大學畢業(yè)論文期望的性質及其應用教材

-I--I-簡述期望的性質及其應用數學期望是概率論課程中的一個重要概念，是隨機變量的重要數字特征之

一，數學期望在人們社會實踐中有重要并且廣泛的應用。 本文首先介紹了數學期望的幾個定義和主要性質，然后通過舉例說明數學期望在農業(yè)、經濟、 日常生活中以及在其他學科知識上的應用，最后總結了數學期望的應用前景和發(fā)展方向。關鍵詞：數學期望；隨機變量；多維隨機變量---簡述期望的性質及其應用第一章引言早起的埃及人為了忘記饑餓，經常聚在一起玩一種游戲叫做“獵犬與胡狼”的游戲，實際上就是擲骰子游戲，相對面的數學之和是7的骰子大約產生于公元前1400年的埃及，骰子就是游戲中常用的隨機發(fā)生器，這類游戲也叫機會性游戲。17世紀中葉,人們開始對機會性游戲的數學規(guī)律進行探討。通過人類的社會實踐和生產勞動，概率論同其他數學分支一樣在一定的社會條件下發(fā)展成為一種。智力積累。期望是概率論發(fā)展早期就形成的一個數字特征 ，也是概率論的一個重要內容之一，也是其他諸如方差、高階矩陣等數字特征的基礎。數學期望領域在不斷的發(fā)展和成熟，通過對數學期望的定義和性質的深刻理解 ，領悟到數學期望在當今乃至未來的重要作用。數學期望是概率論的一個重要且目前仍然非?；钴S的領域,又是一門最有實用價值的數學理論，是社會實踐與生產中預測與決策的核心，已成為現(xiàn)代生活實踐中各種形式與數量關系強有力的工具。預測與決策問題很多都可以轉化成期望的運算與求解，特別是經濟的發(fā)展為期望開辟了廣泛的前景。本課題簡述了幾種期望的性質運算，通過列舉一些生產和生活中具有的重要意義的問題，加深對數學期望的性質及其作用的理解，結合現(xiàn)代經濟生活中出現(xiàn)的決策問題，運用數學期望的性質進行深入探討并解決問題。第二章數學期望在很多情況下，人們對隨機變量的研究往往需要知道的并不像隨機變量的分布那樣完全，只需知道關于它的特征值就夠了。數學期望是研究隨機變量總體取值的水平的一個重要的數字特征，反映的是隨機變量取值的平均數，它在理論和實際應用中都很重要，人們可以直接或間接地利用數學期望來解決遇到的問題，是人們做出選擇的重要參考數據。2.1數學期望的定義定義1⑶離散型隨機變量X的一切可能值xi與對應的概率P(X二為)的乘積的和叫做隨機變量X數學期望，記作E(X).如果隨機變量X只能取得有限個值X1,X2,,Xn,而取得這些值的概率分別是P(N),P(X2), ,P(Xn),則數學期望EarxeX)X2P(X2) XnP(Xn)n「XiPi如果隨機變量X可能取得可數無窮多個值而概率分別是XiXi,X2,,Xn,P(Xi),P(X2), ,P(Xn),,則數列期望E(X)是下列級數的和：E(X)二為p(Xi)X2P(X2) XnP(Xn)QO=送XP(Xi).i=1假定這級數是絕對收斂的，因而級數的和與各項的排列次數無關。定義2設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),若積分 「xf(x)dx.絕對收斂,-be則稱積分.二xf(x)dx.的值為隨機變量X的數學期望，記為E(X).即E(X)=.；：xf(x)dx.定義3設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數為p(x，yj),則隨機變量X與Y的數學期望分別定義如下:E(X)八、xp(Xi,yj),ijE(Y)=送送yp(Xi,yj).ij定義4設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y),則隨機變量X與Y的數學期望分別定義如下：E(X)[j?f(x,y)dxdy,E(Y)= ：：：yf(x,y)dxdy,假定反常積分是絕對收斂的。例1某工程隊計劃承包一項工程。