2021-2022學年北京市東城區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試題及答案解析

第=page2828頁，共=sectionpages2828頁2021-2022學年北京市東城區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8小題，共16.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）一元二次方程2x2+xA.2，1，5 B.2，1，?5 C.2，0，?5 D.2，0下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是(

)A. B.

C. D.將拋物線y=x2向上平移3個單位后所得的解析式為A.y=x2+3 B.y=在平面直角坐標系xOy中，點A(2A.(2,?3) B.(?用配方法解方程x2+4xA.(x+2)2=5 B.中國象棋文化歷史久遠，在圖中所示的部分棋盤中，“馬”的位置在“”(圖中虛線)的下方，“馬”移動一次能夠到達的所有位置已用“?”標記，則“馬”隨機移動一次，到達的位置在“”上方的概率是(

)

A.18 B.16 C.14如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，點C為⊙O上一點，若∠ACB=A.70° B.50° C.20°如圖，線段AB=5，動點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿線段AB運動至點B.以點A為圓心，線段AP的長為半徑作圓．設點P的運動時間為t，點P，B之間的距離為y，⊙A的面積為S.則y與t，A.正比例函數(shù)關系、一次函數(shù)關系 B.一次函數(shù)關系，正比例函數(shù)關系

C.一次函數(shù)關系，二次函數(shù)關系 D.正比例函數(shù)關系，二次函數(shù)關系二、填空題（本大題共8小題，共16.0分）拋物線y=?3(x若關于x的一元二次方程x2+2x+m=0的一根為請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點(0,2)的拋物線的表達式：社團課上，同學們進行了“摸球游戲”：在一個不透明的盒子里，裝有20個除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球．將盒子里面的球攪勻后，從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復上述過程．整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關系圖象，如圖所示，經(jīng)分析可以推斷“摸出黑球”的概率為

．

2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育活動．據(jù)了解，某展覽中心3月份的參觀人數(shù)為10萬人，5月份的參觀人數(shù)增加到12.1萬人．設參觀人數(shù)的月平均增長率為x，則可列方程為

．如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，若∠DAE=

斛是中國古代的一種量器．據(jù)《漢書?律歷志》記載：“斛底，方而圜(huán)其外，旁有庣(tiāo)焉．”意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個圓，此圓外是一個同心圓．”如圖所示．問題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”為兩寸五分(

如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊DC，CB上的動點，且始終滿足DE=CF，AE，DF交于點P，則∠APD三、計算題（本大題共1小題，共5.0分）解方程：x2?2四、解答題（本大題共11小題，共63.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）(本小題5.0分)

如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點M，交⊙O于點C.若⊙O(本小題5.0分)

下面是小明設計的“作圓的內(nèi)接等腰直角三角形”的尺規(guī)作圖過程．

已知：⊙O(如圖1)．

求作：⊙O的內(nèi)接等腰直角三角形ABC．

作法：如圖2．

①作直徑AB；

②分別以點A，B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧交于點M；

③作直線MO交⊙O于C，D兩點；

④連接AC，BC．

所以△ABC就是所求作的等腰直角三角形．

根據(jù)小明設計的尺規(guī)作圖過程，解決下面的問題：

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面的證明．

證明：連接MA，MB．

∵MA=MB，OA=OB，

∴MO(本小題5.0分)

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+2x+c的部分圖象經(jīng)過點A(0,?(本小題5.0分)

如圖．在平面直角坐標系xOy中，△OAB的頂點坐標分別為O(0,0)，A(5,0)，B(4,?3).將△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90(本小題5.0分)

2021年6月17日，神舟十二號成功發(fā)射，標志著我國載人航天踏上新征程．某學校舉辦航天知識講座，需要兩名引導員，決定從A，B，C，D四名志愿者中通過抽簽的方式確定兩人．抽簽規(guī)則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同且不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的三張卡片中隨機抽取第二張，記下名字．

(1)“A志愿者被選中”是______事件(填“隨機”、“不可能”或“必然”)；

(2)用畫樹狀圖或列表的方法求出A，(本小題6.0分)

已知關于x的一元二次方程x2?(k+4)x+4k=0(本小題6.0分)

為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻(墻長為25m)的空地上修建一個矩形小花園ABCD.小花園一邊靠墻，另三邊用總長40m的柵欄圍住，如圖所示．設矩形小花園AB邊的長為x?m，面積為ym2．

((本小題6.0分)

如圖，AC是⊙O的弦，過點O作OP⊥OC交AC于點P，在OP的延長線上取點B，使得BA=BP．

(1)求證：AB是(本小題6.0分)

