函數(shù)及其性質(zhì)課件

1.2

函數(shù)及其性質(zhì)

1.2.1.集合

1.2.2.函數(shù)的概念1.2.3.邏輯及其符號

1.2.4.函數(shù)的一些重要性質(zhì)

1.2.5.函數(shù)運(yùn)算1.2.6.初等函數(shù)1.2函數(shù)及其性質(zhì)1.2.1.集合11.2.1邏輯及其符號利用數(shù)學(xué)的方法來代替人們思維中的邏輯推理過程，這種想法早在十七世紀(jì)就有人提出過。萊布尼茨曾經(jīng)設(shè)想過能不能創(chuàng)造一種“通用的科學(xué)語言”，可以把推理過程象數(shù)學(xué)一樣利用公式來進(jìn)行計(jì)算，從而得出正確的結(jié)論。由于當(dāng)時的社會條件，他的想法并沒有實(shí)現(xiàn)。但是它的思想?yún)s是現(xiàn)代數(shù)理邏輯部分內(nèi)容的萌芽。

1.2.1邏輯及其符號利用數(shù)學(xué)的方法來代替人們思維中的21.命題與定理可以判斷真假的語句稱為命題

(proposition).正確的命題稱為定理(theorem).這可靠嗎？1.命題與定理可以判斷真假的語句稱為命題(proposi32.含有“存在”和“任取”的命題存在實(shí)數(shù)x，滿足x3=-2.

x∈

R，s.t.

x3=-2.任取實(shí)數(shù)x，都有x2>0.

x∈

R，x2>0.存在源于英文Exist存在源于英文All2.含有“存在”和“任取”的命題存在實(shí)數(shù)x，滿足x3=4

x∈

R，y∈

R，s.t.x

<y.真命題

x∈

R，y∈

R，s.t.x

<y.假命題例x∈R，y∈R，s.t.51.2.2集合1.集合(Set):具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集子集真子集并交差全集I補(bǔ)集I\A1.2.2集合1.集合(Set):具有某種特定性質(zhì)6常用集合:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集不含任何元素的集合稱為空集.例規(guī)定空集為任何集合的子集.笛卡爾乘積例常用集合:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)72.區(qū)間(interval):是指介于某兩個實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,2.區(qū)間(interval):是指介于某兩個實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)8稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:93.鄰域(neighborhood):3.鄰域(neighborhood):10在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量(constantquantity)，而數(shù)值變化的量稱為變量

(variable).4.常量與變量:例s=gt2/2g≈9.8米/秒2.通常用字母a,b,c等表示常量,常量與變量的表示方法：用字母x,y,z,

t等表示變量.在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量(constantqu111.2.3函數(shù)的概念因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域

(domain)函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.1.2.3函數(shù)的概念因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定12如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．x11y0.5如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個13

(1)符號函數(shù)(signfunction)幾個常用的特殊函數(shù)1-1xyo克羅內(nèi)克函數(shù)(Kroneckerfunction

)德國1823-1891(1)符號函數(shù)(signfunction)14(2)取整函數(shù)

y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo(2)取整函數(shù)y=[x]12315(3)狄利克雷函數(shù)(Diriechletfunction)德國1805-1859

(3)狄利克雷函數(shù)(Diriechletfunct16(4)取最值函數(shù)yxoyxo(4)取最值函數(shù)yxoyxo17在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).分段函數(shù)在其整個定義域上是一個函數(shù),注而不是幾個函數(shù)!在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),18例解例解191.2.4函數(shù)的一些重要屬性-MoMyxy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性無界:1.2.4函數(shù)的一些重要屬性-MoMyxy=f(x)X有201121函數(shù)及其性質(zhì)課件22練習(xí)A.有上界無下界B.

有下界無上界C.有界,D.

有界且解C練習(xí)A.有上界無下界B.有下界無上界C.有界,D.232．函數(shù)的單調(diào)性則稱函數(shù)f(x)

在區(qū)間I

上是廣義單調(diào)增加的.則稱函數(shù)f(x)

在區(qū)間I

上是單調(diào)增加的.設(shè)函數(shù)f(x)

的定義域?yàn)镈,區(qū)間I∈D.2．函數(shù)的單調(diào)性則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是廣義單24則稱函數(shù)f(x)

在區(qū)間I

上是廣義單調(diào)減少的.則稱函數(shù)f(x)

在區(qū)間I

上是單調(diào)減少的.設(shè)函數(shù)f(x)

的定義域?yàn)镈,區(qū)間I∈D.則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是廣義單調(diào)減少的.則稱函253．函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)yxox-x3．函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)yxox-x26奇函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x274．函數(shù)的周期性:由于T

