離散時間信號與系統(tǒng)課件

第1章離散時間信號與系統(tǒng)1.1離散時間信號——序列1.2線性移不變系統(tǒng)1.3常系數(shù)線性差分方程1.4

連續(xù)時間信號的采樣1第1章離散時間信號與系統(tǒng)1.1離散時間信號——序列11.1離散時間信號——序列

離散時間信號只在離散時間上給出函數(shù)值，是時間上不連續(xù)的序列。它既可以是實數(shù)也可以是復(fù)數(shù)。一個離散時間信號是一個整數(shù)值變量n的函數(shù)，表示為x(n)或{x(n)}。n就表示序列值在序列中前后位置的序號

，一個實值離散時間信號——序列可以用圖形來描述。橫軸雖為連續(xù)直線，但只在n為整數(shù)時才有意義?？v軸線段的長短代表各序列值的大小。圖1-1離散時間信號的圖形表示

21.1離散時間信號——序列離散時間信號

離散時間信號常?？梢酝ㄟ^對模擬信號進行等間隔采樣而得到。例如，對于一個連續(xù)時間信號xa(t)，以每秒fs=1/T個采樣的速率采樣而產(chǎn)生采樣信號，它與xa(t)的關(guān)系如下：

然而，并不是所有的離散時間信號都是這樣獲得的。一些信號可以認為是自然產(chǎn)生的離散時間序列，如每日股票市場價格、人口統(tǒng)計數(shù)和倉庫存量等。

3離散時間信號常?？梢酝ㄟ^對模擬信號進行等間一、序列的運算

1.序列的移位

已知序列x(n)，當(dāng)m為正時，則x(n-m)是指序列x(n)逐項依次滯后（右移）m位而給出的一個新序列;而x(n+m)是指依次超前（左移）m位。而當(dāng)m為負時，則相反.圖1-2圖1-1序列x(n)的滯后序列

圖1-1序列x(n)4一、序列的運算1.序列的移位例1-1（教材P9）則即序列x(n)超前序列x(n+1)5例1-1（教材P9）則即序列x(n)超前序列x(n+1)52．序列的翻褶（折迭）

如果序列為x(n),則x(-n)是以n=0的縱軸為對稱軸將序列x(n)加以翻褶。x(n)及x(-n)如圖1-3(a)、(b)所示。圖1-3序列的翻褶(a)x(n)序列；(b)x(-n)序列

62．序列的翻褶（折迭）圖1-3序列的翻褶6討論：翻褶序列的移位

對于原序列x(n)而言，時間的增長方向向右，即向右移滯后，向左移超前。而對于原序列的翻褶序列x(-n)而言，時間的增長方向向左，即向左移滯后，向右移超前。也就是說對翻褶序列x(-n)移位m，即得x(m-n)

，當(dāng)m為正整數(shù)時，右移m位，當(dāng)m為負整數(shù)時，左移m位，恰好與原序列x(n)的移位規(guī)律相反。7討論：翻褶序列的移位對于原序列x(n)而言，時間的883．序列的和

兩序列的和是指同序號n的序列值逐項對應(yīng)相加而構(gòu)成的一個新序列。和序列z(n)可表示為圖1-4兩序列相加93．序列的和兩序列的和是指同序號n的序列值4．序列的乘積

兩序列相乘是指同序號n的序列值逐項對應(yīng)相乘。乘積序列z(n)可表示為補充：序列的標(biāo)乘

序列x(n)的標(biāo)乘是指x(n)的每個序列值乘以常數(shù)c。標(biāo)乘序列z(n)可表示為：104．序列的乘積兩序列相乘是指同序號n的序列值

5.累加它表示y(n)在某一個n0上的值y(n0)等于在這一個n0上的x(n0)值與n0以前所有n上的x(n)之和。設(shè)某序列為x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為

圖1-5序列x(n)及其累加

序列y(n)115.累加它表示y(n)在某一個n0上的值y(n0)等于在6．差分運算前向差分：Δx(n)=x(n+1)-x(n)后向差分：▽x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出：▽x(n)=Δx(n-1)圖1-6x(n)、前項差分Δx(n)及后項差分▽x(n)126．差分運算圖1-6x(n)、前項差分Δx(n)及后7．序列的時間尺度變換（抽取與零值插入）(a)序列x(n)(b)抽取序列xd(n),(D=2)(1)抽取已知序列x(n)，其時間尺度變換后的序列記為x(Dn)，D為正整數(shù)。x(Dn)表示從x(n)的每連續(xù)D個抽樣值中取出一個組成的新序列，這種運算稱為抽取，x(Dn)稱為x(n)的D取1的抽取序列。（注意：它不是簡單的時間軸的壓縮，而是相當(dāng)于將抽樣時間間隔由T變成DT）圖1-7抽取運算137．序列的時間尺度變換（抽取與零值插入）(a)序列x(n序列x(n)(c)插值序列xe(n),(I=2)(2)零值插入已知序列x(n)，序列的零值插入就是把x(n)的兩個相鄰抽樣值之間插入(I-1)個零值?？杀硎緸椋簣D1-7零值插入運算I為正整數(shù)，其他n14序列x(n)8．卷積和（離散卷積）（※）

(1)定義：卷積和是求離散線性移不變系統(tǒng)輸出響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）的主要方法。其中*表示卷積和。由上式可以證明，卷積與兩序列的先后次序無關(guān)，即設(shè)已知序列x(n)和h(n)，它們的卷積和定義為：158．卷積和（離散卷積）（※）其中*表示卷積和。由上式可以(1)翻褶：先在啞變量坐標(biāo)m上作出x(m)和h(m)，將h(m)以m=0的垂直軸為對稱軸翻褶成h(-m).(2)移位：將h(-m)移位n，即得h(n-m).當(dāng)n為正整數(shù)時，右移n位，當(dāng)n為負整數(shù)時，左移n位.(3)相乘：再將h(n-m)和x(m)的相同m值的對應(yīng)點值相乘.(4)相加：把以上所有對應(yīng)點的乘積疊加起來,即得y(n)值.依上法,取n=…,-2,-1,0,1,2,…各值，即可得全部y(n)值.

(2)卷積和的運算：卷積和的運算在圖形表示上可分為以下四步：16(1)翻褶：先在啞變量坐標(biāo)m上作出x(m)和h(m)，將h(例1-7（教材P14（※）

）：設(shè)計算離散卷積17例1-7（教材P14（※））：設(shè)計算離散卷積17圖1-8x(n)和h(n)的卷積和圖解·18圖1-8x(n)和h(n)的卷積和圖解·18

利用圖1-8，求任意一個y(n)時，只需將兩序列對應(yīng)位置上的點相乘再求和即可。1）n>1時，y(n)=02）1≤n≤5時，3）n≥6時，y(n)=019利用圖1-8，求任意一個y(n)時，只需將兩序二、幾種常用序列（※）

這個序列只在n=0處有一個單位值1，其余點上皆為0。這是最常用、最重要的一種序列，它在離散時間系統(tǒng)中的作用，很類似于連續(xù)時間系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)δ(t)。單位沖激序列δ(n)右移m位有：(1-2)1.單位抽樣序列(單位沖激序列,單位脈沖序列)δ(n)

20二、幾種常用序列（※）這個序列只在n=0圖1-9單位抽樣序列

21圖1-9單位抽樣序列212．單位階躍序列u(n)

它很類似于連續(xù)時間信號與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù)u(t)。

(1-3)圖1-10單位階躍序列

u(n)222．單位階躍序列u(n)它很類似于連續(xù)時間信號與系統(tǒng)中的δ(n)和u(n)間的關(guān)系為：

而

令n-m=k，代入此式可得

(1-4)(1-5)(1-6)

