基本不等式一輪復習導學案含答案

《基本不等式》一輪復習導學案2107.12【教學目標】I.了解基本不等式的證明過程.II.會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}.a^bf—【知識梳理】一、基本不等式:W]ab1．基本不等式成立的條件：.2．等號成立的條件：當且僅當時取等號．3.其中字稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),寸Ob稱為正數(shù)a,b的.二、基本不等式的變形a2+b2±2ab（a,b^R）.當且僅當a=b時取等號.abW（a,beR），當且僅當a=b時取等號.a+1^2（a>0）,當且僅當a=1時取等號；a+-W（a<0）,當且僅當a=-1時取等號.a|+b^2（a,b同號），當且僅當a=b時取等號.三、利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,貝U如果積xy（積為定值）是定值p,那么當且僅當時，x+y有最值是2\/p.（簡記：積定和最?。┤绻蛒+y（和為定值）是定值s,那么當且僅當時，積xy有最值是#?（簡記：和定積最大）一．基礎(chǔ)練習1?函數(shù)y=x+X（x>0）的值域為（）xA.(-^,-2]U[2,+^)B.(0,+^)C.[2,+^)D.(2,+^)

下列不等式：①a2+l>2a:②W2；③x2"-三1,abx2十1其中正確的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3若a>0,b>0,且a+2b~2=0,則ab的最大值為().A.1B.1C.2D.4(2011?重慶)若函數(shù)f(x)=x+」2x>2)在x=a處取最小值，則a=().x－2A.1+V2B.1+V3C.3D.4t2－4t+1TOC\o"1-5"\h\z已知t>0,則函數(shù)y=——t—的最小值為.考向一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,貝心+：的最小值為;xy2x⑵當x>0時，則f(x)=x2十1的最大值為.【訓練1】(1)已知x>1,則fx)=x+」y的最小值為x－12(2)已知OVXV5,則y=2x—5x2的最大值為⑶若x,ye(0,+-)且2x+8y—xy=0,則x+y的最小值為.若x>0,y>0且x+2y+2xy=8,則x+2y最小值為設(shè)x>0,y>0,z>0,且x-2y+3z=0,則—的最小值為xz若x,y滿足4x2+y2+xy=1，則2x+y最小值為已知：a>b>c>0,則2a2+丄+--10ac+25c2最小值為aba(a-b)考向二利用基本不等式證明不等式例2】已知例2】已知a>0,b>0,c>0,求證：bc十a(chǎn)罟+色紋+方+。.bc【訓練2】已知a>°,b>°,c>°,且a+b+cF.求證：出+^邛.考向三利用基本不等式解決恒成立問題x【例3】>(2010.山東)若對任意x>0,x2+3x+]Wa恒成立，則a的取值范圍是【訓練3】(1)已知x>0，y>0，xy=x+2y，若xy三m—2恒成立，則實數(shù)m的最大值是．若正數(shù)x,y滿足x+y=1,且-+—>4恒成立，則正數(shù)a的最小值為xy若正數(shù)x,y滿足x+y=a,且—+—>4恒成立，則正數(shù)a的最大值為xy考向四利用基本不等式解實際問題【例3】?某單位建造一間地面面積為12m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5m.房屋正面的造價為400元/m2，房屋側(cè)面的造價為150元/m2，屋頂和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3m,且不計房屋背面的費用.當側(cè)面的長度為多少時，總造價最低？課后鞏固練習TOC\o"1-5"\h\z（2016?四川資陽診斷）已知a>0,b>0,且2a+b=ab，則a+2b的最小值為（）A.5+2<2B.8；/2C.5D.9（2016?遼寧師大附中模擬）函數(shù)y=loga（x+3）-1（a>0，且aM1）的圖象恒過定點A,若點A12在直線mx+ny+1=0上，其中m,n均大于0,則一+-的最小值為（）mnA.2B.4C.8D.16（2015?北京海淀二模）已知f（x）=32x-（k+1）3x+2,當x￡R時，f（x）恒為正值，則k的取值范圍是（）Ad-1）B.（-g,2運1）C.（-1,2邁-1）D.（-2邁-1,2邁-1）（2016?山東泰安模擬）若直線1：十+扌=1（a>0，b>0）經(jīng)過點（1,2）,則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是.參考答案參考答案I.D.(2,+兀)答案C解析①②不正確，③正確,x2+x2+i=(x2+l)+x2+]—1三2—1=1.答案B解析Va>0,b>0,a+2b=2,.?.a+2b=2±2.J麗，即ab<|.答案A解析當x>2時，x-2>0,fx)=(x—2)+x^+2±2\；：(x—2)Xx^+2=4,當且僅當x-2=-—2(x>2)，即x=3時取等號，即當fx)取得最小值時，xx—2=3,即a=3.答案CTOC\o"1-5"\h\zt2—4t+11解析?.?t>O,.?.y=-——=t+t—422—4=—2,當且僅當t=1時取等號．答案－2【例1】解析(1)Vx>0,y>0,且2x+y=1,取等號．?.丄+1=4+仝=3+》+空三3+2辺.當且僅當》=空時,-y-y-y-y取等號．⑵Tx>0,?\f(—)=—2+1=W》=1,當且僅當――-，即――1時取等號X-一-答案(1)3+2?(2)1【訓練1】.解析(1)T->1,.?.f-)=(-—1)+-—7+122+1=3當且僅當--—112=2時取等號.(2)y=2-—5-2=-(2—5-)=壬5-?(2—5-),丁0<-<5，二5-<2,2—5-—5->0,5-(2—5-)W[5-+2_祚=1,/.y<5,當且僅當5-=2—5-,1128即-=5時，ymax=§.(3)由2-+8y—-y=0,得2-+8y=-y,^y+-=1，.?.-+歹=(-+歹)[|+弓=10+￥+2-=10+2岸+2210+2乂2乂\[豐?：=18,4y-當且僅當一=-，即-=2y時取等號，又2-+8y—-y=0,A-=12,y=6,-y二當-=12,y=6時，-+y取最小值18.

