不動(dòng)點(diǎn)理論及其應(yīng)用

不動(dòng)點(diǎn)理論及其應(yīng)用主要內(nèi)容：?不動(dòng)點(diǎn)理論一壓縮映像原理?不動(dòng)點(diǎn)理論在微分方程中的應(yīng)用?不動(dòng)點(diǎn)理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用目錄：一、 引言二、 壓縮映像原理三、 在微分方程中的應(yīng)用四、 在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用五、 其它、引言取一張照片，按比例縮小，然后把小照片隨手放在大照片上，那么大小兩張照片在同一個(gè)部位，一定有一個(gè)點(diǎn)是重合的。這個(gè)重合點(diǎn)就是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),在數(shù)學(xué)中是指被這個(gè)函數(shù)映射到其自身的一個(gè)點(diǎn),即函數(shù)f(x)在取值過程中，如果有一個(gè)點(diǎn)x使f(x)二x，則x就是0000一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。二、壓縮映像原理定理：(Banach不動(dòng)點(diǎn)定理一壓縮映像原理)設(shè)(X,p)是一個(gè)完備的距離空間，t是(X,p)到其自身的一個(gè)壓縮映射，則t在X上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。這里有三個(gè)概念：距離空間，完備的距離空間，壓縮映射距離空間又稱為度量空間。定義：(距離空間)設(shè)X是一個(gè)非空集合。X稱為距離空間，是指在X上定義了一個(gè)雙變量的實(shí)值函數(shù)P(x,y)，滿足下面三個(gè)條件：。p(x,y)>0，而且p(x,y)=0，當(dāng)且僅當(dāng)x二y；。p(x,y)=p(y,x)；。p(x,z)<p(x,y)+p(y,z)， (Vx,y,zeX)。這里p叫做X上的一個(gè)距離，以p為距離的距離空間X記作(X,p)。定義：(完備的距離空間)距離空間(X,p)中的所有基本列都是收斂列，則稱該空間是完備的。定義：(壓縮映射)稱映射T:(X,p)t(X,p)是一個(gè)壓縮映射，如果存在0<a<1，使得p(Tx,Ty)<ap(x,y)(Vx,yeX)成立。定理：(存在和唯一性)考慮如下初值問題葺=f(x,y)，〔y(%)=yo.假設(shè)f(x,y)在矩形區(qū)域R:Ix一xl<a,Iy一yl<b00內(nèi)連續(xù)，而且對(duì)y滿足Lipschitz條件，則上述問題在區(qū)間I二［x-h,x+h］上有且僅有一個(gè)解，其中ooh=min{a,—},M>maxIf(x,y)I.M^ (x,y)gR(1)。傳統(tǒng)的證明方法通常，我們分成四步來證明：轉(zhuǎn)換成等價(jià)的積分方程y二yo+Jxf(t,y)dt0 x0構(gòu)造皮卡迭代序列證明皮卡迭代序列一致收斂，而且極限函數(shù)是解證明解唯一2)。壓縮映像原理證明根據(jù)上面的理論，先定義X=C[x-h,x+h]=C(I)oo然后，給一個(gè)度量p(x,y)=maxIx(t)-y(t)Itel由積分方程y二y+Jxf(t,y)dt，我們可以定義一個(gè)映射:x0(Ty)(x)二y+Jxf(t,y(t))dt0 x0我們要證明兩點(diǎn)：a.任意xeX，則TxeXb.檢驗(yàn)映射T:(X,p)t(X,p)是一個(gè)壓縮映射p(Tx,Ty)=maxiJf(t,x(T)dT-ff(t,y(t))dT|telx0 x0W2hmaxif(t,x(t))-f(t,y(t))iteI注意函數(shù)f(x,y)對(duì)y滿足Lipschitz條件:if(t,x)-f(t,x)iWLix-xi,1212其中L是一個(gè)常數(shù)。容易得到p(Tx,Ty)=maxiJf(t,x(T)dT-ff(t,y(t))dTiteIx0 x0W2hmaxif(t,x(t))-f(t,y(t))iteIW2hLp(x,y)因此，只要h取得適當(dāng)小，使得2hL<1，則映射T:(X,p)t(X,p)是一個(gè)壓縮映射，因此，有唯一的不動(dòng)點(diǎn)y，使得y二y0+Jxf(t,y)dtx0這樣，存在與唯一性同時(shí)成立。四、在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用例1，假設(shè)定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖像上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)。證明：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，xeR特別，取x二0，則f(0)=0。因此0是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。如果c豐0是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即f(c)=c，那么f(―c)=-f(c)=-c說明—c也是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，而且—c豐c?；蛘哒f，奇函數(shù)的非零不動(dòng)點(diǎn)是成對(duì)出現(xiàn)的，由題目條件，可知結(jié)論成立。例2，給定函數(shù)f(x)=3x+a，a,b為常數(shù)。x+b。如果函數(shù)f(x)有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn)，求a,b應(yīng)該滿足的條件。。