高中數(shù)學(xué)常見題型解法第32招不等式的解法

高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第32講;不等式的解法【知識要點(diǎn)】一、一元一次不等式的解法任何一個一元一次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后，都可以化為axb(a0)的形式.當(dāng)a0時，不等式的解集為 xxP;當(dāng)a0時，不等式的解集為 xx-.a a二、一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解法1、二次不等式f(x)ax2bxc0(a0)的解法：最好的方法是圖像法，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.也可以利用口訣(大于取兩邊，小于取中間)解答^2、當(dāng)二次不等式f(x)ax2bxc0(a0)時，可以畫圖，解不等式，也可以把二次項(xiàng)的系數(shù)TOC\o"1-5"\h\z成正數(shù)，再利用上面的方法解答 .3、溫馨提示(1)不要把不等式ax2bxc0看成了一元二次不等式，一定邀注意觀察分析 x2的系數(shù).(2)對于含有參數(shù)的不等式注意考慮是否要分類討論 ^(3)如果運(yùn)用口訣解一元二次不等式，一定要注意使用口訣必須滿足的前提條件 ^(4)不等式的解集必須用集合或區(qū)間，不能用不等式，注意結(jié)果的規(guī)范性 ^三、指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的解法解指數(shù)不等式和對數(shù)不等式一般有以下兩種方法(1)同底法：如果兩邊能化為同底的指數(shù)或?qū)?shù)，先化為同底，再根據(jù)指數(shù)、對數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為代數(shù)不

等式，底數(shù)是參數(shù)時要注意觀察分析是否要對其進(jìn)行討論，并注意到對數(shù)真數(shù)大于零的限制條件 .①當(dāng)a1時，f(x)0\o"CurrentDocument"af(x)ag(x) f(x)g(x)；logaf(x)logag(x)g(x)0 ?f(x)g(x)②當(dāng)0a1時,(a(01)loga(ax)logabxloga(a(01)loga(ax)logabxlogab0logax(其中a1)logax0logax(其中0a1)f(x)0af(x)ag(x) f(x)g(x)；logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)(2)對指互化法：如果兩邊不能化成同底的指數(shù)或?qū)?shù)時，一般用對指互化法 ^對數(shù)不等式兩邊取指數(shù)，轉(zhuǎn)化成整式不等式來解；指數(shù)不等式兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化成整式不等式來解x1)loga(a)logabxlogab四、分式不等式的解法把分式不等式通過移項(xiàng)、通分、因式分解等化成f(x)

g(x)把分式不等式通過移項(xiàng)、通分、因式分解等化成f(x)

g(x)g(x)00的形式一化成不等式組f(x)g(x)一解0不等式組得解集.溫馨提示：解分式不等式一定要考慮定義域五、高次不等式的解法先把高次不等式分解因式化成(xai)(x先把高次不等式分解因式化成(xai)(xa2)(xa3)ggg[x烝)0的形式(x的系數(shù)必須為正)一標(biāo)記方程的實(shí)根(注意空心和實(shí)心之分)一穿針引線,從右往左，從上往下穿(奇穿偶不穿)一寫出不等式記方程的實(shí)根(注意空心和實(shí)心之分)一穿針引線,從右往左，從上往下穿(奇穿偶不穿)一寫出不等式的解集.實(shí)際上，序軸標(biāo)根法適用于所有的整式不等式，根據(jù)它可以很快地寫出整式不等式的解集六、絕對值不等式的解法方法一：公式法 解只含有一個絕對值形如axb()c方法一：公式法 解只含有一個絕對值形如axb()c的不等式，一般直接用公式xaxa或xaxaaxa,注意集合的關(guān)系和集合的運(yùn)算，集合的運(yùn)算主要利用數(shù)軸.方法二：零點(diǎn)討論法 解含有兩個絕對值形如xaxb()c的不等式，常用零點(diǎn)討論法和數(shù)形結(jié)合法.注意小分類求交大綜合求并.

