卡爾曼分解、互質(zhì)分解下討論最小實現(xiàn)以及零極點相消

目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"卡爾曼分解下討論零極點相消與最小實現(xiàn) 11.1卡爾曼分解概述 11.2卡爾曼分解的原理 21.3卡爾曼分解與最小實現(xiàn)以及互質(zhì)分解 4零極點相消與最小實現(xiàn)的關(guān)系2.1概述 42.2單變量系統(tǒng)的能控性、能觀性與傳遞函數(shù)零極點相消之間的關(guān)系。....52.3最小實現(xiàn)的判據(jù) 6\o"CurrentDocument"利用互質(zhì)分解 83.1互質(zhì)分解與卡爾曼分解 83.2matlab上的驗證 113.3最小實現(xiàn)與互質(zhì)分解以及卡爾曼分解之間的關(guān)系 12摘要：本文主要在卡爾曼分解以及互質(zhì)分解下討論了最小實現(xiàn)以及零極點相消的問題。討論了非互質(zhì)的傳遞函數(shù)會使系統(tǒng)實現(xiàn)時出現(xiàn)不能控或者不能觀的部分,從而引出了卡爾曼分解，卡爾曼分解后的能控能觀部分的實現(xiàn)為最小實現(xiàn)，系統(tǒng)維數(shù)降低，說明出現(xiàn)了零極點相消的情況。系統(tǒng)的維數(shù)等于互質(zhì)分解后傳遞函數(shù)的維數(shù)的實現(xiàn)時最小實現(xiàn)，此時的實現(xiàn)也是能控能觀的實現(xiàn)。但如果傳遞函數(shù)中消掉的是不穩(wěn)定的零極點，則不穩(wěn)定的極點會導致不穩(wěn)定的狀態(tài)，出入輸出穩(wěn)定與系統(tǒng)漸進穩(wěn)定之間是有很大差別的?？柭纸庀掠懻摿銟O點相消與最小實現(xiàn)1.1卡爾曼分解概述卡爾曼分解，即能控能觀性分解，在已知系統(tǒng)狀態(tài)方程｛ABCD｝不能控或者不能觀的情況下，對其做矩陣等價變換，使其狀態(tài)變量劃分為能控能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四個部分。狀態(tài)方程｛ABCD｝能夠分解為不能控或者不能觀部分說明了兩個問題：1.對一個實際系統(tǒng)，并不是所有的狀態(tài)都能控，也不是說所有的初始狀態(tài)都能夠通過系統(tǒng)輸出反映出來，表征輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)也僅反映能控能觀部分的關(guān)系，從而區(qū)分輸入輸出穩(wěn)定以及系統(tǒng)漸進穩(wěn)定；2.卡爾曼分解說明了系統(tǒng)實現(xiàn)時的維數(shù)是大于最小實現(xiàn)時的維數(shù)的（參見第二章最小實現(xiàn)的內(nèi)容），因此在表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)時必然存在零極點相消的現(xiàn)象，或者說零極點相消的現(xiàn)象使得系統(tǒng)實現(xiàn)時存在不能控或者不能觀的部分?？柭纸庖蔡嵝盐覀冊谙到y(tǒng)實現(xiàn)時要注意不穩(wěn)定零極點相消的問題，因為相消的極點如果為不穩(wěn)定極點，則說明存在不能控或不能觀的狀態(tài)，而且這個狀態(tài)是處于發(fā)散狀態(tài)的。1.2卡爾曼分解的原理能控性分解跟能觀性分解是具有對偶性的，因此這里先講能控性的分解，要說明能控性分解的原理，這里先證明一個小結(jié)論。結(jié)論1:對于能控性矩陣C=[BAB...^lB]如果把B矩陣展開，即8=由b,...bp],那么C矩陣可以表示為：C=[b】...bp叫...Abp... ...Ax-1bp]那么結(jié)論是：如果Abm與前面（左邊）的向量線性相關(guān)，則A+tm同樣與前面的向量線性相關(guān)。要證明這個結(jié)論非常簡單，因為Aibm表示以矩陣A每一列作為一個向量然后進行線性疊加，而同樣是矩陣A每一列的線性疊加，因此如果Abm與一組向量線性相關(guān)，則必然A+tm與同樣一組向量線性相關(guān)。能控性分解：如果能控性矩陣C=[BAB...寂-電]不滿足行滿秩，設C的秩為叫vn,則可以構(gòu)造等價變換矩陣pT=[q…％…qJ其中q?％取自C矩陣的任意叫個線性獨立列，其余的?％任意取，只要保證矩陣P非奇異就可以。則通過等價變換x=Px,狀態(tài)方程可以轉(zhuǎn)化為:

