基本不等式知識點匯總與例題講解(題型超全)

第第34頁基本不等式知識點總結(jié)與例題講解一、本節(jié)知識點（1）基本不等式.（2）利用基本不等式求最值.（3）基本不等式的拓展——三個正數(shù)的基本不等式.二、本節(jié)題型（1）利用基本不等式求最值.（2）利用基本不等式證明不等式.（3）基本不等式的實際應用.（4）與基本不等式有關(guān)的恒成立問題.三、知識點講解知識點基本不等式（均值不等式）一般地,Va,bwR,有a2+b2三2ab.當且僅當a=b時，等號成立.特別地，當a>0,b>0時,分別用Ta，、:b代替上式中的a,b，可得2當且僅當a二b時，等號成立.通常稱不等式乞乞Jab為基本不等式（也叫均值不等式），其中乞乞叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)八活b叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).基本不等式表明:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).注意重要不等式a2+b2三2ab與基本不等式""三弋a(chǎn)b成立的條件是不一樣2的.前者a,b為任意實數(shù)，后者a,b只能是正數(shù).但兩個不等式中等號成立的條件都是a二b.基本不等式的變形,（aIb、2（1）a+b三2Jab,abW.其中a,bwR+，當且僅當a二b時，等號成立.2丿+

(2)當a>0時,a+—三2,當且僅當a=—，即a二1時，等號成立;aa當a<0時,a+-W-2，當且僅當a=-1時，等號成立.a(-(-a)+ri「三2,???-(-a)+ri](a丿(a丿W-2,即a+-W-2.當且僅當a實際上，當a<0時，a+—=-(-a)+ri)aIa丿即a=—1(a<0)時，等號成立.當a,b同號時上+—三2,當且僅當a二b時，等號成立;當a,b異號時,—+—Wabab-2，當且僅當a=-b時，等號成立.1不等式鏈：JyW凹^^02+b^(a>0,b>0,當且僅當a=b時,+ab等號成立.)2其中，呂+—2其中，呂+—

aba+b八：ab,-2分別叫做正數(shù)a,b的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù).知識點利用基本不等式求最值設x>0,y>0,則有(1)若x+y=S(和為定值)，則當x二y時，積xy取得最大值善;.)x+ySS.)R+，有xy、2~=2，°?xyfN和定積最大.(2)若xy=P(積為定值)，則當x二y時，和x+y取得最小值2<P.(?Vx,yeR+,有x+y三2Jxy,?°?x+y三2<P.)積定和最小.說明上述結(jié)論可簡記為:和定積最大,積定和最小.即兩個正數(shù)的和為定值時，可

求出其積的最大值;兩個正數(shù)的積為定值時,可求出其和的最小值.利用基本不等式求最值時,必須滿足三個條件,即:一正、二定、三相等.一正:各項都必須為正數(shù);二定:和或積為定值.當和為定值時,積有最大值,當積為定值時,和有最小值;三相等:等號能取到,即取得最值的條件能滿足.(1)對于函數(shù)f(x)=x+—，當x>0時,x+—三2；x-=2(4=4,即f(x)三4,當xxYxx=—，即x=—，即xx4=2時，等號成立;當x<0時,x+-=-x(-x)+--W—4,f(x)W—4,當x=-2時,等號成立.由此可見，對于函數(shù)f(x)=x+—,x>0和x<0的最值情況是不一樣的.x3(2)當0<x<時，求(3-2x)x的最大值時,3-2x與x的和不是定值，無法利用基2本不等式求最值，此時可對原式進行等價變形,變形為(3-2x)x=1(3-2x)?2x,即2可求出其最大值.???(3-2x)x=1(3-2x)?2xW1丿3―2x+2x'293???(3-2x)x的最大值為g，當且僅當3-2x=2x，即x=4時,取得最大值.(3)求fx2+2+_x2+2(3)求fx2+2+_x2+2x2+2定值1,但是當\：x2+2=時，有x2定值1,但是當\：x2+2=v'x2+2用基本不等式求其最小值.知識點基本不等式的拓展——三個正數(shù)的基本不等式一般地,Va,b,ceR+,有a+a+b+c__3__三€abc.當且僅當a=b=c時,等號成立.上面的不等式表明:三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