若三天完成可獲利 8000元，四天完成可獲利5000元，五天完成要被罰款10000元。由以往經驗知，該工程隊三天、四天、五天完成此項工程的概率分別為0.3、0.5、0.2，獲利金額的概率分布見下表。問，如果你是經理，愿意承包這項工程嗎？x(元)80005000-10000P0.30.50.2解承包此項工程獲利的數學期望是：8000X0.3+5000X0.5-10000X0.2=2900元，就是說，雖然有被罰款的可能，但平均說來，承包這樣的工程是可以獲計算出利潤的。以上案例是對數學期望的定義直接應用，計算出數學期望就知道答案了。在實際應用中，依照數學期望的定義來求期望值是一種簡單和常用的方法，它為人們的選擇提供了可靠的運算公式，并從中得出人們對事物所需要的期望值，防止了人們選擇的盲目性，為人們的選擇提供了指明燈。一維隨機變量的數學期望性質從數學期望的定義出發(fā)，人們推理論證了期望所具有的一些性質，這些性質在應用計算過程中提供了簡單可靠的方法，大大減少了運算步驟和程序，在實際應用中往往會用到這些性質。性質1⑶設C是常數,則有E(C)二C.證把常數C看作一個隨機變量，它只能取得唯一的值C,取得這個值的概率顯然等于1。所以，E(c)二C1二C性質2⑶設X是隨機變量，a,b是常數,則有E(aXb)=aE(X)b.證若X是連續(xù)型隨機變量,且其密度函數為f(x).■fao "bo "boE(aXb)(axb)f(x)dx=axf(x)dxbf(x)dx=aE(x)b.J_￡3O J_￡3O當X是離散型隨機變量的情形時，將上述證明的積分號改為求和號即。特別地,當b=o時，得到E(aX)=aE(X).例1某銀行開展定期定額的有獎儲蓄，定期一年，定額60元。按規(guī)定10000個戶頭中，頭等獎一個，獎金500元；二等獎10個，各獎100元;三等獎100個各獎10元;四等獎1000個，各獎2元。某人買了五個戶頭，他期望得獎多少元？解因為任何一個戶頭得獎都是等可能的，我們先計算一個戶頭的得獎金數。依題意，x的分布列為：X5001001020P111188891000010001001010000所以，X的數學期望為:1111E(X)=泊500 100 10 2=0.45(兀)10000100010010即買5個戶頭的期望得獎數為E(5X)=5E(X)=50.45=2.25(元)。以上案例是對數學期望性質2的應用，從中看出從簡單的數學期望定義還不能滿足人們的要求，人們需要更為簡單方便的方法來計算期望值。多維隨機變量數學期望的性質除一維隨機變量外，在現(xiàn)實生活中往往在一個事件中會出現(xiàn)多個隨機變量，期望值由這多個隨機變量的值來共同決定，那么研究多維隨機變量的性質在求解數學期望也是很重要的。性質3⑴：設％.是隨機變量,其中n=1,2,3…則有n nECXk)八E(Xk)

k=1 kz!性質4⑷：設n維隨機變量(^上十…止n)的數學期望存在,則有線性性質：對任意常數c(iT2…,n)有TOC\o"1-5"\h\zn nCT八CE(」i=1 i=1證(1)由R-S積分的性質得n nECoi)「一：一「_：COXi)dF(X1，X2， Xn)i1 i=1

n□0oOoO八C ?xdF（Xi，X2，…，Xn）i4 _ _ _n=CiE「i）.性質5⑷：若匕$2,…，仁相互獨立,則n nE（i【■iHilE（丿證僅證n=2并設「「2）為連續(xù)性的情形。設f（X1，X2）及f1（Xi），f2（X2）為「,2）及'「2的密度函數，有，：2的獨立性，有2-■EG2-■EG」oO=XlX2dF（Xi，x2）OOoO一:XX2f（Xi，X2）dXidX2oOcd■--X1X2f1（X1）f2（X2）dXldX2oO oO==X1f1（Xl）dXi=X2f2（X2）dX2二E（丿E（2）.12例1某人先寫了n封投向不同地址的信，再寫了這n個地址的信封，然后在每個信封內隨意地裝入一封信，求信與地址配成對的個數X的期望.解首先定義n個隨機變量如下：XiXi=*1,第i封信配對成功

