機(jī)械類專業(yè)有限元法教學(xué)的思考與探索

機(jī)械類專業(yè)有限元法教學(xué)的考慮與探究〔〕:

摘要：本文針對(duì)機(jī)械類專業(yè)有限元課程教學(xué)中存在的問(wèn)題，結(jié)合課程﹑學(xué)生和教師的客觀實(shí)際情況，對(duì)教學(xué)內(nèi)容﹑教學(xué)方法﹑教學(xué)形式和考核方式等方面進(jìn)展了討論，以期進(jìn)步非力學(xué)專業(yè)有限元課程的教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：有限元法；教學(xué)內(nèi)容；教學(xué)形式；科研理論

本文引用格式：聶志峰,等.機(jī)械類專業(yè)有限元法教學(xué)的考慮與探究[J].教育現(xiàn)代化,2022,6(85):279-280,284.

有限元法作為當(dāng)今科學(xué)開(kāi)展和工程領(lǐng)域中應(yīng)用最為廣泛的數(shù)值計(jì)算方法，在機(jī)械工程、土木工程和航空航天等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。目前，許多高校在本科生和研究生中開(kāi)設(shè)了講授有限元理論和應(yīng)用的相關(guān)課程。筆者在給學(xué)生講授這門課的過(guò)程中以及與同行交流心得時(shí)，發(fā)現(xiàn)有限元課程教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的一些問(wèn)題，現(xiàn)就有限元課程的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)形式、教學(xué)方法和考核方式等方面進(jìn)展了討論，為進(jìn)一步進(jìn)步有限元課程的教學(xué)質(zhì)量做出效勞。

一機(jī)械類專業(yè)有限元法教學(xué)現(xiàn)狀的考慮

〔一〕有限元法課程要求與非力學(xué)專業(yè)學(xué)生根底差之間的矛盾

有限元理論與數(shù)學(xué)﹑力學(xué)知識(shí)親密相關(guān)，涉及彈塑性力學(xué)﹑材料力學(xué)﹑理論力學(xué)﹑高等數(shù)學(xué)﹑工程數(shù)學(xué)、數(shù)值分析和張量分析等多門課程，對(duì)學(xué)生的力學(xué)和數(shù)學(xué)根底要求較高。機(jī)械類非力學(xué)專業(yè)的本科生雖然前面已經(jīng)開(kāi)設(shè)了材料力學(xué)﹑理論力學(xué)﹑高等數(shù)學(xué)﹑工程數(shù)學(xué)等課程，但是與有限元課程關(guān)系最為親密的彈塑性力學(xué)、數(shù)值分析和張量分析等課程沒(méi)有開(kāi)設(shè)，學(xué)生們的力學(xué)根底比擬薄弱，同學(xué)們普遍反映對(duì)晦澀深?yuàn)W的力學(xué)知識(shí)難以理解和駕馭。

〔二〕有限元法理論體系復(fù)雜繁多與授課時(shí)間短之間的矛盾

有限元法理論體系復(fù)雜繁多，涉及的知識(shí)包括橢圓邊值問(wèn)題的變分問(wèn)題﹑力學(xué)問(wèn)題近似求解的加權(quán)余量法、有限元離散化﹑等參單元及等參變換﹑誤差分析和數(shù)值積分等內(nèi)容。目前，許多院校為了豐富教學(xué)內(nèi)容，新設(shè)許多課程供學(xué)生們選擇。這樣一來(lái)，除了高等數(shù)學(xué)、大學(xué)英語(yǔ)和思想政治等少數(shù)幾門根底課程課時(shí)根本不變外，絕大多數(shù)專業(yè)課和專業(yè)根底課的課時(shí)都有不同程度地被壓縮，作為專業(yè)課的有限元法自然也不能防止。筆者多年來(lái)一直為我校過(guò)程裝備與控制工程專業(yè)的本科生講授?有限元分析及應(yīng)用?這門課，從最初的40多課時(shí)一直被壓縮到如今的36課時(shí)。如何在有限多的時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)講解這門專業(yè)性較強(qiáng)的課程，對(duì)任課教師提出了不小的挑戰(zhàn)。