設x>0,y>0,z>0,則有(1)若xyz=M，則當x二y二z時，和x+y+z取得最小值為3M;N3(2)若x+y+z=N，則當x二y二z時，積xyz取得最大值——.27關(guān)于三個正數(shù)的不等式鏈若a,b,c均為正數(shù),則有1——1——IW總abcW+—+—abc當且僅當a=b=c時，等號成立.n個正數(shù)的基本不等式對于n個正數(shù)a,a,a，…,a，則有TOC\o"1-5"\h\z123na+a+a+?…+a、；十23n三Qaaa…a.n123n當且僅當a=a=a=…=a時，等號成立.123n上面的不等式表明：對于n個正數(shù)(n三2)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).四、例題講解例1.若例1.若a>0,b>0，證明:21~~1

+—

ab分析:本題即要求證明兩個正數(shù)的不等式鏈證明：?/a>0,b>0=a=a+b—2\：ab三0a+b三2xab:?壬abWa+b（當且僅當a二b時，等號成立）211+???邑—b三丄丄「:丄=丄2\ab\ab4ab

-——i-——iWab+—ab（當且僅當a=b時，等號成立）.*.*a2+b2三2ab??a2+b2+a2+b2三2ab+a2+b22(a2+b2)三(a+b)2.(.(a+b)22(a2+b2)口口（a+b\，即???根據(jù)正數(shù)可開方性得計???罟J斗（當且僅當a=b時,等號成立）.2綜上所述,-J-WabW+—ab4例2.函數(shù)y=x-1+—（x>0）的最小值為，此時x二x解：Jx>0444?:y=x—1+=x+—1三2'x-—1=2J4—1=3,即y±3.xxRx當且僅當x=,即x=2時，取等號.x4???當x=2時，函數(shù)y=x—1+—（x>0）取得最小值3.x4例3.已知a>3,求a+的最小值.a—3分析：當利用基本不等式求最值時,若兩項的乘積為定值（常數(shù)）,可求出兩項和的最小值.當然,某些式子需要進行適當?shù)淖冃?但要注意三個必須滿足的條件:一正、二定、三相等.解:°?°a>3,??a—3>0.TOC\o"1-5"\h\z4444?:a+=a—3++3三2,(a—3)?+3=7,當且僅當a—3=,即a—3a—3a—3a—3a二5時，等號成立.???a+丄的最小值為7.a—3例4.已知x>1,且x-y=1,則x+丄的最小值是y解：??°x—y=1,?x=y+1.*.*x>1,?y+1>0,??y>0.???x+丄=y+1+丄=y+丄+1三2'y-1+1二3.yyyy當且僅當y=1,即y=1時，等號成立.y???x+1的最小值是3.y另解：?x—y=1,?y=x—1.??x+—=x+=x—1++1三2,(x-1).+1=3.yx—1x—1Vx-1當且僅當x—1=丄，即x=2時，等號成立.x—1???x+1的最小值是3.y例5.已矢口x>0,y>0,且x+2y=1,求丄+丄的最小值.xy解：?x+2y=1,x>0,y>0TOC\o"1-5"\h\z.11x+2yx+2y2yx2yx???—+—=+=3++三3+2-=3+2^2.xyxyxyxy當且僅當=—，且x+2y=1,即x=卞2-1,y=1—時，等號成立.xy2???丄+1的最小值為3+2?邁.xy第第34頁5第5第34頁11點評本題若由一+—=xy(x+2y)三21丄?2、：藥二4叮2,得11點評本題若由一+—=xy小值為4^2，則結(jié)論是錯誤的，錯因是連續(xù)使用基本不等式時，忽視了等號成立的條件一致性.所以有下面的警示易錯警示連續(xù)兩次（多次）使用基本不等式時,應注意保證等號成立的條件是否相同.19例6.已知x>0,y>0，且+—=1,求x+y的最小值.xy解：???x>0,y>0,-+9=1xy???x+y=(x+y)[!+9'Ixy丿???x+y=(x+y)[!+9'Ixy丿當且僅當竺=2，且1+2=1,即x=4,y=12時，等號成立.yxxy???x+y的最小值為16.19y另解（消元法）：???-+-=1,?x=蘆???x>0,y>O'琵>O'y>9.???x+y=亠+y=y-9+9+y=1+丄+y-9+9y-9丿y-9丿y-9丿=10+—^+y-9三10+2-?(y-9)=16.y一9￥y―9°=y—9，且x=—-—，即x=4,y=12時，等號成立.y-9x+y的最小值為16.24(A)24C)5D)6例7.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy，則24(A)24C)5D)613解：?X+3y=5xy，…+—=1.5y5xTx,y均為正數(shù)3x9412y133x12yTOC\o"1-5"\h\z3x9412y133x12y=++5y555x55y5x3x+4y=(3x=++5y555x55y5x三13+2王旦二殳+2X6二5.55y5x55當且僅當=字，且x+3y=5xy，即x=1,y=2時，等號成立.???3x+4y的最小值是5.???選擇答案【C】?例8.（1）已知x>5,求代數(shù)式4x-2+-的最小值；44x—5（2）已知x<5,求代數(shù)式4x—2+-的最大值.44x—5分析：本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值.注意三個必須滿足的條件:一正、二定、三相等.解：（1）?.?x>5,?4x—5>0.4

