中考數(shù)學(xué)圖形面積計(jì)算課件

專題四圖形面積計(jì)算專題四圖形面積計(jì)算1專題概述命題探究專題訓(xùn)練總綱目錄專題概述命題探究專題訓(xùn)練總綱目錄2計(jì)算圖形的面積是平面幾何中常見的基本問題,它包括兩種

主要類型:1.常見圖形面積的計(jì)算由于一些常見圖形有計(jì)算面積的公式,所以常見圖形面積一般用

公式來解.2.非常規(guī)圖形面積的計(jì)算非常規(guī)圖形面積的計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為常見圖形面積的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是將非常規(guī)圖形面積用常見圖形面積的和或差來表示.專題概述專題概述3【備考策略】計(jì)算圖形的面積還常常用到以下知識:(1)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等;(2)等底的兩個(gè)三角形面積的比等于對應(yīng)高的比;(3)等高的兩個(gè)三角形面積的比等于對應(yīng)底的比;(4)等腰三角形底邊上的高平分這個(gè)三角形的面積;(5)三角形一邊上的中線平分這個(gè)三角形的面積;(6)平行四邊形的對角線平分該平行四邊形的面積.【備考策略】計(jì)算圖形的面積還常常用到以下知識:4命題探究命題點(diǎn)一多邊形相關(guān)的面積計(jì)算命題點(diǎn)二與圓有關(guān)的面積計(jì)算命題點(diǎn)三反比例函數(shù)中的面積計(jì)算命題探究命題點(diǎn)一多邊形相關(guān)的面積計(jì)算命題點(diǎn)二與圓有關(guān)5命題點(diǎn)一

多邊形相關(guān)的面積計(jì)算

解決多邊形相關(guān)的面積計(jì)算問題時(shí),關(guān)鍵是正確應(yīng)用三角形

或特殊四邊形的面積公式及其性質(zhì),特別地,要注意同底等高的三

角形.命題點(diǎn)一

多邊形相關(guān)的面積計(jì)算6例1

(2018東營)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,以頂點(diǎn)C為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交AC,BC于點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)E,F為圓心,大于

EF的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線CP交AB于點(diǎn)D,若BD=3,AC=10,則△ACD的面積是

15

.

例1

(2018東營)如圖,在Rt△ABC中,∠B=97解析由題中所給的作圖方法可知,CP為∠ACB的平分線,過點(diǎn)D

作DG⊥AC于點(diǎn)G,∵∠B=90°,∴DG=DB=3.∵AC=10,∴S△ACD=

×AC×DG=

×10×3=15.解析由題中所給的作圖方法可知,CP為∠ACB的平分線,過點(diǎn)8變式1-1

(2018淄博)如圖,P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),且P到

三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離分別為3,4,5,則△ABC的面積為

(A)

A.9+

B.9+

C.18+25

D.18+

變式1-1

(2018淄博)如圖,P為等邊三角形ABC9解析∵△ABC為等邊三角形,∴BA=BC,可將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA,連接EP,且延長BP,作

AF⊥BP于點(diǎn)F,如圖,

∴BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°.∴△BPE為等邊三角形,∴PE=PB=4,∠BPE=60°,解析∵△ABC為等邊三角形,10在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,∴AE2=PE2+PA2,∴△APE為直角三角形,且∠APE=90°,∴∠APB=90°+60°=150°,∴∠APF=30°,∴在Rt△APF中,AF=

AP=

,PF=

AP=

,∴在Rt△ABF中,AB2=BF2+AF2在△AEP中,11=

+

=25+12

.則△ABC的面積是

AB2=

×(25+12

)=9+

.故選A.=?+?=25+12?.12命題點(diǎn)二

與圓有關(guān)的面積計(jì)算

在計(jì)算與圓有關(guān)的陰影部分的面積時(shí),要注意分析和觀察圖

形,學(xué)會分解和組合圖形,明確要計(jì)算的圖形的面積可以通過哪些

基本圖形面積的和或差進(jìn)行轉(zhuǎn)化.常用方法:(1)公式法:如扇形、三角形、特殊四邊形等圖形的面積;(2)和差法:要求面積的圖形是不規(guī)則圖形,可通過轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖

形的和或差進(jìn)行求解;(3)等積變換法:直接求面積較復(fù)雜或無法計(jì)算時(shí),可通過對圖形

進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等,為利用公式或和差法求解創(chuàng)造條件.命題點(diǎn)二

與圓有關(guān)的面積計(jì)算13例2

(2018河南)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,將△

ABC繞AC的中點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C',其中點(diǎn)B的運(yùn)動

路徑為

,則圖中陰影部分的面積為

-

.

