人教B版《均值不等式及其應(yīng)用》公開課課件1

2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第1課時2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第1課時1問題1閱讀課本第71~75頁，回答下列問題：整體概覽（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)研究的起點是什么？目標(biāo)是什么？問題1閱讀課本第71~75頁，回答下列問題：整體概覽（1）問題1閱讀課本第71~75頁，回答下列問題：整體概覽（1）本節(jié)將要研究均值不等式及其應(yīng)用．（2）起點是不等式的性質(zhì)以及比較法，目標(biāo)是知道均值不等式，會證明均值不等式定理，會用均值不等式解決簡單的最大（?。﹩栴}．進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng)．（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)研究的起點是什么？目標(biāo)是什么？問題1閱讀課本第71~75頁，回答下列問題：整體概覽（1）情境與問題問題給定兩個正數(shù)a，b，數(shù)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)稱為a，b的幾何平均值．兩個數(shù)的算術(shù)平均值，實質(zhì)上是這兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點的中點坐標(biāo)，那么幾何平均值有什么幾何意義呢？兩個數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平均值之間有什么相對大小關(guān)系呢？情境與問題問題給定兩個正數(shù)a，b，數(shù)稱情境與問題【嘗試與發(fā)現(xiàn)】（1）假設(shè)一個矩形的長和寬分別為a和b，求與這個矩形周長相等的正方形的邊長，以及與這個矩形面積相等的正方形的邊長，并比較這兩個邊長的大??；（2）如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值，猜測一般情況下兩個數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對大小，并根據(jù)（1）說出結(jié)論的幾何意義．情境與問題【嘗試與發(fā)現(xiàn)】（1）假設(shè)一個矩形的長和寬分別為a和情境與問題a12b14131情境與問題a12b14131新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么

，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．證明因為a，b都是正數(shù)，所以即

而且，等號成立時，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝b．新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么

，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正實數(shù)，因此我們可以代入任意滿足條件的數(shù)或式子，比如

一定是正確的．新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么

，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．綜合法證明如下：因為（a－b）2≥0，所以a2＋b2－2ab≥0，所以a2＋b2＋2ab－4ab≥0，即（a＋b）2≥4ab．又因為a＞0，b＞0，所以a＋b≥

，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)（a－b）2＝0，即a＝b時，等號成立．即

．新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么新知探究問題2均值不等式也稱為基本不等式（基本不等式中的a，b還可以為零），其實質(zhì)是：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．那么，均值不等式有什么幾何意義呢？將均值不等式兩邊平方可得≥ab．如果矩形的長和寬分別為a和b，那么矩形的面積為ab，

可以看成與矩形周長相等的正方形的面積，因此均值不等式的一個幾何意義為：所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大．新知探究問題2均值不等式也稱為基本不等式（基本不等式中的a新知探究【想一想】你能推廣這個結(jié)論嗎？比如所有周長相等的三角形中，什么樣的三角形面積最大？平面上，周長相等的所有封閉圖形中，什么樣的圖形面積最大？正三角形，圓新知探究【想一想】你能推廣這個結(jié)論嗎？比如所有周長相等的三角4均值不等式及其應(yīng)用依題意得2（x＋y）＝36，即x＋y＝18．當(dāng)x＝時，ymax＝．解：（1）因為x＞0，所以根據(jù)均值不等式有（2）如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值，猜測一般情況下兩個數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對大小，并根據(jù)（1）說出結(jié)論的幾何意義．（1）本節(jié)將要研究哪類問題？因此，當(dāng)矩形的長和寬都是9時，它的面積最大，最大面積為81．（1）本節(jié)將要研究哪類問題？二定，不等式一邊為定值；，由圖可知CO≥CD，所以，變形為a＋b≥．（1）本節(jié)將要研究哪類問題？因為x＞0，y＞0，所以從而y＝x（1－x）≤＝．所以y的最大值為．（1）已知a為大于0的常數(shù)，x＞0，求y＝x＋的最小值，并求y取得最小值時相應(yīng)的x的值；當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，等號成立，解：（1）因為x＞0，所以根據(jù)均值不等式有例2（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？當(dāng)且僅當(dāng)1＋x＝3－x，即x＝1時，等號成立．新知探究問題3如圖所示半圓中，AB為直徑，O為圓心．已知AC＝a，BC＝b，D為半圓上一點，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以給出均值不等式的另一個幾何意義？ABDOC在RtΔABD中，由于DC⊥AB，利用射影定理可得CD＝

