一階電路的分析方法

-.z.學校編碼：15014**：UDC本科畢業(yè)論文(設計)****(題目、居中、黑體、二號)學生姓名：****〔楷體、三號、居中〕所屬院部：****〔楷體、三號、居中〕專業(yè)：****〔楷體、三號、居中〕指導教師：****〔楷體、三號、居中〕年月日〔TimesNewRoman、三號、居中〕赤峰學院本科畢業(yè)論文(設計)原創(chuàng)性聲明茲呈交的畢業(yè)論文(設計)，是本人在導師指導下獨立完成的研究成果。本人在論文(設計)寫作中參考的其他個人或集體的研究成果，均在文中以明確方式標明。本人依法享有和承當由此論文(設計)而產(chǎn)生的權利和責任。聲明人〔簽名〕：指導教師〔簽名〕：年月日-.z.一階電路的分析方法陳昊〔赤峰學院物理與電子信息工程學院學院，024000〕摘要：本文主要討論了三種分析一階電路的的方法：1、利用基爾霍夫定律和電容、電感的關系及微積分的知識。2、三要素法進展分析。3、利用拉普拉斯變換進展分析。關鍵詞：電流、電壓、節(jié)點、初始值、終了值、拉普拉斯變換、反拉普拉斯變換對于一個復雜的電路，當電路的工作條件發(fā)生改變時，電阻電路和動態(tài)電路的工作狀態(tài)都將隨之發(fā)生變化。電阻電路的變化可在瞬間完成，無需經(jīng)歷任何過程。但動態(tài)電路的變化一般是一個漸變的過程，而不能在瞬間完成，這一漸變的過程稱為瞬態(tài)過程，處于瞬態(tài)過程中的狀態(tài)稱為瞬態(tài)。關于動態(tài)電路，常以描述該電路性狀的微分方程的階數(shù)加以區(qū)別，對應于一階微分方程的電路，稱為一階電路。只含有一個儲能元件〔電感或電容〕的電路就是一階電路。所謂瞬態(tài)過程的分析就是指對于給定的電路，當電路或電源的接通與斷開，電路連接構造或元件參數(shù)改變時計算出各支路中的電流或電壓隨時間的變化規(guī)律。下面介紹三種分析一階瞬態(tài)電路的方法。基爾霍夫定律分析法利用基爾霍夫電流定律：對于任一節(jié)點，所有與之相邊的支路電流的代數(shù)和恒等于零，即：；電壓定律：對于任一回路，所有支路電壓的代數(shù)和恒等于零，即：；以及電感感應電動勢與電流的關系：；電容的電壓與電容電流之間的關系來分析研究瞬態(tài)過程的一種方法。下面通過一具體的實例加以介紹：在右圖的電路中，兩線圈的自感分別為L1和L2，電阻為零，兩者之間無互感耦合，電源的內(nèi)阻已計入R中，設開關閉合前各支路無電流，設t=0，開關閉合，各支路電流如圖示則根據(jù)基爾霍夫定律有：對以上各式整理有：假設令則很顯然這是一階微分方程，故該電路為一階電路。該微分方程可整理后計算得各支路電流為：例如下圖的RC電路,開關原本接在1端，電路已經(jīng)進入穩(wěn)態(tài)，設在t=0時，把S迅速投向二端〔換路〕，則電路的響應uc(t)、ic(t)和uR(t)將經(jīng)歷一個變化，最后到達新的穩(wěn)態(tài)，根據(jù)KVL,可以了出換路后的電路方程為(1)方程的特解和外施鼓勵形式一樣，為；對應齊次方程的通解常為指數(shù)形式：。于是電容電壓全影響式中，A為積分常數(shù)，是電路的時間常數(shù)。由初始條件，可確定積分常數(shù)。最后得全響應(2)把全響應分解為穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量的優(yōu)點，是對電路從穩(wěn)態(tài)——暫態(tài)過程——新的穩(wěn)態(tài)的物理變化規(guī)律了解得十分清楚?！?