(后向差分)圖1-10單位階躍序列

u(n)

(累加)23δ(n)和u(n)間的關(guān)系為：而令n-m=k，代入此式可3．矩形序列RN(n)

(1-7)RN(n)和δ(n)、u(n)的關(guān)系為:

圖1-11矩形序列

(1-8)(1-9)243．矩形序列RN(n)(1-7)RN(n)和δ(n)、u(4．實指數(shù)序列

式中：a為實數(shù)。當(dāng)|a|<1時，序列是收斂的;而當(dāng)|a|>1時，序列是發(fā)散的。a為負數(shù)時，序列是擺動的。圖1-12指數(shù)序列(1-10)254．實指數(shù)序列式中：a為實數(shù)。當(dāng)|a|<1時，序列是收斂

序列值為復(fù)數(shù)的序列稱為復(fù)序列。復(fù)序列的每個值具有實部和虛部兩部分，復(fù)指數(shù)序列是最常用的一種復(fù)序列：

(1-11a)或

(1-11b)式中，ω0是數(shù)字域頻率。

5．復(fù)指數(shù)序列26序列值為復(fù)數(shù)的序列稱為復(fù)序列。復(fù)序列的每個對第一種表示，序列的實部、虛部分別為

如果用極坐標(biāo)表示，則

因此有：

注意：只有當(dāng)ω0為常數(shù)時才是一個序列，

它是否具有周期性，還有待討論。27對第一種表示，序列的實部、虛部分別為如果用極坐標(biāo)表示，則6．正弦型序列圖1-13當(dāng)時的正弦序列(周期性序列，周期N=10)

x(n)=Asin(nω0+φ) (1-12)式中:A為幅度;φ為起始相位;ω0為數(shù)字域的頻率，它反映了序列變化的速率。286．正弦型序列圖1-13當(dāng)三、序列的周期性(1-13)則稱序列x(n)是周期性序列，周期為N。由于則

如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，滿足1.周期性序列的定義2.正弦序列的周期性（※）

29三、序列的周期性(1-13)則稱序列x(n)是周期性序列，若Nω0=2πk,當(dāng)k為整數(shù)時，則

這時的正弦序列x(n)就是周期性序列，其周期滿足N=2πk/ω0（N，k必須為整數(shù)）。可分幾種情況討論如下：

式中，P,Q為互素的整數(shù)，則,顯然當(dāng)k=Q時N=P為最小正整數(shù)，即x(n)是周期為P的周期性序列。（1）當(dāng)2π/ω0為正整數(shù)時，正弦序列x(n)是周期為2π/ω0的周期性序列。（2）當(dāng)2π/ω0不是整數(shù)，而是一個有理數(shù)時（有理數(shù)可表示成分?jǐn)?shù)），則30若Nω0=2πk,當(dāng)k為整數(shù)時，則這時的正弦序列x(n)（3）當(dāng)2π/ω0是無理數(shù)時，則任何k皆不能使N取正整數(shù)。這時，正弦序列不是周期性的。

3.對連續(xù)正弦信號采樣得到的正弦序列為周期性序列的條件設(shè)連續(xù)正弦信號x(t)為

其頻率為f0，則角頻率Ω0=2πf0，信號的周期為

31（3）當(dāng)2π/ω0是無理數(shù)時，則任何k皆不能使N取正整數(shù)。

以采樣時間間隔T對連續(xù)周期信號x(t)進行采樣，得到采樣信號x(n)，則有如果令ω0為數(shù)字域頻率，滿足

式中fs是采樣頻率。用ω0代替Ω0T，可得32以采樣時間間隔T對連續(xù)周期信號x(t)進行采

分析2π/ω0與T及T0的關(guān)系:1)若要2π/ω0為整數(shù)，就表示連續(xù)正弦信號的周期T0應(yīng)為采樣時間間隔T的整數(shù)倍，此時抽樣得到的正弦序列是周期序列;2)若要2π/ω0為有理數(shù)，就表示T0與T是互為互素的整數(shù)，且有(1-14)(1-15)式中，k和N皆為正整數(shù)，從而有

即N個采樣間隔應(yīng)等于k個連續(xù)正弦信號的周期，此時抽樣得到的正弦序列是周期序列。

33分析2π/ω0與T及T0的關(guān)系:1)若要2π圖中，則有

上式說明,14個采樣間隔等于3個連續(xù)正弦信號的周期，此時為有理數(shù)，所以該正弦序列是周期序列。34圖中，則有上式

任意序列可以表示成單位抽樣序列的移位加權(quán)和，即(1-16)由于四、用單位抽樣序列來表示任意序列和加權(quán)移位

則因此式（1-16）成立，這種表達式提供了一種信號分析工具。

35任意序列可以表示成單位抽樣序列的移位加權(quán)和，即(1-1式(1-16)恰好滿足卷積和的定義式，即上式說明，任意序列與作卷積運算仍得到原序列，這就是說任意序列都可看成是該序列與的卷積和。例1-8（教材P19）

36式(1-16)恰好滿足卷積和的定義式，即上式說明，任意序列與五、序列的能量(1-18)序列x(n)的能量E定義為序列各抽樣值的平方和，即

37五、序列的能量(1-18)序列x(n)的能1.2線性移不變系統(tǒng)

定義：一個離散時間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運算。若以T［·］來表示這種運算，則一個離散時間系統(tǒng)可表示為：離散時間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性移不變系統(tǒng)”。（線性時不變系統(tǒng)或線性定常系統(tǒng)）圖1-16離散時間系統(tǒng)381.2線性移不變系統(tǒng)定義：一個離散時間系統(tǒng)是將輸入序列一、線性系統(tǒng)（※）

那么當(dāng)且僅當(dāng)1.定義：滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。

如果系統(tǒng)在x１(n)和x2(n)單獨輸入時的輸出分別為y1(n)和y2(n)，即:同時成立時，該系統(tǒng)是線性的。式中ai為任意常數(shù)。這兩個性質(zhì)合在一起就成為疊加原理，寫成

可加性齊次性或比例性39一、線性系統(tǒng)（※）那么當(dāng)且僅當(dāng)1.定義：滿足疊加原理的2.在證明一個系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須證明此系統(tǒng)同時滿足可加性和比例性，而且信號可以是任意序列，包括復(fù)序列，比例常數(shù)可以是任意數(shù)，包括復(fù)數(shù)。

例1-10以下系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)：y(n)=2x(n)+3解：設(shè)很明顯，在一般情況下所以此系統(tǒng)不滿足疊加原理，故不是線性系統(tǒng)。

402.在證明一個系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須證明此系統(tǒng)同時滿足可加二、移不變系統(tǒng)（時不變系統(tǒng)（※）

）定義：系統(tǒng)的運算關(guān)系T［·］在整個運算過程中不隨時間（也即不隨序列的先后）而變化，這種系統(tǒng)稱為移不變系統(tǒng)（或稱時不變系統(tǒng)）。這個性質(zhì)可用以下關(guān)系表達：若輸入x(n)的輸出為y(n),則將輸入序列移動任意位后,其輸出序列除了跟著移動相同位外，幅值應(yīng)該保持不變，即若T［x(n)］=y(n)則T［x(n-m)］=y(n-m)（m為任意整數(shù)）(1-20)滿足以上關(guān)系的系統(tǒng)就稱為移不變系統(tǒng)。41二、移不變系統(tǒng)（時不變系統(tǒng)（※））定義：系統(tǒng)的運算關(guān)系T［例1-12證明

