高考總復(fù)習(xí)走向清北課件43數(shù)學(xué)立體幾何初步

第九模塊立體幾何初步(必修2:第一章

空間幾何體;第二章

點(diǎn)?直線?平面之間的位置關(guān)系)第四十三講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖回歸課本1.多面體(1)有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩

個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體

叫做棱柱.(2)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.(3)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面截棱錐,底面和截面之間的這部分多面體叫做棱臺(tái).2.旋轉(zhuǎn)體(1)以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.(2)以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.(3)以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡(jiǎn)稱球.3.三視圖和直觀圖(1)三視圖是從一個(gè)幾何體的正前方、正左方、正上方三個(gè)

不同的方向看這個(gè)幾何體,描繪出的圖形,分別稱為正視圖、

側(cè)視圖、俯視圖.(2)三視圖的排列順序:先畫(huà)正視圖,俯視圖放在正視圖的下方,側(cè)視圖放在正視圖的右方.(3)三視圖的三大原則:長(zhǎng)對(duì)正;高平齊;寬相等.(4)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法.①在已知圖形中,取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)O,畫(huà)

直觀圖時(shí),把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸和y′軸,兩軸相交于

O′,且使∠x(chóng)′O′y′=45°(或135°),用它們確定的平面

表示水平面.②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中,分別畫(huà)成平行于x′軸或y′軸的線段.③已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.考點(diǎn)陪練1.下列結(jié)論正確的是()A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成

的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等,則該棱錐可能是

正六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線解析:A錯(cuò)誤.如圖所示,由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,各面都是三角形,但它不是棱錐.B錯(cuò)誤.如圖所示,若△ABC不是直角三角形,或是直角三角形

但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐.C錯(cuò)誤.若

六棱錐的所有棱都相等,則底面多邊形是正六邊形.由幾何

圖形知,若以正六邊形為底面,側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)

.D正確.答案:D2.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,下列說(shuō)法不正確的是()A.棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等B.棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等C.棱臺(tái)的上下底面是相似多邊形D.有的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等解析:由棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義、性質(zhì)可知,選項(xiàng)B不正確.答案:B3.已知某物體的三視圖如圖所示,那么這個(gè)物體的形狀是()B.四棱柱

D.五棱柱A.六棱柱C.圓柱答案:A4.如圖(下面左圖),桌上放著一個(gè)圓錐和一個(gè)長(zhǎng)方體,則其俯視圖是()解析:俯視圖依次是一個(gè)圓(含圓心)和一個(gè)矩形.答案:D5.(2009?南通模擬)如圖是利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的△ABO的直觀圖,已知O′B′=4,且△ABO的面積為16,過(guò)A′作A′C′⊥x′軸,則A′C′的長(zhǎng)為_(kāi)_______.16

4

2

22

8,則

2

2.解析:由題意知,在

ABO中,邊OB上的高AD

在直觀圖中AD

4.AC

ADsin45

4答案:2

2類(lèi)型一基本概念和性質(zhì)解題準(zhǔn)備:(1)由棱柱的特征性質(zhì)可得:棱柱有兩個(gè)面互相平

行,其余各面都是平行四邊形,但反之不一定成立.如圖所

示幾何體有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形,但不滿

足“每相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊互相平行”,故它不是棱柱,

所以要加深理解棱柱的概念.(2)棱錐是當(dāng)棱柱的一個(gè)底面收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)形成的空間圖

形,棱臺(tái)則可以看成是用一個(gè)平行于棱錐底面的平面截棱

錐所得到的圖形,要注意的是棱臺(tái)的各條側(cè)棱延長(zhǎng)后交于

一點(diǎn),即棱臺(tái)可以還原成棱錐.如圖所示的幾何體就不是棱

臺(tái).(3)一個(gè)多面體至少有四個(gè)面,三棱錐只有四個(gè)面,所以三棱錐也叫四面體.(4)圓臺(tái)可以認(rèn)為是用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面與底面之間的部分.(5)球與球面是兩個(gè)不同的概念,用一個(gè)平面去截球面,截痕是一個(gè)圓,用一個(gè)平面去截球,截面為一個(gè)圓面.(6)簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)有兩種基本形式:一種是由簡(jiǎn)單幾何體