是函數(shù)f(x)

周期時，nT(n∈N)也是f(x)周期，因此通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在實(shí)數(shù)

T≠0,使得對于任意

x∈D,都有

f(x+T)=f(x)，則稱f(x)

是一個周期函數(shù)，T稱為是f(x)

的

周期

(period).Sin(x)

的圖像4．函數(shù)的周期性:由于T是函數(shù)f(x)周期時，nT28例y=D(x)

是周期函數(shù)，但無最小正周期例y=D(x)是周期函數(shù)，但無最小正周期291.2.5函數(shù)的運(yùn)算1.四則運(yùn)算1.2.5函數(shù)的運(yùn)算1.四則運(yùn)算302.反函數(shù)(inversefunction)2.反函數(shù)(inversefunction)31在什么條件下,?一個函數(shù)存在反函數(shù)且反函數(shù)也是單調(diào)增(減).反函數(shù)存在定理若函數(shù)在

D上單調(diào)增(減),則它必存在反函數(shù)在什么條件下,?一個函數(shù)存在反函數(shù)且反函數(shù)也是單調(diào)增(減)32

(2)

函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線

y=x

對稱.(2)函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對稱.333.復(fù)合函數(shù)(compoundfunction)定義3.復(fù)合函數(shù)(compoundfunction)定義34注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;35例例36函數(shù)及其性質(zhì)課件37函數(shù)及其性質(zhì)課件38思考題及其定義域.解令則于是,思考題及其定義域.解令則于是,391.2.6初等函數(shù)(1)冪函數(shù)1.基本初等函數(shù)1.2.6初等函數(shù)(1)冪函數(shù)1.基本初等函數(shù)40(2)指數(shù)函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)41(3)對數(shù)函數(shù)(3)對數(shù)函數(shù)42(4)三角函數(shù)正弦函數(shù)(4)三角函數(shù)正弦函數(shù)43余弦函數(shù)余弦函數(shù)44正切函數(shù)定義域值域正切函數(shù)定義域值域45余切函數(shù)定義域值域余切函數(shù)定義域值域46正割函數(shù)定義域值域正割函數(shù)定義域值域47余割函數(shù)定義域值域余割函數(shù)定義域值域48

(5)反三角函數(shù)定義域反正弦函數(shù)反三角函數(shù)都是多值函數(shù).但是,可以選取這些函數(shù)的單值支.(5)反三角函數(shù)定義域反正弦函數(shù)反三角函數(shù)都是多值函數(shù)49反余弦函數(shù)定義域反余弦函數(shù)定義域50定義域反正切函數(shù)反余切函數(shù)定義域定義域反正切函數(shù)反余切函數(shù)定義域51常數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次函數(shù)復(fù)合構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).2.如都是初等函數(shù).不是初等函數(shù).常數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)52注一般分段函數(shù)不叫初等函數(shù),想一想

可看作分段函數(shù),是否又可看作是初等函數(shù)?答:故又可看作是初等函數(shù).是!由于它不是用一個式子表達(dá)出來的.因?yàn)樽⒁话惴侄魏瘮?shù)不叫初等函數(shù),想一想可看作分段函數(shù),是否53小結(jié)基本概念集合,區(qū)間,鄰域.函數(shù)的概念函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)基本初等函數(shù)及初等函數(shù)小結(jié)基本概念函數(shù)的概念函數(shù)的特性反函數(shù)基本初等函數(shù)及541.2

函數(shù)及其性質(zhì)

1.2.1.集合

1.2.2.函數(shù)的概念1.2.3.邏輯及其符號

1.2.4.函數(shù)的一些重要性質(zhì)

1.2.5.函數(shù)運(yùn)算1.2.6.初等函數(shù)1.2函數(shù)及其性質(zhì)1.2.1.集合551.2.1邏輯及其符號利用數(shù)學(xué)的方法來代替人們思維中的邏輯推理過程，這種想法早在十七世紀(jì)就有人提出過。萊布尼茨曾經(jīng)設(shè)想過能不能創(chuàng)造一種“通用的科學(xué)語言”，可以把推理過程象數(shù)學(xué)一樣利用公式來進(jìn)行計(jì)算，從而得出正確的結(jié)論。由于當(dāng)時的社會條件，他的想法并沒有實(shí)現(xiàn)。但是它的思想?yún)s是現(xiàn)代數(shù)理邏輯部分內(nèi)容的萌芽。

1.2.1邏輯及其符號利用數(shù)學(xué)的方法來代替人們思維中的561.命題與定理可以判斷真假的語句稱為命題

(proposition).正確的命題稱為定理(theorem).這可靠嗎？1.命題與定理可以判斷真假的語句稱為命題(proposi572.含有“存在”和“任取”的命題存在實(shí)數(shù)x，滿足x3=-2.