111???4x—2+-=4x—5+-+3三2〕(4x—5)?-+3二5.4x—54x—5\4x—513當且僅當4x—5=-，即x=-時，等號成立.4x—52???代數(shù)式4x—2+-的最小值為5;4x—5(2)Tx<5,???4x—5<0.4+35+35—4x++3當且僅當5一4x=“’即x=-時'等號成立，4x一2+去取得最大值-.例9.已知實數(shù)a>0,b>0,且丄+丄=1,則a+2b的最小值是a+1b+1(A)(A)3、迂(B)2邁C)3(D)2解:11解:+a+1b+1?:苗益呂=整理得:a=1.*.*a>0,b>0a+2b三2\-a-2b=2<2ab=2*2x1=2\：2.當且僅當a=2b，即a=b=時，等號成立.2???a+2b的最小值是2邁.???選擇答案【B】.另:a+2b=(a+1)+2(b+1)-3.?/a>0,b>0,丄+丄=1a+1b+1???a+2b=[(a+1)+2(b+1)-+丄]=1+上1+2(b+1)+2-3x1\a+1b+1丿b+1a+1=a+1+2(b+1)>2''a+1_2(b+1)=22b+1a+1\b+1a+1當且僅當=如衛(wèi)，且丄+丄=1,即a=巨,b=?2時，等號成立.TOC\o"1-5"\h\zb+1a+1a+1b+12???a+2b的最小值是2邁.13例10.設x>0,y>0,且3x+y=5,則+—的最小值為【】x+1y_(A)-(B)2(C)2朽(D)32解：T3x+y=5.??3(x+1)+y=8,???□+丄=1.883+—i)3+—i)39(x+1)TOC\o"1-5"\h\z——++88yy+38(x+1)899(x+1)y3++一8y8(x+1)4三2"?亠+1二2x3+38y8(x+1)484當且僅當=8y討罰'且3X+y=5,即X=I，y=4時，等號成立.xe0,二，?：f(x)exe0,二，?：f(x)e0,蘭].3丿216+—

