集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：一、集合、集合的概念集合：一般地，把一些能夠確定的不同的對(duì)象看出一個(gè)整體，就說(shuō)這個(gè)整體是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的集合（或集），通常用大寫英文字母 A,B,C...表示。集合的元素：構(gòu)成集合的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素（或成員），通常用小寫寫英文字母 a,b,c...表示。、元素與集合的屬于關(guān)系：、若a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A,記作：aA,讀作“a屬于A”若a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A，記作：aA，讀作“a不屬于A”。、空集：不含任何元素的集合叫做空集，記作。4、集合元素的基本性質(zhì)：確定性、互異性、無(wú)序性。、集合的分類：有限集：含有有限個(gè)元素的集合；無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合。、常用數(shù)集的表示 牢記，熟記自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）N；正整數(shù)集 N或N；整數(shù)集Z；有理數(shù)集 Q；實(shí)數(shù)集R；正實(shí)數(shù)集 R，均是無(wú)限集。二、集合的表示法1、列舉法：適用于有限集，且元素個(gè)數(shù)不多，或者是無(wú)限集，元素個(gè)數(shù)較多，但呈現(xiàn)一定規(guī)律，列出幾個(gè)元素作為代表，其余用“”代替。2、描述法：px，元素的特征性質(zhì)：如果在集合 I中，屬于集合 Apx，而不屬于A的元素都不具有性質(zhì)px,則px叫做集合A的一個(gè)特征性質(zhì)px是集合A的一個(gè)特征性質(zhì)，集合A可以表示為xI|px,它表示的集合A為在集合I中具有性質(zhì)px的所有元素構(gòu)成的。注意：若元素的范圍為R時(shí)，R可以省略?！锝?jīng)典例題：例一、現(xiàn)已知一個(gè)集合為1,x,x2,則實(shí)數(shù)x滿足的條件為o[x1,1,0】解：由于元素的互易性，因此得到關(guān)系 x1;x21;xx2,從而解得x1,1,0o例二、用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：0——0;0——; — ；0_N； 0——。例三、給定集合AB,定義ABxxmn,mA,nB。若A4,5,6,B1,2,3,則集合AB的所有元素之和為。【15]解：題意為從集合A中任意選取一個(gè)元素，與集合B中的任意一個(gè)元素作差， 所得元素為集合AB的元素，這里要注意元素的互異性。故x41,42,43,51,52,53,61,62,631,2,3,4,5即AB1,2,3,4,5,元素之和為15。例四、設(shè)集合A2,3,a22a3,Ba3,2若已知5A,且5B,求實(shí)數(shù)a。解：由于5A,故有a22a35,解得a4或2。但題目要求5B,因此a35,即a2。因此a4。例五、實(shí)數(shù)集A滿足條件：1A,若aA,則'Ao1a(1)若2A,求A;(2)集合A能否為單元素集合？若能，求出A；若不能，說(shuō)明理由；(3)求證：11Ao解：(1)由題意知，若aA,則—Ao因此2A,則有—1Ao1a 12由1A,則一1一 - A。由1 A,則」y 2Ao 因此A2,1,1(1) 2 2 1 2I2(2)若讓集合A為單元素集合，必須滿足a整理得到a2a10,1a驗(yàn)證140,因此沒(méi)有a滿足上述方程，即集合A不能為單元素集合。(3)由于題意有若aA,則a0a因此當(dāng)，a時(shí)，可有「^土J1」A。1a 1 1aa1a例六、以下集合各代表什么：①M(fèi)mm2k,kZ——偶數(shù)、②X xx2k1,kZ——奇數(shù): 這些均是數(shù)集，與代表元素的不同沒(méi)有關(guān)系。③Yyy4k1,kZ——奇數(shù))④P(x,y)yx1,xR 點(diǎn)集(有序數(shù)對(duì)集合)幾何意義：滿足直線yx1圖像上所有的點(diǎn)；代數(shù)意義：滿足二元一次方程yx1的解。例七、若集合Axx2(a1)xb0中，僅有一個(gè)元素a,則a9解：題意可只兩個(gè)條件，其一是僅有一個(gè)元素，即方程只有一個(gè)解。其二為單元素即為a。因此得到兩個(gè)關(guān)系式：將a代入方程有a2a1甲b0和a124b0,從中求出a1,bL3 9例八、已知集合Axax23x20,其中a為常數(shù)，且aR。(1)若A是空集，求a的范圍;(2)若A中只有一個(gè)元素，求a的范圍；(3)若A中至多只有一個(gè)元素，求a的范圍。解：(1)因?yàn)锳是空集，則必須要求方程ax23x20無(wú)實(shí)根，即98a0,因此a9o8(2)若A中只有一個(gè)元素，此時(shí)需要討論a是否為00當(dāng)a0時(shí)，方程為3x20,解得x2,符合題意；3當(dāng)a0時(shí)，方程為ax23x20,要求98a0,即a-08綜上所述，a0或9。8(3)若A中至多只有一個(gè)元素，即有一個(gè)元素，或沒(méi)有。只要綜合( 1)(2)的答案即可。故a的取值范圍是a0或a9。8三、子集和真子集1、子集：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則集合A叫做集合B的子集。記作：AB或BA讀作“A包含于B”或“B包含A”若集合P中存在著不是集合Q的元素，則集合P不是集合Q的子集。記作：P/Q或Q/P注意：(1)自身性：AA,任何集合是它本身的子集。(2)規(guī)定： A,空集是任何子集的真子集。與區(qū)別：是從屬關(guān)系，表示元素與集合之間的關(guān)系，是包含關(guān)系，表示集合與集合之間的關(guān)系。2、真子集：若集合A是集合B的子集(簡(jiǎn)化：若AB,數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔),并且集合B中至少含有一個(gè)元素不屬于集合A,則集合A是集合B的真子集。C D記作：A工B或B工A