、0,第i圭寸信配對不成功（i=1,2 n）,則nTOC\o"1-5"\h\zX八Xi（i=1,2, ,n）.i=1配對試驗的樣本空間的樣本總點數 二n?（n-1K21二n!,而事件{Xi二1}={第i封信配對成功，而其他n-1封信隨意配}的樣本總點數=（n-1）!.1 1所以P{Xi-1}-,P{Xi=0}=1-.n n1 n n 1從而E(Xi) ,因此E(X)二ECXi)八E(Xi)二n1.n y $ n以上例題是配對問題，是對數學期望性質3的實際應用，通過運用數學期望的性質運算，給出了事件的科學合理的解釋，使事實并不是想象中的那樣巧合。第三章數學期望的應用期望是人們對事物的提前勾畫出的一種標準，達到了這個標準就是達到了期望值。美好的愿望是人類生存的精神支柱， 為一個特定的目標而奮斗，通過艱苦的努力去戰(zhàn)勝各種風險，以致終于達到預先的期望。期望與風險并存， 在社會實踐過程中人們從期望值來觀察風險，分析風險，以便作出正確的決策。在社會實踐中經常要對事情的結果進行預測， 數學期望在其中起到了不可替代的作用。 數學期望在社會經濟生活中應用十分廣泛，涉及農業(yè)、經濟、生活等諸多領域,例如決定生產批量問題、試驗決策問題、求職問題、民事糾紛問題等等 .3.1數學期望在農業(yè)中的應用在農業(yè)投資的過程中，實現(xiàn)投資行為的途徑很多，可以確定相應的多種投資方案。農業(yè)生產受到自然環(huán)境、氣候、市場供需矛盾、農民自身文化素質等的嚴重影響。以前農民種地全憑經驗，靠天吃飯，以自給自足、滿足溫飽為目的，剩余農產品用來交換的占極少數?，F(xiàn)代農民文化素質較高，能根據氣象資料、 市場供需情況等組織生產，勞動收入有大幅度提高， 并逐步向產業(yè)化方向發(fā)展。如何選擇較為科學的投資評價方法，通過對多種投資方案進行對比分析， 以便得出較為科學、合理的決策，是農業(yè)投資決策中的一個重要的研究課題。 數學是人們在生產實踐、科學試驗中總結經驗、加工提煉、抽象升華而發(fā)展起來的一門科學。因此，將數學應用于農業(yè)生產中，必將對農民種植起著積極的指導作用。 期望是人們對不同時間不同區(qū)域種植某種農作物收益來進行預測， 根據農作物的自身特點與外界條件以及市場的正確預估， 提前做好工作，則會使收益達到最大化或者損失達到最小。數學期望的形成與發(fā)展為農業(yè)的生產做出了不可替代的作用。案列1某農場主根據以往經驗，擬投資3個項目：生產玉米、大豆和芝麻，其收益都與市場狀態(tài)有關。若把未來市場劃分為優(yōu)、良、差三個等級，根據市場調查研究,其發(fā)生的概率分別為0.3,0.5,02生產玉米的收益X（萬元）分別為9,7,-2時,對應的P值分別為0.3,0.5,0.2 ；生產大豆的收益P（萬元）分別為11,4,-3時，對應的P值分別為0.3,0.5,0.2;生產的芝麻收益Z（萬元）分別為12,4，-5時，對應的P值分別為0.3,0.5,0.2。請問該農場是生產哪種農產品所收到的收益最大？解：由案例的信息我們可以分別得到生產玉米、大豆和芝麻的收益期望值分別為

E(X) XE(X) XiPX=5.8i4萬元3萬元萬元e(y)八yipyi=4.7萬元萬元i43E(Z)八ZiPZi=5.5i4從數學期望來看，生產玉米的收益最大，生產大豆的收益最小，所以此農場可以優(yōu)先選擇種植玉米，其次選擇種植芝麻，再次選擇種植大豆。探討了數學期望在農業(yè)生產中的一些簡單應用，從中可以體會出數學知識應用于農業(yè)生產有益之處。隨著農業(yè)產業(yè)化和現(xiàn)代化的發(fā)展，農業(yè)生產對數學的依賴會越來越密切。3.2數學期望在經濟中的應用在經濟生活中，有許多問題都可以直接或間接的利用數學期望來解決。