拼接而成,一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成.【典例1】下列命題中,不正確的是()A.棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體是正方體B.有兩個(gè)相鄰側(cè)面為矩形的棱柱為直棱柱C.有兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱為直棱柱D.底面為平行四邊形的四棱柱叫平行六面體[分析][解析]根據(jù)定義進(jìn)行判斷.由正方體、平行六面體的定義知A、D正確;對(duì)于B,相鄰兩側(cè)面垂直于底面,側(cè)棱垂直于底面,該棱柱為直棱柱,因而B(niǎo)正確;對(duì)于C,若兩側(cè)面平行且垂直于底面,則不一定是直棱柱.[答案]C[反思感悟]本例中常犯的錯(cuò)誤是認(rèn)為選項(xiàng)C正確,沒(méi)有注意

到C中的兩個(gè)側(cè)面沒(méi)有“相鄰的兩個(gè)側(cè)面”這個(gè)條件,如果

沒(méi)有“相鄰”這個(gè)條件就無(wú)法判斷側(cè)棱垂直于底面.類(lèi)似這種題目一定要仔細(xì)審題,掌握好各簡(jiǎn)單幾何體的概念

與性質(zhì),根據(jù)定義與性質(zhì)來(lái)進(jìn)行判斷.類(lèi)型二有關(guān)柱?錐?臺(tái)體的計(jì)算解題準(zhǔn)備:①正確地作出軸截面是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵,通過(guò)

作軸截面找到已知與未知間的關(guān)系進(jìn)而使問(wèn)題得以解決,

是立體幾何中常見(jiàn)的將空間問(wèn)題向平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化的解

題方法;②有關(guān)棱臺(tái)的計(jì)算.如圖四棱臺(tái),上下底均為正方形,O1,O分別為正方形的中心

,O1O垂直上下底面,E1,E分別為對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn),在解決有關(guān)這類(lèi)棱臺(tái)的問(wèn)題時(shí),可考慮利用幾個(gè)常見(jiàn)的直角梯形(如圖中,直角梯形O1OBB1,直角梯形O1OEE1,直角梯形B1BEE1等);③有關(guān)棱錐的計(jì)算.如圖所示四棱錐,底面ABCD為正方形,PO⊥平面ABCD,O為正方

形ABCD的中心,H為對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn),在解決有關(guān)這類(lèi)棱錐的

問(wèn)題時(shí),可考慮利用幾個(gè)常見(jiàn)的直角三角形(如圖中

,Rt△POC,Rt△POH,Rt△PHC等).【典例2】如圖,正四棱臺(tái)的高是17

cm,兩底面邊長(zhǎng)分別是4

cm和16

cm,求棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高.[分析]求棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高的關(guān)鍵是找到相關(guān)的直角梯形,然后構(gòu)造直角三角形,解決問(wèn)題.A1B1

4

cm,AB

16

cm,[解]如圖所示,設(shè)棱臺(tái)的兩底面的中心分別是O1、O,B1C1

和BC的中點(diǎn)分別是E1和E,連接O1O、E1E、O1B1、OB、

O1E1、OE,則四邊形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.O1E1

2

cm,OE

8

cm,O1B1

2

2cm,OB

8

2cm,B1B

O1O2

(OBO1B1)2

19cm,

E1E

O1O2

(OE

O1E1)2

5

13cm.棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19

cm,斜高為5

13cm.[反思感悟]

(1)把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解是解決立體幾何問(wèn)題常用方法.(2)找出相關(guān)的直角梯形,構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵,正棱臺(tái)中許多元素都可以在直角梯形中求出.類(lèi)型三截面問(wèn)題解題準(zhǔn)備:圓柱?圓錐?圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上,解

題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的,所以在解決棱(圓)臺(tái)問(wèn)題

時(shí),要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略.【典例3】棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面

上,若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖所示,求圖中三角形(正

四面體的截面)的面積.[分析]截面過(guò)正四面體的兩頂點(diǎn)及球心,則必過(guò)對(duì)棱的中點(diǎn).[解]如圖所示,△ABE為題中三角形,BE

AF

AB

BF

4

32,2233

3,2

2

48

3

31218

32

3BE

AFBF

2.ABE的面積為S

[反思感悟]

