中考數(shù)學(xué)壓軸題專題圓的綜合的經(jīng)典綜合題及詳細(xì)答案

一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1.如圖，AB為O0的直徑，AC為OO的弦，AD平分/BAC，交O0于點D,DE丄AC,交AC的延長線于點E.判斷直線DE與OO的位置關(guān)系，并說明理由；若AE=8,OO的半徑為5,求DE的長.【答案】（1）直線DE與OO相切（2）4【解析】試題分析：⑴連接OD,???AD平分/BAC,???ZEAD=ZOAD，???OA=OD，ZODA=ZOAD,ZODA=ZEAD,eaiiOD,vde丄EA,?DE丄0D,又：點D在OO上，?直線DE與OO相切vZEAD=ZFAD,AD=AD,?△EAD竺△FAD,?AF=AE=8,DF=DE,vOA=OD=5,?OF=3，在Rt^DOF中，DF=fOD2_OF2=4,?AF=AE=8考點：切線的證明，弦心距和半徑、弦長的關(guān)系點評：本題難度不大，第一小題通過內(nèi)錯角相等相等證明兩直線平行，再由兩直線平行推出同旁內(nèi)角相等.第二小題通過求出兩個三角形全等，從而推出對應(yīng)邊相等，接著用弦心距和弦長、半徑的計算公式，求出半弦長.在OO中，點C是AB上的一個動點(不與點A,B重合),ZACB=120°，點丨是/ABC的內(nèi)心，CI的延長線交OO于點D,連結(jié)AD,BD.求證：AD=BD.猜想線段AB與DI的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.若?0的半徑為2，點E，F(xiàn)是AB的三等分點，當(dāng)點C從點E運動到點F時，求點I隨之運動形成的路徑長.【答案】(1)證明見解析；(2)AB=DI，理由見解析(3)軍9【解析】分析：(1)根據(jù)內(nèi)心的定義可得CI平分ZACB，可得出角相等，再根據(jù)圓周角定理，可證得結(jié)論；根據(jù)ZACB=120°ZACD=ZBCD，可求出ZBAD的度數(shù)，再根據(jù)AD=BD，可證得△ABD是等邊三角形，再根據(jù)內(nèi)心的定義及三角形的外角性質(zhì)，證明ZBID=ZIBD，得出ID=BD，再根據(jù)AB=BD，即可證得結(jié)論；連接DO,延長DO根據(jù)題意可知點I隨之運動形成的圖形式以D為圓心，DI】為半徑的弧，根據(jù)已知及圓周角定理、解直角三角形，可求出AD的長，再根據(jù)點E，F(xiàn)是弧AB的三等分點，△ABD是等邊三角形，可證得ZDAI1=ZAI1D，然后利用弧長的公式可求出點I隨之運動形成的路徑長.詳解：(1)證明：丁點I是ZABC的內(nèi)心???CI平分ZACB.\ZACD=ZBCD?弧AD=弧BD???AD=BDAB=DI理由：???ZACB=120°ZACD=ZBCD???ZBCD=mX120°0°???弧BD=弧BD

.ZDAB=ZBCD=60°-AD=BD△ABD是等邊三角形，.AB=BD,ZABD=ZC-I>△ABC的內(nèi)心BI平分ZABC.ZCBI=ZABI-ZBID=ZC+ZCBI,ZIBD=ZABI+ZABD.ZBID=ZIBD.ID=BD-AB=BD.AB=DI解：如圖，連接DO,延長DO根據(jù)題意可知點I隨之運動形成的圖形式以D為圓TZACB=120°,弧AD=弧BDZAED=ZACB=x120°=60°T圓的半徑為2，DE是直徑DE=4,ZEAD=90°.AD=sinZAEDxDE&Lx4=2士T點E,F是弧ABH的三等分點，△ABD是等邊三角形,ZADB=60°???弧AB的度數(shù)為120°,.弧AM、弧BF的度數(shù)都為為40°ZADM=20°=ZFABZDAI]=zFAB+ZDAB=80°ZAI]D=180°-ZADM-ZDAI]=180°-20°-80°=80°ZDAI=zAlD11

