函數(shù)的定義域教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)的定義域教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的定義域與值域、單調(diào)性與奇偶性教學(xué)目標(biāo)：理解函數(shù)的性質(zhì)，能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用．教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的理解。［學(xué)習(xí)過程］一、知識(shí)歸納：求函數(shù)的解析式（1）求函數(shù)解析式的常用方法：換元法（注意新元的取值范圍）待定系數(shù)法（已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）整體代換（配湊法）構(gòu)造方程組（如自變量互為倒數(shù)、已知f（X）為奇函數(shù)且g（X）為偶函數(shù)等）（2）求函數(shù)的解析式應(yīng)指明函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域是使式子有意義的自變量的取值范圍，同時(shí)也要注意變量的實(shí)際意義。（3）理解軌跡思想在求對(duì)稱曲線中的應(yīng)用。求函數(shù)的定義域求用解析式y(tǒng)=f(x)表示的函數(shù)的定義域時(shí)，常有以下幾種情況：若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R；若f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實(shí)數(shù)集；若f(x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)集合；若f(X)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合；若f(X)是由實(shí)際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題.求函數(shù)值域(最值)的一般方法：利用基本初等函數(shù)的值域；配方法(二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù))；不等式法(利用基本不等式，尤其注意形如型的函數(shù))函數(shù)的單調(diào)性：特別關(guān)注的圖象及性質(zhì)部分分式法、判別式法(分式函數(shù))換元法(無理函數(shù))導(dǎo)數(shù)法(高次函數(shù))反函數(shù)法數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的單調(diào)性定義法：導(dǎo)數(shù)法：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：關(guān)于函數(shù)單調(diào)性還有以下一些常見結(jié)論：兩個(gè)增(減)函數(shù)的和;一個(gè)增(減)函數(shù)與一個(gè)減(增)函數(shù)的差是；奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有的單調(diào)性；互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自定義域上有的單調(diào)性；求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：定義法、圖象法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。函數(shù)的奇偶性奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，比較f(X)與f(—X)的關(guān)系。f(x)—f(—x)=0f(x)=f(-X)f(x)為偶函數(shù)；f(x)+f(—x)=0f(x)=—f(—x)f(x)為奇函數(shù)。判別方法：定義法，圖象法，復(fù)合函數(shù)法應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。6?周期性：定義：若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意X滿足：f(x+T)=f(x)，則T為函數(shù)f(x)的周期。其他：若函數(shù)f(X)對(duì)定義域內(nèi)的任意X滿足：f(x+a)=f(x—a)，則2a為函數(shù)f(x)的周期.應(yīng)用：求函數(shù)值和某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)解析式。二、典型例題分析例1.若集合A={al,a2,a3},B={bl,b2}求從集合A到集合B的映射的個(gè)數(shù)。分析：解決這類問題，關(guān)鍵是要掌握映射的概念：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，按照某種對(duì)應(yīng)法則f,若集合B中都有唯一確定的元素和它對(duì)應(yīng)，這時(shí)對(duì)應(yīng)法則f叫做從集合A到集合B的映射。這里要掌握關(guān)鍵的兩個(gè)詞“任何”、“唯一”。對(duì)于本例，集合A={a1，a2，a3}中的每一個(gè)元素的象都有bl或b2這兩種情形，由乘法原理可知,A到B的映射的個(gè)數(shù)共有N=222=8個(gè)。例2.線段|BC|=4,BC的中點(diǎn)為M，點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)的距離之和為6，設(shè)|AM|=y，|AB|=x，求y=f(x)的函數(shù)表達(dá)式及這函數(shù)的定義域。