排列與組合 課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選修2-3

排列與組合教學(xué)目標(biāo)理解排列的概念及排列數(shù)公式。進(jìn)一步加深理解排列與組合的概念。能綜合運(yùn)用排列、組合解決計(jì)數(shù)問題。教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)理解組合的兩個(gè)性質(zhì),并能解決簡(jiǎn)單組合數(shù)問題.能應(yīng)用組合知識(shí)解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)單實(shí)際問題.理解組合的兩個(gè)性質(zhì),并能解決簡(jiǎn)單組合數(shù)問題.能應(yīng)用組合知識(shí)解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)單實(shí)際問題.北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少種不同的機(jī)票？試寫出所有情況．起點(diǎn)站終點(diǎn)站北京上海廣州北京廣州北京上海北京上海廣州北京廣州北京上海飛機(jī)票

上海廣州上海廣州廣州北京上海我們把上面問題中被取的對(duì)象叫做元素。于是，所提出的問題就是從3個(gè)不同的元素a、b、c中任取2個(gè)，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排列方法。由數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？1122113412312413134141423212222341231241313414242233122341232413344142333334122234131241334142434444一般地說，從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)不相同元素（只研究被取出的元素各的情況），按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。概念形成排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一個(gè)是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”，“一定順序”就是與位置有關(guān)，這也是判斷一個(gè)問題是不是排列問題的重要標(biāo)志。概念深化根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也相同。下列問題是排列問題嗎？（1）從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其結(jié)果有多少種不同的可能？（2）從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，其結(jié)果有多少種不同的可能？（3）從1到10十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)組成點(diǎn)的坐標(biāo)，可得多少個(gè)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？（4）平面上有5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，這五點(diǎn)最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？（5）10個(gè)學(xué)生排隊(duì)照相，則不同的站法有多少種？不是是不是是是1.某省中學(xué)生足球賽預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽1場(chǎng)，那么每組共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽?

解:可以先從這6支隊(duì)中選1支為主隊(duì)，然后從剩下的5支隊(duì)中選1支為客隊(duì)。按分步乘法計(jì)數(shù)原理，每組進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為6X5=30.2.(1)一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法?(2)學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法?

解:(1)可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學(xué)乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學(xué)丙.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為

(2)可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選法:再讓同學(xué)乙從5種菜中選1.種，也有5種選法;最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為3.寫出:(1)用0~4這5個(gè)自然數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的全部?jī)晌粩?shù);(2)從a,b,c，d中取出2個(gè)字母的所有排列.答案：(1)10,20,30,40,12,13,14,21,23,24,31,32,34,41.42,43

(2)ab,ac,ad,be,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc4.下列問題屬于排列問題的是(

)①從10個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地;②從10個(gè)人中選2人去掃地;③從班_上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì);④從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作冪運(yùn)算.A.①④B.①②C.④D.①③④A5.一位老師要給4個(gè)班輪流做講座，每個(gè)班講1場(chǎng)，有多少種輪流次序?答案：24.6.(1)5名運(yùn)動(dòng)員中有3名參加乒乓球團(tuán)體比賽，如果前三場(chǎng)單打比賽每名運(yùn)動(dòng)員各出場(chǎng)1次，那么前三場(chǎng)單打比賽的順序有幾種?(2)乒乓球比賽規(guī)定，團(tuán)體比賽采取5場(chǎng)單打3勝制，每支球隊(duì)由3名運(yùn)動(dòng)員參賽，前三場(chǎng)各出場(chǎng)1次，其中第1,2個(gè)出場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)員分別還將參加第4,5場(chǎng)比賽.寫出甲、乙、丙三人參加比賽可能的全部順序.

