具體的意義。被除數首位夠除被除數首位夠除的三位數除以一位數，以兩位數除以一位數商是兩位數的作為基礎，15 150著重講清要把十位上除得的余數與個位上的數合起來繼續(xù)除的道理。借助兩位數除以一位數與幾百幾十數除以一位數的類比作為中介，從兩位數除以一位數過渡到三位數除以一位數。如，÷3＝類比著重突出兩位數與相應的幾百幾十數除以一位數的相似性，主要是引導學生理解30÷3＝10除的順序與商的定位方法相同。以這個類比作為過渡，進一步學習三位數除以一位數的計13算方法。如，3）4131361391，商的十位要補0的情況。如624÷6＝104。被除數首位夠除的，會出現十位上不夠商3）4103）417為了強化商中間用0來占位,可以指導學生根據除數與被除數首位的大小來估計商的位數。33即被除數的首位大于除數，則商的位數與被除數的位數相同；被除數的首位小于除數，則1111商的位數比被除數的位數少 1。無論是“在組合中引進”，還是“在分解中展開”，目的都是為了幫助學生更好地理解算理和掌握算法。教學經驗表明，如果學生對算法一知半解，那么他們在實際應用過程中就會出現各種各樣的錯誤；如果學生對算理缺乏理解，那么計算時可能只是關注純粹的數字運算，而不是數字的實際數值，并且在得到計算結果之后就會停步不前，不會去檢驗計算過程的合理性。三、三位數除以一位數的思考性訓練三位數除以一位數的思考題性訓練，主要從兩個方面設計： 一是聯系不同的問題情境，改變總是直接呈現算式進行計算的面貌；二是把判斷與推理、數感訓練等結合進來，打破總是按規(guī)定程序進行計算的格局。數形結合歸一思路的訓練①如果 ＝295,那么 表示多少？②2.代數思維的訓練①求圖形所表示的數。6×▲+120＝426852-●×8＝556●×4+●×3＝10512×▲-7×▲＝145②等量替換。3.問題變式的訓練①和倍問題。八張卡片的和是（ 7+14）×4＝84，三張卡片之和為 84÷（1+2）＝28，和為28的一組分別有：12+9+7＝28,11+10+7＝28,11+9+8＝28,13+7+8＝28。②兩商之差問題。一個長方體鐵塊比一個立方體鐵塊重多少千克？探索規(guī)律的訓練三個數字和為 9的共六組：0+1+8，0+2+7，0+3+6，1+2+6，1+3+5，2+3+4。再以0+1+89為例，810÷9＝90,801÷9＝89,180÷9＝20,108÷9＝12,81÷9＝9,18÷9＝2。90+89+20+12+9+2＝222。和為9的三個數字所組成的六個三位數，分別除以 9,所得商的和為222。數字謎的訓練①橫式數字謎。5□3÷□＝□□，要使商是兩位數，余數是 0, □里的數怎樣填？被除數的個位是 3,7×9＝63,除數與商的十位分別是 7,9,513÷9＝57,553÷7＝79。②豎式數字謎?！酢?/p>