例2

(2018河南)如圖,在△ABC中,∠ACB=914解析如圖,連接B'D,BD,作DE⊥A'B'于點(diǎn)E.

在Rt△BCD中,BC=2,CD=

AC=1,∴BD=

=

.由旋轉(zhuǎn)得A'B'⊥AB,∠B'DB=90°,DE=

AA'=

AB=

,B'C=

,∴S陰影=S扇形B'DB-S△B'CD-S△BCD=

-

×

×

-

×2×1=

-

.解析如圖,連接B'D,BD,15變式2-1

(2018煙臺)如圖,點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心,點(diǎn)M

為AF的中點(diǎn).以點(diǎn)O為圓心,以O(shè)M的長為半徑畫弧得到扇形MON,

點(diǎn)N在BC上,以點(diǎn)E為圓心,以DE的長為半徑畫弧得到扇形DEF.把

扇形MON的兩條半徑OM,ON重合,圍成圓錐,將此圓錐的底面半

徑記為r1;將扇形DEF以同樣方法圍成的圓錐的底面半徑記為r2,

則r1∶r2=

?∶2

.

變式2-1

(2018煙臺)如圖,點(diǎn)O為正六邊形ABC16解析連接OA.

∵M(jìn)為AF的中點(diǎn),∴OM⊥AF.∵六邊形ABCDEF為正六邊形,∴∠AOM=30°,設(shè)AM=a,則AB=AO=2a,OM=

a.∵正六邊形的中心角為60°,∴∠MON=120°,解析連接OA.17∴扇形MON的弧長為

=

πa,則r1=

a.同理:扇形DEF的弧長為

=

πa,則r2=

a.∴r1∶r2=

∶2.∴扇形MON的弧長為?=?πa,則r1=?a.18命題點(diǎn)三

反比例函數(shù)中的面積計(jì)算

解答與反比例函數(shù)有關(guān)的圖形面積的計(jì)算問題,關(guān)鍵要注意

兩點(diǎn):一是明確反比例函數(shù)中比例系數(shù)k與圖形面積的關(guān)系;二是

能根據(jù)已知條件正確確定反比例函數(shù)的表達(dá)式.命題點(diǎn)三

反比例函數(shù)中的面積計(jì)算19例3

(2018濟(jì)寧)如圖,點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=

(x>0)圖象上一點(diǎn),直線y=kx+b過點(diǎn)A并且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)B,C.過點(diǎn)A作AD于x

軸,垂足為D,連接DC,若△BOC的面積是4,則△DOC的面積是

2-2

.

例3

(2018濟(jì)寧)如圖,點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=?(x20解析∵△BOC的面積是4,∴令OB=4,則OC=2,∴B(-4,0),C(0,2).將點(diǎn)B,C代入y=kx+b可得y=

x+2.∵點(diǎn)A是y=

x+2與y=

的圖象的交點(diǎn),∴點(diǎn)A(2

-2,

+1),∴OD=2

-2,∴S△DOC=

×(2

-2)×2=2

-2.解析∵△BOC的面積是4,21變式3-1

(2018煙臺)如圖,反比例函數(shù)y=

的圖象經(jīng)過?ABCD對角線的交點(diǎn)P,已知點(diǎn)A,C,D在坐標(biāo)軸上,BD⊥DC,?ABCD的面

積為6,則k=

-3

.

變式3-1

(2018煙臺)如圖,反比例函數(shù)y=?的圖22解析過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E,

∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB=CD.又∵BD⊥x軸,∴四邊形ABDO為矩形,∴AB=DO,∴S矩形ABDO=S?ABCD=6.∵P為AC,BD的交點(diǎn),PE⊥y軸,∴四邊形PDOE為矩形,且面積為3,解析過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E,23即DO·EO=3,∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),∴k=xy=-3.即DO·EO=3,24一、選擇題1.(2018重慶)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD的頂點(diǎn)A,B在

反比例函數(shù)y=

(k>0,x>0)的圖象上,橫坐標(biāo)分別為1,4,對角線BD∥x軸.若菱形ABCD的面積為

,則k的值為

(D)

專題訓(xùn)練A.