，又CO＝

，由圖可知CO≥CD，所以

，變形為a＋b≥

．結(jié)論：均值不等式的幾何意義是：一個圓的直徑大于等于垂直該直徑的弦．4均值不等式及其應(yīng)用新知探究問題3如圖所示半圓中，AB新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并說明x為何值時y取得最小值．（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值時x的值．（3）求函數(shù)y＝x（1－x），x∈[，1）的最大值．新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并說明x為何值時y取得最小值．解：（1）因為x＞0，所以根據(jù)均值不等式有解得x＝1或x＝－1（舍）．其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x2＝1，因此x＝1時，y取得最小值2．新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并新知探究例1（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值時x的值．解：（2）當(dāng)x∈（－1，3）時，一1＜x＜3，因此1＋x＞0，3一x＞0．當(dāng)且僅當(dāng)1＋x＝3－x，即x＝1時，等號成立．從而（1＋x）（3－x）≤4，即y≤4．由均值不等式可得

，從而x＝1時，y取得最大值4．新知探究例1（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（解：（3）錯解：由

≤x＜1，易知1－x＞0，新知探究例1（3）求函數(shù)y＝x（1－x），x∈[，1）的最大值．從而y＝x（1－x）≤

＝

．所以y的最大值為．正解：y＝x（1－x）＝－x2＋x＝－（x－

）2＋

，當(dāng)x＝

時，ymax＝

．解：（3）錯解：由≤x＜1，易知1－x＞0，新知探新知探究（1）在利用均值不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”：一正，a，b均為正數(shù)；二定，不等式一邊為定值；三相等，不等式中的等號能取到，即a＝b有解．（2）兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值．（3）利用均值不等式求最值時，等號必須取得到才能求出最值，若題設(shè)條件中的限制條件使等號不能成立，則要轉(zhuǎn)換到另一種形式解答．新知探究（1）在利用均值不等式求最值時要注意“一正、二定、三新知探究例2（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長為36，則這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？在（1）中，矩形的長與寬的積是一個常數(shù)，要求長與寬之和的兩倍的最小值；在（2）中，矩形的長與寬之和的兩倍是一個常數(shù)，要求長與寬的積的最大值．新知探究例2（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、新知探究例2（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？解：（1）設(shè)矩形的長與寬分別為x與y，依題意得xy＝100．因此，當(dāng)矩形的長和寬都是10時，它的周長最短，最短周長為40．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，等號成立，所以2（x＋y）≥40．因為x＞0，y＞0，所以由

，可知此時x＝y(tǒng)＝10．新知探究例2（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、新知探究例2（2）已知矩形的周長為36，則這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？解：（2）設(shè)矩形的長與寬分別為x與y，依題意得2（x＋y）＝36，即x＋y＝18．因為x＞0，y＞0，所以因此≤9，即xy≤81．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，等號成立，由

，可知此時x＝y(tǒng)＝9．因此，當(dāng)矩形的長和寬都是9時，它的面積最大，最大面積為81．新知探究例2（2）已知矩形的周長為36，則這個矩形的長、寬新知探究方法總結(jié)：求實際問題中最值的一般思路：（1）讀懂題意，設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系式；（3）在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮用均值不等式，當(dāng)用均值不等式求最值的條件不具備時，再考慮利用第三章要學(xué)習(xí)的函數(shù)的單調(diào)性求解．（2）把實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題；（4）正確地寫出答案．新知探究方法總結(jié)：求實際問題中最值的一般思路：（1）讀懂題意新知探究（1）已知a為大于0的常數(shù)，x＞0，求y＝x＋

的最小值，并求y取得最小值時相應(yīng)的x的值；（2）已知x＜0，求y＝x＋

的最大值，并求y取得最大值時相應(yīng)x的值；（3）已知x＞1，求y＝x＋

的最小值，并求y取得最小值時相應(yīng)x的值；（4）已知x＜1，求y＝x＋

的最大值，并求y取得最大值時相應(yīng)x的值．新知探究（1）已知a為大于0的常數(shù)，x＞0，求y＝x＋新知探究（2）當(dāng)x＝－1時，y有最大值為一2；（3）當(dāng)x＝2時，y有最小值為3；（4）當(dāng)x＝0時，y有最大值為一1．參考答案：（1）當(dāng)x＝