2

商的十位與除數相乘，積的末位是 2，有以下同種情況：×6＝12，3×4＝12，4×8＝32，6×7＝42，8×9＝72。除數與商的十位上的數列表如下：□）□□類別 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩商的十2 6 3 4 4 8 6 7 8 9位除數 6 2 4 3 8 4 7 6 9 8此題共73個解。兩位數乘兩位數實踐表明，面對一道計算題，如果不是教學了“正規(guī)”的方法，孩子們在實際計算時可能會創(chuàng)造出許多非正規(guī)的計算方法。從這個意義上說，算法多樣本應是計算的“固有”屬性，是計算的“應然”。但是現在，算法多樣往往被描繪成教學的目標， 成為計算教學的“美麗外衣”。兩位數乘兩位數，如果不考慮特殊的數字，并且僅就獲得計算的結果而言，豎式計算（即通常所說的筆算）無疑是最優(yōu)的方法，但是學生一旦對這種計算方法形成熟練，就容易造成“認知的被動”和“理解的中止” 。在兩位數乘兩位數的計算教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，主要體現在算法多樣化上。一、算法多樣的基礎與序列設計在教學中，影響生成多樣算法的因素十分復雜， 已有的基礎當然是最重要的。理解兩位數乘兩位數算理的基礎是什么？兩位數乘兩位數算法多樣的基礎又是什么？這兩個看似不同的問題，答案卻一致的，都是乘法分配律。如 23×19豎式計算的基本過程是用一個乘數（如19）的個位與十位分別與另一乘數相乘，再把兩次乘得的結果相加，其算理基礎就是23×19＝23×（10+9）。此外，23×19還可以有其它多樣的算法，如 23×19＝（20+3）×19，23×19＝23×（20－1），這些方法都聯系了乘法分配律。多數的教材都把乘法分配律的學習安排在兩位數乘兩位數之后， 并且沒有考慮到把乘法分配律作為理解兩位數乘兩位數的算理基礎。 新思維數學對知識學習的序列進行重新設計，以“籃球場上的數學問題”為單元標題，把長方形周長與面積、乘法分配律與兩位數乘兩位數等不同領域的內容整合在一起，從計算籃球場的周長開始，探索兩種計算方法，即長2+寬×2與（長+寬）×2，并以此作為學習乘法分配律的基礎，在學習了乘法分配律之后，進一步從計算籃球場面積的問題情境中引出兩位數乘兩位數的計算。二、算法多樣的展開與概括通法在計算活動的全過程中，無論對數的感受，發(fā)現數與數之間的關系，選擇計算方法，還是對計算結果的正確性進行判斷，學生之間都會存在差異。算法多樣化體現了尊重個性差異和因材施教的原則。強調算法多樣化，不同于一題多解，不強求學生一定要按“標準程序”計算，而是鼓勵學生獨立思考，創(chuàng)造個性化的計算方法。籃球場長28米，寬15米。計算面積的算式是 28×15＝□。教學時，可根據乘法結合律，引導學生把一個兩位數分解為兩個一位數的乘積。如15＝3×5 28 ＝4×728×15＝28×3×5 28 ×15＝15×4×7＝140×3 ＝60×7＝420 ＝420也可根據乘法分配律，把一個兩位數分拆為整十數與一位數的和。如15＝10+528＝30-228×15＝28×（10+5）28×15＝（30-2）×15＝280×10+280×5＝30×15-2×15＝420＝420與運用結合律的計算方法相比較，運用分配律的方法不受因數是否是合數的限制，更具普適性。在展開多樣算法之后， 要引導學生區(qū)分不同方法各自的適用場景， 完成對方法的優(yōu)化和概括通法（即常規(guī)算法）的過程。如 23×19的積與28×15的積哪個大，通過計算，使學生感受到“23”與“19”不能分解為兩個因數（除 1以外）的積，只能把其中一個乘數分拆為整十數與一位數進行計算。如23×19＝23×10+23×9230+207437進一步，探索豎式計算的方法。如：教學時，要防止計算只是停留于對數字的處理，注重橫式與豎式的比較，建立計算步驟的對應，并形成相互聯系和解釋的回路，揭示乘法分配律的原理，使簡約的豎式計算獲得清晰的解釋，幫助學生更好地理解計算的操作程序。筆算時，如果學生對位值與算理缺乏理解，錯誤就不可避免。筆算兩位數乘兩位數的難點是部分積的對位，有三種情況。如：① ② ③其中，①是一個乘數個位、十位分別與另一個乘數相乘，首位都進位，部分積呈現階梯式；②是一個乘數的個位與另一個乘數相乘首位進位，而十位與另一個乘數相乘首位不進位，呈齊頭式；③是一個乘數的個位與另一個乘數相乘首位不進位，而十位與另一個乘數相乘首位進位，呈跨越式。相比較而言，跨越式是比較容易出現錯誤，教學時要適當加強訓練。三、從常規(guī)算法到靈活選擇方法兩位數乘兩位數的計算，僅僅是按常規(guī)算法正確地計算是不夠的，還應以良好的數感為基礎“尋求簡潔的運算途徑”。教學時要注重引導學生思考數與數之間的關系，靈活選擇計算方法，實現計算策略的“靈活性”和“創(chuàng)造性”。組塊計算的方法與價值將“25×4＝100”，“37×3＝111”等作為基本模塊，根據乘法分配律實施靈活計算。先以三位數乘一位數為例，如利用25×4＝100的模塊：325×4＝（300+25）×4250×7＝250×（4+3）＝1200+100＝1000+750＝1300＝1750又如，利用37×3＝111的模塊：437×3＝（400+37）×3381×6＝（370+11）×6＝1200+111＝2220+66＝1311＝2286再如，兩位數乘兩位數的組塊計算：這些方法的優(yōu)點在于，計算以思考數與數之間的關系作為起點，而不是遵循機械的操作程序，并且以乘法運算律作為基礎，每一個計算步驟都是容易解釋的。