B.

C.4

D.5一、選擇題專題訓(xùn)練A.?

B.?

C.4

25解析過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E,

∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB=CD.又∵BD⊥x軸,∴四邊形ABDO為矩形,∴AB=DO,∴S矩形ABDO=S?ABCD=6.∵P為AC,BD的交點(diǎn),PE⊥y軸,∴四邊形PDOE為矩形,且面積為3,解析過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E,26即DO·EO=3,∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),∴k=xy=-3.即DO·EO=3,272.(2018浙江溫州)如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=

(x>0)的圖象上,點(diǎn)C,D在反比例函數(shù)y=

(k>0,x>0)的圖象上,AC∥BD∥y軸.已知點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為1,2,△OAC與△ABD的面積之和為

,則k的值為

(B)

A.4

B.3

C.2

D.

2.(2018浙江溫州)如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=?(x28解析∵點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=

(x>0)的圖象上,且點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別是1,2,∴A(1,1),B

.∵AC∥BD∥y軸,∴點(diǎn)C與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同,點(diǎn)D與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同.∵點(diǎn)C,D在反比例函數(shù)y=

(k>0,x>0)的圖象上,∴C(1,k),D

.延長CA,DB分別與x軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F,解析∵點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=?(x>0)的圖象上,29則S△OAC=S△OCE-S△OAE=

-

.易知S△ABD=

·(2-1)=

-

,∴S△OAC+S△ABD=

-

+

-

=

-

=

,∴k=3.則S△OAC=S△OCE-S△OAE=?-?.303.(2018浙江溫州)我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱

直角三角形為勾股形)分割成一個(gè)正方形和兩對全等的直角三角

形,得到一個(gè)恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾

股定理,如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成,若a=3,b=4,則該

矩形的面積為

(B)

A.20

B.24

C.

D.

3.(2018浙江溫州)我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古31解析如圖,設(shè)小正方形的邊長為x(x>0).∵a=3,b=4,∴AB=3+4=7.在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(3+x)2+(x+4)2=72,整理得x2+7x-12=0,解得x=

或x=

(舍去),∴該矩形的面積=

×

=24,故選B.解析如圖,設(shè)小正方形的邊長為x(x>0).32二、填空題4.(2018福建)如圖,直線y=x+m與雙曲線y=

相交于A,B兩點(diǎn),BC∥x軸,AC∥y軸,則△ABC面積的最小值為

6

.

二、填空題33解析令

=x+m,整理得x2+mx-3=0,則xA=

,xB=

.∵BC∥x軸,AC∥y軸,且直線AB為y=x+m,∴AC=BC=xA-xB=

,∴S△ABC=

(m2+12)≥6,當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取“=”.故△ABC面積的最小值為6.解析令?=x+m,整理得x2+mx-3=0,345.(2018棗莊)如圖,在正方形ABCD中,AD=2

,把邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段BP,連接AP并延長交CD于點(diǎn)E,連接PC,則三

角形PCE的面積為

9-5?

.

5.(2018棗莊)如圖,在正方形ABCD中,AD=2?,把35解析∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°.∵把邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段BP,∴PB=BC=AB,∠PBC=30°,∴∠ABP=60°,∴△ABP是等邊三角形,∴∠BAP=60°,AP=AB=2

.∵AD=2

,∴AE=4,DE=2,∴CE=2

-2,PE=4-2

.過P作PF⊥CD于點(diǎn)F,解析∵四邊形ABCD是正方形,36∴PF=

PE=2

-3,∴三角形PCE的面積=

CE·PF=

×(2

-2)×(2

-3)=9-5

.∴PF=?PE=2?-3,376.(2018貴州貴陽)如圖,過x軸上任意一點(diǎn)P作y軸的平行線,分別與

反比例函數(shù)y=

(x>0),y=-

(x>0)的圖象交于A點(diǎn)和B點(diǎn),若C為y軸上任意一點(diǎn),連接AC,BC,則△ABC的面積為

.

6.(2018貴州貴陽)如圖,過x軸上任意一點(diǎn)P作y軸的平行38解析解法一:設(shè)點(diǎn)P(m,0),可得點(diǎn)A

,B

,∴AB=

+

=

,∴S△ABC=

·m·

=

.解法二:如圖,連接OA,OB,∵AB∥y軸,∴S△ABC=S△ABO=S△APO+S△BPO=

+

=

.