解：1若A、B、C三點(diǎn)不共線，如圖所示，由余弦定理可知，x2=22+y2—4ycosAMB①(6—x)2=22+y2—4ycos(180—AMB［②①+②x2+(6—x)2=2y2+8y2=x2—6x+14又x2—6x+14=(x—3)2+5恒正，又三點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形1VxV52若三點(diǎn)A、B、C共線，由題意可知，x+4=6—x,x=l或4+6—x=xx=5綜上所述：說明：第一，首先要分析三點(diǎn)A、B、C是否在同一條直線上，因?yàn)橛深}意，A、B、C不一定能構(gòu)成三角形，它們也可在同一條直線上，所以要分兩種情形來討論。第二，實(shí)際問題在求解析式時(shí)要特別注意函數(shù)的定義域。例3.設(shè)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x—l時(shí)，y=f(x)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(一2，0)，斜率為1的射線，又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在(0，2)，且過點(diǎn)(一1，1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并在圖中作出其圖象。解：(1)當(dāng)x—l時(shí)，設(shè)f(x)=x+b???射線過點(diǎn)(一2，0)0=—2+b即b=2，f(x)=x+2當(dāng)一11時(shí)，設(shè)f(x)=ax2+2；?拋物線過點(diǎn)(一1，1)，1=a(一1)2+2，即a=—1f(x)=一x2+2當(dāng)x1時(shí)，f(x)=—x+2綜上可知：f(x)=作圖由讀者來完成。例4.求下列函數(shù)的定義域(1)(2)解：(1)x4或x—l且x—3,即函數(shù)的定義域?yàn)?一，一3)(—3,—1)[4，+](2)，則0x2一3x一108，即一3xV—2或5Vx6即定義域?yàn)閉一3,一2](5,6)說明：求函數(shù)的定義域，我們常?？梢詮囊韵氯齻€(gè)方面來考慮：若有分母則分母不為零、若有偶次根式則被開方數(shù)大于或等于零、若有對(duì)數(shù)式,則真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1。求函數(shù)的定義域,實(shí)質(zhì)上就是求由以上不等式組成的不等式組的解集。變、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇一1,4],求的定義域。解：,則又,或則或即為所求函數(shù)的定義域。說明：此題實(shí)質(zhì)上是求復(fù)合函數(shù)的定義域，我們把看成是由y=f(u)、兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的，因?yàn)橐?uV4,貝lj,從而求出x的范圍，另外，對(duì)不等式進(jìn)行倒數(shù)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意不等式兩邊必須同號(hào)，取倒數(shù)后不等號(hào)的方向改變,這里也是學(xué)習(xí)時(shí)常常容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方,應(yīng)加以重視。例5.若對(duì)于任何實(shí)數(shù)x,不等式：恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：令f(x)=|x—1|+2|x—2|，去絕對(duì)值把f(x)表示成分段函數(shù)后為5—3xxV1f(x)=3—xx23x—5x〉2作出y=f(x)的圖象如圖，由此可知f(x)的最小值為1,f(x)〉a對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則aV1。說明：該題看上去是一個(gè)不等式的問題,若用去絕對(duì)值分類討論的方法來求解則比較繁鎖，而如果注意到不等式左邊是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù),只要利用數(shù)形結(jié)合的思想求出此函數(shù)的最小值就很快解決了問題，這種解題思想應(yīng)引起我們的注意。另外，對(duì)于函數(shù)f(x)=|x—1|+2|x—2|只要把它寫成分段函數(shù)的形式，作出函數(shù)的圖象，則該函數(shù)的所有性質(zhì)，包括函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，值域等一切問題都可以迎刃而解了。例6.求函數(shù)的值域。解：令，則13—4x=t2該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為t=1,又t0由二次函數(shù)的性質(zhì)可知y4，當(dāng)且僅當(dāng)t=1即x=3時(shí)等式成立，原函數(shù)的值域?yàn)?一，4)。說明：對(duì)于所有形如的函數(shù)，求值域時(shí)我們可以用換元法令轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)在區(qū)間［0，+)上的最值來處理。這里要注意t0的范圍不能少。如：已知f(x)的值域?yàn)?，試求函?shù)的值域。該題我們只需要把f(x)看成是一個(gè)變量，則求值域時(shí)仍可用上述換元法，但是如果被開方數(shù)不是關(guān)于x的一次式，而含x的平方項(xiàng)，則就不能用上述換元法了。如求函數(shù)的值域，若令，貝收無法用t來表示。這里我們?nèi)绻⒁獾絏的取值范圍：一22，則一11的話，我們就可以用三角換元：令［0，］，問題也就轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值了。