3???當x=3時,?選擇答案【A】.3162min了例11.代數(shù)式x2+7x+10(x>—1)的最小值為A)2B)7C)9【】D)10???丄+-的最小值為3.TOC\o"1-5"\h\zx+1y2?選擇答案【A】.另解：T3x+y=5,??y=5-3x.fx>0巾、/口5*.*x>0,y>0,??<，解之得:0<x<.〔5-3x>03(5、???x的取值范圍為0,5.I3丿131388=+==x+1yx+15—3x(x+1)(5—3x)—3x2+2x+5(1設f(x)=—3x2+2x+5=一3x—-

分析：形如a*2+bx+c的式子可化為mf(x)+二+1的形式.dx+ef(x)解：可設x2+7x+10=(x+1)==x+1++5x+1==x+1++5x+1x+1x+1x>—1,?°?x+1>0?：x2+(m+2)x+m+n+1=x2+7x+10Jm+2=7[m+n+1=10,解之得:Jm=5\n=4??x2+7x+10=(x+1)2+5(x+1)+4.另解：x2+7x+10(x+1)2+5(x+1)+44

另解：TOC\o"1-5"\h\z???y=3x2+旦=3(2+X2)+旦-6三2j3(2+x2)?丄-6二乩3-6.2+x22+x2當且僅當3(2+x2)=，即x=±3—2時，等號成立.y=8空3—6.2+x2\3min例13.已知函數(shù)f(x)=4x+纟(x>0,a>0)在x=3時取得最小值，則a=,x解：*.*x>0,a>0f(x)=4x+a三2：4x-a=4ua.x\x當且僅當4x=a，即x=M時，等號成立，函數(shù)f(x)取得最小值4打.x2實際上，函數(shù)f(x)=4x+纟=4x實際上，函數(shù)f(x)=4x+纟=4x(a)

x+ix

k丿(x>0，a>0)，當x=；a=—時，函42數(shù)f(x)取得最小值.所以士=3，從而求得a=36.2例14.設正實數(shù)x，y滿足x+2y=xy，若m2+2m<x+2y恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是.分析：利用基本不等式可求出x+2y的最小值?要使m2+2m<x+2y恒成立，只需m2+2m<(x+2y)即可.min解：Tx，y為正實數(shù),x+2y=xyx+2y=1+2=1'?1xyyx?x+2y=(x+2y)=2+乞+蘭+2-4+絲+±三4?x+2y=xyxyxy當且僅當冬-±，即x-4,y-2時，等號成立.xy

(x+2y)=8.min*.*m2+2m<x+2y恒成立?°?只需m2+2m<(x+2y)即可minm2+2m<8，解之得:—4<m<2.???實數(shù)m的取值范圍是(—4,2).例15.已知f(x)=x(2—2x)(0<x<1)，求f(x)的最大值.分析:當兩個正數(shù)的和為定值S時,這兩個正數(shù)的乘積在兩個正數(shù)相等時取得最大值,簡稱為：和定積最大.本題中，觀察到2x+(2-2x)=2為定值，故考慮用基本不等式求函數(shù)f(x)的最大值,但要對原解析式解析等價變形.解：0<x<1,??2—2x>0?f(x?f(x)=x(2—2x)=112-2x(2—2x疋2xx122當且僅當2x=2—2x，即x=-時，等號成立.2???f(x)的最大值為丄.2另解：T0<x<1,?2—2x>0f(x)=x(2—2x)=2-x(1—x)W2xx+_-\2丿當且僅當x=1—x，即x=時，等號成立.2???f(x)的最大值為丄.2例16.求代數(shù)式(x<1)的最大值.x—1ax2+bxax2+bx+c分析：形如Fe-的式子可化為mf(x)+nf(x)+1的形式.解：x<1，??1—x>0.第第34頁4第4第34頁x2一1+1=(x+1)(x-1)+1=x+1+丄x2一1+1=(x+1)(x-1)+1=x+1+丄=x-1+丄+2x-1x-1x-1x-1x-1=-(1-x)+2W-2'(1-x)?—+2=-2+2=0