方法三：平方法 如果絕對值的不等式的兩邊都是非負(fù)數(shù)，如：|x3,可以使用平方法.七、無理不等式的解法無理不等式一般利用平方法和分類討論解答 .無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件， 一般情況下，fX)g(x)可_ f(x)0轉(zhuǎn)化為Jf(x)g(x)或Jf(x)g(x),而Jf(x)g(x)等價于：f(x)?；騡(x)0 ., g(x)0f(x)[g(x)]2八、抽象的函數(shù)不等式的解法一般利用函數(shù)的單調(diào)性解答，先研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性把抽象的函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成具體的函數(shù)不等式解答.學(xué)科#網(wǎng)【方法講評】不等式一一兀二次不等式解題方法1、一次不等式f(x)axbxc0(a0)的解法：最好的方法是圖像法，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.也可以利用口訣(大于取兩邊，小于取中間)解答 .2、當(dāng)一次不等式f(x)ax2bxc0(a0)時，可以回圖，解不等式，也可以把二次項(xiàng)的系數(shù)a變成正數(shù)，再利用上面的方法解答 .【例1】解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10.【解析】分以下情況討論⑴當(dāng)修=0時j原不等式變?yōu)椋?x-KQ,TOC\o"1-5"\h\z⑵當(dāng)江K0時原不等式變?yōu)椋?^-lXx-l)<0 ①①當(dāng)口《。時，①式變?yōu)?-：工-1?0,一不等式的解為工>1或工a 。②當(dāng)a0時，①式變?yōu)?x1)(x1)0, ②1，一?，…1，一?，…當(dāng)a1時，一1,此時②的解為a??11」a,???當(dāng)0a1時，11,此時②的解為1x-aa a ax1?【點(diǎn)評】解本題要注意分類討論思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是要找到分類的標(biāo)準(zhǔn)，就本題來說有三級分類:0a10a0a1a1分類應(yīng)做到使所給參數(shù)a分類應(yīng)做到使所給參數(shù)a的集合的并集為全集,論a0時，解一元二次不等式ax2論a0時，解一元二次不等式【反饋檢測1】解關(guān)于x的不等式x2(aa2)xa30.不等式二指數(shù)不等式解題方法(1)同底法：如果兩邊能化為同底的指數(shù)或?qū)?shù)，先化為同底，再根據(jù)指數(shù)、對數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，底數(shù)是參數(shù)時要注意觀察分析是否要對其進(jìn)行討論，并注意到對數(shù)真數(shù)大于零的限制條件.(2)對指互化法：如果兩邊不能化成同底的指數(shù)或?qū)?shù)時，一般用對指互化法 .對數(shù)不等式兩邊取指數(shù)，轉(zhuǎn)化成整式不等式來解；指數(shù)不等式兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化成整式不等式來解..【例2】解不等式216(-)1x8【解折】原不等式可化為2“-6mA—令乃=">03則得「一6”16工。所以?+2*—8)亡0所以「25及又CO,故Oy，Eg即0犬2工=解得【點(diǎn)評】解這類指數(shù)不等式，常常需要通過變量代換把它變?yōu)檎讲坏仁絹斫狻痉答仚z測2】解關(guān)于x的不等式：23x2xa(2x2x)(其中a0)不等式二對數(shù)不等式解題方法(1)同底法：如果兩邊能化為同底的指數(shù)或?qū)?shù)，先化為同底，再根據(jù)指數(shù)、對數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，底數(shù)是參數(shù)時要注意觀察分析是否要對其進(jìn)行討論，并注意到對數(shù)真數(shù)大于零的限制條件.(2)對指互化法：如果兩邊不能化成同底的指數(shù)或?qū)?shù)時，一般用對指互化法 .對數(shù)不等式兩邊取指數(shù)，轉(zhuǎn)化成整式不等式來解；指數(shù)不等式兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化成整式不等式來解.【例3】已知a0且a1,關(guān)于x的不等式ax1的解集是xx0,解關(guān)于x的不等式， 1、……lOga(x-)0的解集.x【解析】?關(guān)于麗:等式的解集是｛加＞0｝；三0元1 Pr--＞0 1—y/s l-Li/sTOC\o"1-5"\h\z叫＜——f。-1- 或］\o"CurrentDocument"x ［七日 2 2二原不等式的解集是(―l=^)u(lN叵).. 工【點(diǎn)評】本題選同底法解答，把0寫成loga1,再利用對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)將不等式變成分式不等式組解答.【反饋檢測3】解不等式10gxi(x2x2)1.不等式四分式不等式解題方法把分式不等式通過移項(xiàng)、通分、因式分解等化成-f(^)0的形式一化成不等式組g(x)g(x)0 一解不等式組得解集.把分式不等式通過移項(xiàng)、通分、因式分解等化成f(x)g(x)0-f(x)-0的形式一化成不等式組 g(x)0 一解不等式組得解集.g(x) f(x)g(x)0【例4】解關(guān)于X的不等式a(X1)1x2【解析】原不等式與不等式K0TA-3-2)]任-2)＞0同解.1、當(dāng)日—b3即白＞1時，厚不等式與不等式住―二)(文—2)、0同解，此時因?yàn)榘凸，所a-1 a-\以原不等式的解集為eN)uq＞刈口一12、當(dāng)日=1時.即工一2,。，苴解集為Q+可工當(dāng)時,原不等式與不等式[，一±=)0-DM0同解＜7—1《1:當(dāng)巴心＞2,即0＜口＜1時，原不等式的解集為(2,g)口一1 s-l(2＞當(dāng)自二。時,解集為。(3)當(dāng)。＜0時，原不等式的解集為1=2)a-1【點(diǎn)評】分析：若將原不等式移項(xiàng)、通分整理可得： (a1)x(a2)0[(a1)x(a2)](x2)0x2顯然，現(xiàn)在有兩個問題：(1)a1的符號怎樣？(2)_a■上與2的大小關(guān)系怎樣？這也就是本題的分類標(biāo)a1準(zhǔn)所在.，…， -xx22x2【反饋檢測4】解不等式x-2^-4x.32xx2不等式五高次不等式解題方法先把高次不等式分解因式化成 (xa1)(xa2)(xa3)ggg[xan)0的形式(x的系數(shù)必須為正)一標(biāo)記方程的實(shí)根(注意空心和實(shí)心之分)一穿針引線，從右往左，從上