應當指明，如果任意選擇兩個兩位數相乘，能運用上述模塊的可能性是比較小的，這里主要是從增加計算過程思考性的角度，側重于靈活地選擇計算策略。進一步說，不管使用哪種計算方法，其合理性取決于問題本身和所運用的數字以及計算的目的。兩位數乘兩位數的高位起算法傳統的筆算都是從低位算起的，并遵循某種固定的程序，掌握了這種操作程序，計算就可以按部就班地進行下去。但同時，在計算的過程中，學生的思維似乎已經中止，甚至把計算的活動異化為不帶意義理解的數字操作。豎式計算法則的內核是位值和運算律，至于從低位算起還是高位算起則是可以選擇的。①豎式計算這種算法分三步：第一步，十位相乘的積是幾個百，個位相乘的積是幾個一；第二步，十位與個位交叉相乘積的和是幾個十；第三步，把前兩步得到的部分積相加。這種算法的優(yōu)勢在于，較大限度地減少了計算過程中的疊加，特別是第一步計算中的兩個積分別是幾千幾百數與幾十幾的數，不可能產生進位，可以按照從左到右的順序直接寫出結果。②橫式計算42002478 ×63＝4224+690＝4914480210橫式的計算與豎式計算方法是一樣的，當學生掌握了高位算起豎式計算的操作程序之后，可以轉換到橫式的計算中來。在計算過程中，需要提醒學生把注意力集中于運算而不是記憶結果上。教學時，可以要求學生適當地記錄中間環(huán)節(jié)的計算結果，這有利于減輕記憶的負擔，也有利于檢查最終的結果是否正確。如果一方數字相同，另一方數字之和為 10，則有更為簡捷的計算方法。 這里所說的“一方”是指兩個乘數的十位數字，或兩個乘數的個位數字，或一個乘數的十位數字與個位數字。計算方法分兩步，第一步是把十位數字相乘的積加上相同數字乘 100作為最后結果的前兩位，第二步是個位數字相乘的積作為最后結果的末兩位。十幾乘十幾的速算方法13×19＝（13+9）×10+3×9＝24716×18＝（16+8）×10+6×8＝288計算方法是一個乘數與另一個乘數個位的和乘 10，得幾百幾十數，再把兩個個位上的數相乘，得到幾十幾或幾，然后把兩個部分積相加。這種計算方法可以擴展到二十幾乘二十幾，十幾乘二十幾。26×27＝24×17＝4.九十幾乘九十幾的速算方法（26+7）×20＝（14+10）×97×98＝（97-2）×100+3×2）×100+9×691×94＝（91-6＝9506＝8554（98＝100-297＝100-3）（94＝100-691＝100-9）計算方法是，先把一個乘數與另一乘數補數的差乘100得幾千幾百的數，再把兩個乘數的補數相乘，然后兩個部分積相加。這種方法可以擴展到九十幾乘八十幾，八十幾乘八十幾。93×86＝（93-14）×100+7×1487×84＝（87-16）×100+13×16＝7900+98＝7100+268＝7998＝7308對于一個具體題目，學生可以從不同的角度靈活選擇算法。如45×36＝45×（30+6）45×36＝（50-5）×36＝1350+270＝1800-180＝1620＝162045×36＝（40+5）×3645×36＝45×（37-1）＝1440+180＝1665-45＝1620＝162045×36＝（35+10）×3645×36＝45×（35+1）＝35×36+360＝1575+45＝1260+360＝1620＝162045×36＝1230+390＝1620再次強調，就一般的兩位數乘兩位數計算而言， 豎式計算仍是常規(guī)而且重要的方法， 但是也應當注意，這種方法的特點是高度結構化，而且依賴于數字空間排列。如果計算教學的目標從獲得最終的結果轉向培養(yǎng)學生的數感和創(chuàng)新思維，傳統的豎式計算并不是最合適的。三位數除以兩位數過去，對三位數除以兩位數筆算的熟練程度一直是衡量學生計算能力的重要標準， 現在，即使計算教學的目標趨向多元、方法更加多樣，但在三位數除以兩位數的計算中，筆算仍以其簡潔性、精致性和嚴密性的特點取勝，是其他計算方法所不能替代的。一、三位數除以兩位數的試商方法在整數四則運算中，三位數除以兩位數難度最大， 這種以縮略形式呈現的算法超出了一些學生的理解力，原因之一是因為計算過程中簡化了中間環(huán)節(jié)的記錄。三位數除以兩位數與兩位數除以一位數比較， 除的順序和定位商的方法是一樣的， 也沒有添加新的運算過程，但在實際的教學中，學生掌握三位數除以兩位數的計算要比兩位數除以一位數難得多。三位數除以兩位數計算的難點是調商從計算過程的構成上看，三位數除以兩位數的基礎主要是三個，一是從三位數中分解出幾百幾十數，二是轉化為幾百幾十數除以整十數，三是歸結為表內除法（含帶余除法） 。如288÷32＝□9270÷30＝932）288÷2＝98如果除數變成“36”，分解、轉化與歸結就不一樣了，如36 ）288÷36＝□240 ÷30＝8÷6＝8從上面兩個例子的比較中可以知道，分解、轉化與歸結都不是孤立進行的，而是相互聯系的有機整體，其能力的核心是分析數與數之間的關系。轉化的直接好處是把一個復雜的計算與熟悉的表內除法相聯系，但轉化也包含了復雜的思維過程，因為怎樣轉化并不是單獨由除數的十位來決定的，除數的個位也要參與其中，并可能直接影響到商數。這事實上構成了計算三位數除以兩位數區(qū)別于兩位數除以一位數的難點所在，即調商。在不同階段學習不同的側重，分化學習難點根據試商的難易程度不同，三位數除以兩位數可以分成幾個教學階段。第一階段是三位數除以整十數?？梢杂蓭装賻资當党哉當狄?，主要是掌握商的定位方法。如，540人乘車去參加運動會團體操表演，每輛車坐60人，要租幾輛車？每輛車坐40人，要租幾輛車？540里有9個60。540÷60＝540÷40＝?20被除數的前兩被除數的前兩位不夠除，看前三