在(1)的條件下，取a=&y=f(x)的圖像上A,A'兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，P為函數(shù)f(x)圖像上的另外一點(diǎn)，而且其縱坐標(biāo)大于3,求點(diǎn)P到直線AA'距離的最小值，以及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：設(shè)x°是函數(shù)f(x)圖像上的不動(dòng)點(diǎn)，則有3x+af(x0)=E二x00整理得x2+(b-3)x-a-0 (*)00由題意知方程(*)有兩個(gè)根，而且絕對(duì)值相等，符號(hào)相反。由韋達(dá)定理得m由此得b=3，a>0,f(x)=3+—x+32)。在因此，a,b應(yīng)該滿足的條件是：b=3,a>0,a豐92)。在(1)的條件下，取a=&則f(x)=土83x+8由 3x+8由 =xx+3故A(2巨,2叮2)，A'=(-2巨-2邁)設(shè)P(x,y)，則y>3。由3x+8得函數(shù)f(x)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x=2邁，x=-2邁12>3，解得x<-3x+3直線AA'的方程為y=x。設(shè)點(diǎn)P到直線AA'的距離為d。d=…=丄|x-止亠x2-9)+1=丄[(-x-3)+丄+6]2 <2x+3 2—x—3 <2 —x—3n丄(2+6)=4、.邁2當(dāng)且僅當(dāng)—x-3=一1，即x=-4時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí),-x-3x=_4,y=4故點(diǎn)P到直線AA'距離的最小值為4、/2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(_4,4)。五、其它a.還有很多其它不動(dòng)點(diǎn)定理Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理:n維歐氏空間中的閉單位球有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，即如果S表示這個(gè)球，f:STS是任意連續(xù)函數(shù)，則存在一個(gè)點(diǎn)nnnxGS，使得f(x)=x0n00

在經(jīng)濟(jì)均衡理論中的應(yīng)用例如，經(jīng)典的Leontieff模型。假設(shè)每生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品有N個(gè)生產(chǎn)者，p,i二1,2,...,NiX表示生產(chǎn)者P的全部產(chǎn)品，X表示P生產(chǎn)的產(chǎn)品被Pi i ij i jY=Y=X—乞xii ijj=1上式含義：P的全部產(chǎn)品數(shù)與由生產(chǎn)者P,P,...,P消耗的總數(shù)之i12N差。Y稱為商品i的“最后要求”。i閉合的Leontieff模型假設(shè)Y=0,i=1,2,...,N。ia=二稱為“產(chǎn)品系數(shù)”jXi如果a是常數(shù)，那么(I—A)X=Y，其中A=(a)，TOC\o"1-5"\h\zij ijX=(X,...,X)，Y=(Y,...,Y)。1N 1N一般情況下，假設(shè)a為正連續(xù)函數(shù)。ij/(x)稱為“要求函數(shù)”表示當(dāng)P的收益為x，而花費(fèi)在由ij iPj生產(chǎn)的產(chǎn)品G上的資本總數(shù)。顯然，f(x)=0。j ii現(xiàn)在，如果每個(gè)生產(chǎn)者由于買另外生產(chǎn)者的商品而花掉其收益，那么有如下關(guān)系式X仝f(X) (1)ijj般的經(jīng)濟(jì)規(guī)律認(rèn)為，生產(chǎn)者P的收益x按照這樣的方式確ii定，即由生產(chǎn)者賣出的每個(gè)產(chǎn)品的總額必等于由另外的生產(chǎn)者買進(jìn)產(chǎn)品的總值，用數(shù)學(xué)語言表示，有關(guān)系式X=￡f(x) ⑵jiji現(xiàn)在，假設(shè)函數(shù)f是非線性連續(xù)函數(shù)，則可知存在點(diǎn)X二(XX)ij1N適合關(guān)系式(2)。定理：假設(shè)函數(shù)f都是正的連續(xù)函數(shù)，滿足條件(1)，則存在ij點(diǎn)X=(XX)適合關(guān)系式(2)。1NSchauder不動(dòng)點(diǎn)定理:Banach空間中每個(gè)凸緊集，對(duì)于連續(xù)映射有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。在偏微分方程的處理中有很多應(yīng)用引言中例子的證明我們把大照片抽象成矩形K(ABCD)，小照片抽象成矩形1K(A'BCD')。而照片的疊放可以看成是從K至UKuK的連續(xù)2121映射(由伸縮和旋轉(zhuǎn)的連續(xù)形變)。假設(shè)那個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為O點(diǎn)，見下圖。要證明的結(jié)論可以轉(zhuǎn)化為：存在O點(diǎn)，使得AOAB與AOA'B'相似。證明：延長A'B'交AB于點(diǎn)P，然后過A,A',P三點(diǎn)作圓O，過1B,B',P作圓O，記圓O和作圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為O。212因?yàn)辄c(diǎn)O,B',P,B在圓O上，所以ZOB'A'=ZOBP。2(因?yàn)閆OB'A=ZBOP+ZBPO=ZB'BP+ZB'BO=ZOBP)又因?yàn)辄c(diǎn)O,A',A,P在圓O上，所以ZOA'P=ZOAP1因此，AOAB與AOA'B'相似。這就說明，在O點(diǎn)上，大小照片中的景物”是相同的。思考題：A是定義在［2,4］上而且滿足如下條件的函數(shù)申(x)組成的集合：(1)，對(duì)任意的xe［2,4］，都有申(x)e(1,2)；(2)，存在常數(shù)L(0<L<1)，使得對(duì)任意x,xe［1,2］，都有12I申(2x)一申(2x)l<LIx一xI。1212。設(shè)申(x)=31+x，xe［2,4］，證明：申(x)eA。。設(shè)申(x)eA，如果存在xe(1,2)，使得x=申(2x)，那么這樣000的x是唯一的。0。設(shè)申(x)eA'任取xg(1,2)，令x二申