往卜-穿(奇穿偶不穿)一寫出不等式的解集 ^【例5】解不等式： 2x3x215x0【解析】《1》原不等式可化為虱2工+※工-3)>0把方程"Qx十雙萬-3)=0的二個根再=0^~~2=X3~3順次標(biāo)上數(shù)軸.然后從右上開始回學(xué)卻歷次經(jīng)過三個根,其解集如下圖的陰,影部分.,,?原不等式解集為:函〉3【點(diǎn)評】如果多項(xiàng)式f(x)可分解為n個一次式的積，則一元高次不等式 f(x)0(或f(x)0)可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況.學(xué)科#網(wǎng)【反饋檢測5】(x4)(x5)2(2x)30不等式六絕對值小等式解題方法方法一：公式法 解只含有一個絕對值形如axb()c的不等式，一般直接用公式xaxa或x axa axa,注意集合的關(guān)系和集合的運(yùn)算， 集合的運(yùn)算主要利用數(shù)軸.方法二：零點(diǎn)討論法 解含后兩個絕對值形如xaxb|()c的不等式，常用零點(diǎn)討論法和數(shù)形結(jié)合法.注意小分類求交大綜合求并.方法三：平方法 如果絕對值的不等式的兩邊都是非負(fù)數(shù)，如： x3,可以使用平方法.【例6】|x5| |2x3|1不等式七無理不等式解題方法無理不等式一般利用平方法和分類討論解答 .1x(a0).2a【例7】解關(guān)于x的不等式72ax【解析】原不等式等於干，3<1或3金2 或5-x-2x-3<12f-耳十J?｛十34】從而得原不等式的解.隼為：(-00.-7)U(-:+x)【點(diǎn)評】該題由于有兩個不等式，所以一般利用零點(diǎn)討論法.對于含有兩個和兩個以上的不等式，一般利用零點(diǎn)討論法.【反饋檢測6】解不等式x24【解析】原不等式2ax1x【解析】原不等式等於干，3<1或3金2 或5-x-2x-3<12f-耳十J?｛十34】從而得原不等式的解.隼為：(-00.-7)U(-:+x)【點(diǎn)評】該題由于有兩個不等式，所以一般利用零點(diǎn)討論法.對于含有兩個和兩個以上的不等式，一般利用零點(diǎn)討論法.【反饋檢測6】解不等式x24【解析】原不等式2ax1x2ax2a0,2a0,「2xa2或(2)0,(1x)2；0.由判別式 4(aa2,1,2(a1)xa0；a2,1.1)24(a21)8a0故不等式_ 22(a1)xa210的解是v'2a.當(dāng)0a2時，-2組(2)的解是x1.<2a1,不等式組(1)的解是a1缶x1,不等式當(dāng)a2時，不等式組(1)無解，(2)的解是綜上可知，當(dāng)0a2時，原不等式的解集是a1 2a,2時，原不等式的解集是【點(diǎn)評】本題分類討論標(biāo)準(zhǔn)“ 0a2,a2”是依據(jù)“已知a0及(1)中'xx1',(2)中2,a xa,x1'”確定的.解含有參數(shù)的不等式是不等式問題中的難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn).一般地，2分類討論標(biāo)準(zhǔn)(解不等式)大多數(shù)情況下依“不等式組中的各不等式的解所對應(yīng)的區(qū)間的端點(diǎn)” 去確定.本題易誤把原不等式等價于不等式 2axa2(1x),糾正錯誤的辦法是熟練掌握無理不等式基本類型的解法.【反饋檢測7】解不等式Jx23x108x.不等式八抽象函數(shù)不等式解題方法一般利用函數(shù)的單調(diào)性解答，先研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性把抽象的函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成具體的函數(shù)不等式解答 .【例8】若非零函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)a,b均有f(ab)f(a)f(b),且當(dāng)x0時，f(x)1.(1)求證：f(x)0;(2)求證：f(x)為減函數(shù);TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 2(3)當(dāng)f(4)一時，解不等式f(x3)f(5x)16\o"CurrentDocument"【解析】C) =\o"CurrentDocument"又若則/(，)=(工一%+ 一天)『(』)二。與已知利S, >0(2)設(shè)外M第則再一/vO又:/(工)為非零國數(shù)/(W—/)/(巧)_/(百(3)由f(4)f2(2)1(3)由f(4)f2(2)116'由(1)原不等式轉(zhuǎn)化為f(xx2)f(2)，結(jié)合(2)得：x2x22 0x1故不等式的解集為x|0x11【點(diǎn)評】(1)第(3)問的關(guān)鍵是找到f(?)一,再利用函數(shù)的單調(diào)性把抽象的函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成具