〕式又可以寫為：〔3〕其中第一項僅由電容的初始儲能引起，稱為零輸入響應；第二項僅有外施鼓勵引起，稱為零狀態(tài)響應。2.三要素分析法一階電路是指只包含一個或者經(jīng)化簡后只剩下一個獨立儲能元件的電路，.即該電路依據(jù)基爾霍夫定律列出的方程是一階的常微分方程。鼓勵和響應之間的關系可概括為以下形式:〔1〕式中:f(t)是任意鼓勵函數(shù)，y(t)是電路中任一響應函數(shù)(電壓或電流).是初始條件，a是電路的構造與參數(shù)決定的常數(shù)由數(shù)學知識可知微分方程〔1〕的解為：〔2〕式中：為電路的穩(wěn)態(tài)響應，它和鼓勵函數(shù)f(t)具有一樣的形式，它就是非齊次微分方程式(1)的特解；為電路的暫態(tài)響應，它就是式(1)所對應的齊次微分方程的通解，該齊次微分方程的特征方程為s+a=0,所以特征根s=-a=,其中為一階電路的時間常數(shù)，僅與電路的構造與參數(shù)有關，而與外施鼓勵無關。這樣電路的暫態(tài)相應可寫為而電路的全響應為〔3〕式中c為由初始條件決定的積分常數(shù)。將t=0+的初始值代入〔3〕式可得：所以把c代入式〔4〕中得(4)這就是一階線性電路在任意鼓勵作用下，決定電路全響應的一般公式。其中、、、分別代表響應的初始值、穩(wěn)態(tài)值、穩(wěn)態(tài)初始值和電路的時間常數(shù)，而、、稱為一階電路的"三要素〞，只要求得了這三個要素，就可以根據(jù)式(4)直接寫出電路全響應的函數(shù)式。對階躍鼓勵而言有式〔4〕變?yōu)椤?〕上式即為一階線性電路在階躍鼓勵作用下全響應的"三要素法〞的一般公式。另外，在一階電路中，任一響應的初始值都可以通過初始值等效電路來求得。通過求解一階電路中電容(或電感)元件以外線性電路的戴維南或諾頓等效電路，總可以找到一個等效電阻R，從而算出電路的時間常數(shù)：對RC電路：對RL電路：如圖示電路，設開關S動作前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在t≥0時，開關由a扳向b，下面分析電路中的電流i和iL隨時間變化的規(guī)律：計算初始值：由換路定理有：應用基爾霍夫定律，在t=0+時的電路方程為：解得：計算穩(wěn)態(tài)值：由電路可得：計算時間常數(shù)：電感兩端的等效電阻為：時間常數(shù)為：根據(jù)三要素法則可得到：例1如圖電路，.求的電壓。解〔1〕求〔2〕畫出共用電路如圖2所示。由節(jié)點電壓法得：聯(lián)立解得：〔1〕〔2〕〔3〕3.一階電路的拉普拉斯變換分析法3.1在復頻域中電阻、電容、電感、電源的等效模型=1\*GB3①、電阻由于：兩邊取拉普拉斯變換則有：則電阻的等效模型如上圖所示。=2\*GB3②、電容對于電容有：兩邊取拉普拉斯變換則有：故電容在復頻域可等效為一電源與復阻抗的串聯(lián)。=3\*GB3③、電感對于電感有：兩邊取拉普拉斯變換有：故電感在復頻域可等效為一電源與復阻抗的串聯(lián)。=4\*GB3④、電源對于電源，有：兩邊取拉普拉斯變換有：電源在復頻域中仍為一電源。一階電路拉普拉斯變換分析法對于電路首先從時域轉換為復域的運算電路，計算出對應在復域中的電流或電壓，再應用拉普拉斯反變換，計算出在時域下的電流或電壓。下面通過一具體的實例加以介紹：在右圖所示的電路中，開關S在t=0時由1位置合到2位置，設開關動作前電路已處于穩(wěn)態(tài)，下面討論i和uC隨時間變化的規(guī)律。開關動作前對于電容：在t≥0時電路在復頻域中的等效圖為：電流和的大小為：對和進展拉普拉斯反變換有：A例：電路如又圖所示。設輸入為正弦