不是時不變系統(tǒng)。

證：

由于二者不相等，故不是移不變系統(tǒng)。

同時具有線性和移不變性的離散時間系統(tǒng)稱為線性移不變（LSI）離散時間系統(tǒng)，簡稱LSI系統(tǒng)。除非特殊說明，本書都是研究LSI系統(tǒng)。42例1-12證明不是時不變系統(tǒng)。證：由于二者不相等三、單位抽樣響應(yīng)（單位沖激響應(yīng)）與卷積和1.定義：單位抽樣響應(yīng)是指輸入為單位沖激序列時系統(tǒng)的輸出。一般用h(n)表示，即h(n)=T［δ(n)］2.線性移不變系統(tǒng)的卷積和表達式（※）設(shè)系統(tǒng)輸入序列為x(n)，輸出序列為y(n)。由于任一序列x(n)可以寫成δ(n)的移位加權(quán)和，即（1-21）注：線性移不變系統(tǒng)可用它的單位沖激響應(yīng)h(n)來表征。(1-21)式完全表征了系統(tǒng)的時域特征。利用h(n)就可得到線性移不變系統(tǒng)對任意輸入的輸出。43三、單位抽樣響應(yīng)（單位沖激響應(yīng)）與卷積和1.定義：單位抽樣系統(tǒng)的輸出為

由于系統(tǒng)是線性的，利用疊加原理知

又由于系統(tǒng)是移不變的，故對移位的單位沖激序列的響應(yīng)就是單位沖激響應(yīng)的移位，即因此，得到線性移不變系統(tǒng)的卷積和表達式：（1-22）

圖1-19線性移不變系統(tǒng)

圖1-16離散時間系統(tǒng)反映了線性移不變離散時間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系

44系統(tǒng)的輸出為由于系統(tǒng)是線性的，利用疊加原理知又由于系統(tǒng)四、線性移不變系統(tǒng)的性質(zhì)

1．交換律由于卷積和與兩卷積序列的次序無關(guān),故即卷積和服從交換律,這說明：如果把單位沖激響應(yīng)h(n)改作為輸入，而把輸入x(n)改作為系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)，則輸出y(n)不變。(1-24)圖1-20卷積和服從交換律45四、線性移不變系統(tǒng)的性質(zhì)1．交換律即卷積和服從交換律,這2．結(jié)合律利用卷積和的定義可證明卷積運算服從結(jié)合律，即

上式說明：兩個線性移不變子系統(tǒng)級聯(lián)后仍構(gòu)成一個線性移不變系統(tǒng),其單位沖激響應(yīng)為兩子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積,且線性移不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)與它們的級聯(lián)次序無關(guān)。(1-25)462．結(jié)合律上式說明：兩個線性移不變子系統(tǒng)級聯(lián)后仍構(gòu)成一個圖1-21具有相同單位沖激響應(yīng)的三個線性移不變系統(tǒng)47圖1-21具有相同單位沖激響應(yīng)的三個線性移不變系統(tǒng)3．分配律

由卷積和的定義可證明卷積和服從加法分配律,即

(1-26)上式說明：兩個線性移不變系統(tǒng)的并聯(lián)等效系統(tǒng)（等式左邊）的單位沖激響應(yīng)等于兩系統(tǒng)各自單位沖激響應(yīng)之和。

圖1-22線性移不變系統(tǒng)的并聯(lián)組合及其等效系統(tǒng)

483．分配律(1-26)上式說明：兩個線性移不變系統(tǒng)的并聯(lián)等1.定義：因果系統(tǒng)是指某時刻系統(tǒng)的輸出只取決于此時刻和此時刻以前時刻的輸入的系統(tǒng)，即n時刻的系統(tǒng)輸出y(n)只取決于x(n),x(n-1),x(n-2),…。如果系統(tǒng)的輸出y(n)還取決于未來的輸入x(n+1),x(n+2),…這樣的系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，也即不現(xiàn)實的系統(tǒng)。五、因果系統(tǒng)（※）

例：根據(jù)上述定義判斷下列5個系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)。1)y(n)=nx(n)2)y(n)=x(n+2)+ax(n)因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)491.定義：因果系統(tǒng)是指某時刻系統(tǒng)的輸出只取決于此時刻和此時2．線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是h(n)=0,n<0(1-27)證明：可利用卷積和公式進行證明，參見教材P27，28。3)y(n)=x(n3)4)y(n)=x(-n)5)y(n)=x(n)sin(n+2)非因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)

注意：1)必須從全部時間上看輸入輸出關(guān)系的因果性

；

2)考查因果系統(tǒng)時必須把輸入信號的影響與系統(tǒng)定義中用到的其他函數(shù)的影響區(qū)別開來。

注：n<0，x(n)=0的序列稱為因果序列，一個因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是因果序列。

502．線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是3)y(n)=補充：LSI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)如下,判斷其是否為因果系統(tǒng)解：即n<0時，h(n)=0,所以系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。顯然n<0時，h(n)≠0,所以系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。

51補充：LSI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)如下,判斷其是否為因果系統(tǒng)解：即

許多重要的網(wǎng)絡(luò)，如頻率特性為理想矩形的理想低通濾波器以及理想微分器等都是非因果的不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。但是數(shù)字信號處理往往是非實時的，即使是實時處理，也允許有很大延時。這時對于某一個輸出y(n)來說，已有大量的“未來”輸入x(n+1),x(n+2),…，記錄在存儲器中可以被調(diào)用，因而可以很接近于實現(xiàn)這些非因果系統(tǒng)。也就是說，可以用具有很大延時的因果系統(tǒng)去逼近非因果系統(tǒng)。這個概念在以后講有限長單位脈沖響應(yīng)濾波器設(shè)計時要常用到，這也是數(shù)字系統(tǒng)優(yōu)于模擬系統(tǒng)的特點之一。因而數(shù)字系統(tǒng)可以比模擬系統(tǒng)更能獲得接近理想的特性。52許多重要的網(wǎng)絡(luò)，如頻率特性為理想矩形的理想低1.定義：穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出（BIBO）的系統(tǒng)。也就是說穩(wěn)定系統(tǒng)滿足：若|x(n)|≤M<∞，則|y(n)|≤P<∞。六、穩(wěn)定系統(tǒng)（※）

2.線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是單位沖激響應(yīng)絕對可和，即

(1-28)證明：充分性：由穩(wěn)定系統(tǒng)的定義證明；必要性：反證法證明。

531.定義：穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出（BIBO）的系如果輸入信號x(n)有界,即對于所有n皆有|x(n)|≤M,則即輸出信號y(n)有界，故充分性得證。證明：充分性：即已知成立，要證線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若必要性：利用反證法。已知系統(tǒng)穩(wěn)定，假設(shè)

54如果輸入信號x(n)有界,即對于所有n皆有|x(n)|≤M,可以找到一個有界的輸入

式中h*(-n)是h(n)的復(fù)共軛。也即y(0)是無界的，這不符合穩(wěn)定的條件，因而假設(shè)不成立。所以是穩(wěn)定的必要條件。輸出y(n)在n=0點上的值為

55可以找到一個有界的輸入式中h*(-n)是h(n)的復(fù)共軛。注意：要證明一個系統(tǒng)不穩(wěn)定，只需找一個特別的有界輸入，如果此時能得到一個無界的輸出，那么就一定能判定一個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是要證明一個系統(tǒng)是穩(wěn)定的，就不能只用某一個特定的輸入作用來證明，而要利用在所有有界輸入下都產(chǎn)生有界輸出的辦法來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.一個結(jié)論：因果穩(wěn)定的線性移不變系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)既是因果的又是絕對可和的，即：56注意：要證明一個系統(tǒng)不穩(wěn)定，只需找一個特別的有界輸入，如果此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的補充：判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性1）當(dāng)時，有系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解：2）當(dāng)時，輸出y(n)在時有57系統(tǒng)是不穩(wěn)定的補充：判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)例1-16設(shè)某線性移不變系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為討論系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。解：由題意知：1)討論因果性：n<0時,h(n)=0,故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。2）討論穩(wěn)定性：所以時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。58例1-16設(shè)某線性移不變系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為解：由題意