〔三〕有限元法理論知識(shí)的"學(xué)";與工程實(shí)際問(wèn)題解決的"用";之間的矛盾

應(yīng)該說(shuō)，有限元法在企業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)和消費(fèi)使用過(guò)程中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，企業(yè)迫切需要純熟使用有限元法的CAE人才。高校院所開(kāi)設(shè)有限元課程，就是希望廣闊學(xué)生可以掌握這一數(shù)值計(jì)算工具，學(xué)以致用去解決工程實(shí)際問(wèn)題。但是，經(jīng)?？吹降那樾螀s是一局部同學(xué)雖然在大學(xué)期間學(xué)習(xí)了有限元課程，但是畢業(yè)參加工作面對(duì)復(fù)雜的實(shí)際工程問(wèn)題卻感到力不從心，甚至束手無(wú)策。實(shí)際上，造成這一現(xiàn)象的根本原因還是對(duì)有限元法的根本知識(shí)掌握得不夠扎實(shí)，大學(xué)期間只是學(xué)了點(diǎn)皮毛的東西，怎能奢望去解決實(shí)際工程問(wèn)題呢？舉個(gè)例子說(shuō)明，對(duì)機(jī)械構(gòu)造進(jìn)展有限元分析時(shí)，有時(shí)會(huì)碰到提示因模型約束不夠﹑某個(gè)〔些〕結(jié)點(diǎn)位移過(guò)大而導(dǎo)致的運(yùn)算中止現(xiàn)象；或者即使可以運(yùn)算，但計(jì)算效率過(guò)低、計(jì)算結(jié)果過(guò)于失真的現(xiàn)象。實(shí)際上，造成這些現(xiàn)象的原因不一定就是模型約束出現(xiàn)了問(wèn)題，也可能就是網(wǎng)格劃分時(shí)單元質(zhì)量不高引起的。對(duì)于一些質(zhì)量不好的單元，等參變換時(shí)Jacobi矩陣的行列式不是一個(gè)正常數(shù)值，其值要么非常大，要么非常小。對(duì)于這類問(wèn)題，解決起來(lái)也比擬簡(jiǎn)單，只要進(jìn)步網(wǎng)格劃分質(zhì)量，在一些構(gòu)造突變﹑受力敏感的區(qū)域?qū)W(wǎng)格細(xì)化就可以解決問(wèn)題。

二教學(xué)內(nèi)容﹑教學(xué)方法﹑教學(xué)形式和考核方式等方面的探究

〔一〕教學(xué)內(nèi)容的探究

按照"厚、精、新";的原那么，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容。教學(xué)中要"厚";根本理論，沒(méi)有理論根底支持的有限元法應(yīng)用都是"空中樓閣";，是經(jīng)不起推敲和考驗(yàn)的。解決有限元課程內(nèi)容繁多與教學(xué)時(shí)數(shù)有限的矛盾，就要求"精";內(nèi)容。根底的、共性的東西多講，重復(fù)的、個(gè)性的東西少講。彈塑性力學(xué)的根本方程〔包括控制方程、本構(gòu)方程和幾何方程〕、邊界條件、微分方程如何變成積分方程﹑積分方程的"弱形式";以及實(shí)現(xiàn)這些轉(zhuǎn)換的意義都是有限元課程最根本的內(nèi)容。不掌握這些內(nèi)容，就無(wú)從談起掌握了有限元法。至于平面單元、軸對(duì)稱單元、空間單元、桿梁?jiǎn)卧桶鍤卧臉?gòu)建過(guò)程那么需要精煉講解，只要理解了單元自由度、位移形式和插值函數(shù)這些共性的東西，不同單元性質(zhì)和構(gòu)造步驟這些個(gè)性的東西也容易融會(huì)貫穿。有限元法的根本理論已開(kāi)展的相對(duì)成熟，而新的算法和新的軟件層出不窮。有限元法是一種理論性很強(qiáng)的數(shù)值方法，教學(xué)中要將與機(jī)械類專業(yè)親密相關(guān)的新算法和新軟件介紹給學(xué)生。

