相似三角形的判定方法

-.z.(一)相似三角形1、定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形．①當(dāng)一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)(或幾個(gè))三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且三條對(duì)應(yīng)邊的比相等時(shí)，這兩個(gè)(或幾個(gè))三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個(gè)條件，缺一不可；②相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；③相似三角形的定義，可得相似三角形的根本性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．2、相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例．②相似比具有順序性．例如△ABC∽△A′B′C′的對(duì)應(yīng)邊的比，即相似比為k，則△A′B′C′∽△ABC的相似比，當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有k=k′=1．③相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出．3、如果兩個(gè)邊數(shù)一樣的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．4、相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形的一條邊直線，截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似．①定理的根本圖形有三種情況，如圖其符號(hào)語(yǔ)言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；〔雙A型〕②這個(gè)定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來(lái)的三角形相似的判定定理．它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是證明相似三角形三個(gè)判定定理的根底，故把它稱為"預(yù)備定理〞；③有了預(yù)備定理后，在解題時(shí)不但要想到"見(jiàn)平行，想比例〞，還要想到"見(jiàn)平行，想相似〞．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相似?？珊?jiǎn)單說(shuō)成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。例1、：如圖，∠1=∠2=∠3，求證：△ABC∽△ADE．ABCDEF第4題例2、如圖，E、F分別是ABCDEF第4題求證：△ABC∽△DEF.判定定理2：如果三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，則這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似．例1、△ABC中，點(diǎn)D在AB上，如果AC2=AD?AB，則△ACD與△ABC相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由．例2、如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形?！?〕當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，△ACP∽△PDB？〔2〕當(dāng)△ACP∽△PDB時(shí)，求∠APB的度數(shù)。判定定理3：如果三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)單說(shuō)成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．強(qiáng)調(diào)：①有平行線時(shí)，用預(yù)備定理；②已有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?時(shí)，可考慮利用判定定理1或判定定理2；③已有兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，可考慮利用判定定理2或判定定理3．但是，在選擇利用判定定理2時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等．2、直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．例1、：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)．求證：△ADQ∽△QCP．例2、如圖,AB⊥BD,CD⊥BD,P為BD上一動(dòng)點(diǎn),AB=60cm,CD=40cm,BD=140cm,當(dāng)P點(diǎn)在BD上由B點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),PB的長(zhǎng)滿足什么條件,可以使圖中的兩個(gè)三角形相似"請(qǐng)說(shuō)明理由.例3、如圖AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)有對(duì)。例4、：AD是Rt△ABC中∠A的平分線，∠C=90°，EF是AD的垂直平分線交AD于M，EF、BC的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)N。求證：(1)△AME∽△NMD(2)ND2=NC·NB①由于直角三角形有一個(gè)角為直角，因此，在判定兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，只需再找一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定兩個(gè)直角三角形相似；②如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的根本圖形，圖中的三角形，可稱為"母子相似三角形〞，其應(yīng)用較為廣泛．〔直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直三角形的與原三角形相似〕③如圖，可簡(jiǎn)單記為：在Rt△ABC中，CD⊥AB，則△ABC∽△CBD∽△ACD．④補(bǔ)充射影定理。特殊情況：第一：頂角〔或底角〕相等的兩個(gè)等腰三角形相似。第二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。第五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形相似。三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS〔ASA〕HL相似三角形的判定兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等三邊對(duì)應(yīng)成比例兩角對(duì)應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例二、重點(diǎn)難點(diǎn)疑點(diǎn)突破1、尋找相似三角形對(duì)應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問(wèn)題的一項(xiàng)根本功．通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對(duì)應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對(duì)應(yīng)角；相似三角形中，一對(duì)相等的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊；(2)相似三角形中，一對(duì)最長(zhǎng)的邊(或最短的邊)一定是對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角；對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角．〔3〕對(duì)應(yīng)字母要寫在對(duì)應(yīng)的位置上，可直接得出對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角。2、常見(jiàn)的相似三角形的根本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比擬，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來(lái)；對(duì)一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對(duì)相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法．如：(1)"平行線型〞相似三角形，根本圖形見(jiàn)前圖．"見(jiàn)平行，想相似〞是解這類題的根本思路；(2)"相交線型〞相似三角形，如上圖．其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀牵?見(jiàn)一對(duì)等角，找另一對(duì)等角或夾等角的兩邊成比例〞是解這類題的根本思路；(3)"旋轉(zhuǎn)型〞相似三角形，如圖．假設(shè)圖中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，則△ADE∽△ABC，該圖可看成把第一個(gè)圖中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)*一角度而形成的．從根本圖形入手能較順利地找到解決問(wèn)題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線．以上"平行線型〞是常見(jiàn)的，這類相似三角形的對(duì)應(yīng)元素有較明顯的順序，"相交線型〞識(shí)圖較困難，解題時(shí)要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出根本圖形．練習(xí)：1、如圖，以下每個(gè)圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來(lái)，并簡(jiǎn)要說(shuō)明識(shí)別的根據(jù)。2、如圖27-2-1-12,在大小為4×4的正方形方格中,△ABC的頂點(diǎn)A,B,C在單位正方形的頂點(diǎn)上,請(qǐng)?jiān)趫D中畫一個(gè)△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(相似比不為1),且點(diǎn)A1,B1,C1都在單位正方形的頂點(diǎn)上.圖27-2-1-121、尋找相似三角形的個(gè)數(shù)例1、()將兩塊完全一樣的等腰直角三角形擺成如圖的樣子，假設(shè)圖形中所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)，答復(fù)以下問(wèn)題：(1)圖中共有多少個(gè)三角形？把它們一一寫出來(lái)；(2)圖中有相似(不包括全等)三角形嗎？如果有，就把它們一一寫出來(lái)．如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，連接并延長(zhǎng)DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DC、BE，假設(shè)∠BDE＋∠BCE＝180°。⑴寫出圖中3對(duì)相似三角形〔注意：不得添加字母和線〕⑵請(qǐng)?jiān)谀闼页龅南嗨迫切沃羞x取1對(duì)，說(shuō)明它們相似的理由。1、如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)三角形：①，②，③，④，⑤，⑥，其中②-⑥中與①相似的是。2、畫符合要求的相似三角形例1、()在大小為4×4的正方形方格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在單位正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出一個(gè)△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC(相似比不為1)，且點(diǎn)A1、B1、C1都在單位正方形的頂點(diǎn)上．3、相似三角形的判定例1、(1)如圖，O是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點(diǎn)，求證：△DEF∽△ABC；(2)如圖，正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DF=3CF，寫出圖中所有相似三角形，并證明．例2、如圖，在△ABC中，DF經(jīng)過(guò)△ABC的重心G，且DF∥AB，DE∥AC，連接EF，如果BC=5，AC=AB.求證:△DEF∽△ABC4、直角三角形中相似的判定例1、如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE為AC的中線，延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)于F，求證：AB·AF=AC·DF。例2、：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一點(diǎn)，CF⊥BE于F。求證：EB·DF=AE·DB5、相似三角形的綜合運(yùn)用例1、如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)D垂直于AB的直線交BC于E，交AC延長(zhǎng)線于F．求證：(1)△ADF∽△EDB；(2)CD2=DE·DF．例2、如圖，AD是△ABC的角平分線，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求證：．例3、如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是AB、BC上的點(diǎn)，BM=BN，BP⊥MC于點(diǎn)P．求證：PN⊥PD．6、相似三角形中輔助線的添加〔1〕、