離散時間線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系除了用卷積和表達式表示外,還常用以下形式的常系數(shù)線性差分方程表示,即(1-30)說明：1）常系數(shù)：是指決定系統(tǒng)特征的所有ak，bm都是常數(shù)。若系數(shù)中含有n，則稱為“變系數(shù)”線性差分方程。2）階數(shù)：差分方程的階數(shù)等于輸出序列（指y(n)）變量序號的最高值與最低值之差。例如式(1-30)即為N階差分方程.1.3常系數(shù)線性差分方程

59離散時間線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系除了用卷積3）線性：是指各y(n-k)以及各x(n-m)項都只有一次冪且不存在它們的相乘項;否則就是非線性的。4）離散系統(tǒng)的差分方程表示法有兩個主要的用途：一是便于求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)；二是從差分方程表達式比較容易直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。一．常系數(shù)差分方程的求解方法(即系統(tǒng)輸出響應(yīng)的求法)1.離散時域求解法2.變換域求解法：Z變換法經(jīng)典法迭代法卷積和計算法

603）線性：是指各y(n-k)以及各x(n-m)項都只有一次冪

差分方程在給定的輸入和給定的初始條件下，可用遞推迭代的辦法求系統(tǒng)的響應(yīng)。具體有兩種實現(xiàn)方式：1）當(dāng)輸入x(n)的形式簡單時，如x(n)

=δ(n),u(n),RN(n)等，可直接利用差分方程迭代求解；2）當(dāng)輸入x(n)的形式比較復(fù)雜時，可先用迭代法求出輸入為δ(n)時系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)，再利用卷積和求得任意輸入下的系統(tǒng)輸出。61差分方程在給定的輸入和給定的初始條件下，可用例1-18（教材P31）常系數(shù)線性差分方程分別在如下初始條件下：（1）y(-1)=0；（2）y(0)=0；求其單位沖激響應(yīng)。

(1-31)解：1、已知x(n)=δ(n)

，且y(-1)=h(-1)=0。式(1-31)等價于：h(n)=ah(n-1)+δ(n)1）向n<0處遞推：將式(1-31)變換為利用上式，從h(-1)開始依次迭代計算：62例1-18（教材P31）常系數(shù)線性差分方程分別在如下初始條件從h(0)開始依次迭代計算：利用上式，從h(-1)開始依次迭代計算：即得到：2）向n≥0處遞推：利用h(n)=ah(n-1)+δ(n)63從h(0)開始依次迭代計算：利用上式，從h(-1)開始依次迭故系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為

由例1-16知系統(tǒng)是一個因果系統(tǒng)，如果，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。而且可證明該系統(tǒng)是一個線性移不變系統(tǒng).2）已知x(n)=δ(n)，且初始條件為y(0)=0時，重復(fù)上述計算過程得：由例1-17知系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，時，系統(tǒng)穩(wěn)定。而且可證明該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，但不是移不變系統(tǒng).64故系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為由例1-16知系統(tǒng)是一個因果系統(tǒng)，如說明：1)一個常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，初始條件不同，則可能得到非因果系統(tǒng);注意：在以后的討論中,均假設(shè)常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng),且多數(shù)代表可實現(xiàn)的因果系統(tǒng)。2）一個常系數(shù)線性差分方程,只有當(dāng)初始條件選的合適時才相當(dāng)于一個線性移不變系統(tǒng)。(參見P32)65說明：注意：在以后的討論中,均假設(shè)常系數(shù)線性差分方程就代表線乘法器，表示延時一位的延時單元。二．從差分方程表達式直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)將輸入變換成輸出的運算結(jié)構(gòu)，而非實際結(jié)構(gòu)例如：已知一階差分方程其運算結(jié)構(gòu)如圖所示。圖1-26一階差分方程的運算結(jié)構(gòu)圖中代表加法器，代表66乘法器，表示延時一位的延時單元。二1.4連續(xù)時間信號的采樣

在數(shù)字信號處理系統(tǒng)中，往往要把連續(xù)時間信號變?yōu)殡x散時間序列，并且要求在某些合理條件限制下，該連續(xù)時間信號要能用其離散時間序列來完全給予表示。而這個從連續(xù)時間信號到離散時間序列的過程是通過“采樣”來完成的。信號采樣后，信號的頻譜將發(fā)生怎樣的變換？信號內(nèi)容會不會丟失？由離散信號恢復(fù)成連續(xù)信號應(yīng)該具備哪些條件？如何恢復(fù)？研究內(nèi)容671.4連續(xù)時間信號的采樣在數(shù)字信號處1．實際采樣（物理采樣）過程一．理想采樣的采樣定理采樣：就是把連續(xù)信號變成離散信號的過程，它是模擬信號數(shù)字化處理的第一個環(huán)節(jié)。

采樣器：可以看成是一個電子開關(guān)。采樣開關(guān)每隔T時間間隔短暫地閉合一次，將連續(xù)信號接通，實現(xiàn)對連續(xù)信號的一次采樣。采樣周期：采樣開關(guān)兩次閉合的時間間隔T。681．實際采樣（物理采樣）過程一．理想采樣的采樣定理采樣：就是圖1-27實際采樣過程

設(shè)開關(guān)每隔T秒閉合一次,若開關(guān)每次閉合的時間為τ秒,那么采樣器的輸出將是一串周期為T,寬度為τ的脈沖。而脈沖的幅度就是連續(xù)信號在這段τ時間內(nèi)的幅度。這個采樣過程可以看作是一個脈沖調(diào)幅過程。被調(diào)制的脈沖載波是一串周期為T、寬度為τ的矩形脈沖信號，記作p(t)，而調(diào)制信號就是輸入的連續(xù)信號xa(t),因而有采樣輸出信號

為：69圖1-27實際采樣過程設(shè)開關(guān)每隔T秒閉2.理想采樣1）理想采樣：采樣開關(guān)閉合時間τ→0時的采樣。2）理想采樣特點：采樣脈沖序列p(t)變成沖激函數(shù)序列δT(t),而這些沖激函數(shù)準(zhǔn)確地出現(xiàn)在采樣瞬間上,且面積為1,則采樣得到的的幅度準(zhǔn)確地等于輸入信號xa(t)在采樣瞬間的幅度.即理想采樣可看作是對沖激脈沖載波的調(diào)幅過程,

此時理想采樣輸出信號為:圖1-28理想采樣過程

702.理想采樣1）理想采樣：采樣開關(guān)閉合時間τ→0時的采樣。(1-32)把式（1-32）代入式（1-33），得

由于δ(t-mT)只在t=mT時不為零，故

(1-33)(1-34)3）理想采樣的數(shù)學(xué)表示沖激函數(shù)序列δT(t)為理想采樣輸出為理想采樣時域數(shù)學(xué)表示

71(1-32)把式（1-32）代入式（1-33），得由于δ(3.理想采樣信號的頻譜(1-36)1）頻譜延拓：對理想采樣信號進行傅立葉變換，可以證明理想采樣信號的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓。分析如下：連續(xù)信號的傅里葉變換表示為：以表示理想采樣信號的傅立葉變換，則(1-35)723.理想采樣信號的頻譜(1-36)1）頻譜延拓：對理想采樣

