北京市西城區(qū)161中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高三上期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)，則的圖象的對(duì)稱中心為（）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A．2 B． C．4 D．3．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．14．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國(guó)物流與采購(gòu)聯(lián)合會(huì)發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個(gè)月的中國(guó)制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為B．12個(gè)月的PMI值的平均值低于50%C．12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D．12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為50.3%5．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．6．下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）A． B． C． D．7．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個(gè)，導(dǎo)線接頭忽略不計(jì))，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長(zhǎng)度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米8．點(diǎn)是單位圓上不同的三點(diǎn)，線段與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)M，若，則的最小值為（）A． B． C． D．9．若，則的值為（）A． B． C． D．10．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．12．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是由一個(gè)棱柱挖去一個(gè)棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．72 B．64 C．48 D．32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)滿足則點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積為____，的最大值為_________14．過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的半徑為__________．15．已知為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，現(xiàn)從這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)，則這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為________.16．若變量，滿足約束條件則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（l）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：（2）若直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且．求直線的方程．18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）設(shè)射線與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)，與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．19．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標(biāo)方程為，是上一動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)的軌跡為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程，并化為直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），直線與曲線的交點(diǎn)為，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的普通方程．20．（12分）[選修45：不等式選講]已知都是正實(shí)數(shù)，且，求證:．21．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.22．（10分）在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若的面積為，，求和的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由值域?yàn)榇_定的值，得，利用對(duì)稱中心列方程求解即可【詳解】因?yàn)?，又依題意知的值域?yàn)?，所以得，，所以，令，得，則的圖象的對(duì)稱中心為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查函數(shù)的對(duì)稱中心，重點(diǎn)考查值域的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)稱中心縱坐標(biāo)錯(cuò)寫為02、A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算，并計(jì)算得到，從而得到虛部為2.【詳解】因?yàn)?，所以z的虛部為2.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念，計(jì)算過(guò)程要注意.3、D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】因?yàn)?，且，，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

根據(jù)圖形中的信息，可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)，從而得到答案.【詳解】對(duì)A，從圖中數(shù)據(jù)變化看，PMI值不低于50%的月份有4個(gè)，所以12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為，故A正確；對(duì)B，由圖可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正確；對(duì)C，12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%，故C正確，；對(duì)D，12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為49.6%，故D錯(cuò)誤故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】分析：題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可以求出.詳解：由題設(shè)有，故，故選A.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)概念中的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項(xiàng).【詳解】由圖可知，ABD選項(xiàng)可以圍成三棱柱，C選項(xiàng)不是三棱柱展開圖.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由于實(shí)際問題中扇形弧長(zhǎng)較小，可將導(dǎo)線的長(zhǎng)視為扇形弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榛￠L(zhǎng)比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)相差很小，可以用弧長(zhǎng)近似代替弦長(zhǎng)，故導(dǎo)線長(zhǎng)度約為63(厘米).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算，屬于容易題.8、D【解析】

由題意得，再利用基本不等式即可求解．【詳解】將平方得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，的最小值為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．9、C【解析】

根據(jù)，再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以二?xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，所以，因此有.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力10、B【解析】

或，從而明確充分性與必要性.【詳解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性，簡(jiǎn)單三角方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

先化簡(jiǎn)得再求得解.【詳解】所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.12、B【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，利用體積公式，即可求解?！驹斀狻坑深}意，幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，所以幾何體的體積為，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、811【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合求得區(qū)域面積以及目標(biāo)函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：數(shù)形結(jié)合可知，可行域?yàn)槿切危业走呴L(zhǎng)，高為，故區(qū)域面積；令，變?yōu)椋@然直線過(guò)時(shí)，z最大，故.故答案為：；11.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題，涉及區(qū)域面積的求解，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,結(jié)合圓心所在直線方程,即可求得圓心坐標(biāo).由兩點(diǎn)間距離公式,即可得半徑.【詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)則直線的斜率為所以與直線垂直的方程斜率為點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為所以由點(diǎn)斜式可得直線垂直平分線的方程為,化簡(jiǎn)可得而弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,且圓心在直線上,設(shè)圓心所以圓心滿足解得所以圓心坐標(biāo)為則圓的半徑為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系,直線與直線交點(diǎn)的求法,直線與圓的位置關(guān)系,圓的半徑的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

基本事件總數(shù)，這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種和，由此能求出這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率．【詳解】解：為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，現(xiàn)從，，，，這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)，基本事件總數(shù)，這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種和，這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16、7【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合，即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖陰影部分所示.觀察可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最大值，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃，主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】

（1）將消去參數(shù)t可得直線的普通方程，利用x=ρcosθ，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為直角坐標(biāo)方程．（2）利用直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得答案．【詳解】（1）由消去參數(shù)t得（），由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為：（2）由得，圓心為（1，0），半徑為2，圓心到直線的距離為，∴，即，整理得，∵，∴，，，所以直線l的方程為：．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的互化，考查直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查分析能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）【解析】

曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．再用極直互化公式求解，曲線的極坐標(biāo)方程用極直互化公式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程．射線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出，射線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出，再用得解【詳解】解：曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．把，代入得：曲線的極坐標(biāo)方程為．轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．設(shè)射線與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)，所以，解得．與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)，所以，解得，所以【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)換及極坐標(biāo)下利用和的幾何意義求線段的長(zhǎng).（1）直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程只需將直角坐標(biāo)方程中的分別用，代替即可得到相應(yīng)極坐標(biāo)方程．參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程必須先化成直角坐標(biāo)方程再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）直接求解，能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的；如果幾何關(guān)系不容易通過(guò)極坐標(biāo)表示時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決.19、（1），；（2）.【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為,，由可得,整理即可得到極坐標(biāo)方程,進(jìn)而求得直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程中,再利用韋達(dá)定理可得，，則，求得取最小值時(shí)符合的條件,進(jìn)而求得直線的普通方程.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為，，因?yàn)?則，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，兩邊同乘,得，所以的直角坐標(biāo)方程為,即.（2）設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則,，將直線的參數(shù)方程（參數(shù)），代入的直角坐標(biāo)方程中，整理得.由韋達(dá)定理得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的普通方程為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,考查利用直線的參數(shù)方程研究直線與圓的位置關(guān)系．20、見解析【解析】試題分析：把不等式的左邊寫成形式，利用柯西不等式即證．試題解析：證明：∵，又，∴考點(diǎn)：柯