11AcAnirxcl

0Jtiej11y=[CfG】[^]*Du（式子1-1）利用上面的結(jié)論L可以簡單證明上面的式子。因為APT=P/,pT=[q...%...qj,也就是說3第i列是加在基｛q...*...qj下面的表示，乂因為~ 是與q?％線性相關(guān)的,，乂因為Aq”?A%對于基｛q...%…％｝是線性獨立的，因此M性獨立的，因此M的七?n列為1>1的形式。而B=P-1B,顯然，因為B與q?q、線性相關(guān)，因此B的形式為|°|的形式，至此原式得證。能觀性分解以及能控能觀分解?由于能控性跟能觀性的對偶性福，能觀性也可以參照能控的做法進行分解,也可以得到相對應的分解形式：[;:]=[京幻[￡]+[?:]"〃=|巳明仕]+成（式子1-2）如果對狀態(tài)變量先進性能控性分解，再進行能觀性分解，也就可以得到下面的狀態(tài)方程：

y=[CL-S0CqiOji+Dfl（式子1-3）1.3卡爾曼分解與最小實現(xiàn)以及互質(zhì)分解再對狀態(tài)方程進行能控分解時，我們還可以得到另外一個結(jié)論：原來狀態(tài)方程的傳遞函數(shù)與能控性分解后的能控性部分得到的傳遞函數(shù)相等。即：xf= +BfUy=Cfxr十Du的傳遞函數(shù)與原狀態(tài)方程相同。最直接的證明是直接對式子l-i求傳遞函數(shù)，然后分塊計算每一部分的值以及最后得到的傳遞函數(shù)，由于式子l-i為上三角分塊矩陣，因此可以利用上三角矩陣的求逆公式來求，在此不再展開?？柭纸夂蟮玫侥芸啬苡^部分的最小實現(xiàn)的結(jié)果說明了一個問題，原來的系統(tǒng)如果按照最小實現(xiàn)來構(gòu)建的話，則系統(tǒng)的維數(shù)必然會降低，而系統(tǒng)的維數(shù)降低乂說明了原來的傳遞函數(shù)中存在零極點相消的現(xiàn)象。反之亦然，按照第三章傳遞函數(shù)互質(zhì)與卡爾曼分解的討論中可以看出，傳遞函數(shù)如果存在公共因子，那么在傳遞函數(shù)實現(xiàn)的時候，必然會存在不能控或者不能觀的部分，因此可以按照上面的思路，構(gòu)建非奇異變換矩陣來實現(xiàn)卡爾曼分解。因此卡爾曼分解、傳遞函數(shù)的互質(zhì)性以及最小實現(xiàn)之前是互相聯(lián)系，可以互相推導的。零極點相消與最小實現(xiàn)的關(guān)系2.1概述每個線性時不變系統(tǒng)都可以用輸入-輸出函數(shù)：y(s)=G(s)u(s)來描述，且這系統(tǒng)是集中的，用狀態(tài)方程描述為：x(t)=Ax(t)+Bu(t)(2-1)y(t)=Cx(t)+Du(t)如果狀態(tài)方程是己知的，那么傳遞函數(shù)陣可以求出：G(s)=C(sl-A)—】B+Do這計算出來的傳遞函數(shù)陣是唯一的。相反，通過一個給定的傳遞函數(shù)陣求其相對應的狀態(tài)空間方程的問題，稱為實現(xiàn)問題。如果存在有限維狀態(tài)方程(2-1)或者說｛A,B,C,D｝使的G(s)=C(sl-A廣】B+

