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文檔簡介

§4.2

相同矩陣與矩陣對(duì)角化定義4.2

設(shè)A、B都是n階矩陣，假如有n階可逆矩陣P存在，使得P-1AP=B

則稱A與B是相同，記為A~B一、相同矩陣矩陣相同關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即：①反身性：對(duì)任一n階矩陣A，則②對(duì)稱性：若，則③傳遞性：若且，則1相同矩陣性質(zhì)：3.相同矩陣或者都可逆或者都不可逆；當(dāng)它們可逆時(shí)，它們逆矩陣也相同。1.若，則。2.若，則。證：設(shè)，則，所以A與B同時(shí)可逆或不可逆。若A與B同時(shí)可逆，因?yàn)閯t即24.若，則對(duì)任意非負(fù)整數(shù)k，。證：設(shè)，則存在可逆矩陣P，使得當(dāng)k=0時(shí)，，顯然當(dāng)k>0時(shí)，，即5.相同矩陣含有相同特征值。證：設(shè)，則存在可逆矩陣P，使得則6.相同矩陣含有相同跡。3二、矩陣可對(duì)角化條件定理4.5n階矩陣A與n階對(duì)角矩陣相同A有n個(gè)線性無關(guān)特征向量相同矩陣含有許多共同性質(zhì)，所以我們希望在眾多相同矩陣中尋找一個(gè)最簡單矩陣作為相同類代表。只要了解最簡單矩陣性質(zhì)就能夠了解A一些性質(zhì)。那么最簡單矩陣是什么形式？4證：必要性設(shè)，則存在可逆矩陣P，使得記P列向量組為，則線性無關(guān)，而且可得故A有n個(gè)線性無關(guān)特征向量。5充分性設(shè)A有n個(gè)線性無關(guān)特征向量對(duì)應(yīng)特征值依次為，則令，則P可逆。因?yàn)榧垂?，矩陣A與對(duì)角矩陣相同。6推論

n階矩陣A有n個(gè)互異特征值，

則A必可與對(duì)角矩陣相同。例1

把矩陣對(duì)角化。解：在§4.1例4中已經(jīng)求出A全部特征值為：7A對(duì)應(yīng)于特征向量為：A對(duì)應(yīng)于特征向量為：①令

則8②令則③令則9例2

設(shè)二階矩陣，求解：易于求出A全部特征值為：A對(duì)應(yīng)于特征向量為：A對(duì)應(yīng)于特征向量為：令，則從而10于是

11定理4.6n階矩陣A可與對(duì)角矩陣相同對(duì)于每一個(gè)重特征值，則（證實(shí)略）練習(xí)判斷

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