數學期望無論從計劃還是從決策觀點看都是至關重要的，在經濟活動中，數學期望為決策者做出最優(yōu)決策提供重要的理論依據。數學期望可以小到用在企業(yè)根據市場確定產量，進行人、財、物的合理分配；消費者根據自己的有限收入決定其對商品的需求量。大到對國民經濟和社會的發(fā)展目標、戰(zhàn)略重點、戰(zhàn)略步驟、戰(zhàn)略措施等重大經濟問題進行預測。不論是廠家的生產還是商家的銷售 ，總是追求利潤的最大化,供大于求或供不應求都不利于獲得最大利潤。但供應量和需求量又不是預先知道的。理性的廠家或商家往往根據過去的數據（概率），用數學期望結合微積分的有關知識，制定最佳的生產或銷售策略。3.2.1確定生產批量問題生產批量問題是物流企業(yè)進行生產決策經常遇到的。 選擇何種方案，多少產量直接關系到企業(yè)成本的控制，收益的高低，這些問題都是關系到企業(yè)管理和運營的重大問題，同時也困擾很多管理者。簡易可行的解決方法就是利用期望收益最大的原則進行方案選擇：即進行備選方案的收益（或損失）比較，選擇收益（或損失）最大（最?。┑姆桨?。案例2某企業(yè)為了確定今后5年內各種服裝的生產批量，為了及早做好產前的各項準備工作，根據以往的銷售統(tǒng)計資料及市場調查預測， 未來市場銷售路好、中、差的概率分別為0.3，0.5，0.2。若按大、中、小三種不同生產批量投產，今后5年不不同的銷售狀態(tài)下的益損值如下：表1市場銷售概率表分析：雖然益損值x的分布未知，但由于它的數學期望表示平均值，在三

種狀態(tài)下的平均值是可求的，故可用它作為評判的標準， 下面我們計算三個批量的益損值的數學期望。E(xJ=0.3180.5120.2(-2)=10.6E(x2)=0.3100.5150.210=12.5E(X3)=O.360.580.28=7.4由此可見，中批量生產的益損均值最大，故應選擇中批量生產較為合適。3.2.2最佳進貨量問題商場要進某種商品，作為商場而言，必定要考慮準備多少貨源，既能滿足市場需求，又不會產生積壓，使資金使用最佳、收益最優(yōu)。案例3為迎接新年購置年貨購物狂潮，某大型超市需對某種酒水進行大量購置存貨。根據以往經驗，這種酒水的市場需求量X(t)服從(500,800)上的均勻分布。每售出一箱此種酒水，超市可獲利50元;若銷售不出去，則超市每箱虧損10元。問該超市應該對這種酒水存貨多少箱才能使平均收益最大？解析：設該大型超市購置此種酒水m箱,則有500豈m<800,設丫為在購m箱此種酒水條件下的收益額(元 )，則收益額丫和酒水需求量X的函數關系為Y=f(X).有所設條件知，當X一m時，則此mt酒水全部售出，獲利50m;當X5時，則售出X,獲利50m,還有(m-X)箱賣不出去，獲利-10(m-X),因此共獲利60X-10m,故有：f(X)50m; f(X)50m; >m60X—10m;Xcm由定理可得:ME(Y)=耗f(x)p(x)dx-M x800 1f(x)dx500 3001300~800 m禮50mdx+[oo(60x-10m)dx和-m21500m-500)根據極值定理,易知當m=750箱時,能使E(Y)達到最大值,即該超市應購置此種酒水750箱。3.3數學期望在日常生活中的應用人們在日常生活中總會遇到一些難以決斷的事情， 這些讓人猶豫不決的事往往受一些不確定因素的影響，使得事物發(fā)展的結果難以預料。那么，生活中怎樣避劣選優(yōu)，科學決策，最大限度地降低決策的風險，果斷、巧妙地抓住成功的機遇呢？數學期望就是用來平衡人們極大的利益欲望和極小化的風險這對矛盾問題使結果朝人們所期望的方向發(fā)展。期望在日常生活中運用廣泛，在決定做某事之前，都會估計事情的成功率或者獲利的多少，其中家庭投資就是期望的很好應用。案列3設想某人在求職過程中得到了兩個公司的面試通知 ，假定每個公司有三種不同的職位:極好的，工資年薪6萬;好的,工資年薪4萬;一般的,工資年薪2.5萬。