13

位夠除，商 1寫在十位上。上面的情境把形成計位，算商問寫在題個，位上提。出解題策略，對答案進行有意義的解釋等這些解決問940 ）540題的重要步驟整合在一起。如 540÷40，十位上商 1，就表示租 10輛車，可以坐 400人，還余下140人沒有座位。像這樣，利用具體的情境解釋算理，可以起到事半功倍的效果。第二階段，商是兩位數的除法（除數非整十數） ，進一步掌握商的定位方法。2145）94590 商是兩位數，不同數位上的商有不同的位值，理解其意義是4545 關鍵。如果脫離具體情境的支持，估算也是一種重要的策略。0如計算945÷45，可以先思考 900÷45＝20，估計商比20大，再討論商“2”應當寫在哪個數位上。第三階段，商是一位數，重點是試商。在前面的學習中，掌握了除的順序與商的定位9方法，本階段的學習可以把重點聚焦在試商，并突破調商的難點。分兩個層次：第一層次，32）288首位試商。按照“在組合中引進，在分解中展開”的思路，分析除的順序，重點講清“首位試商”的方法。如270÷30＝9288÷32＝9818÷2＝9270÷30＝□36）290288÷32＝918÷2＝□用除數首位的“3”去除被除數的前兩位“ 28”，商9，寫在被除數的個位上面，一次定商。第二層次，次位調整。在首位試商的時候，除數的個位其實沒有參與運算，這樣計算是“危險”的，因為可能出現商過大的情況，需要進行調整。如324 ＞290這種方法稱之為“首位試商次位調整”的試商方法，即先用除數十位上的數去試商，再用除數個位上的數去調商。不同試商方法的比較三位數除以兩位數，還有一種重要的試商方法是“四舍五入”法，這種試商方法是先根據除數個位上的數字大小，對除數作“四舍五入”的處理，然后以整十數去除被除數。這種方法有時把除數看小了， 初商偏大要調小，有時則把除數看大了，初商偏小要調大。“首位試商”的特點是只用被除數前兩位除以除數十位上的數，把計算歸結為表內除法（含帶余除法），得出初商比較快，而且只可能出現初商過大的情況， 不可能出現初商過小的情況，調商時一律只要將商調小，思考方向是單一的，這在初學時優(yōu)勢比較明顯。三位數除以兩位數商是一位數，能整除的共有

555題，其中除數為十幾的有

23題，其余的

532題采用“首位試商法”一次能定商的有

457題（如

295÷59），約占

85.7%，需要調商的有77題（如354÷59），約占14.3%，而且隨著除數的增大需要調商的比例越來越小。據測算，首位試商（除數是十幾的除外）的成功率高達 68.8%，如下表：總題量64800題商是一位有36000題商是兩位有28800題初商正確平調跳調初商正確平調跳調21932130011067226905990420060.93%36.11%2.96%78.78%20.80%0.42%927（注：平調是指1次調商，跳調是指2次以上調商）36）29054二、三位數除以兩位數試商的訓練一般認為，在衡量運算能力的指標體系中，正確、迅速和簡捷是比較重要的三個方面。計算技能的熟練掌握需要經歷認知、聯系等階段，訓練是必不可少的。教學需要設計豐富多樣的試商訓練，突出關鍵并達到“基礎實、思維活、能力強”的目標。1.試商的基本訓練989如先判斷□里最大能填幾，再計算。38）32038