解法三:特殊點(diǎn)法,當(dāng)點(diǎn)C在原點(diǎn)時(shí),S△ABC=S△ABO=S△APO+S△BPO=

+

=解析解法一:設(shè)點(diǎn)P(m,0),可得點(diǎn)A?,B?,397.(2018重慶)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,以點(diǎn)A為圓心,AD

長為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)E,圖中陰影部分的面積是

6-π

(結(jié)果保留π).

7.(2018重慶)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=40解析

S陰影=2×3-

·π·22=6-π.解析

S陰影=2×3-?·π·22=6-π.418.如圖,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,則圖中陰影部分的面

積是

π-2

.

8.如圖,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,則42解析在Rt△ABC中,利用勾股定理得AC=

=2

.因?yàn)锳B=BC=2,所以AC邊上的高為2×sin45°=

.記以AB,BC為直徑的半圓的面積分別為S1,S2,則S陰影=S1+S2-S△ABC=π

×12-

×2

×

=π-2.解析在Rt△ABC中,利用勾股定理得43三、解答題9.(2018濰坊)如圖,直線y=3x-5與反比例函數(shù)y=

的圖象相交于A(2,m),B(n,-6)兩點(diǎn),連接OA,OB.(1)求k和n的值;(2)求△AOB的面積.三、解答題44解析(1)∵點(diǎn)B(n,-6)在直線y=3x-5上,∴-6=3n-5,解得n=-

,∴B

.∵反比例函數(shù)y=

的圖象也經(jīng)過點(diǎn)B

,∴k-1=-6×

=2,解得k=3.

解析(1)∵點(diǎn)B(n,-6)在直線y=3x-5上,45(2)設(shè)直線y=3x-5分別與x軸,y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D,當(dāng)y=0,即3x-5=0

時(shí),x=

,∴OC=

.當(dāng)x=0時(shí),y=3×0-5=-5,∴OD=5.∵點(diǎn)A(2,m)在直線y=3x-5上,∴m=3×2-5=1,即A(2,1),∴S△AOB=S△AOC+S△COD+S△BOD=

×

×1+

×5+5×

=

.(2)設(shè)直線y=3x-5分別與x軸,y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D,當(dāng)4610.(2018棗莊)如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)的圖象與x

軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),且與反比例函數(shù)y=

(n為常數(shù),且n≠0)的圖象在第二象限交于點(diǎn)C.CD⊥x軸,垂足為D,若OB=2OA=3OD

=12.(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;(2)記兩函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為E,求△CDE的面積;(3)直接寫出不等式kx+b≤

的解集.10.(2018棗莊)如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常47中考數(shù)學(xué)圖形面積計(jì)算課件48解析(1)由已知得OA=6,OB=12,OD=4.∵CD⊥x軸,∴OB∥CD,∴△ABO∽△ACD,∴

=

,∴

=

,∴CD=20,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,20),∴n=xy=-80.∴反比例函數(shù)的解析式為y=-

.把點(diǎn)A(6,0),B(0,12)代入y=kx+b(k≠0),得

解得

∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x+12.解析(1)由已知得OA=6,OB=12,OD=4.49(2)當(dāng)-

=-2x+12時(shí),解得x1=10,x2=-4.當(dāng)x=10時(shí),y=-8.∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(10,-8).∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=

×20×10+

×8×10=140.(3)不等式kx+b≤

,從函數(shù)圖象上看,表示一次函數(shù)的圖象不高于反比例函數(shù)的圖象,∴由圖象得,x≥10或-4≤x<0.(2)當(dāng)-?=-2x+12時(shí),50專題四圖形面積計(jì)算專題四圖形面積計(jì)算51專題概述命題探究專題訓(xùn)練總綱目錄專題概述命題探究專題訓(xùn)練總綱目錄52計(jì)算圖形的面積是平面幾何中常見的基本問題,它包括兩種