x∈

R，s.t.

x3=-2.任取實(shí)數(shù)x，都有x2>0.

x∈

R，x2>0.存在源于英文Exist存在源于英文All2.含有“存在”和“任取”的命題存在實(shí)數(shù)x，滿足x3=58

x∈

R，y∈

R，s.t.x

<y.真命題

x∈

R，y∈

R，s.t.x

<y.假命題例x∈R，y∈R，s.t.591.2.2集合1.集合(Set):具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集子集真子集并交差全集I補(bǔ)集I\A1.2.2集合1.集合(Set):具有某種特定性質(zhì)60常用集合:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集不含任何元素的集合稱為空集.例規(guī)定空集為任何集合的子集.笛卡爾乘積例常用集合:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)612.區(qū)間(interval):是指介于某兩個實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,2.區(qū)間(interval):是指介于某兩個實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)62稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:633.鄰域(neighborhood):3.鄰域(neighborhood):64在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量(constantquantity)，而數(shù)值變化的量稱為變量

(variable).4.常量與變量:例s=gt2/2g≈9.8米/秒2.通常用字母a,b,c等表示常量,常量與變量的表示方法：用字母x,y,z,

t等表示變量.在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量(constantqu651.2.3函數(shù)的概念因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域

(domain)函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.1.2.3函數(shù)的概念因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定66如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．x11y0.5如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個67

(1)符號函數(shù)(signfunction)幾個常用的特殊函數(shù)1-1xyo克羅內(nèi)克函數(shù)(Kroneckerfunction

)德國1823-1891(1)符號函數(shù)(signfunction)68(2)取整函數(shù)

y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo(2)取整函數(shù)y=[x]12369(3)狄利克雷函數(shù)(Diriechletfunction)德國1805-1859

(3)狄利克雷函數(shù)(Diriechletfunct70(4)取最值函數(shù)yxoyxo(4)取最值函數(shù)yxoyxo71在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).分段函數(shù)在其整個定義域上是一個函數(shù),注而不是幾個函數(shù)!在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),72例解例解731.2.4函數(shù)的一些重要屬性-MoMyxy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性無界:1.2.4函數(shù)的一些重要屬性-MoMyxy=f(x)X有741175函數(shù)及其性質(zhì)課件76練習(xí)A.有上界無下界B.

有下界無上界C.有界,D.

有界且解C練習(xí)A.有上界無下界B.有下界無上界C.有界,D.772．函數(shù)的單調(diào)性則稱函數(shù)f(x)

在區(qū)間I

上是廣義單調(diào)增加的.則稱函數(shù)f(x)

在區(qū)間I

上是單調(diào)增加的.設(shè)函數(shù)f(x)

的定義域?yàn)镈,區(qū)間I∈D.2．函數(shù)的單調(diào)性則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是廣義單78則稱函數(shù)f(x)

在區(qū)間I

上是廣義單調(diào)減少的.則稱函數(shù)f(x)

在區(qū)間I

上是單調(diào)減少的.設(shè)函數(shù)f(x)

的定義域?yàn)镈,區(qū)間I∈D.則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是廣義單調(diào)減少的.則稱函793．函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)yxox-x3．函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)yxox-x80奇函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x814．函數(shù)的周期性:由于T

是函數(shù)f(x)

周期時，nT(n∈N)也是f(x)周期，因此通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在實(shí)數(shù)

T≠0,使得對于任意

x∈D,都有

f(x+T)=f(x)，則稱f(x)

是一個周期函數(shù)，T稱為是f(x)

的

周期

(period).Sin(x)

的圖像4．函數(shù)的周期性:由于T是函數(shù)f(x)周期時，nT82例y=D(x)

是周期函數(shù)，但無最小正周期例y=D(x)是周期函數(shù)，但無最小正周期831.2.5函數(shù)的運(yùn)算1.四則運(yùn)算1.2.5函數(shù)的運(yùn)算1.四則運(yùn)算842.反函數(shù)(inversefunction)2.反函數(shù)(inversefunction)85在什么條件下,?一個函數(shù)存在反函數(shù)且反函數(shù)也是單調(diào)增(減).反函數(shù)存在定理若函數(shù)在

D上單調(diào)增(減),則它必存在反函數(shù)在什么條件下,?一個函數(shù)存在反函數(shù)且反函數(shù)也是單調(diào)增(減)86

(2)

函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線

y=x

對稱.(2)函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對稱.873.復(fù)合函數(shù)(compoundfunction)定義3.復(fù)合函數(shù)(compoundfunction)定義88注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.注意:1.不是