答案(1)3(3)18例2】證明...be、ca、becabe,ab、?a>°，答案(1)3(3)18例2】證明...be、ca、becabe,ab、?a>°，b>°，c>°，?盲+萬±2a?-=2c；萬+7三2年+告2\俘ab=2a.以上三式相加得：2仔+芳+乎>2(。bc+b+c)，即佟a號+弊a+b+c.訓練2】證明Ta〉。,111a＋b＋ca＋b＋cb>0,c>0,且a+b+c=l,?：一+〒+-=+4a+b十蘆」a+b+cb=3+一ca岸+a+b+a+「3+(@+令+$+片+(b+babbcc\ab)\ac)\bc23+2+2+2=9，當且僅當a=b=c=3時，取等號.解析若對任意x>0,x2+3x+]Wa恒成立，只需求得y=x2+3x+i的最大值即可，因為x>0，所以y=2+3+]=1W=5，當且僅當x=1時取

XXx+x+32\応等號，所以a的取值范圍是|，+^5，+*【訓練3】解析由x>0,y>0,xy=x+2y±2羽倉，得xy±8,于是由m—2<xy恒成立，得m—2<8,mW10，故m的最大值為10.答案10例3.解由題意可得，造價y=3(2xX150+^X400)+5800=900[x+1-6|+5x\x)800(0VxW5)，則y=900\x+1x6)+58002900X2\：xX1X6+5800=13000(元),當且僅當x=x，即x=4時取等號.故當側(cè)面的長度為4米時，總造價最低.x試一試】嘗試解答a2+ab+a^=a2—ab+ab+Ob+a^=a(a—b)+試一試】嘗試解答詁寸此+詁\]a(a_?以七+2\；加缶=2+2=4.當且僅當a(a—b)=a(a—b)且ab=Ob，即a=2b時，等號成立.答案D課后鞏固練習bD[Va>0,b>0,且2a+b=ab,???a='>0,解得b>2.b－2b2f2則a+2b=b_?+2b=1+方_?+2(b—2)+4彳5+2飛；'方_2*2("—2)=9,當且僅當b=3,a=3時取等號，其最小值為9.]C[Vx=-2時，y=loga1-1=-1,?函數(shù)y=loga(x+3)—1(a>0,a^l)的圖象恒過定點(-2,-1)，即A(-2,-1),點A在直線mx+ny+/r