時，y有最小值為

；新知探究（2）當(dāng)x＝－1時，y有最大值為一2；（3）當(dāng)x＝2依題意得2（x＋y）＝36，即x＋y＝18．例1（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值時x的值．回顧本節(jié)課，你有什么收獲？當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．因此≤9，即xy≤81．問題2均值不等式也稱為基本不等式（基本不等式中的a，b還可以為零），其實質(zhì)是：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．那么，均值不等式有什么幾何意義呢？所以a2＋b2＋2ab－4ab≥0，問題3如圖所示半圓中，AB為直徑，O為圓心．已知AC＝a，BC＝b，D為半圓上一點，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以給出均值不等式的另一個幾何意義？從而y＝x（1－x）≤＝．所以y的最大值為．（3）如何利用均值不等式求最值？（2）已知x＜0，求y＝x＋的最大值，并求y取得最大值時相應(yīng)x的值；（2）已知x＜0，求y＝x＋的最大值，并求y取得最大值時相應(yīng)x的值；結(jié)論：均值不等式的幾何意義是：一個圓的直徑大于等于垂直該直徑的弦．證明因為a，b都是正數(shù)，所以，由圖可知CO≥CD，所以，變形為a＋b≥．即（a＋b）2≥4ab．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么，歸納小結(jié)回顧本節(jié)課，你有什么收獲？（1）什么叫均值不等式？如何證明？（2）均值不等式的幾何意義是什么？（3）如何利用均值不等式求最值？依題意得2（x＋y）＝36，即x＋y＝18．歸納小結(jié)回顧本節(jié)作業(yè)：教科書P76練習(xí)B1，2，4．作業(yè)布置作業(yè)：教科書P76練習(xí)B1，2，4．作業(yè)布置再見再見262.2.4均值不等式及其應(yīng)用第1課時2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第1課時27問題1閱讀課本第71~75頁，回答下列問題：整體概覽（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)研究的起點是什么？目標(biāo)是什么？問題1閱讀課本第71~75頁，回答下列問題：整體概覽（1）問題1閱讀課本第71~75頁，回答下列問題：整體概覽（1）本節(jié)將要研究均值不等式及其應(yīng)用．（2）起點是不等式的性質(zhì)以及比較法，目標(biāo)是知道均值不等式，會證明均值不等式定理，會用均值不等式解決簡單的最大（?。﹩栴}．進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng)．（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)研究的起點是什么？目標(biāo)是什么？問題1閱讀課本第71~75頁，回答下列問題：整體概覽（1）情境與問題問題給定兩個正數(shù)a，b，數(shù)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)稱為a，b的幾何平均值．兩個數(shù)的算術(shù)平均值，實質(zhì)上是這兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點的中點坐標(biāo)，那么幾何平均值有什么幾何意義呢？兩個數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平均值之間有什么相對大小關(guān)系呢？情境與問題問題給定兩個正數(shù)a，b，數(shù)稱情境與問題【嘗試與發(fā)現(xiàn)】（1）假設(shè)一個矩形的長和寬分別為a和b，求與這個矩形周長相等的正方形的邊長，以及與這個矩形面積相等的正方形的邊長，并比較這兩個邊長的大??；（2）如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值，猜測一般情況下兩個數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對大小，并根據(jù)（1）說出結(jié)論的幾何意義．情境與問題【嘗試與發(fā)現(xiàn)】（1）假設(shè)一個矩形的長和寬分別為a和情境與問題a12b14131情境與問題a12b14131新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么

，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．證明因為a，b都是正數(shù)，所以即

而且，等號成立時，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝b．新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么

，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正實數(shù)，因此我們可以代入任意滿足條件的數(shù)或式子，比如

一定是正確的．新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么

，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．綜合法證明如下：因為（a－b）2≥0，所以a2＋b2－2ab≥0，所以a2＋b2＋2ab－4ab≥0，即（a＋b）2≥4ab．又因為a＞0，b＞0，所以a＋b≥

，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)（a－b）2＝0，即a＝b時，等號成立．即

．新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么新知探究問題2均值不等式也稱為基本不等式（基本不等式中的a，b還可以為零），其實質(zhì)是：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．那么，均值不等式有什么幾何意義呢？將均值不等式兩邊平方可得≥ab．如果矩形的長和寬分別為a和b，那么矩形的面積為ab，