在平面直角坐標系xOy中，點(1,m)和(2,n)在拋物線y=?x2+bx上．

(1)若m=0，求該拋物線的對稱軸；

(2)若mn<(本小題7.0分)

如圖，在等邊三角形ABC中，點P為△ABC內(nèi)一點，連接AP，BP，CP，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AP′，連接PP′，BP′．

(1)用等式表示BP′與CP的數(shù)量關系，并證明；

(2)當∠(本小題7.0分)

在平面直角坐標系xOy中．⊙O的半徑為1，對于直線l和線段AB，給出如下定義：若將線段AB關于直線l對稱，可以得到⊙O的弦A′B′(A′,B′分別為A，B的對應點)，則稱線段AB是⊙O的關于直線l對稱的“關聯(lián)線段”.例如：在圖1中，線段AB是⊙O的關于直線l對稱的“關聯(lián)線段”．

(1)如圖2，點A1，B1，A2，B2，A3，B3的橫、縱坐標都是整數(shù)．

①在線段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的關于直線y=x+2對稱的“關聯(lián)線段”是______；

②若線段A1B答案和解析1.【答案】B

【解析】解：一元二次方程2x2+x?5=0的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項分別是2，1，?5，

故選：B．

根據(jù)二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的定義即可得出結(jié)果．

本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=02.【答案】C

【解析】解：A.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

B.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C.是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

D.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．

故選：C．

根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．

本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，繞對稱中心旋轉(zhuǎn)1803.【答案】A

【解析】解：∵拋物線y=x2向上平移3個單位，

∴平移后的解析式為：y=x2+3，

4.【答案】D

【解析】解：∵點A(2,3)，

∴A點關于原點對稱的點為(?2,?3)5.【答案】A

【解析】解：原方程兩邊同時加上4，

得x2+4x+4=1+4，

即(x+6.【答案】C

【解析】解：觀察“馬”移動一次能夠到達的所有位置，即用“●”標記的有8處，

位于“”(圖中虛線)的上方的有2處，

所以“馬”隨機移動一次，到達的位置在“”上方的概率是28=14，

故選：C．

用“”(圖中虛線)的上方的黑點個數(shù)除以所有黑點的個數(shù)即可求得答案．

本題考查概率的求法與運用，一般方法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A7.【答案】D

【解析】解：連接OA、OB，

∵∠ACB=70°，

∴∠AOB=2∠ACB=140°，

∵PA，PB是⊙O的切線，

∴OA⊥PA，O8.【答案】C

【解析】解：由題意得：y=5?t(t≤5)，屬于一次函數(shù)關系，

S=9.【答案】(1【解析】解：∵y=?3(x?1)2+2是拋物線的頂點式解析式，

∴頂點坐標為(1,2)10.【答案】1

【解析】解：把x=?1代入方程，得

(?1)2+2×(?1)+m=011.【答案】y=x2【解析】解：∵拋物線的開口向上，

∴a>0，

又∵拋物線與y軸交于點(0,2)，

∴c=2，

所以拋物線的表達式為y=x2+2，12.【答案】0.2

【解析】解：由圖可知，隨著“摸球游戲”的次數(shù)增多，“摸出黑球的頻率”逐漸穩(wěn)定在0.2左右，

所以，“摸出黑球”的概率為0.2，

故答案為：0.2．

根據(jù)頻率估計概率即可得出“摸出黑球”的概率．

本題主要考查用頻率估計概率，需要注意的是試驗次數(shù)要足夠大，次數(shù)太少時不能用頻率估計概率．

13.【答案】10(【解析】解：依題意得：10(1+x)2=12.1．

故答案為：10(1+x)2=12.114.【答案】30°【解析】解：∵將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，

∴∠DAE=∠BAC=110°，

∵在△ABC中，∠B=15.【答案】2

【解析】解：如圖，

∵四邊形CDEF為正方形，

∴∠D=90°，CD=DE，

∴CE為內(nèi)圓直徑，∠ECD=45°，

由題意得：AB=2.5尺，

∴CE=16.【答案】90°；5【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADE=∠DCF=90°，

在△ADE和△DCF中，

AD=DC∠ADE=∠DCFDE=CF,

∴△ADE≌△DCF(SAS)，

∴∠DAE=∠CDF，

∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，

17.【答案】解：(x?4)(x+2)=0，【解析】利用因式分解法解方程．

本題考查了解一元二次方程，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法，還可以使用公式法，配方法，等等．