主要類型:1.常見圖形面積的計(jì)算由于一些常見圖形有計(jì)算面積的公式,所以常見圖形面積一般用

公式來解.2.非常規(guī)圖形面積的計(jì)算非常規(guī)圖形面積的計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為常見圖形面積的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是將非常規(guī)圖形面積用常見圖形面積的和或差來表示.專題概述專題概述53【備考策略】計(jì)算圖形的面積還常常用到以下知識:(1)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等;(2)等底的兩個(gè)三角形面積的比等于對應(yīng)高的比;(3)等高的兩個(gè)三角形面積的比等于對應(yīng)底的比;(4)等腰三角形底邊上的高平分這個(gè)三角形的面積;(5)三角形一邊上的中線平分這個(gè)三角形的面積;(6)平行四邊形的對角線平分該平行四邊形的面積.【備考策略】計(jì)算圖形的面積還常常用到以下知識:54命題探究命題點(diǎn)一多邊形相關(guān)的面積計(jì)算命題點(diǎn)二與圓有關(guān)的面積計(jì)算命題點(diǎn)三反比例函數(shù)中的面積計(jì)算命題探究命題點(diǎn)一多邊形相關(guān)的面積計(jì)算命題點(diǎn)二與圓有關(guān)55命題點(diǎn)一

多邊形相關(guān)的面積計(jì)算

解決多邊形相關(guān)的面積計(jì)算問題時(shí),關(guān)鍵是正確應(yīng)用三角形

或特殊四邊形的面積公式及其性質(zhì),特別地,要注意同底等高的三

角形.命題點(diǎn)一

多邊形相關(guān)的面積計(jì)算56例1

(2018東營)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,以頂點(diǎn)C為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交AC,BC于點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)E,F為圓心,大于

EF的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線CP交AB于點(diǎn)D,若BD=3,AC=10,則△ACD的面積是

15

.

例1

(2018東營)如圖,在Rt△ABC中,∠B=957解析由題中所給的作圖方法可知,CP為∠ACB的平分線,過點(diǎn)D

作DG⊥AC于點(diǎn)G,∵∠B=90°,∴DG=DB=3.∵AC=10,∴S△ACD=

×AC×DG=

×10×3=15.解析由題中所給的作圖方法可知,CP為∠ACB的平分線,過點(diǎn)58變式1-1

(2018淄博)如圖,P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),且P到

三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離分別為3,4,5,則△ABC的面積為

(A)

A.9+

B.9+

C.18+25

D.18+

變式1-1

(2018淄博)如圖,P為等邊三角形ABC59解析∵△ABC為等邊三角形,∴BA=BC,可將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA,連接EP,且延長BP,作

AF⊥BP于點(diǎn)F,如圖,

∴BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°.∴△BPE為等邊三角形,∴PE=PB=4,∠BPE=60°,解析∵△ABC為等邊三角形,60在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,∴AE2=PE2+PA2,∴△APE為直角三角形,且∠APE=90°,∴∠APB=90°+60°=150°,∴∠APF=30°,∴在Rt△APF中,AF=

AP=

,PF=

AP=

,∴在Rt△ABF中,AB2=BF2+AF2在△AEP中,61=

+

=25+12

.則△ABC的面積是

AB2=

×(25+12

)=9+

.故選A.=?+?=25+12?.62命題點(diǎn)二

與圓有關(guān)的面積計(jì)算

在計(jì)算與圓有關(guān)的陰影部分的面積時(shí),要注意分析和觀察圖

形,學(xué)會分解和組合圖形,明確要計(jì)算的圖形的面積可以通過哪些

基本圖形面積的和或差進(jìn)行轉(zhuǎn)化.常用方法:(1)公式法:如扇形、三角形、特殊四邊形等圖形的面積;(2)和差法:要求面積的圖形是不規(guī)則圖形,可通過轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖

形的和或差進(jìn)行求解;(3)等積變換法:直接求面積較復(fù)雜或無法計(jì)算時(shí),可通過對圖形

進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等,為利用公式或和差法求解創(chuàng)造條件.命題點(diǎn)二

與圓有關(guān)的面積計(jì)算63例2

(2018河南)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,將△

ABC繞AC的中點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C',其中點(diǎn)B的運(yùn)動

路徑為

,則圖中陰影部分的面積為

-

.

例2

(2018河南)如圖,在△ABC中,∠ACB=964解析如圖,連接B'D,BD,作DE⊥A'B'于點(diǎn)E.