二AD=I1D=2二弧黑的長為：12ISO-叮點睛：此題是一道圓的綜合題，有一定的難度，熟記圓的相關(guān)性質(zhì)與定理，并對圓中的弦、弧、圓心角、圓周角等進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的滲透如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點A(—8,0)，B(0,6)，點M在線段AB上。如圖1,如果點M是線段AB的中點，且OM的半徑等于4,試判斷直線0B與OM的位置關(guān)系，并說明理由；如圖2，OM與x軸，y軸都相切，切點分別為E，F(xiàn),試求出點M的坐標(biāo)；如圖3,OM與x軸，y軸，線段AB都相切，切點分別為E,F,G,試求出點M的坐標(biāo)(直接寫出答案)【答案】(1)【答案】(1)0B與OM相切;(2)M(—絲,24)；77(3)M(—2,2)【解析】分析：(1)設(shè)線段0B的中點為D,連結(jié)MD,根據(jù)三角形的中位線求出MD,根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得出即可；3求出過點A、B的一次函數(shù)關(guān)系式是y=4x+6,設(shè)M(a,-a)，把x=a,y=-a代3入y=4x+6得出關(guān)于a的方程，求出即可.(3)連接ME、MF、MG、MA、MB、MO,設(shè)ME=MF=MG=r,根據(jù)1111S“C=AO?ME+BO?MF+AB^MG=~AO?BO求得r=2，據(jù)此可得答案.^BC2222詳解：(1)直線OB與OM相切.理由如下：設(shè)線段OB的中點為D,如圖1,連結(jié)MD,T點M是線段AB的中點，所以MDIIAO,MD=4,AZAOB=AMDB=90°,AMD丄OB,點D在OM上.又:點D在直線OB上，A直線OB與OM相切;(2)如圖2,連接ME,MF,卜8k+b二0???A(-8,0)，B(0,6),A設(shè)直線AB的解析式是y=ZA[b二6