答案：(1)80(2)甲乙丙;甲丙乙;乙甲丙;乙丙甲;丙甲乙;丙乙甲;甲乙丙甲;甲丙乙甲;乙甲丙乙;乙丙甲乙;丙甲乙丙;.丙乙甲丙;甲乙丙甲乙;甲丙乙甲丙;乙甲兩乙甲:乙丙甲乙丙;丙甲乙丙甲;.(1)判斷一個(gè)問題是不是排列問題，關(guān)鍵看是否與元素的順序有關(guān)．若與順序有關(guān)，就是排列問題，與順序無關(guān)，就不是排列問題，必要時(shí)可以變換元素的順序比較是否有變化．(2)枚舉所有排列時(shí)注意“樹形圖法”、“列表法”等方法的應(yīng)用．小結(jié)從1,2,3,4,5,6中選出四個(gè)數(shù)字，能構(gòu)成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？答案6×5×4×3＝360(個(gè)).若從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素排成一列，有多少種不同的排法？答案：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)種.公式推導(dǎo)第1位第2位nn-1第1位第2位第3位第m位……nn-1n-2n-m+1得出結(jié)論

解：根據(jù)排列數(shù)公式可得

(1)

(2)

(3)

(4)2.用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解：百位十位個(gè)位從0~9這10個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)的排列數(shù)為

,其中0在百位上的排列數(shù)為

，它們的差就是用這10個(gè)數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，即所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為【解答】A.B.C.D.【解答】DA.B.C.D.【解答】D4.求證：(1)

(2)3.一個(gè)火車站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火車，現(xiàn)要停故4列不同的火車，共有多少種不同的停放方法?答案：1680.排列數(shù)的兩個(gè)公式(1)排列數(shù)的第一個(gè)公式

n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)適用m已知的排列數(shù)的計(jì)算以及排列數(shù)的方程和不等式.在運(yùn)用時(shí)要注意它的特點(diǎn)，從n起連續(xù)寫出m個(gè)數(shù)的乘積即可.(2)排列數(shù)的第二個(gè)公式

用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等，在具體運(yùn)用時(shí)，應(yīng)注意先提取公因式再計(jì)算，同時(shí)還要注意隱含條件“n、m∈N＋，m≤n”的運(yùn)用.

（1）從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的方法？分別寫出來.（2）從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？分別寫出來。以上兩個(gè)問題有什么不同嗎？問題一（1）從a,b,c,d4位同學(xué)中選出3位從左到右排起來照相，有多少種不同的方法？分別寫出來.（2）從a,b,c,d4位同學(xué)中選出3位參加學(xué)生代表大會(huì)，有多少種不同的選法？分別寫出來.問題二以上兩個(gè)問題有什么不同嗎？一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．組合定義排列與組合的概念，它們有什么共同點(diǎn)、不同點(diǎn)？共同點(diǎn):都要“從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素”不同點(diǎn):對(duì)于所取出的元素，排列要“按照一定的順序排成一列”，而組合卻是“不管怎樣的順序并成一組”1.平面內(nèi)有A,B,C,D共4個(gè)點(diǎn).(1)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?(2)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?解:(1)一條有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)要分起點(diǎn)和終點(diǎn)，以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從4個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為

這12條有向線段分別為:

(2)由于不考慮兩個(gè)端點(diǎn)的順序，因此將(1)中端點(diǎn)相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，共有如下6條:AB,AC,AD,BC,BD,CD.2.甲、乙、丙、丁4支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽.(1)列出所有各場(chǎng)比賽的雙方:(2)列出所有冠、亞軍的可能情況.解：(1)甲、乙、丙、丁4個(gè)足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽,共

=6種比賽場(chǎng)次,分別為(甲乙),(甲丙),(甲丁),(乙丙),(乙丁),(丙丁),(2)所有冠亞軍的可能有A=

4×3=12種，分別為(甲乙丙丁),(甲丙乙丁),(甲丁乙丙),(乙甲丙丁),(乙丙甲丁),(乙丁甲丙)，(丙甲乙丁),(丙乙甲丁),(丙丁甲乙)，(丁甲乙丙),(丁乙甲丙),(丁丙甲乙).3.已知平面內(nèi)A,B,C,D這4個(gè)點(diǎn)中任何3個(gè)點(diǎn)都不在一條直線上，寫出以其中任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形.