可以看成與矩形周長相等的正方形的面積，因此均值不等式的一個幾何意義為：所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大．新知探究問題2均值不等式也稱為基本不等式（基本不等式中的a新知探究【想一想】你能推廣這個結(jié)論嗎？比如所有周長相等的三角形中，什么樣的三角形面積最大？平面上，周長相等的所有封閉圖形中，什么樣的圖形面積最大？正三角形，圓新知探究【想一想】你能推廣這個結(jié)論嗎？比如所有周長相等的三角4均值不等式及其應(yīng)用依題意得2（x＋y）＝36，即x＋y＝18．當(dāng)x＝時，ymax＝．解：（1）因為x＞0，所以根據(jù)均值不等式有（2）如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值，猜測一般情況下兩個數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對大小，并根據(jù)（1）說出結(jié)論的幾何意義．（1）本節(jié)將要研究哪類問題？因此，當(dāng)矩形的長和寬都是9時，它的面積最大，最大面積為81．（1）本節(jié)將要研究哪類問題？二定，不等式一邊為定值；，由圖可知CO≥CD，所以，變形為a＋b≥．（1）本節(jié)將要研究哪類問題？因為x＞0，y＞0，所以從而y＝x（1－x）≤＝．所以y的最大值為．（1）已知a為大于0的常數(shù)，x＞0，求y＝x＋的最小值，并求y取得最小值時相應(yīng)的x的值；當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，等號成立，解：（1）因為x＞0，所以根據(jù)均值不等式有例2（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？當(dāng)且僅當(dāng)1＋x＝3－x，即x＝1時，等號成立．新知探究問題3如圖所示半圓中，AB為直徑，O為圓心．已知AC＝a，BC＝b，D為半圓上一點，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以給出均值不等式的另一個幾何意義？ABDOC在RtΔABD中，由于DC⊥AB，利用射影定理可得CD＝

，又CO＝

，由圖可知CO≥CD，所以

，變形為a＋b≥

．結(jié)論：均值不等式的幾何意義是：一個圓的直徑大于等于垂直該直徑的弦．4均值不等式及其應(yīng)用新知探究問題3如圖所示半圓中，AB新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并說明x為何值時y取得最小值．（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值時x的值．（3）求函數(shù)y＝x（1－x），x∈[，1）的最大值．新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并說明x為何值時y取得最小值．解：（1）因為x＞0，所以根據(jù)均值不等式有解得x＝1或x＝－1（舍）．其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x2＝1，因此x＝1時，y取得最小值2．新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并新知探究例1（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值時x的值．解：（2）當(dāng)x∈（－1，3）時，一1＜x＜3，因此1＋x＞0，3一x＞0．當(dāng)且僅當(dāng)1＋x＝3－x，即x＝1時，等號成立．從而（1＋x）（3－x）≤4，即y≤4．由均值不等式可得

，從而x＝1時，y取得最大值4．新知探究例1（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（解：（3）錯解：由

≤x＜1，易知1－x＞0，新知探究例1（3）求函數(shù)y＝x（1－x），x∈[，1）的最大值．從而y＝x（1－x）≤

＝

．所以y的最大值為．正解：y＝x（1－x）＝－x2＋x＝－（x－

）2＋

，當(dāng)x＝

時，ymax＝

．解：（3）錯解：由≤x＜1，易知1－x＞0，新知探新知探究（1）在利用均值不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”：一正，a，b均為正數(shù)；二定，不等式一邊為定值；三相等，不等式中的等號能取到，即a＝b有解．（2）兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值．（3）利用均值不等式求最值時，等號必須取得到才能求出最值，若題設(shè)條件中的限制條件使等號不能成立，則要轉(zhuǎn)換到另一種形式解答．新知探究（1）在利用均值不等式求最值時要注意“一正、二定、三新知探究例2（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長為36，則這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？在（1）中，矩形的長與寬的積是一個常數(shù)，要求長與寬之和的兩倍的最小值；在（2）中，矩形的長與寬之和的兩倍是一個常數(shù)，要求長與寬的積的最大值．新知探究例2（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、新知探究例2（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？解：（1）設(shè)矩形的長與寬分別為x與y，依題意得xy＝100．因此，當(dāng)矩形的長和寬都是10時，它的周長最短，最短周長為40．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，等號成立，所以2（x＋y）≥40．因為x＞0，y＞0，所以由

，可知此時x＝y(tǒng)＝10．新知探究例2（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、新知探究例2（2）已知矩形的周長為36，則這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？解：（2）設(shè)矩形的長與寬分別為x與y，依題意得2（x＋y）＝36，即x＋y＝18．因為x＞0，y＞0，所以因此≤9，即xy≤81．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，等號成立，由

，可知此時x＝y(tǒng)＝9．因此，當(dāng)矩形的長和寬都是9時，它的面積最大，最大面積為81．新知探究例2（2）已知矩形的周長為36，則這個矩形的長、寬新知探究方法總結(jié)：求實際問題中最值的一般思路：（1）讀懂題意，設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系式；（3）在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮用均值不等式，當(dāng)用均值不等式求最值的條件不具備時，再考慮利用第三章要學(xué)習(xí)的函數(shù)的單調(diào)性求解．（2）把實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題；（4）正確地寫出答案．新知探究方法總結(jié)：求實際問題中最值的一般思路：（1）讀懂題意新知探究（1