得：k=3,b=6，即直線AB的函數(shù)關(guān)系式是尸3x+6.???OM與x軸、y軸都相切，.??點M到x軸、y軸的距離都相等，即ME=MF,設(shè)M(a.33(a.-a)(-8<a<0),把x=a,y=-a代入y=4x+6,得：-a=4a+6,得：a=-24一2424—,???點M的坐標(biāo)為(-丁,).(3)如圖3,連接ME、MF、MG、MA、MB、MO,VOM與x軸，y軸，線段AB都相切，?ME±AO.MF丄BO、MG丄AB,設(shè)1111ME=MF=MG=r,則S^ABC=-AO^ME+—BO?MF+-AB?MG=—AO?BO.厶厶厶厶?:A(-8,0),B(0,6),?AO=8、BO=6,AB=^AO—+BO-=10,1111一?-r?8+-r?6+-r?10=-x6x8，解得:r=2,即ME=MF=2,?點M的坐標(biāo)為(-2,厶厶厶厶2).點睛：本題考查了圓的綜合問題，掌握直線和圓的位置關(guān)系，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的應(yīng)用，能綜合運用知識點進(jìn)行推理和計算是解答此題的關(guān)鍵，注意：直線和圓有三種位置關(guān)系：已知OO的半徑為r,圓心O到直線l的距離是〃，當(dāng)d=r時，直線l和OO相切.4.如圖，在AABC中，ZBAC二90。，AB=AC=邁,AD丄BC，垂足為D，過A,D的OO分別與AB,AC交于點E,F，連接EF,DE,DF.求證：AADE竺ACDF；當(dāng)BC與OO相切時，求OO的面積.【答案】⑴見解析；(2)叮.4【解析】分析：(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)知AD=CD、Z1=ZC=45°,由/EAF=90°知EF是OO的直徑，據(jù)此知/2+Z4=Z3+Z4=90°，得Z2=Z3,利用"ASA”證明即可得；(2)當(dāng)BC與OO相切時，AD是直徑，根據(jù)ZC=45°、AC=J2可得AD=1，利用圓的面積公式可得答案.詳解：(1)如圖，TAB=AC，ZBAC=90°，?.ZC=45°.1又:AD丄BC,AB=AC,J.Z1=ZBAC=45°，BD=CD，ZADC=90°.又：ZBAC=90°，BD=CD，JAD=CD.又TZEAF=90°，?.EF是OO的直徑，:?ZEDF=90°,「.Z2+Z4=90°.又：Z3+Z4=90°,???Z2=Z3.在△ADE和厶CDF中.^Z1=ZCT<AD=CD,△ADE竺△CDF(ASA).Z2=Z3(2)當(dāng)BC與OO相切時，AD是直徑.在RtAADC中，ZC=45°,AC=j2,..sinZC=ADAC..sinZC=ADACAD=ACsinZC=1,???OO的半徑為2,兀2..OO的面積為4點睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識點.5.如圖1,延長OO的直徑AB至點C,使得BC=2AB,點P是OO上半部分的一個動點(點P不與A、B重合)，連結(jié)OP,CP.ZC的最大度數(shù)為;當(dāng)OO的半徑為3時，△OPC的面積有沒有最大值？若有，說明原因并求出最大值;若沒有，請說明理由；(3)如圖2,延長(3)如圖2,延長PO交OO于點D,連結(jié)DB，當(dāng)CP=DB時，求證：CP是OO的切線.卸圖2【答案】（1）30。；（2）有最大值為9,理由見解析；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）當(dāng)PC與OO相切時，ZOCP的度數(shù)最大，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得；（2）由厶OPC的邊OC是定值，得到當(dāng)OC邊上的高為最大值時，△OPC的面積最大，當(dāng)PO丄OC時，取得最大值，即此時OC邊上的高最大，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=DB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZA=ZC,得到CO=OB+OB=AB,推出△APB^△CPO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ZCPO=ZAPB，根據(jù)圓周角定理得到ZAPB=90°，即可得到結(jié)論.試題解析：（1）當(dāng)PC與OO相切時，ZOCP最大.如圖1,所示：ZOCP=30°???sinZOCP=OP=2=ZOCP=30°OC42???ZOCP的最大度數(shù)為30°,故答案為：30°；（2）有最大值，理由：???△OPC的邊OC是定值，?當(dāng)OC邊上的高為最大值時，△OPC的面積最大,而點P在OO上半圓上運動，當(dāng)PO丄OC時，取得最大值，即此時OC邊上的高最大,11也就是高為半徑長，?最大值沐OPC=2OC?OP=2x6x3=9；（3）連結(jié)AP,BP,如圖2,?OA=OD在厶OAP與厶OBD中，SZAOP=ZBOD，:.△OAP^△OBD,?AP=DB,OP=OBTPC=DB,?AP=PC,TPA=PC,?.ZA=ZC,TBC=AB=OB,?CO=OB+OB=AB,2?AP=CP在厶APB和厶CPO中，十厶=ZC,?△APB^△CPO,?ZCPO=ZAPB,AB=COTAB為直徑，TAB為直徑，?ZAPB=90°,?ZCPO=90°,121212126.如圖，△ABC是OO的內(nèi)接三角形，點D,E在O0上，連接AE,DE,CD,BE,CE,ZEAC+ZBAE=180°,ab—cd.判斷BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;求證：△ABE竺△DCE；若ZEAC=60°,BC=8,求OO的半徑.E(3(3)字【答案】(1)BE=CE，理由見解析；(2)證明見解析;【解析】分析：(1)由A、B、C、E四點共圓的性質(zhì)得：ZBCE+ZBAE=180°,貝眩BCE=ZEAC，所以BE=CE，則弦相等；(2)根據(jù)SSS證明△ABE竺△DCE；(3)作BC和BE兩弦的弦心距，證明RtAGBO竺RtAHBO(HL)，則ZOBH=30°，設(shè)OH=x，則OB=2x，根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，可得半徑的長.本題解析：(1)解：BE=CE,理由：TZEAC+ZBAE=180°,ZBCE+ZBAE=180°,ZBCE=ZEAC,…BE=CE，BE=CE；(2)證明：TAB—CD,.AB=CD,TBE=CE，AE—ED，二AE=ED,由(1)得：BE=CE,在厶ABE和厶DCE中，'AE—DEt<AB—CD,BE—CE△ABE竺△DCE(SSS)；(3)解：如圖，T過O作OG丄BE于G,OH丄BC于H,BH=11BH=1BG=2BE'TBE=CE,ZEBC=ZEAC=60°,.△BEC是等邊三角形，???BE=BC,.BH=BG,TOB=OB,?RtAGBO竺RtAHBO(HL),77由勾股定理得:.OB=2x=弘由勾股定理得:.OB=2x=弘33EZOBH=ZGBO=1ZEBC=30°,2設(shè)OH=x，貝0B=2x,/、4忑2x)2=X2+42,X=—38；3???OO的半徑為-.3點睛：本題是圓的綜合題，考查了四點共圓的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理、直角三角形30°的性質(zhì)，難度適中，第一問還可以利用三角形全等得出對應(yīng)邊相等的結(jié)論；第三問作輔助線，利用勾股定理列方程是關(guān)鍵.7.如圖，△ABC內(nèi)接于OO，ZBAC的平分線交OO于點D,交BC于點E(BE>EC)，且BD=2f3.過點D作DFIIBC,交AB的延長線于點F.(1)求證：DF(1)求證：DF為OO的切線;，求圖中陰影部分的面積.【答案】(1)詳見解析；(2)9運-2n.【解析】【分析】連結(jié)OD,根據(jù)垂徑定理得到OD丄BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD丄DF，根據(jù)切線的判定定理證明；連結(jié)OB,連結(jié)OD交BC于P,作BH丄DF于H,證明△OBD為等邊三角形，得到ZODB=60°,OB=BD=2、.：3，根據(jù)勾股定理求出PE，證明△ABE-△AFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE,根據(jù)陰影部分的面積=△BDF的面積-弓形BD的面積計算.【詳解】證明：(1)連結(jié)OD,TAD平分ZBAC交OO于D,ZBAD=ZCAD,