估計能得到這些職位的概率為0.2、0.3、0.4,有0.1的可能得不到任何職位。由于每家公司都要求在面試時表態(tài)接受或拒絕所提供職位 ，那么,應遵循什么策略應答呢？極端的情況是很好處理的，如提供極好的職位或沒工作，當然不用做決定了。對于其他情況，我們的方案是，采取期望受益最大的原則。先考慮現(xiàn)在進行的是最后一次面試，工資數學期望值為：E（A）=40.230.3-2.50.400.1=2.7力‘。那么在進行第一次面試時，我們可以認為，如果接受一般的值位，期望工資為2.5萬,但若放棄（可到下一家公司碰運氣）,期望工資為2.7萬,因此可選擇只接受極好的和好的職位。如果此人接到了三份這樣的面試通知，又應如何決策呢？最后一次面試，工資的期望值仍為2.7萬。第二次面試的期望值可由下列數據求知:極好的職位，工資4萬;好的，工資3萬;一般的，工資2.5萬;沒工作（接受第三次面試）,2.7萬。期望值為：E（A2）=40.230.32.50.42.70.1=3.05萬。這樣，對于三次面試應采取的行動是：第一次只接受極好的職位，否則進行第二次面試；第二次面試可接受極好的和好的職位，否則進行第三次面試；第三次面試則接受任何可能提供的職位。這一策略下工資總的期望值為 4X0.2+3.05X0.8=3.24萬。故此在求職時收到多份面試通知時，應用期望受益最大的原則不僅提高就業(yè)機會，同時可提高工資的期望值。案例4 設某人用10萬元進行為期一年的投資，有兩種投資方案：一是購買股票；二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經濟形勢，若經濟形勢好可獲利4萬元，形勢中等可獲利1萬,形勢不好要損失2萬元。如果存入銀行，假設利率為8%,可得利息8000元,又設經濟形勢好、中、差的概率分別為30%50%20%試問應選擇哪一種方案可使投資的效益較大？比較兩種投資方案獲利的期望大?。嘿徺I股票的獲利期望是E(A)"0.310.5(-2)0.2=1.3(萬元),存入銀行的獲利期望是e(a2)=0.8(萬元)，由于e(a)?e(a),所以購買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應采用購買股票的方案?？傊?，求職、投資等都帶有一定的隨機性，運用數學期望這一隨機變量的總體特征來預計收益或決策投資是比較客觀的。3.4數學期望在其他學科知識的應用數學不是一門孤立的學科，應融入各學科組成的大知識之中。數學期望作為數學中一個重要的內容，也和其它知識與學科具有或多或少的聯(lián)系知識，因此數學期望應與其他知識與學科之間是相互開放、相互作用、彼此關聯(lián)。例1數學期望在《經濟預測與決策》的應用經濟預測與決策是以準確的調查統(tǒng)計資料和經濟信息為依據， 從經濟現(xiàn)象的歷史、現(xiàn)狀及其規(guī)律性出發(fā)，運用科學的方法，對經濟現(xiàn)象未來發(fā)展前景的測定，根據測定的結果進行實施的一系列過程?？傮w來說，經濟預測就是對未來可能發(fā)生的經濟事件的設想，進而為決策服務， 為決策提供多種選擇。對經濟的預測往往是需要得出事件的期望值，因而數學期望在《經濟預測與決策》中起著不可代替的作用。例2數學期望在積分中值定理的運用積分中值定理在數學分析中占有重要作用， 數學期望給出了積分中值定理證明的概率解釋，使積分中值定理更易被理解。(積分第一中值定理)若函數f(x)在a,b〕上連續(xù),則在a,b］上至少存在一點b,使得.f(x)dx=f()(b-a).a證設隨機變量X服從a,b1上的均勻分布,則設隨機變量X服從'a.bl上的［丄均勻分布,則X的密度函數為P(x)=二b-a，a：：：x:b;［o,其他.丫二f(X)1b 1b則容易計算，E(Y) f(x)dx.由此可以看到 f(x)dx是隨機變量