18.【答案】解：∵OM:MC=3:2，

∴可設OM=3x，MC=2x，

∵⊙O的半徑為10，

∴3x+2x=10，

解得：x=2，

即OM=3×【解析】本題考查了勾股定理和垂徑定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關鍵．

根據(jù)題意，先設OM=3x，MC=2x19.【答案】解：(1)如圖所示：

(2)B【解析】本題主要考查作圖—復雜作圖，解題的關鍵是掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和圓周角定理．

(1)根據(jù)題干要求的步驟依次求解即可；

(2)根據(jù)圓周角定理求解即可．

解：(1)見答案；

(2)證明：連接MA，MB．

∵MA=MB，OA=OB，

∴MO是AB的垂直平分線．

又∵直線MO交⊙O20.【答案】解：(1)將A(0,?3)，B(1,0)代入y=ax2+2x【解析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．

(1)通過待定系數(shù)法求解．

(2)求出拋物線與x軸交點坐標，通過拋物線開口向上求解．

解：(1)見答案；

(2)令x2+2x?3=0，

解得：x=?321.【答案】解：(1)如圖所示，△OA′B′即為所求．

點A′的坐標為(0,?5)；

(2【解析】本題主要考查作圖—旋轉(zhuǎn)變換，解題的關鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義與性質(zhì)及弧長公式．

(1)將點A、B分別繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到其對應點，再與點O首尾順次連接即可；

22.【答案】解：(1)

隨機；

(2)畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中A，B兩名志愿者同時被選中的結(jié)果有2種，

∴A，B【解析】此題考查的是樹狀圖法求概率以及隨機事件的概念．樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

(1)根據(jù)隨機事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；

(2)畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中A，B兩名志愿者同時被選中的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．

解：(1)“A志愿者被選中”是隨機事件，23.【答案】(1)證明：∵Δ=b2?4ac

=[?(k+4)]2?16k

=k2?8k+16

=(k?4)2【解析】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題的關鍵是：(1)牢記“當Δ≥0時，方程有兩個實數(shù)根”；(2)利用因式分解法解一元二次方程結(jié)合方程一根小于2，找出關于k的一元一次不等式．

(1)根據(jù)根的判別式：Δ=b2?4ac24.【答案】解：(1)由題意得：y=x(40?2x)=?2x2+40x，

∵0<40?2x≤25，

∴152≤x<20，

∴y【解析】本題考查的是二次函數(shù)的實際應用．關鍵是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．

(1)根據(jù)矩形的面積公式寫出函數(shù)解析并求出自變量取值范圍即可；

(25.【答案】(1)證明：∵OA=OC，

∴∠C=∠OAC，

∵BP=BA，

∴∠BPA=∠BAP，

∵∠CPO=∠BPA，

∴∠CPO=∠BAP，

∵OP⊥OC，

∴∠COP=90°，

【解析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵．

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠OAC，∠BPA=∠BAP，求得26.【答案】解：(1)若m=0，則點(1,0)在拋物線y=?x2+bx上，

∴0=?1+b，解得b=1，

∴拋物線的對稱軸為直線x=?b2×(?1)=?1?2=12；

(2)①12<t<1；

【解析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解．

(1)把點(1,0)代入y=?x2+bx求得b的值，即可根據(jù)對稱軸公式求得答案；

(2)①分類討論b的情況，根據(jù)mn<0可得對稱軸在直線x=12與直線x=1之間；

②根據(jù)增減性及各點到對稱軸的距離判斷y值大小．

解答：

(1)見答案；

(2)①∵y=?x2+bx，

∴拋物線開口向下且經(jīng)過原點，

當b=0時，拋物線頂點為原點，x>0時y隨x增大而減小，

∵1<2，

∴n<m<027.【答案】解：(1)BP′=CP，

證明：如圖，∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠2+∠3=60°

∵將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AP′，

∴AP=AP′，∠PAP′=60°，

∴∠1+∠2=60°，

∴∠1=∠3，

∵AP′=AP，AB=AC

∴△ABP′≌△ACP(SAS)【解析】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，利用倍長中線構造平行四邊形是解題的關鍵．

(1)利用SAS證明△ABP′≌△ACP，即可得出答案；

(2)①由三角形內(nèi)角和定理知∠8+∠6=180°?∠BPC=60°，再利用角度之間的轉(zhuǎn)化對∠P′BP進行轉(zhuǎn)化，∠P′BP=∠4+∠7=∠5+60°?∠8=60°?∠6+28.【答案】

解：(1)①A1B1；

②3或2；

(2)

b【解析】本題考查了以圓為背景的閱讀理解題，勾股定理，三角形三邊關系，解決問題的關鍵是找出不同情境下的“關聯(lián)線段”和閱讀理解能力．

(1)①分別畫出線段A1B1，A2B2，A3B3關于直線y=x+2對稱線段，如