由于是以采樣頻率重復(fù)的沖激脈沖，因此是一個周期函數(shù)，可表示為傅里葉級數(shù)，即此級數(shù)的基頻為采樣頻率，即：系數(shù)Ak可以通過以下運算求得：因而：(1-37)73由于是以采樣頻率重復(fù)的沖激脈沖，因此將式（1-37）代入式（1-36）可得

(1-38)結(jié)論：連續(xù)時間信號經(jīng)過理想采樣后,其頻譜沿著頻率軸以采樣頻率為間隔而周期性重復(fù),即理想采樣信號的頻譜產(chǎn)生了周期性延拓,其周期為,而頻譜的幅度則受1/T加權(quán),且每一個延拓的譜分量都和原頻譜分量相同.74將式（1-37）代入式（1-36）可得(1-38)結(jié)論：連Ω

h-Ωh0Ωh-Ωh0Ωs2Ωs3Ωs-3Ωs-2Ωs-ΩsΩh-Ωh0Ωs-Ωs1圖2-4采樣信號頻譜（）圖2-3連續(xù)信號頻譜Ωh-Ωh0Ωs2Ωs3Ωs-3Ωs-2Ωs-Ωs圖2-5采樣信號頻譜（）圖2-6采樣信號頻譜（）:連續(xù)頻譜中的最高頻譜分量:折疊頻率75Ωh-Ωh0Ωh-Ωh0Ωs2Ωs3Ωs-3Ωs-2Ωs-圖1-29時域采樣后，頻譜的周期延拓（a）原始限帶信號頻譜;（b）已采樣信號頻譜（Ωs>2Ωh）

（c）已采樣信號頻譜（Ωs<2Ωh）設(shè)xa(t)是限帶(頻帶有限)信號,且最高頻譜分量Ωh，則1）Ωs≥2Ωh，則各周期延拓量的譜彼此不重疊，采用一個截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器就可得到不失真的原信號頻譜。2）Ωs<2Ωh,則各周期延拓分量產(chǎn)生頻譜的交疊，稱為頻譜混疊現(xiàn)象。不可能無失真的恢復(fù)出原信號的頻譜。

Ωh-Ωh76圖1-29時域采樣后，頻譜的周期延拓設(shè)xa(t)是限帶采樣頻率之半（Ωs/2）稱為折疊頻率，即當(dāng)信號最高頻譜分量超過折疊頻率時，就會造成頻譜的混疊。

2）采樣定理（※）奈奎斯特采樣定理：若xa(t)是限帶信號，要想采樣后x(n)=xa(nT)能夠不失真地還原出原信號xa(t)

，則采樣頻率必須大于或等于兩倍信號譜的最高頻率，即77采樣頻率之半（Ωs/2）稱為折疊頻率，即當(dāng)信號最高頻譜分量超二.信號的重建（采樣的恢復(fù)）如果理想采樣滿足采樣定理，即模擬信號頻譜的最高頻率小于折疊頻率，則采樣后不會產(chǎn)生頻譜混疊，可以不失真地重建原信號xa(t)。

可將通過一個理想低通濾波器，該理想低通濾波器應(yīng)該只讓基帶頻譜通過,故其帶寬應(yīng)該等于折疊頻率，即理想低通濾波器頻譜：1．采樣的恢復(fù)78二.信號的重建（采樣的恢復(fù)）如果理想采樣滿圖1-31采樣的恢復(fù)

圖1-30理想低通濾波特性

理想低通濾波器頻譜：

采樣信號通過該濾波器后，就可濾出原模擬信號的頻譜，即注：理想低通濾波器雖不可實現(xiàn)，但是在一定精度范圍內(nèi)，可用一個可實現(xiàn)的濾波器來逼近它。a79圖1-31采樣的恢復(fù)圖1-30理想低通濾波特性理想低2．由采樣信號序列重構(gòu)帶限信號（采樣內(nèi)插公式）由與h(t)的卷積積分得理想低通濾波器的輸出為

如何由采樣信號表示連續(xù)信號，采樣信號通過理想低通濾波器后的響應(yīng)是什么？研究內(nèi)容理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為：802．由采樣信號序列重構(gòu)帶限信號（采樣內(nèi)插公式）由(1-45)信號重建的采樣內(nèi)插公式

內(nèi)插函數(shù)總結(jié)：由采樣內(nèi)插公式可知，連續(xù)函數(shù)xa(t)可以由它的采樣值xa(mT)來表示，它等于xa(mT)乘上對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的總和。81(1-45)信號重建的采樣內(nèi)插公式內(nèi)插函數(shù)總結(jié)：由采樣內(nèi)內(nèi)插函數(shù)特點：在采樣點mT上，函數(shù)值為1;其余采樣點上，函數(shù)值都為零。由圖1-33可見：在每一個采樣點上,由于只有該點所對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)不為零,所以保證了各采樣點上信號值不變,而采樣之間的信號則由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸迭加而成.

圖1-32內(nèi)插函數(shù)

圖1-33抽樣的內(nèi)插恢復(fù)

82內(nèi)插函數(shù)特點：在采樣點mT上，函數(shù)值為1;其余采樣點上，函注意：采樣內(nèi)插公式只適用于限帶信號。

結(jié)論：內(nèi)插公式表明只要滿足采樣頻率高于兩倍信號最高頻率，整個連續(xù)信號就可以用它的采樣值完全代表，而不損失任何信息。83注意：采樣內(nèi)插公式只適用于限帶信號。結(jié)論：內(nèi)插公式表明只要三．實際采樣

對實際抽樣來說，奈奎斯特采樣定理是否仍然有效？

研究內(nèi)容圖1-34實際抽樣時，頻譜包絡(luò)的變化

實際采樣與理想采樣對比:相同點:實際采樣信號的頻譜仍是連續(xù)信號頻譜的周期延拓，因此，奈奎斯特采樣定理仍有效.不同點:實際采樣的頻譜分量的幅度有變化,其包絡(luò)是隨頻率增加而逐漸下降的.84三．實際采樣對實際抽樣來說，奈奎斯特采樣定理是否仍然有效預(yù)備知識：單位沖激函數(shù)δ(t)δ(t)的抽取特性：85預(yù)備知識：單位沖激函數(shù)δ(t)δ(t)的抽取特性：85第1章離散時間信號與系統(tǒng)1.1離散時間信號——序列1.2線性移不變系統(tǒng)1.3常系數(shù)線性差分方程1.4

連續(xù)時間信號的采樣86第1章離散時間信號與系統(tǒng)1.1離散時間信號——序列11.1離散時間信號——序列

離散時間信號只在離散時間上給出函數(shù)值，是時間上不連續(xù)的序列。它既可以是實數(shù)也可以是復(fù)數(shù)。一個離散時間信號是一個整數(shù)值變量n的函數(shù)，表示為x(n)或{x(n)}。n就表示序列值在序列中前后位置的序號

，一個實值離散時間信號——序列可以用圖形來描述。橫軸雖為連續(xù)直線，但只在n為整數(shù)時才有意義?？v軸線段的長短代表各序列值的大小。圖1-1離散時間信號的圖形表示

871.1離散時間信號——序列離散時間信號

離散時間信號常常可以通過對模擬信號進行等間隔采樣而得到。例如，對于一個連續(xù)時間信號xa(t)，以每秒fs=1/T個采樣的速率采樣而產(chǎn)生采樣信號，它與xa(t)的關(guān)系如下：

然而，并不是所有的離散時間信號都是這樣獲得的。一些信號可以認為是自然產(chǎn)生的離散時間序列，如每日股票市場價格、人口統(tǒng)計數(shù)和倉庫存量等。