4體函數(shù)不等式【反饋檢測8】函數(shù)f(x)對任意x,y(0,)滿足f(xy)f(x)f(y)且當(dāng)x【反饋檢測8】函數(shù)f(x)對任意x,y(0,(l)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并證明相關(guān)結(jié)論；(2)若f(2) 1,試求解關(guān)于x的不等式f(x)f(x3) 2.【反饋檢測9】【2017江蘇，11】已知函數(shù)f(x)x32xex口，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若

ef(a1)f(2a2)w0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第 32講：不等式的解法參考答案【反饋檢測1答案】見解析彳反饋檢測。詳細(xì)解析］原不等式可化為G—水.(1)當(dāng)在E即曰>1或門亡。)時，不等式的解集為｛工|工二修或工)人卜⑵當(dāng)座>蘇和時，不等式的解集為卜|X<f或OB｝j⑶當(dāng)次=/卸4=0或1)時，不等式的解集為卜|，wR且，U也｝.【反饋檢測2答案】見解析【反饋檢測2詳細(xì)解析】解原不等式得： 22x(22x1)a(22x1),即xx x x x4(4 1)a(4 1),(4 a)(4 1)0當(dāng)0a1時,a4x1,此時不等式的解集為(log4a,0)當(dāng)a1時,(4x1)20,此時不等式無解當(dāng)a1時,14xa,此時不等式的解集為Qlog,a)【反饋檢測3答案】x3【反饋檢測3詳細(xì)解析】［法一］原不等式同解于TOC\o"1-5"\h\z(x+l)(x-2). 、10ghi― >0O1咤"1卬-2)〉0］￡丁L)0<兄+1<1卜+1>1 卜 k>0式-2>0或｛落-2>Q臺上>2 我卜>2兄-2<1 卜-2>l 卜<3 ［乳>3所以原不等式的解為x3.［法二］原不等式同解于210gxi(xx2)logx1(x1)

IO＜x+l＜l 卜+1＞1茶笈-2〉0 或卜'江一2〉。/-笈-2《罡十1 卜-x-2〉M十I1-1＜工＜0 口叩X-1或又＞2曲 -1或工＞2-1＜S＜3 [k＜1或鼻＞3所以原不等式的解為x3.【反饋檢測4答案】{x1x2或x3}[反饋檢測4詳近解析】甚項(xiàng)整理,將原不等式化為U-2XjT-x+1>ALr.6—3）（工寸1）由'Hi。恒購,矢晦不等式等價于清蒜＞°解之，得原不等式的解窠為國7＜工心松＞3}.【反饋檢測5答案】xx5或5x4或x2【反饋檢測5【反饋檢測5詳細(xì)解析】原不等式等價于\o"CurrentDocument"2 3(x4)(x5)(x2) 0x50 x 5(x4)(x2)0x 4或x，原不等式解集為xx 5或5x【反饋檢測6答案】x1x3【反饋檢測6詳細(xì)解析】解法一：原不等式24或x 22 一 2 一x40x402 _ 2 _x4x2 4xx2x2或x 2T. 2或2xxx故原不等式的解集為x1x3.原不等式解集為 x3x4｝原不等式解集為 x3x4｝.x(x3)4解法二：原不等式等價于(x2)x/r