〔二〕教學(xué)方法和教學(xué)形式的探究

"理論教學(xué)+上機(jī)理論";是如今普遍采用的教學(xué)形式[1-4]，該形式也反映和表達(dá)了有限元課程的理論性強(qiáng)和理論性強(qiáng)的"雙強(qiáng)";特點(diǎn)。但是，這種教學(xué)形式的主體是教師，學(xué)生是被動(dòng)承受的客體。為了進(jìn)步學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，我們?cè)诮虒W(xué)中采用了基于問(wèn)題的討論式教學(xué)形式，將學(xué)生分成興趣小組，教師精心組織問(wèn)題，這些問(wèn)題應(yīng)該難易適中、具有典型的代表意義。這些問(wèn)題可以是彈塑性力學(xué)的典型例題，也可以是與機(jī)械專業(yè)親密相關(guān)的工程問(wèn)題，還可以是教師的科研課題。提出的問(wèn)題要有代表性，要有可討論性。教師可以在課堂留出一定時(shí)間，讓學(xué)生就某一典型問(wèn)題展開(kāi)討論；也可以讓局部同學(xué)組成興趣小組，參加科研課題或者設(shè)計(jì)競(jìng)賽活動(dòng)。對(duì)學(xué)生碰到的問(wèn)題，教師要總結(jié)、提煉，及時(shí)反響給學(xué)生。

有限元課程中存在較多的公式和理論推導(dǎo)，傳統(tǒng)的板書教學(xué)已不再適宜。如今，多采用基于PowerPoint開(kāi)發(fā)平臺(tái)的多媒體教學(xué)方法。該方法的優(yōu)點(diǎn)是圖形、色彩功能強(qiáng)大，給人視覺(jué)效果好；缺點(diǎn)是交互性能差，后臺(tái)沒(méi)有函數(shù)和語(yǔ)言的支持，所以對(duì)媒體元素的控制才能較差。我們自主開(kāi)發(fā)了"有限元分析及應(yīng)用";課件，利用Authorware軟件建立課程網(wǎng)站，對(duì)已完成的模塊如教學(xué)大綱、教學(xué)多媒體課件、算例素材庫(kù)等繼續(xù)完善，同時(shí)重點(diǎn)開(kāi)發(fā)試題與習(xí)題庫(kù)、在線自測(cè)、上機(jī)理論等模塊,進(jìn)步了學(xué)生的參與性和學(xué)習(xí)效率。

〔三〕科研理論引入教學(xué)的探究

科研理論的參與是進(jìn)步學(xué)生有限元知識(shí)的重要途徑，尤其是橫向課題對(duì)本科生的鍛煉意義更大，一者與縱向課題相比，橫向課題的深度和難度弱一些，更適宜于本科生；二者橫向課題與企業(yè)的技術(shù)需求親密相關(guān)，學(xué)生參與工程相當(dāng)于提早進(jìn)入企業(yè)，可以更快更好地融入社會(huì)。教師也應(yīng)該把最新的科研成果引入到教學(xué)中去，讓學(xué)生理解解決工程實(shí)際問(wèn)題的有限元知識(shí)，從而激發(fā)他們學(xué)好這門課程的興趣。筆者每年的教學(xué)課件內(nèi)容都是隨時(shí)更新的，都是把最新的科研成果融于相關(guān)章節(jié)中。這不僅僅是豐富教學(xué)內(nèi)容，也是向?qū)W生傳遞一個(gè)信息：有限元課程固然抽象難懂，但學(xué)好了它可以解決實(shí)實(shí)在在的科研和工程問(wèn)題，學(xué)習(xí)有限元法非常有用。其實(shí)，不只有限元課程的學(xué)習(xí)是如此，其他課程的學(xué)習(xí)亦是如此【5】。