D,則稱傳遞函數(shù)陣G(s)是可實現(xiàn)的。并且｛A,B,C,D)稱為G(s)的一個實現(xiàn)。發(fā)散的線性時不變系統(tǒng)可以用傳遞函數(shù)陣描述，但是不能用有限維狀態(tài)方程描述,所以不是所有的G(s)都是可以實現(xiàn)的，如果G(s)是可以實現(xiàn)的，那么它有無線多種實現(xiàn)的方法，不一定要有相同的維數(shù)，所以實現(xiàn)問題相當復雜，其中我們稱最小維的實現(xiàn)為最小實現(xiàn)。2.2單變量系統(tǒng)的能控性、能觀性與傳遞函數(shù)零極點相消之間的關(guān)系。(2-1)對應的傳遞函數(shù)為：g(s)=c(sI-A)-1b=籍告夸=黑(2-2)QCV買SI/IJ UJ其中，N(s)=c.adj(si-A)b,D(s)=det(sl-A)定理:動態(tài)方程2-1能控能觀的充分必要條彳牒g(s)無零極點對消，即D(s)和N(s)無非常數(shù)的公因子。證明：首先用反證法證明條件的必要忙若有s=s°既使N(So)=O,又使D(so)=O:D(s0)=det(si一A)=0,N(s0)=c.adj(si-A)b=0利用恒等式(sI-A)(sI-A)-=(sI-A)*^=IB(D(s)I=(si一A)adj(sl-A)將S=So代入，可得Aadj(s0I-A)=soadj(soI-A)(l)將上式前乘c、后乘b后即有c.Aadj(sl一A)b=soc.adj(s0I-A)b=SoN(so)=0 (2)式⑴前乘cA、后乘b,并考慮到⑵的結(jié)果后即有cA2adj(soI—A)b=s°c.Aadj(s°I—A)b=s/N(s°)=0……，以此類推可得N(s)=c.adj(s0I—A)b=0c.Aadj(s0I—A)b=0c.A2adj(s0I—A)b=0?.這組式子乂可寫成adj(s0I-A)b=0c.AnTadj(s()I—A)b=0ccA..cA】】這組式子乂可寫成adj(s0I-A)b=0因為假設動態(tài)方程能觀的。上式中前面的能觀矩陣是可逆矩陣，故adj(s0I-A)b=0所以我們有adj(s0I-A)b=Ek；oPk(sO)AkbPo(sO)[bAb…A"%]Pi°°)=0.Pn-l(So).但因Pn-i(s)三1故det[bAb…AnTb]=0,這與系統(tǒng)可控的假設相矛盾。矛盾表明N(s)和D(s)無相同因子，即g(s)不會出現(xiàn)零、極點相消的現(xiàn)象。再證充分性：即若N(s)和D(s)無相同的因子，要證明(2-1)是能控能觀的。用反證法。設該系統(tǒng)不是既能控乂能觀的。不妨設系統(tǒng)是不能控的，這是可按能控性分解，并且可知這時傳遞函數(shù)g(s)=g(s)=c(sl—A廣=c.adj(sI-A)b_N(s)detf^sI-A)=D(s)C].adj(si—A1)bC].adj(si—A1)b1det整I-Ai)Ni(s)D^)在上面的式子中,D(s)是n次多項式，而Di(s)是ni次多項式，由于系統(tǒng)不可控,所以i】i<兒而N(s)和D(s)無相同因子可消去，顯然N(s)Ni(s) -F- D(s)Di(s)這和兩者應相等矛盾。同樣可以證明狀態(tài)方程也是不能觀的。2.3最小實現(xiàn)的判據(jù)(A,B,C)為嚴格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的一個n維實現(xiàn)，則其為最小實現(xiàn)的充分必要條件是(A,B)能控且(A,C)能觀測。證明：先證必要性，即己知(A,B,C)為最小實現(xiàn)，欲證(A,B)能控和(A,C)能觀測。采用反證法，反設(A,B,C)不能控或不能觀測，則可以通過結(jié)構(gòu)分解找到能控且能觀測的(Ai,Bt,Ci),使C』sl—AQTBi=G(s),且有diniAi<dimA (3)表明(A,B,C)不是G(s)的最小實現(xiàn)，從而與己知條件矛盾，故反設不成立，(A,B,C)必為能控且能觀測的。必要性得證。再證充分性，即己知(A,B,C)能控且能觀，欲證(A,B,C)為最小實現(xiàn)。也采用反證法，反設(A,B,C)能控且能觀測，但不是最小實現(xiàn)，這時必存在另一個最小實現(xiàn)(A',B',C‘)使dinifA<dimA (4)且對任意相同的輸入u,必有相同的輸出y,即KceA(f)Bu(to)dto=J；C'eA‘(tf)Bu(to)dto (5)考慮u和t的任意性，進一步有CeA(t-to)Bu(to)dto=C'eA(t-to)B‘u(to),對于任意t,t°(6)若令to=O,且記G(t)=Ce^B’G'Q)=C，eA，tB，,t>0G(t)=G(t)式中G(t)、G'(t)分別為(A,B,C)、(A,B',C')的單位脈沖響應矩陣。