(1)在解答過(guò)程中易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤,導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是認(rèn)為截面圖是一個(gè)圓內(nèi)接三角形.(2)解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征,發(fā)

揮自己的空間想象能力,把立體圖和截面圖對(duì)照分析,有機(jī)

結(jié)合,找出幾何中的數(shù)量關(guān)系,為了增加圖形的直觀性,解題

時(shí)常常畫(huà)一個(gè)截面圓起襯托作用.類(lèi)型四幾何體的三視圖解題準(zhǔn)備:①三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從物

體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影

圍成的平面圖形,反映了一個(gè)幾何體各個(gè)側(cè)面的特點(diǎn).正視

圖反映物體的主要形狀特征,是三視圖中最重要的視圖;俯

視圖要和正視圖對(duì)正,畫(huà)在正視圖的正下方;側(cè)視圖要畫(huà)在

正視圖的正右方,高度要與正視圖平齊;②畫(huà)幾何體的三視圖時(shí),能看的輪廓線畫(huà)成實(shí)線,看不到的輪

廓線畫(huà)成虛線.【典例4】如圖所示,甲?乙?丙是三個(gè)幾何體的三視圖,則甲?乙?丙對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)正確的是()①長(zhǎng)方體②圓錐③三棱錐④圓柱A.④③②C.①②③[解析]

B.①③②

D.④②③甲圖中,正視圖和側(cè)視圖都是矩形,俯視圖是一個(gè)圓,因此該幾何體是一個(gè)圓柱;乙圖中,正視圖和側(cè)視圖都是三角形,俯視圖是一個(gè)三角形以及內(nèi)部的三條線段,因此該幾何體是一個(gè)三棱錐;丙圖中,正視圖和側(cè)視圖都是三角形,俯視圖是一個(gè)圓以及內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn),因此該幾何體是一個(gè)圓錐.故甲?乙?丙對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)應(yīng)為④③②,選A.[答案]A[反思感悟]

高考對(duì)三視圖的考查重點(diǎn)是常見(jiàn)簡(jiǎn)單幾何體及其

組合體的三視圖的理解及畫(huà)法,例如:正方體?長(zhǎng)方體?圓柱?

圓錐?棱柱?棱錐?球等的三視圖分別是什么圖形,數(shù)量關(guān)系

有什么特點(diǎn)等都應(yīng)該熟練掌握.類(lèi)型五幾何體的直觀圖解題準(zhǔn)備:一個(gè)平面圖形在斜二測(cè)畫(huà)法下的直觀圖與原圖形

相比發(fā)生了變化,注意原圖與直觀圖中的“三變、三不

變”.三變:坐標(biāo)軸的夾角改變,與y軸平行線段的長(zhǎng)度改變

(減半),圖形改變.三不變:平行性不變,與x軸平行的線段

長(zhǎng)度不變,相對(duì)位置不變.按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形

的直觀圖.其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系:

24S直觀圖

S原圖形,S原圖形

2

2S直觀圖.6

26

2

A.C.

3

2

a4

a8

B.D.

3

2

a

8

a16【典例5】已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,那么ABC的平

面直觀圖ABC的面積為（

）由②可知,AB

AB

a,OC

OC

OC

AB

CD

aa

a

.故選D.1

32

4

2

62

811

6

6

22

2

8

16a,a.[解]如下圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖.在圖②中作CD

AB于D,則CD

SABC

[答案]

D[反思感悟]

求直觀圖面積的關(guān)鍵是依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法,求出相

應(yīng)的直觀圖的底邊和高,也就是在原來(lái)實(shí)際圖形中的高線,

在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成45°角且長(zhǎng)度為原來(lái)的一半

的線段,以此為依據(jù)來(lái)求出相應(yīng)的高線即可.將水平放置的平面圖形的直觀圖還原成原來(lái)的實(shí)際圖形,其

作法就是逆用斜二測(cè)畫(huà)法,也就是使平行于x軸的線段的長(zhǎng)