4.現(xiàn)有1,3,7,13這4個(gè)數(shù).(1)從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相加，可以得到多少個(gè)不相等的和?(2)從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相減，可以得到多少個(gè)不相等的差?答案：(1)6;

(2)11.

是“取出第1個(gè)元素放到第1位”的方法數(shù)、“取出第2個(gè)元素放到第2位”的方法數(shù)、……、“取出第m個(gè)元素放到第m位”的方法數(shù)的乘積.所以，

是以上m步的集成的運(yùn)算公式！也可以這樣認(rèn)為：是“取出m個(gè)不同元素”的方法數(shù)m1，與“按照一定順序?qū)個(gè)不同元素排成一列”的方法數(shù)m2的乘積.問題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？選出來，并排序！得到是“有序列”－－排列.元素有序.問題二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙有3種不同的選法！無順序選出來，但沒有排序！得到的是“組”－－組合.元素?zé)o序有順序新授概念組合數(shù):從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)

表示如何計(jì)算

?組合數(shù)公式組合數(shù)

公式性質(zhì)備注

①n、m∈

，m≤n②規(guī)定：111.計(jì)算：2.在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?解:(1)

(2)

(3)A.B.C.D.【解答】BA.B.C.D.【解答】CA.B.C.D.【解答】B【解答】150A.B.C.D.【解答】AA.B.C.D.【解答】A1.先計(jì)算，然后用計(jì)算工具檢驗(yàn)。(1)

(2)

(3)

(4)答案：(1)15;

(2)36;

(3)20;

(4)148.2.有政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)，現(xiàn)要從中選3門成績(jī).(1)共有多小種不同的選法?(2)如果物理和化學(xué)恰有1門被迭，那么共有多少種不同的法?(3)如果物理和化學(xué)至少有1門被選，那么共有多少種不同的選法?答案：(1)20;

(2)12;

(3)16.3.壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓的人民幣各1張，一共可以組成多少種幣值?

答案：154.填空題(1)有3張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數(shù)是_____;(2)要從5件不同的禮物中選出3件分別送3位同學(xué)，不同方法的種數(shù)是_____;

(3)5名工人各自在3天中選擇1天休息，不同方法的種數(shù)是______;(4)集合A有m個(gè)元素，集合B有n個(gè)元素，從兩個(gè)集合中各取1個(gè)元素，不同方法的種數(shù)是

.1060243mn5.一名同學(xué)有4本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的物理書，3本不同的化學(xué)書，現(xiàn)要將這些書放在一個(gè)單層的書架上.(1)如果要選其中的6本書放在書架上，那么有多少種不同的放法?(2)如果要將全部的書放在書架上，且不使同類的書分開，那么有多少種不同的放法?答案：(1)665280;

(2)103680.6.(1)空間中有8個(gè)點(diǎn)，其中任何4個(gè)點(diǎn)不共面，過每3個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，可以作多少個(gè)平面?(2)空間中有10個(gè)點(diǎn)，其中任何4個(gè)點(diǎn)不共面，過每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體，可以作多少個(gè)四面體?答案：(1)56;

(2)210.7.學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序.除第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確定外，4個(gè)音樂節(jié)目要求排在第2,5,7,10的位置，3個(gè)舞蹈節(jié)目要求排在第3,6,9的位置，2個(gè)曲藝節(jié)目要求排在第4,8的位置，有多少種不同的排法?答案：2888.班上每個(gè)小組有12名同學(xué)，現(xiàn)要從每個(gè)小組選4名同學(xué)組成一支代表隊(duì)，與其他小組進(jìn)行辯論賽.(1)每個(gè)小組的代表隊(duì)有多少種選法?(2)如果每支代表隊(duì)還必須指定1名隊(duì)長(zhǎng)，那么每個(gè)小組的代表隊(duì)有多少種選法?(3)如果每支代表隊(duì)還要分別指定第一、二、三、四辯手，那么每個(gè)小組的代表隊(duì)有多少種選法?答案：(1)495;

(2)1980;

(3)11880.9.從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，(1)如果4人中男生女生各選2人，那么有多少種選法?(2)如果男生中的甲和女