1-x當且僅當1-x=—，即x=0時，等號成立.1-x???代數(shù)式汩(x<1)的最大值為0.注意使用基本不等式法求最值時,一定要滿足三個條件:一定、二正、三相等例17.已知0<x<-，求y=-x(1-2x)的最大值.22解：?0<x<丄，?:1-2x>0.2???y=2x(1-2x)=4-2x(1-2x)<4x(2x+1-2x'2丿當且僅當2x=1-2x，即x=-時，等號成立.4??y=-max16112例18.設0<m<-，若—+-三k恒成立，則k的最大值為.2m1-2m分析:只需問題.解：丄+m1-2m丿min12三k即可，這樣問題就轉(zhuǎn)化為求-+-的最小值的m1-2m1-2m+2m1-2mm(1-2m)m(1-2m)???0<m<2，???1-2m>0?1=1>

m(1-2m)*?2m(1-2m)(2m+1一2m\2x22丿==8.11x—24當且僅當2m=1-2m，即m=12?/—+-三k恒成立m1一2m???kW&k的最大值為8.另解:°?°0<m<丄，?:1-2m>0-丄丄m1一2丄丄m1一2m=[2m+(1-2m)]|—+——-—\m1-2m丿=2+4m1-2m+1-2mm+21一2m=8.=41一2m=8.1—2mm1-2m當且僅當=1一也，即m=1時，等號成立.1-2mm412.??1+-的最小值為8.m1-2m12?/—+-三k恒成立m1-2m???kW&k的最大值為8.例19.若對任意x>0,一-一Wa恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是x2+3x+1解：Jx>0當且僅當x=—,即x=1時，等號成立.xTOC\o"1-5"\h\z?(x)=1??=—.Vx2+3x+1丿5maxxxxx2+3x+1Wa恒成立?a(x]?a(x]Vx2+3x+1丿max???a三5,即實數(shù)a的取值范圍是1)一，+85丿例20.已知x>0，y>0，xy=x+2y，若xy三m—2恒成立，則實數(shù)m的最大值是分析：可求出m的取值范圍，根據(jù)范圍確定其最大值.這種方法叫做不等分析法.

解：Txy=x+2y.x+2y_2丄1_1xyxy—2+1_1]—2+1_1]:—十丄xyxy???2，'-?——2:——Wxyxy8一Wl,?：xy±8.xy71當且僅當—-—,即x—4,y—2時，等號成立.(xy)—8.xymin?/xy三m-2恒成立m—2W(xy)，即m—2W8,解之得:mW10.min???實數(shù)m的最大值是10.例21.若不等式9x+三a+1（常數(shù)a>0）對一切正實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的x取值范圍.解：Tx>0,a>0Ia2a2/??9x+三2.9x?—6a.x\x當且僅當9x—牛，即x—3時，等號成立(a2、???9x+———6a.x丿min?/9x+竺三a+1對一切正實數(shù)x恒成立x（a2\???只需9x+竺三a+1即可Ix丿min6a三a+1，解之得:a三丄.5

???實數(shù)a的取值范圍是匕+J-5丿方法總結(jié)解決與不等式恒成立有關(guān)的問題,把參數(shù)從不等式中分離出來,使不等式的一端是含有參數(shù)的代數(shù)式,另一端是一個具體的函數(shù),這樣就把問題轉(zhuǎn)化為只有一端是參數(shù)的不等式的形式,便于問題的解決.例22.已知a,b是正實數(shù)，且a+2-3ab=0,則ab的最小值是,a+b的最小值是解：a+2b—3ab二021??a+2b—3ab,??+——1.3a3bTa,b是正實數(shù)a+b—a+b—21)一+—3a3b丿(a+b)=2ba12ba+++—=1++-3a3b33a3b三1+2」邁三—1+空TOC\o"1-5"\h\z3a3b3當且僅當尋—3b，即a-音,b—字時，等號成立.a+b的最小值為1+.321Ta,b是正實數(shù),一+—13a3b3a3b???2二丄—2丄＜3a3b3a3b/