…bd=cd，0D丄BC,TBCIIDF,.OD丄DF,.DF為OO的切線;(2)連結(jié)OB,連結(jié)OD交BC于P,作BH丄DF于H,TZBAC=60°,AD平分上BAC,ZBAD=30°,ZBOD=2ZBAD=60°,.△OBD為等邊三角形，ZODB=60°,OB=BD=2p'3,ZBDF=30°,TBCIIDF,ZDBP=30°,在RtADBP中，PD=2bd=J3,PB=j3PD=3,在RtADEP中，TPD"3,de*7,.PE=1*7)22=2,/OP丄BC,?.BP=CP=3,.CE=3-2=1,/ZDBE=ZCAE,ZBED=ZAEC,.△BDE-△ACE,.AE：BE=CE：DE,...ae=5門7TBEIDF,.△ABE-△AFD,be_ae

~df~~adbe_ae

~df~~ad5_7即DF_12、；'5解得DF=12,在RtABDH中，BH=2BD=打,???陰影部分的面積=厶BDF的面積-弓形BD的面積=△BDF的面積-(扇形BOD的面積-△BOD的面積)=1x12xJ3-6°“％(2I)！—3x(2^3)2=9<3-2n.23604【點睛】考查的是切線的判定，扇形面積計算，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定定理，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.8如圖所示，AB是半圓O的直徑，AC是弦，點P沿BA方向，從點B運動到點A,速度為1cm/s,若AB=10cm，點0到AC的距離為4cm.求弦AC的長；問經(jīng)過多長時間后，△APC是等腰三角形.14【答案】(1)AC=6；(2)t=4或5或~5s時，△APC是等腰三角形；【解析】【分析】(1)過0作0D丄AC于D,根據(jù)勾股定理求得AD的長，再利用垂徑定理即可求得AC的長；(2)分AC=PC、AP=AC、AP=CP三種情況求t值即可.【詳解】(1)如圖1,過O作OD丄AC于D，易知AO=5,OD=4,從而AD=..：-,=3,?AC=2AD=6；(2)設(shè)經(jīng)過t秒厶APC是等腰三角形，則AP=10-t①如圖2,若AC=PC,過點C作CH丄AB于H,ZA=ZA,ZAHC=ZODA=90°,△AHC-△ADO,1n-tAC：AH=OA：AD,即卩AC：=5：3,2解得t='s,.經(jīng)過-s后厶APC是等腰三角形；5②如圖3,若AP=AC,由PB=x,AB=10，得到AP=10-x,又:AC=6,則10-t=6，解得t=4s,.經(jīng)過4s后厶APC是等腰三角形;圏斗則AP=BP=5,.經(jīng)過5s后厶APC是等腰三角形.綜上可知當(dāng)t=4或5或一s時，△APC是等腰三角形.【點睛】本題是圓的綜合題，解決問題利用了垂徑定理，勾股定理等知識點，解題時要注意當(dāng)△BPC是等腰三角形時，點P的位置有三種情況.9.已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的OO與邊AC、BC分別交于點D、E,過點D作DF丄BC，垂足為F.(1)求證：DF為OO的切線；(2)若等邊三角形ABC的邊長為4,求圖中陰影部分的面積.【答案】d）見解析⑵孚-三【解析】試題分析：（1）連接DO,要證明DF為OO的切線只要證明/FDP=90°即可；（2）首先由已知可得到CD,CF的長，從而利用勾股定理可求得DF的長；再連接OE，求得CF,EF的長，從而利用S直角梯形FDOE-S扇形oed求得陰影部分的面積.直角梯形FDOE扇形OED試題解析：（1）證明：連接DO.T△ABC是等邊三角形，ZA=ZC=60°.TOA=OD，.△OAD是等邊三角形..ZADO=60°,TDF丄BC,ZCDF=90°-ZC=30°,ZFDO=180°-ZADO-ZCDF=90°,.DF為OO的切線；（2）T△OAD是等邊三角形，AD=AO=』AB=2..CD=AC-AD=2.RtACDF中，TZCDF=30°,CF=■CD=1.2連接OE,則CE=2..CF=1,EF=1.…S…S直角梯形fdoeW（EF+OD）???S麗兀X護(hù)_2兀扇形???S麗兀X護(hù)_2兀扇形OED==:"S扇形OED2兀陰影=S直角梯形FDOE【點睛】此題考查學(xué)生對切線的判定及扇形的面積等知識點的掌握情況，當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線.也考查了等邊三角形的性