在Rt△BCD中,BC=2,CD=

AC=1,∴BD=

=

.由旋轉(zhuǎn)得A'B'⊥AB,∠B'DB=90°,DE=

AA'=

AB=

,B'C=

,∴S陰影=S扇形B'DB-S△B'CD-S△BCD=

-

×

×

-

×2×1=

-

.解析如圖,連接B'D,BD,65變式2-1

(2018煙臺)如圖,點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心,點(diǎn)M

為AF的中點(diǎn).以點(diǎn)O為圓心,以O(shè)M的長為半徑畫弧得到扇形MON,

點(diǎn)N在BC上,以點(diǎn)E為圓心,以DE的長為半徑畫弧得到扇形DEF.把

扇形MON的兩條半徑OM,ON重合,圍成圓錐,將此圓錐的底面半

徑記為r1;將扇形DEF以同樣方法圍成的圓錐的底面半徑記為r2,

則r1∶r2=

?∶2

.

變式2-1

(2018煙臺)如圖,點(diǎn)O為正六邊形ABC66解析連接OA.

∵M(jìn)為AF的中點(diǎn),∴OM⊥AF.∵六邊形ABCDEF為正六邊形,∴∠AOM=30°,設(shè)AM=a,則AB=AO=2a,OM=

a.∵正六邊形的中心角為60°,∴∠MON=120°,解析連接OA.67∴扇形MON的弧長為

=

πa,則r1=

a.同理:扇形DEF的弧長為

=

πa,則r2=

a.∴r1∶r2=

∶2.∴扇形MON的弧長為?=?πa,則r1=?a.68命題點(diǎn)三

反比例函數(shù)中的面積計(jì)算

解答與反比例函數(shù)有關(guān)的圖形面積的計(jì)算問題,關(guān)鍵要注意

兩點(diǎn):一是明確反比例函數(shù)中比例系數(shù)k與圖形面積的關(guān)系;二是

能根據(jù)已知條件正確確定反比例函數(shù)的表達(dá)式.命題點(diǎn)三

反比例函數(shù)中的面積計(jì)算69例3

(2018濟(jì)寧)如圖,點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=

(x>0)圖象上一點(diǎn),直線y=kx+b過點(diǎn)A并且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)B,C.過點(diǎn)A作AD于x

軸,垂足為D,連接DC,若△BOC的面積是4,則△DOC的面積是

2-2

.

例3

(2018濟(jì)寧)如圖,點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=?(x70解析∵△BOC的面積是4,∴令OB=4,則OC=2,∴B(-4,0),C(0,2).將點(diǎn)B,C代入y=kx+b可得y=

x+2.∵點(diǎn)A是y=

x+2與y=

的圖象的交點(diǎn),∴點(diǎn)A(2

-2,

+1),∴OD=2

-2,∴S△DOC=

×(2

-2)×2=2

-2.解析∵△BOC的面積是4,71變式3-1

(2018煙臺)如圖,反比例函數(shù)y=

的圖象經(jīng)過?ABCD對角線的交點(diǎn)P,已知點(diǎn)A,C,D在坐標(biāo)軸上,BD⊥DC,?ABCD的面

積為6,則k=

-3

.

變式3-1

(2018煙臺)如圖,反比例函數(shù)y=?的圖72解析過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E,

∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB=CD.又∵BD⊥x軸,∴四邊形ABDO為矩形,∴AB=DO,∴S矩形ABDO=S?ABCD=6.∵P為AC,BD的交點(diǎn),PE⊥y軸,∴四邊形PDOE為矩形,且面積為3,解析過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E,73即DO·EO=3,∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),∴k=xy=-3.即DO·EO=3,74一、選擇題1.(2018重慶)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD的頂點(diǎn)A,B在

反比例函數(shù)y=

(k>0,x>0)的圖象上,橫坐標(biāo)分別為1,4,對角線BD∥x軸.若菱形ABCD的面積為

,則k的值為

(D)

專題訓(xùn)練A.

B.

C.4

D.5一、選擇題專題訓(xùn)練A.?

B.?

C.4

75解析過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E,

∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB=CD.又∵BD⊥x軸,∴四邊形ABDO為矩形,∴AB=DO,∴S矩形ABDO=S?ABCD=6.∵P為AC,BD的交點(diǎn),PE⊥y軸,∴四邊形PDOE為矩形,且面積為3,解析過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E,76即DO·EO=3,∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),∴k=xy=-3.即DO·EO=3,772.(2018浙江溫州)如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=

(x>0)的圖象上,點(diǎn)C,D在反比例函數(shù)y=

(k>0,x>0)的圖象上,AC∥BD∥y軸.已知點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為1,2,△OAC與△ABD的面積之和為

,則k的值為

(B)

A.4

B.3

C.2

D.