88離散時間信號常常可以通過對模擬信號進行等間一、序列的運算

1.序列的移位

已知序列x(n)，當(dāng)m為正時，則x(n-m)是指序列x(n)逐項依次滯后（右移）m位而給出的一個新序列;而x(n+m)是指依次超前（左移）m位。而當(dāng)m為負時，則相反.圖1-2圖1-1序列x(n)的滯后序列

圖1-1序列x(n)89一、序列的運算1.序列的移位例1-1（教材P9）則即序列x(n)超前序列x(n+1)90例1-1（教材P9）則即序列x(n)超前序列x(n+1)52．序列的翻褶（折迭）

如果序列為x(n),則x(-n)是以n=0的縱軸為對稱軸將序列x(n)加以翻褶。x(n)及x(-n)如圖1-3(a)、(b)所示。圖1-3序列的翻褶(a)x(n)序列；(b)x(-n)序列

912．序列的翻褶（折迭）圖1-3序列的翻褶6討論：翻褶序列的移位

對于原序列x(n)而言，時間的增長方向向右，即向右移滯后，向左移超前。而對于原序列的翻褶序列x(-n)而言，時間的增長方向向左，即向左移滯后，向右移超前。也就是說對翻褶序列x(-n)移位m，即得x(m-n)

，當(dāng)m為正整數(shù)時，右移m位，當(dāng)m為負整數(shù)時，左移m位，恰好與原序列x(n)的移位規(guī)律相反。92討論：翻褶序列的移位對于原序列x(n)而言，時間的9383．序列的和

兩序列的和是指同序號n的序列值逐項對應(yīng)相加而構(gòu)成的一個新序列。和序列z(n)可表示為圖1-4兩序列相加943．序列的和兩序列的和是指同序號n的序列值4．序列的乘積

兩序列相乘是指同序號n的序列值逐項對應(yīng)相乘。乘積序列z(n)可表示為補充：序列的標(biāo)乘

序列x(n)的標(biāo)乘是指x(n)的每個序列值乘以常數(shù)c。標(biāo)乘序列z(n)可表示為：954．序列的乘積兩序列相乘是指同序號n的序列值

5.累加它表示y(n)在某一個n0上的值y(n0)等于在這一個n0上的x(n0)值與n0以前所有n上的x(n)之和。設(shè)某序列為x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為

圖1-5序列x(n)及其累加

序列y(n)965.累加它表示y(n)在某一個n0上的值y(n0)等于在6．差分運算前向差分：Δx(n)=x(n+1)-x(n)后向差分：▽x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出：▽x(n)=Δx(n-1)圖1-6x(n)、前項差分Δx(n)及后項差分▽x(n)976．差分運算圖1-6x(n)、前項差分Δx(n)及后7．序列的時間尺度變換（抽取與零值插入）(a)序列x(n)(b)抽取序列xd(n),(D=2)(1)抽取已知序列x(n)，其時間尺度變換后的序列記為x(Dn)，D為正整數(shù)。x(Dn)表示從x(n)的每連續(xù)D個抽樣值中取出一個組成的新序列，這種運算稱為抽取，x(Dn)稱為x(n)的D取1的抽取序列。（注意：它不是簡單的時間軸的壓縮，而是相當(dāng)于將抽樣時間間隔由T變成DT）圖1-7抽取運算987．序列的時間尺度變換（抽取與零值插入）(a)序列x(n序列x(n)(c)插值序列xe(n),(I=2)(2)零值插入已知序列x(n)，序列的零值插入就是把x(n)的兩個相鄰抽樣值之間插入(I-1)個零值?？杀硎緸椋簣D1-7零值插入運算I為正整數(shù)，其他n99序列x(n)8．卷積和（離散卷積）（※）

(1)定義：卷積和是求離散線性移不變系統(tǒng)輸出響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）的主要方法。其中*表示卷積和。由上式可以證明，卷積與兩序列的先后次序無關(guān)，即設(shè)已知序列x(n)和h(n)，它們的卷積和定義為：1008．卷積和（離散卷積）（※）其中*表示卷積和。由上式可以(1)翻褶：先在啞變量坐標(biāo)m上作出x(m)和h(m)，將h(m)以m=0的垂直軸為對稱軸翻褶成h(-m).(2)移位：將h(-m)移位n，即得h(n-m).當(dāng)n為正整數(shù)時，右移n位，當(dāng)n為負整數(shù)時，左移n位.(3)相乘：再將h(n-m)和x(m)的相同m值的對應(yīng)點值相乘.(4)相加：把以上所有對應(yīng)點的乘積疊加起來,即得y(n)值.依上法,取n=…,-2,-1,0,1,2,…各值，即可得全部y(n)值.

(2)卷積和的運算：卷積和的運算在圖形表示上可分為以下四步：101(1)翻褶：先在啞變量坐標(biāo)m上作出x(m)和h(m)，將h(例1-7（教材P14（※）

）：設(shè)計算離散卷積102例1-7（教材P14（※））：設(shè)計算離散卷積17圖1-8x(n)和h(n)的卷積和圖解·103圖1-8x(n)和h(n)的卷積和圖解·18

利用圖1-8，求任意一個y(n)時，只需將兩序列對應(yīng)位置上的點相乘再求和即可。1）n>1時，y(n)=02）1≤n≤5時，3）n≥6時，y(n)=0104利用圖1-8，求任意一個y(n)時，只需將兩序二、幾種常用序列（※）

這個序列只在n=0處有一個單位值1，其余點上皆為0。這是最常用、最重要的一種序列，它在離散時間系統(tǒng)中的作用，很類似于連續(xù)時間系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)δ(t)。單位沖激序列δ(n)右移m位有：(1-2)1.單位抽樣序列(單位沖激序列,單位脈沖序列)δ(n)

105二、幾種常用序列（※）這個序列只在n=0圖1-9單位抽樣序列

106圖1-9單位抽樣序列212．單位階躍序列u(n)

它很類似于連續(xù)時間信號與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù)u(t)。

(1-3)圖1-10單位階躍序列

u(n)1072．單位階躍序列u(n)它很類似于連續(xù)時間信號與系統(tǒng)中的δ(n)和u(n)間的關(guān)系為：

而

令n-m=k，代入此式可得

(1-4)(1-5)(1-6)

(后向差分)圖1-10單位階躍序列

u(n)

(累加)108δ(n)和u(n)間的關(guān)系為：而令n-m=k，代入此式可3．矩形序列RN(n)

(1-7)RN(n)和δ(n)、u(n)的關(guān)系為:

圖1-11矩形序列

(1-8)(1-9)1093．矩形序列RN(n)(1-7)RN(n)和δ(n)、u(4．實指數(shù)序列

式中：a為實數(shù)。當(dāng)|a|<1時，序列是收斂的;而當(dāng)|a|>1時，序列是發(fā)散的。a為負數(shù)時，序列是擺動的。圖1-12指數(shù)序列(1-10)1104．實指數(shù)序列式中：a為實數(shù)。當(dāng)|a|<1時，序列是收斂

序列值為復(fù)數(shù)的序列稱為復(fù)序列。復(fù)序列的每個值具有實部和虛部兩部分，復(fù)指數(shù)序列是最常用的一種復(fù)序列：

(1-11a)或

(1-11b)式中，ω0是數(shù)字域頻率。

5．復(fù)指數(shù)序列111序列值為復(fù)數(shù)的序列稱為復(fù)序列。復(fù)序列的每個對第一種表示，序列的實部、虛部分別為

如果用極坐標(biāo)表示，則

因此有：

注意：只有當(dāng)ω0為常數(shù)時才是一個序列，

它是否具有周期性，還有待討論。112對第一種表示，序列的實部、虛部分別為如果用極坐標(biāo)表示，則6．正弦型序列圖1-13當(dāng)時的正弦序列(周期性序列，周期N=10)

x(n)=Asin(nω0+φ) (1-12)式中:A為幅度;φ為起始相位;ω0為數(shù)字域的頻率，它反映了序列變化的速率。1136．正弦型序列圖1-13當(dāng)三、序列的周期性(1-13)則稱序列x(n)是周期性序列，周期為N。由于則