讀作“A真包含于B注意：（1）空集是任何非空集合的真子集。⑵ABAB3、韋恩圖：包含關(guān)系的傳遞性AB,BC,則AC;維恩圖表示AB,BC,則AC集合N,N,Z,Q,R之間的關(guān)系，用維恩圖表示4、個(gè)數(shù)規(guī)律：（card（A）表示集合A的元素個(gè)數(shù)）兒系子集真子集非空子集非空真子集5、集合相等:AB,BA,則AB★經(jīng)典例題：例一、判斷下列集合是否為同一個(gè)集合①A1,2,B1,2 不是，一個(gè)是點(diǎn)集，一個(gè)是數(shù)集②AxN|0x5,BxR|0x5 不是，元素范圍不同③Ay|y2x1,Bx,y|y2x1 不是，一個(gè)是點(diǎn)集，一個(gè)是數(shù)集④Ax|x5,By|y5 是，元素相同，均是實(shí)數(shù)，與代表元素?zé)o關(guān)例二、用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：一一a;a一一a,b;a一一a;一一a;1,2,3—1,2,3,4;1,2,3—1,2,3,4;例三、若集合A1,3,x,B x2,1,且BA,則x【0或邪、解：依題BA,則x2x,或x23,解出x0,1,33;由于元素具有互異性，故舍去1。例四、已知集合Ax1x4,Bxxa,若AB,則實(shí)數(shù)a的取值集合為【aa4】解：步驟：①在數(shù)軸上畫出已知集合；②由xa確定，應(yīng)往左畫（若為xa,則往右畫），進(jìn)而開(kāi)始實(shí)驗(yàn)；③得到初步試驗(yàn)結(jié)果；④驗(yàn)證端點(diǎn)。試驗(yàn)得到：a4,當(dāng)a4時(shí)，由于A集合也不含有4,故滿足AB。綜上所述， aa4。例五、滿足1M1,2,3的集合M為【1,1,2,1,3】解：因?yàn)?M,因此M中必須含有1這個(gè)元素。又知道M1,2,3故得到1,1,2,1,3。（1,2,3不滿足真子集的要求）四、集合的運(yùn)算1、交集：一般地，對(duì)于兩個(gè)給定集合 A,B,由屬于A又屬于B的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A,B的交集。核心詞匯：共有。記作：AIB讀作“A交B”A1,2,3,4,5,B3,4,5,6,8,AIB3,4,5交集為在畫數(shù)軸時(shí)，要注意層次感和端點(diǎn)的虛實(shí)!2、交集的性質(zhì)：AIAA；如果AB,則AIBAo3、并集：一般地，對(duì)于兩個(gè)給定集合 A,B,由兩個(gè)集合的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A,B的并集。核心詞匯：全部。記作：AUB讀作“A并B”只要是線下面的部分都要！4、并集的性質(zhì)：AUAA;如果AB,則AUBB5、補(bǔ)集：如果給定的集合A是全集U的一個(gè)子集，由U中不屬于A的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A在U中的補(bǔ)集。核心詞匯：剩余。記作“&A”讀作：“A在U中的補(bǔ)集”6、補(bǔ)集的性質(zhì)：★經(jīng)典例題：例一、已知集合M0,1,2,4,5,7,N1,4,6,8,9尸4,7,9,則MINUMIP等于【1,4,7】解：MN1,4,MP4,7,故MINUMIP1,4,7。例二、設(shè)集合M{mZ13m2},N{nZ|1<n<3},則MIN【101]解：首先觀察，兩個(gè)集合均為數(shù)集，代表元素的不同不影響集合本身。其次范圍均為整數(shù)，101故M2,1,0,1,N1,0,1,2,3,因此取交集后，得到的結(jié)果應(yīng)為例三、Ax|1x3,Bx|xa,若AIB,101則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【a3]解：步驟：①在數(shù)軸上畫出已知集合；②由xa確定，應(yīng)往左畫(若為xa,則往右畫)，進(jìn)而開(kāi)始實(shí)驗(yàn)；③得到初步試驗(yàn)結(jié)果；④驗(yàn)證端點(diǎn)。試驗(yàn)得到的結(jié)果為a3,驗(yàn)證端點(diǎn)，當(dāng)a3時(shí)，由于A集合不含有3,滿足交集為綜上所述，a的取值范圍是a3。例四、求滿足M a1, a2, a3, a4，且MI a1, a2, a3 a1, a2 的集合M?！綼1,a2或a1,a2,a41解：由于MI a1, a2, a3 a1, a2 ,則可以推得M中必有a1,a2,沒(méi)有a3。又有M a1,a2,a3,a4，則M a1,a2或M a1,a2,a4例五、集合A02a,B 1,a2,若AUB0,1,2,4,16，則a的值為【4】2解：VA0,2,a,B1,a2,AUB0,1,2,4,16aa4a4例六、設(shè)集合U(x,y)yx1,Ax,y-y-^1，則RA10,1]x解：Ax,y|、-」1表示平面上滿足直線L」1的無(wú)數(shù)點(diǎn)，其中x0,y 1。x x又U(x,y)yx1表示平面上滿足直線yx