2.(2018浙江溫州)如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=?(x78解析∵點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=

(x>0)的圖象上,且點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別是1,2,∴A(1,1),B

.∵AC∥BD∥y軸,∴點(diǎn)C與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同,點(diǎn)D與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同.∵點(diǎn)C,D在反比例函數(shù)y=

(k>0,x>0)的圖象上,∴C(1,k),D

.延長CA,DB分別與x軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F,解析∵點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=?(x>0)的圖象上,79則S△OAC=S△OCE-S△OAE=

-

.易知S△ABD=

·(2-1)=

-

,∴S△OAC+S△ABD=

-

+

-

=

-

=

,∴k=3.則S△OAC=S△OCE-S△OAE=?-?.803.(2018浙江溫州)我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱

直角三角形為勾股形)分割成一個(gè)正方形和兩對全等的直角三角

形,得到一個(gè)恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾

股定理,如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成,若a=3,b=4,則該

矩形的面積為

(B)

A.20

B.24

C.

D.

3.(2018浙江溫州)我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古81解析如圖,設(shè)小正方形的邊長為x(x>0).∵a=3,b=4,∴AB=3+4=7.在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(3+x)2+(x+4)2=72,整理得x2+7x-12=0,解得x=

或x=

(舍去),∴該矩形的面積=

×

=24,故選B.解析如圖,設(shè)小正方形的邊長為x(x>0).82二、填空題4.(2018福建)如圖,直線y=x+m與雙曲線y=

相交于A,B兩點(diǎn),BC∥x軸,AC∥y軸,則△ABC面積的最小值為

6

.

二、填空題83解析令

=x+m,整理得x2+mx-3=0,則xA=

,xB=

.∵BC∥x軸,AC∥y軸,且直線AB為y=x+m,∴AC=BC=xA-xB=

,∴S△ABC=

(m2+12)≥6,當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取“=”.故△ABC面積的最小值為6.解析令?=x+m,整理得x2+mx-3=0,845.(2018棗莊)如圖,在正方形ABCD中,AD=2

,把邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段BP,連接AP并延長交CD于點(diǎn)E,連接PC,則三

角形PCE的面積為

9-5?

.

5.(2018棗莊)如圖,在正方形ABCD中,AD=2?,把85解析∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°.∵把邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段BP,∴PB=BC=AB,∠PBC=30°,∴∠ABP=60°,∴△ABP是等邊三角形,∴∠BAP=60°,AP=AB=2

.∵AD=2

,∴AE=4,DE=2,∴CE=2

-2,PE=4-2

.過P作PF⊥CD于點(diǎn)F,解析∵四邊形ABCD是正方形,86∴PF=

PE=2

-3,∴三角形PCE的面積=

CE·PF=

×(2

-2)×(2

-3)=9-5

.∴PF=?PE=2?-3,876.(2018貴州貴陽)如圖,過x軸上任意一點(diǎn)P作y軸的平行線,分別與

反比例函數(shù)y=

(x>0),y=-

(x>0)的圖象交于A點(diǎn)和B點(diǎn),若C為y軸上任意一點(diǎn),連接AC,BC,則△ABC的面積為

.

6.(2018貴州貴陽)如圖,過x軸上任意一點(diǎn)P作y軸的平行88解析解法一:設(shè)點(diǎn)P(m,0),可得點(diǎn)A

,B

,∴AB=

+

=

,∴S△ABC=

·m·

=

.解法二:如圖,連接OA,OB,∵AB∥y軸,∴S△ABC=S△ABO=S△APO+S△BPO=

+

=

.

解法三:特殊點(diǎn)法,當(dāng)點(diǎn)C在原點(diǎn)時(shí),S△ABC=S△ABO=S△APO+S△BPO=

+

=解析解法一:設(shè)點(diǎn)P(m,0),可得點(diǎn)A?,B?,897.(2018重慶)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,以點(diǎn)A為圓心,AD

長為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)E,圖中陰影部分的面積是

6-π

(結(jié)果保留π).

7.(2018重慶)如圖,在矩形AB