同樣我們作三角換元時(shí)，要注意的限制條件，因?yàn)楫?dāng)取遍0到之間的每一個(gè)值時(shí)，恰好可以取遍一1到1之間的每一個(gè)值，若不限制的范圍，則根號(hào)無法直接去掉，就會(huì)給我們解題增添麻煩。例7.求下列函數(shù)的最值。(2)解：(1)先求出函數(shù)的定義域：一27，又在區(qū)間［一2，7］上函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在定義域內(nèi)也單調(diào)遞增。當(dāng)x=-2時(shí)，；當(dāng)x=7時(shí)，???0y2=x2(1-x2)由基本不等式可知：y2=x2(1-x2)，又y，。說明：對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)，求值域或最值時(shí)，如果我們能利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性或運(yùn)用基本不等式，問題往往會(huì)很快得到解決。在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要注意“一正二定三相等”的條件，特別是要注意等號(hào)能否成立。例8.設(shè)a>0，x［-1，1］時(shí)函數(shù)y=—x2—ax+b有最小值一1，最大值1，求使函數(shù)取得最小值和最大值時(shí)相應(yīng)的x的值。解：???a〉0,V0，又定義域?yàn)椋垡?,1］x=1時(shí)，即一1—a+b=—1a—b=0下面分a的情形來討論：1當(dāng)0〉一1即0Va2時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，則a2+4a—4=0,又a(0,2),貝U2當(dāng)V—1,即a〉2時(shí)，當(dāng)x=—1時(shí)—l+a+b=l,a+b=2又a=ba=1與a〉2矛盾，舍去綜上所述：x=1時(shí)，，時(shí)。例9.已知函數(shù)y=f(x)=(a,b,cR,a0,b0)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)有最小值2,其中bN且f(1)試求函數(shù)f(x)的解析式；問函數(shù)f(x)的圖象上是否存在關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱的兩點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說明理由解：(1)Tf(x)是奇函數(shù)，f(—x)=—f(x)，即c=0,Va0,b0,x0,f(x)=2,當(dāng)且僅當(dāng)乂=時(shí)等號(hào)成立，于是2=2,a=b2,由f(1)V得V即V,2b2—5b+2V0,解得VbV2,又bN,b=1,a=1,f(x)=x+(2)設(shè)存在一點(diǎn)(x0,y0)在y=f(x)的圖象上，并且關(guān)于(1,0)的對(duì)稱點(diǎn)(2—x0,—y0)也在y=f(x)的圖象上，則消去y0得x02—2x0—1=0,x0=1y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)(1+,2),(1—,—2)關(guān)于(1,0)對(duì)稱例10.已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)在［0,+)上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m,使f(cos2—3)+f(4m—2mcos)f(0)對(duì)所有［0,］都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍,若不存在,說明理由解：Tf(x)是R上的奇函數(shù)，且在［0,+)上是增函數(shù)，f(x)是R上的增函數(shù)于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos2—3)f(2mcos—4m),艮卩cos2——32mcos——4m,即卩cos2——mcos+2m——2設(shè)七=cos,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)?=t2—mt+2m—2=(t—)2—2m—2在［0,1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(七)在［0,1］上的最小值為正當(dāng)0,即m0時(shí)，g(0)=2m—21與m0不符；當(dāng)01時(shí)，即02時(shí)，g(m)=—+2m—204—24+2,?4—22當(dāng)1,即m2時(shí)，g(1)=m—11m2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m4—2另法(僅限當(dāng)m能夠解出的情況)cos2—mcos+2m—20對(duì)于［0,］恒成立,等價(jià)于m(2—cos2)/(2—cos)對(duì)于］0,］恒成立T?當(dāng)］0,］時(shí)，(2—cos2)/(2—cos)4—2,m4－2例11.設(shè)a為實(shí)數(shù)，記函數(shù)f(x)=a的最大值為g(a)。設(shè)七=，求t的取值范圍并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)；求g(a)；求滿足g(a)=g()的所有實(shí)數(shù)a.解：(1)???t=要使t有意義，必須有1+x0且1—X0，即一11.??壯2=2+2[2,4],t……①t的取值范圍是[,2]由①得=x2—1m(t)=a(t2—1)+t=at2+t—a,t[,2](2)由題意知g(a)即為函數(shù)m(t)=at2+t—a,t[,2]/r