對G(t)求各階導數(shù)并利用A和e役的可交換屬性，得到G(i)(t)=CA^B=Ce^ABG(2)(t)=CA2^^=Ce^B???G(nT)(t)=cAn-1eAtB=Ce^AfiBGea①...G(nT)(t)-L(t)=Ce^BG1① G2(t)? ?■ ■? ?G(I)(t)G(n)(t)Ce^AB... G(n)(t).....G2(nT)(t)_...CeAtAnTB?cCAe^B CAe^AB...CAe%nTBCA? ?■ ■? ?_CAn-leAtBCAn-leAtAB......CAn-1eAtAn"1B....CAnTG2(n-l)(t)=^n-lgAt^-lp于是，可構(gòu)造下列L(t)矩陣^[BAB…An-1B]=Vo^Ue，t>0式中，Vo、Uc分別是(A,B,C)的能觀和能控性的判別矩陣。當t=0時,有L(0)=VOUC同理，可導出L(t)=V；eA，tUc,L'(O)=V：U；在上式中，V；、U；分別為(A',B',C‘)的能觀測性和能控性的判別矩陣。由G(t)=G'(t)乂有L(t)=L'(t),L(O)=L'(O),故VoUc=V；U；由己知(A,B,C)能控且能觀，則rankV0=n,rankUc=n表示H=VOUC有rankH<niin(rankVOlrankUc}=n (7)又因為V?H=VjVoUc從而有Uc=(VjV0廣】V?H故有n=rankUc<niin{rankVjVOlrankVOlrankH)=rankH(8)由于式(7)和式(8)同時成立，所以必有rankH=rankVoUc=n于是，利用式

VoUc=V；U；和乘積陣秩的關(guān)系式，得到 ，， ， ，n=rankV0Uc=rankV；U；<minP&ankV；,rankU；｝即 rankVo>n,rankU；>n這表示diniA1>dimAf與反設相矛盾，故反設不成立，即不存在比(A,B,C)維數(shù)更小的實現(xiàn)。充分性得證.所以傳遞函數(shù)陣無零極點相消，則實現(xiàn)是完全能控的且完全能觀的，而這樣的系統(tǒng)被稱為是最小實現(xiàn)。2例如,G(s)=壬匚。它的分子分母有一個公因子s-L故其存在零極點相消，它的能控性實現(xiàn)為00-11x=Ax+bu=10 0x+0u.01 0.0.=CXAb=0100-1010—01,A2b=A*Ab=0100-1001—00.010..0..0..010..0..1.所以，rank(b,Ab,A2b)=3/滿秩。該實現(xiàn)為完全能控的。oTro0-100=[01-4Lo10.cA2=cA*A=[oiI?00-1011--04-4.lo10.~44=2<3,所以該實現(xiàn)為不能觀的，綜上所述系統(tǒng)不是最小實現(xiàn)。而對于系統(tǒng)G“s)=(s+l)/4(s2+s+1),它的能控性實現(xiàn)為:x=Ax+bu=gJ]x+[J]uy=ex=[1/41/4]Ab七褊=眼=[1/41/4][JJ]=[1/21/4]rank(b,Ab)=2,滿秩，該實現(xiàn)為完全能控的，口曲。；)=2,滿秩，該實現(xiàn)也是完全能觀的。故該實現(xiàn)為最小實現(xiàn)。利用互質(zhì)分解3.1互質(zhì)分解與卡爾曼分解先用一例子來說明，互質(zhì)分式傳遞函數(shù)與卡爾曼分解之間的關(guān)系設一系統(tǒng)I的傳遞函數(shù)為：