如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，滿足1.周期性序列的定義2.正弦序列的周期性（※）

114三、序列的周期性(1-13)則稱序列x(n)是周期性序列，若Nω0=2πk,當(dāng)k為整數(shù)時，則

這時的正弦序列x(n)就是周期性序列，其周期滿足N=2πk/ω0（N，k必須為整數(shù)）?？煞謳追N情況討論如下：

式中，P,Q為互素的整數(shù)，則,顯然當(dāng)k=Q時N=P為最小正整數(shù)，即x(n)是周期為P的周期性序列。（1）當(dāng)2π/ω0為正整數(shù)時，正弦序列x(n)是周期為2π/ω0的周期性序列。（2）當(dāng)2π/ω0不是整數(shù)，而是一個有理數(shù)時（有理數(shù)可表示成分?jǐn)?shù)），則115若Nω0=2πk,當(dāng)k為整數(shù)時，則這時的正弦序列x(n)（3）當(dāng)2π/ω0是無理數(shù)時，則任何k皆不能使N取正整數(shù)。這時，正弦序列不是周期性的。

3.對連續(xù)正弦信號采樣得到的正弦序列為周期性序列的條件設(shè)連續(xù)正弦信號x(t)為

其頻率為f0，則角頻率Ω0=2πf0，信號的周期為

116（3）當(dāng)2π/ω0是無理數(shù)時，則任何k皆不能使N取正整數(shù)。

以采樣時間間隔T對連續(xù)周期信號x(t)進行采樣，得到采樣信號x(n)，則有如果令ω0為數(shù)字域頻率，滿足

式中fs是采樣頻率。用ω0代替Ω0T，可得117以采樣時間間隔T對連續(xù)周期信號x(t)進行采

分析2π/ω0與T及T0的關(guān)系:1)若要2π/ω0為整數(shù)，就表示連續(xù)正弦信號的周期T0應(yīng)為采樣時間間隔T的整數(shù)倍，此時抽樣得到的正弦序列是周期序列;2)若要2π/ω0為有理數(shù)，就表示T0與T是互為互素的整數(shù)，且有(1-14)(1-15)式中，k和N皆為正整數(shù)，從而有

即N個采樣間隔應(yīng)等于k個連續(xù)正弦信號的周期，此時抽樣得到的正弦序列是周期序列。

118分析2π/ω0與T及T0的關(guān)系:1)若要2π圖中，則有

上式說明,14個采樣間隔等于3個連續(xù)正弦信號的周期，此時為有理數(shù)，所以該正弦序列是周期序列。119圖中，則有上式

任意序列可以表示成單位抽樣序列的移位加權(quán)和，即(1-16)由于四、用單位抽樣序列來表示任意序列和加權(quán)移位

則因此式（1-16）成立，這種表達式提供了一種信號分析工具。

120任意序列可以表示成單位抽樣序列的移位加權(quán)和，即(1-1式(1-16)恰好滿足卷積和的定義式，即上式說明，任意序列與作卷積運算仍得到原序列，這就是說任意序列都可看成是該序列與的卷積和。例1-8（教材P19）

121式(1-16)恰好滿足卷積和的定義式，即上式說明，任意序列與五、序列的能量(1-18)序列x(n)的能量E定義為序列各抽樣值的平方和，即

122五、序列的能量(1-18)序列x(n)的能1.2線性移不變系統(tǒng)

定義：一個離散時間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運算。若以T［·］來表示這種運算，則一個離散時間系統(tǒng)可表示為：離散時間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性移不變系統(tǒng)”。（線性時不變系統(tǒng)或線性定常系統(tǒng)）圖1-16離散時間系統(tǒng)1231.2線性移不變系統(tǒng)定義：一個離散時間系統(tǒng)是將輸入序列一、線性系統(tǒng)（※）

那么當(dāng)且僅當(dāng)1.定義：滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。

如果系統(tǒng)在x１(n)和x2(n)單獨輸入時的輸出分別為y1(n)和y2(n)，即:同時成立時，該系統(tǒng)是線性的。式中ai為任意常數(shù)。這兩個性質(zhì)合在一起就成為疊加原理，寫成

可加性齊次性或比例性124一、線性系統(tǒng)（※）那么當(dāng)且僅當(dāng)1.定義：滿足疊加原理的2.在證明一個系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須證明此系統(tǒng)同時滿足可加性和比例性，而且信號可以是任意序列，包括復(fù)序列，比例常數(shù)可以是任意數(shù)，包括復(fù)數(shù)。

例1-10以下系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)：y(n)=2x(n)+3解：設(shè)很明顯，在一般情況下所以此系統(tǒng)不滿足疊加原理，故不是線性系統(tǒng)。

1252.在證明一個系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須證明此系統(tǒng)同時滿足可加二、移不變系統(tǒng)（時不變系統(tǒng)（※）

）定義：系統(tǒng)的運算關(guān)系T［·］在整個運算過程中不隨時間（也即不隨序列的先后）而變化，這種系統(tǒng)稱為移不變系統(tǒng)（或稱時不變系統(tǒng)）。這個性質(zhì)可用以下關(guān)系表達：若輸入x(n)的輸出為y(n),則將輸入序列移動任意位后,其輸出序列除了跟著移動相同位外，幅值應(yīng)該保持不變，即若T［x(n)］=y(n)則T［x(n-m)］=y(n-m)（m為任意整數(shù)）(1-20)滿足以上關(guān)系的系統(tǒng)就稱為移不變系統(tǒng)。126二、移不變系統(tǒng)（時不變系統(tǒng)（※））定義：系統(tǒng)的運算關(guān)系T［例1-12證明

不是時不變系統(tǒng)。

證：

由于二者不相等，故不是移不變系統(tǒng)。

同時具有線性和移不變性的離散時間系統(tǒng)稱為線性移不變（LSI）離散時間系統(tǒng)，簡稱LSI系統(tǒng)。除非特殊說明，本書都是研究LSI系統(tǒng)。127例1-12證明不是時不變系統(tǒng)。證：由于二者不相等三、單位抽樣響應(yīng)（單位沖激響應(yīng)）與卷積和1.定義：單位抽樣響應(yīng)是指輸入為單位沖激序列時系統(tǒng)的輸出。一般用h(n)表示，即h(n)=T［δ(n)］2.線性移不變系統(tǒng)的卷積和表達式（※）設(shè)系統(tǒng)輸入序列為x(n)，輸出序列為y(n)。由于任一序列x(n)可以寫成δ(n)的移位加權(quán)和，即（1-21）注：線性移不變系統(tǒng)可用它的單位沖激響應(yīng)h(n)來表征。(1-21)式完全表征了系統(tǒng)的時域特征。利用h(n)就可得到線性移不變系統(tǒng)對任意輸入的輸出。128三、單位抽樣響應(yīng)（單位沖激響應(yīng)）與卷積和1.定義：單位抽樣系統(tǒng)的輸出為

由于系統(tǒng)是線性的，利用疊加原理知

又由于系統(tǒng)是移不變的，故對移位的單位沖激序列的響應(yīng)就是單位沖激響應(yīng)的移位，即因此，得到線性移不變系統(tǒng)的卷積和表達式：（1-22）