〔四〕考核方式的探究

以前曾經(jīng)采用閉卷考試作為結(jié)課考核形式，后來(lái)不再采用這種考核形式了，因?yàn)殚]卷考試不太適宜于有限元課程，假設(shè)只是考核一些名詞概念性的東西達(dá)不到考核目的，而考一些綜合性計(jì)算題又會(huì)受到考試時(shí)間的限制。所以，我們采取了"大作業(yè)+上機(jī)理論報(bào)告";的考核形式，施行起來(lái)效果還不錯(cuò)。大作業(yè)包括兩道計(jì)算題，一道題是具有準(zhǔn)確解的二階常微分方程加權(quán)余量法的近似求解，考察采用不同權(quán)函數(shù)﹑不同項(xiàng)數(shù)的近似函數(shù)對(duì)計(jì)算精度的影響規(guī)律。另一道題是自由端受均布載荷作用的懸臂梁撓度問(wèn)題，考察單元?jiǎng)澐蜘p單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算﹑整體剛度矩陣組集﹑位移邊界條件的引入﹑整體剛度方程求解等內(nèi)容。對(duì)于懸臂梁撓度問(wèn)題，即使離散單元不多，計(jì)算工作量還是很大的，所以我們鼓勵(lì)學(xué)生采用Fortran或者C語(yǔ)言編程計(jì)算，進(jìn)步計(jì)算效率。對(duì)于上機(jī)理論環(huán)節(jié)，結(jié)合專業(yè)特點(diǎn)，從典型問(wèn)題或者實(shí)際工程問(wèn)題中選出難度適中的習(xí)題，要求學(xué)生自主完成建模與計(jì)算分析，并提交一定格式的上機(jī)理論報(bào)告。平時(shí)上課成績(jī)、大作業(yè)成績(jī)和上機(jī)報(bào)告成績(jī)各占一定比例，作為最終評(píng)定考試成績(jī)。

〔五〕教材的選擇

優(yōu)秀的教材對(duì)保證教學(xué)質(zhì)量具有重要的作用，Zienkiewicz編著的?TheFiniteElementMethod?【6】和王勖成﹑邵敏編著的?有限元法根本原理與數(shù)值方法?【7】是著名的有限元參考書，都對(duì)有限元法原理、理論和工程應(yīng)用進(jìn)展了系統(tǒng)介紹。但是，這些教材的內(nèi)容對(duì)于非力學(xué)專業(yè)的本科生就難了。有的有限元教材雖然簡(jiǎn)單，但是教材內(nèi)容缺乏系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。希望有一本適宜于機(jī)械類非力學(xué)專業(yè)的有限元法教材，主要面向本科生的教學(xué)，兼顧研究生的教學(xué)。筆者正在嘗試編寫一本適宜于機(jī)械類非力學(xué)專業(yè)的有限元法教材。

三結(jié)語(yǔ)

隨著科技開(kāi)展，出現(xiàn)了許多亟待解決的力學(xué)問(wèn)題，需要掌握專業(yè)知識(shí)的人員去解決，所以加強(qiáng)有限元法教學(xué)有著堅(jiān)強(qiáng)的時(shí)代背景。對(duì)于學(xué)生，數(shù)學(xué)﹑力學(xué)知識(shí)的積累需要恒心和毅力，要沉下心來(lái)學(xué)習(xí)，要厚積薄發(fā)，不能指望一口吃個(gè)"胖子";；對(duì)于教師，要與時(shí)俱進(jìn)，嚴(yán)密結(jié)合消費(fèi)實(shí)際，跟蹤最新力學(xué)動(dòng)態(tài)，不斷進(jìn)步自己的專業(yè)程度，從而更好地駕馭和講授這門課。

參考文獻(xiàn)

【1】馬竹樵．應(yīng)用型本科院校?有限元方法?教學(xué)改革分析[J]．教育現(xiàn)代化，2022，15：51-53．

【2】王艷春．有限元分析與?工程力學(xué)?課程教學(xué)交融