/7is3+J3is2+(hs+04G(s)=迪—/7is3+J3is2+(hs+04G(s)=迪D(s)s+ais+azs^+ass+a4有Y(s)=G(s)*U(s)其中Y(s)為系統(tǒng)輸出信號的拉氏變換，U(s)為系統(tǒng)輸入信號的拉氏變換令D(s)V(s)=U(s)(式A-2)定義變量v(t)為V(s)的反拉氏變換，有Y(s)=N(s)V(s)式A-3設狀態(tài)變量為：x(t)二x2(t)x3(t)x4(t)X(s)二X2(s)Xx(t)二x2(t)x3(t)x4(t)X(s)二X2(s)X3(s)X4(s)V(s)式A-4將式A-4代入A-2得sXl(s)=-alXl(s)-a2X2(s)-a3X3(s)-a4X4(s)+U(s)對其進行拉式反變換有xr(t)=[-a1-a2-a3-a4]x(t)+u(t)同理，將式A-4代入A-3得y(t)=[P4p3p2pl]x(t)綜合上述各式可得x=Ax+bu=% -以x=Ax+bu=% -以30 0式A-5y=cx=[/?403pl/71]x現(xiàn)在開始討論式A-l中N(s)與D(s)是否互質(zhì)與A-5的能控能觀性的關(guān)系由式A-5可得該系統(tǒng)的能控矩陣為：知_%—%+2%%—%_CL\ _%1 一0Det(C)=L很明顯系統(tǒng)I傳遞函數(shù)的該實現(xiàn)是一定能控的。如果A.1中N(s)與D(s)不互質(zhì)的話，則必然存在一非零常數(shù)r使得N(r)=(3lrA3+P2r人2+03r+P4=0D(r)=rA4+alrA3+a2r八2+a3r+a4=0 A-6令2=仲r2r1］為非零向量，由A-6可知N(r)=cz=O,另外0011Az=000011Az=00010其中o為能觀矩陣，很明顯O不滿秩，因此當N(s)與D(s)不互質(zhì)時A-5必然不能觀。假設N(s)與D(s)互質(zhì)時，如果系統(tǒng)不能觀則存在A的一特征值r和非零向量z使得A-rlAz=rz和cz=0由此可得N(r)=PlrA3+P2M2+F3r+P4=0應此可得r為N(s)=O的一個根，乂因為r為A的特征根即為特征方程D(s)=O的一根,從而N(s)與D(s)有公因子s-r,故而N(s)與D(s)不互質(zhì)。與假設矛盾。綜上所述，A-5當且僅當A-1互質(zhì)的情況下才能控能觀。對A-1取轉(zhuǎn)置有010000100100001000]*y=jl0也是式A-1的一種實現(xiàn)此實現(xiàn)必定能觀，由對偶律與上述描述可知，該實現(xiàn)當且僅當A-1為互質(zhì)分式時才能控。推廣至一般情況可以得出結(jié)論：對于SISO系統(tǒng)而言，如果系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式能控且能觀，則G(s)=b(sI-^-1c必定互質(zhì)，即對于卡爾曼分解得出來的能控能觀狀態(tài)空間表達式其傳遞函數(shù)必定互質(zhì)O3.2matlab上的驗證下面通過對A-1與其能控能觀設置不同參數(shù)用matlab來對上述討論進行驗證。在matlab的command窗口中輸入一下語句symss;D=(s+l)*(s+3)*(s+5)*(s+6);N=(s+2)*(s+5)*(s+6);expand(D)expand(N)可得D=sA4+15*sA3+77*sA2+153*s+90N=sA3+13*sA2+52*s+60為一對有公因子的兩多項式，利用上述參數(shù)設置能控型參數(shù)輸入A=[-15-77-153-90;l000;0100;0010];c=[l135260];O=obsv(A,c);rank(O)可知O的秩為2系統(tǒng)不能觀，可知傳遞函數(shù)不互質(zhì)時，系統(tǒng)的能控標準實現(xiàn)不能觀。利用上述參數(shù)設置能觀型參數(shù)，輸入A=[-15100;-77010;-153001;-90000];b=[l;13;52;60];C=Ctrb(A,b);rank(C)可知C的秩為2,系統(tǒng)不能控再在maltab的command中輸入symss;D=(s+l)*(s+3)*(s+7)*(s+8);N=(s+2)*(s+5)*(s+6);expand(D)expand(N)可得D=sA4+19*sA3+119*sA2+269*s+168N=sA3+