圖1-19線性移不變系統(tǒng)

圖1-16離散時間系統(tǒng)反映了線性移不變離散時間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系

129系統(tǒng)的輸出為由于系統(tǒng)是線性的，利用疊加原理知又由于系統(tǒng)四、線性移不變系統(tǒng)的性質(zhì)

1．交換律由于卷積和與兩卷積序列的次序無關(guān),故即卷積和服從交換律,這說明：如果把單位沖激響應(yīng)h(n)改作為輸入，而把輸入x(n)改作為系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)，則輸出y(n)不變。(1-24)圖1-20卷積和服從交換律130四、線性移不變系統(tǒng)的性質(zhì)1．交換律即卷積和服從交換律,這2．結(jié)合律利用卷積和的定義可證明卷積運算服從結(jié)合律，即

上式說明：兩個線性移不變子系統(tǒng)級聯(lián)后仍構(gòu)成一個線性移不變系統(tǒng),其單位沖激響應(yīng)為兩子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積,且線性移不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)與它們的級聯(lián)次序無關(guān)。(1-25)1312．結(jié)合律上式說明：兩個線性移不變子系統(tǒng)級聯(lián)后仍構(gòu)成一個圖1-21具有相同單位沖激響應(yīng)的三個線性移不變系統(tǒng)132圖1-21具有相同單位沖激響應(yīng)的三個線性移不變系統(tǒng)3．分配律

由卷積和的定義可證明卷積和服從加法分配律,即

(1-26)上式說明：兩個線性移不變系統(tǒng)的并聯(lián)等效系統(tǒng)（等式左邊）的單位沖激響應(yīng)等于兩系統(tǒng)各自單位沖激響應(yīng)之和。

圖1-22線性移不變系統(tǒng)的并聯(lián)組合及其等效系統(tǒng)

1333．分配律(1-26)上式說明：兩個線性移不變系統(tǒng)的并聯(lián)等1.定義：因果系統(tǒng)是指某時刻系統(tǒng)的輸出只取決于此時刻和此時刻以前時刻的輸入的系統(tǒng)，即n時刻的系統(tǒng)輸出y(n)只取決于x(n),x(n-1),x(n-2),…。如果系統(tǒng)的輸出y(n)還取決于未來的輸入x(n+1),x(n+2),…這樣的系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，也即不現(xiàn)實的系統(tǒng)。五、因果系統(tǒng)（※）

例：根據(jù)上述定義判斷下列5個系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)。1)y(n)=nx(n)2)y(n)=x(n+2)+ax(n)因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)1341.定義：因果系統(tǒng)是指某時刻系統(tǒng)的輸出只取決于此時刻和此時2．線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是h(n)=0,n<0(1-27)證明：可利用卷積和公式進行證明，參見教材P27，28。3)y(n)=x(n3)4)y(n)=x(-n)5)y(n)=x(n)sin(n+2)非因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)

注意：1)必須從全部時間上看輸入輸出關(guān)系的因果性

；

2)考查因果系統(tǒng)時必須把輸入信號的影響與系統(tǒng)定義中用到的其他函數(shù)的影響區(qū)別開來。

注：n<0，x(n)=0的序列稱為因果序列，一個因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是因果序列。

1352．線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是3)y(n)=補充：LSI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)如下,判斷其是否為因果系統(tǒng)解：即n<0時，h(n)=0,所以系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。顯然n<0時，h(n)≠0,所以系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。

136補充：LSI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)如下,判斷其是否為因果系統(tǒng)解：即

許多重要的網(wǎng)絡(luò)，如頻率特性為理想矩形的理想低通濾波器以及理想微分器等都是非因果的不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。但是數(shù)字信號處理往往是非實時的，即使是實時處理，也允許有很大延時。這時對于某一個輸出y(n)來說，已有大量的“未來”輸入x(n+1),x(n+2),…，記錄在存儲器中可以被調(diào)用，因而可以很接近于實現(xiàn)這些非因果系統(tǒng)。也就是說，可以用具有很大延時的因果系統(tǒng)去逼近非因果系統(tǒng)。這個概念在以后講有限長單位脈沖響應(yīng)濾波器設(shè)計時要常用到，這也是數(shù)字系統(tǒng)優(yōu)于模擬系統(tǒng)的特點之一。因而數(shù)字系統(tǒng)可以比模擬系統(tǒng)更能獲得接近理想的特性。137許多重要的網(wǎng)絡(luò)，如頻率特性為理想矩形的理想低1.定義：穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出（BIBO）的系統(tǒng)。也就是說穩(wěn)定系統(tǒng)滿足：若|x(n)|≤M<∞，則|y(n)|≤P<∞。六、穩(wěn)定系統(tǒng)（※）

2.線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是單位沖激響應(yīng)絕對可和，即

(1-28)證明：充分性：由穩(wěn)定系統(tǒng)的定義證明；必要性：反證法證明。

1381.定義：穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出（BIBO）的系如果輸入信號x(n)有界,即對于所有n皆有|x(n)|≤M,則即輸出信號y(n)有界，故充分性得證。證明：充分性：即已知成立，要證線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若必要性：利用反證法。已知系統(tǒng)穩(wěn)定，假設(shè)

139如果輸入信號x(n)有界,即對于所有n皆有|x(n)|≤M,可以找到一個有界的輸入

式中h*(-n)是h(n)的復(fù)共軛。也即y(0)是無界的，這不符合穩(wěn)定的條件，因而假設(shè)不成立。所以是穩(wěn)定的必要條件。輸出y(n)在n=0點上的值為

140可以找到一個有界的輸入式中h*(-n)是h(n)的復(fù)共軛。注意：要證明一個系統(tǒng)不穩(wěn)定，只需找一個特別的有界輸入，如果此時能得到一個無界的輸出，那么就一定能判定一個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是要證明一個系統(tǒng)是穩(wěn)定的，就不能只用某一個特定的輸入作用來證明，而要利用在所有有界輸入下都產(chǎn)生有界輸出的辦法來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.一個結(jié)論：因果穩(wěn)定的線性移不變系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)既是因果的又是絕對可和的，即：141注意：要證明一個系統(tǒng)不穩(wěn)定，只需找一個特別的有界輸入，如果此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的補充：判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性1）當(dāng)時，有系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解：2）當(dāng)時，輸出y(n)在時有142系統(tǒng)是不穩(wěn)定的補充：判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)例1-16設(shè)某線性移不變系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為討論系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。解：由題意知：1)討論因果性：n<0時,h(n)=0,故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。2）討論穩(wěn)定性：所以時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。143例1-16設(shè)某線性移不變系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為解：由題意

離散時間線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系除了用卷積和表達式表示外,還常用以下形式的常系數(shù)線性差分方程表示,即(1-30)說明：1）常系數(shù)：是指決定系統(tǒng)特征的所有ak，bm都是常數(shù)。若系數(shù)中含有n，則稱為“變系數(shù)”線性差分方程。2）階數(shù)：差分方程的階數(shù)等于輸出序列（指y(n)）變量序號的最高值與最低值之差。例如式(1-30)即為N階差分方程.1.3常系數(shù)線性差分方程

144離散時間線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系除了用卷積3）線性：是指各y(n-k)以及各x(n-m)項都只有一次冪且不存在它們的相乘項;否則就是非線性的。4）離散系統(tǒng)的差分方程表示法有兩個主要的用途：一是便于求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)；二是從差分方程表達式比較容易直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。一．常系數(shù)差分方程的求解方法(即系統(tǒng)輸出響應(yīng)的求法)1.離散時域求解法2.變換域求解法：Z變換法經(jīng)典法