度不變,而平行于y軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍.錯(cuò)源一對(duì)平行投影理解不到位,三視圖畫(huà)錯(cuò)【典例1】已知四棱錐P—ABCD水平放置如圖,且底面ABCD是邊長(zhǎng)為2

cm的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,PA=AB.試畫(huà)出該幾何體的三視圖.[錯(cuò)解][剖析]本題錯(cuò)在忽略了三視圖的形成過(guò)程.雖然,三個(gè)圖的形狀畫(huà)對(duì)了,但是側(cè)視圖的直角頂點(diǎn)畫(huà)錯(cuò).[正解]該幾何體的三視圖如下:錯(cuò)源二有關(guān)柱?錐?臺(tái)?球的概念判斷【典例2】下列敘述正確的是()①有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱.②兩個(gè)底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái).③有兩個(gè)面互相平行,其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是

棱臺(tái).④直角三角形繞其一條邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐.⑤直角梯形以它的一條垂直于兩底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)

軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓臺(tái).⑥用一個(gè)平面去截圓錐,底面和截面之間的部分是圓臺(tái).⑦通過(guò)圓錐側(cè)面上一點(diǎn),有無(wú)數(shù)條母線.⑧以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓旋轉(zhuǎn)一周形成球體.A.①②③④⑤⑥⑧C.①②⑤⑧B.①③④⑦⑧

D.⑤[錯(cuò)解]由棱柱的定義“有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是

四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這

些面圍成的多面體叫棱柱.”可知①正確.因?yàn)閷?duì)于棱臺(tái),一定滿足兩個(gè)面互相平行,其余各個(gè)面都是梯

形,所以②③正確.因?yàn)閳A錐?圓臺(tái)和球分別是由直角三角形?直角梯形和半圓繞

一條邊?一條腰和半圓的直徑旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體,所以④⑤

⑧正確.因?yàn)閳A臺(tái)是由圓錐截得的,所以⑥正確.因?yàn)橥ㄟ^(guò)圓錐側(cè)面上

一點(diǎn)和圓錐的頂點(diǎn)只能連在一條射線,所以“通過(guò)圓錐側(cè)

面上一點(diǎn),有無(wú)數(shù)條母線.”是錯(cuò)誤的,即⑦是不正確的.故

選A.[剖析]遇到概念判斷問(wèn)題,一定要在理解透徹相關(guān)概念的基礎(chǔ)上,仔細(xì)分析,如果判斷它是正確的,必須能緊扣定義,而不是模棱兩可地去作判斷;如果判斷它是錯(cuò)誤的,只需找到一個(gè)反例即可.錯(cuò)解在作判斷的時(shí)候沒(méi)有嚴(yán)格的根據(jù)定義去分多角度分析,而是抓住定義中的某一點(diǎn)就作出判斷,導(dǎo)致錯(cuò)誤.[正解]如圖,由圖(1)可知①是錯(cuò)誤的;由圖(2)可知②③是

錯(cuò)誤的;由圖(3)可知④是錯(cuò)誤的;由圖(4)可知是⑥是錯(cuò)誤

的.因?yàn)橥ㄟ^(guò)圓錐側(cè)面上一點(diǎn)和圓錐的頂點(diǎn)只能連一條射線,所

以“通過(guò)圓錐側(cè)面上一點(diǎn),有無(wú)數(shù)條母線.”是錯(cuò)誤的,即

⑦是不正確的.以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的應(yīng)

該是球面,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的才是球體,所以⑧是錯(cuò)誤

的.所以只有⑤是正確的.故選D.[答案]D技法一【典例1】

化曲為直(展開(kāi)圖與最小值)圓臺(tái)上底面半徑為5

cm,下底面半徑為10

cm,母線AB長(zhǎng)為20

cm,從AB中點(diǎn)M拉一根繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到B′,求繩子最短的長(zhǎng)度,并求繩子上各點(diǎn)與上底圓周距離的最小值.[解]如圖所示,設(shè)圓臺(tái)的上?下底面半徑分別為r,R,沿母線AB將側(cè)面展開(kāi),連接MB′,則MB′即為繩子的最短長(zhǎng)度,(OBOA)

BA

,,,

OB

180

OA

180

180

1802(Rr)

BA180

90.弧長(zhǎng)BB為:BB

2R

弧長(zhǎng)AA為:AA

2r

則2R

r

所以圓心角

OM

OBMB2,BM

OM

2

OB2

302

402

50cm.因?yàn)閞：R

1：所以O(shè)A