【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章第四節(jié) 直線與平面垂直 文 蘇教

第四節(jié)直線與平面垂直編輯ppt第四節(jié)直線與平面垂直考點探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對高考編輯ppt雙基研習(xí)·面對高考基礎(chǔ)梳理1．直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的___________________，那么這條直線和這個平面垂直．該直線叫做這個平面的垂線，該平面叫做這條直線的垂面．即對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的______________直線．所有直線都垂直任意一條編輯ppt(2)判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條_____________都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．它的數(shù)學(xué)符號表示為：如果______________________________________，那么l⊥α.(3)性質(zhì)定理：同垂直于同一個平面的兩條直線_________．符號表示：_________________________.相交直線m?α，n?α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n平行a⊥α，b⊥α，則a∥b編輯ppt(4)點到平面的距離：從平面外一點引平面的一條垂線，這個點和___________間的線段長，叫做這個點到這個平面的距離．2．斜線在平面內(nèi)的射影垂足編輯ppt(1)過一點向平面引垂線，垂足叫做這個點在這個平面內(nèi)的射影；當(dāng)這一點在平面內(nèi)時，該點在平面上的射影就是它自身；這一點與_________之間的線段長叫做這點到這個平面的距離．(2)一條直線和一個平面相交，但不垂直時，這條直線就叫做這個平面的斜線，斜線與平面的交點叫做_________．射影斜足編輯ppt從平面外一點向平面引斜線，這點與_________間的線段叫做這點到這個平面的斜線段．如上圖所示，直線PR∩α＝R，PR不垂直于α，直線PR是α的一條斜線，點R為斜足，線段PR是點P到α的斜線段．(3)平面外一點到這個平面的垂線段有且只有一條，而這點到這個平面的斜線段有_______條．斜足無數(shù)編輯ppt(4)從斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足與斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影，垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面內(nèi)的射影．如上圖所示，直線QR是直線PR在平面α上的射影，線段QR是點P到平面α的斜線段PR在平面α上的射影．編輯ppt(5)斜線上任意一點在平面上的射影一定在斜線的射影上．3．直線與平面所成的角(設(shè)為θ)(1)斜線與平面所成的角的定義：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的_______所成的________，叫做這條直線和這個平面所成的角．射影銳角編輯ppt(2)當(dāng)一條直線垂直于平面時，規(guī)定它們所成的角是_______；當(dāng)一條直線和平面平行或在平面內(nèi)時，規(guī)定它們所成的角為________.0°直角編輯ppt直線l和α的位置關(guān)系l?α或l∥αl⊥αl和α斜交θ的取值范圍θ＝______θ＝_____θ∈___________0°90°編輯ppt思考感悟如果一條直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則這條直線和這個平面是否垂直？提示：不一定垂直，若平面內(nèi)一組平行線與直線l垂直，但直線l與平面的關(guān)系是不確定的．編輯ppt1．三棱錐的四個面中直角三角形最多有________個．答案：42．如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊，則能保證該直線與平面垂直的是________．答案：①③課前熱身編輯ppt3．下列說法正確的個數(shù)是________．①若l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α②若直線l與平面α垂直，則l與α內(nèi)的任一直線垂直③若E、F分別為△ABC中AB、BC邊上的中點，則EF與經(jīng)過AC邊的所有平面平行④兩條垂直的直線中有一條和一個平面平行，則另一條和這個平面垂直答案：1編輯ppt4．給出下列四個說法：①經(jīng)過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面垂直；②如果一條直線和兩個垂直平面的一個垂直，它必和另一個平行；③過不在平面內(nèi)的一條直線可作無數(shù)個平面與已知平面垂直；編輯ppt④如果兩個平面互相垂直，經(jīng)過一個平面內(nèi)一點與另一個平面垂直的直線在第一個平面內(nèi)．其中正確的是________．答案：④編輯ppt考點探究·挑戰(zhàn)高考直線與平面垂直的判定考點一考點突破證明線面垂直的方法和常用結(jié)論(1)利用線面垂直的定義．(2)利用線面垂直的判定定理．編輯ppt(3)兩平行線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個平面．(4)兩平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面．(5)一直線垂直于兩平行平面中的一個，那么它必定垂直于另一個平面．(6)兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩平面的交線垂直于第三個平面．編輯ppt如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中點，O是底面正方形ABCD的中心，求證：OE⊥平面ACD1.【思路分析】根據(jù)線面垂直的判定定理，要證明OE⊥平面ACD1，只須在平面ACD1內(nèi)找兩條相交直線分別與OE垂直．例1編輯ppt編輯ppt編輯ppt【名師點評】

證明線面垂直，往往利用線線垂直或面面垂直轉(zhuǎn)化，除此外，構(gòu)造等腰三角形證垂直及利用勾股定理求長度之間的關(guān)系證明垂直，甚至借助矩形相鄰邊的垂直等，都是可能用到的方法．編輯ppt已知：S－ABC為正三棱錐，AH⊥面SBC于H.求證：H是△SBC的垂心．【思路分析】只需證SH⊥BC、BH⊥SC，要證SH⊥BC，只需證SA⊥BC.由于是正三棱錐，所以只需證對棱互相垂直即可．線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用考點二例2編輯ppt【證明】取BC的中點D，連結(jié)AD，SD，則SD⊥BC，AD⊥BC，∴BC⊥平面SAD.∵SA?平面SAD，∴BC⊥SA.同理，SC⊥AB，SB⊥AC.連SH.∵AH⊥平面SBC，BC?平面SBC，編輯ppt∴AH⊥BC，又SA⊥BC，AH∩SA＝A，∴BC⊥面SAH，又∵SH?面SAH，∴BC⊥SH.同理BH⊥SC.∴H是△SBC的垂心．【名師點評】證明線線垂直常采用線面垂直進行證明，構(gòu)造一個線的垂面是證明線面垂直的常用方法．編輯ppt變式訓(xùn)練1

如圖，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于E，D是FG的中點，AF＝AG，EF＝EG，求證：BC∥FG.編輯ppt證明：如圖，連結(jié)DE，由AD⊥AB，AD⊥AC，可得AD⊥平面ABC，而BC?平面ABC，則AD⊥BC.又AE⊥BC，得到BC⊥平面ADE，①∵AF＝AG，EF＝EG，AD∩ED＝D，∴FG⊥平面ADE.②由①、②得到BC∥FG.編輯ppt對于線面垂直問題，首先應(yīng)分析它給出了哪些條件，可以得出什么結(jié)論，再分析問題是什么，需要什么條件，從而在條件與結(jié)論之間搭起一座橋梁，在分析時要緊緊圍繞“線線垂直、線面垂直可相互轉(zhuǎn)化”這一思想進行探究．與線面垂直有關(guān)的探索性問題考點三編輯ppt如圖所示，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點．(1)求證：BM∥平面PAD；(2)在△PAD內(nèi)找一點N，使MN⊥平面PBD.例3編輯ppt【思路分析】

(1)取PD的中點E，連結(jié)EM、EA.(2)尋找與面PBD垂直的平面及交線，再據(jù)面面垂直的性質(zhì)探尋N點的位置．【解】

(1)證明：∵M是PC的中點，取PD的中點E，編輯ppt編輯ppt(2)由(1)知ABME為平行四邊形．PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.同理CD⊥平面PAD.∵AE?平面PAD，∴AB⊥AE，∴ABME為矩形．編輯ppt∵CD∥ME，CD⊥PD，PD⊥AE.∴PD⊥平面ABME，PD?平面PBD.∴平面PBD⊥平面ABME，作MF⊥EB，交BE于F，∴MF⊥平面PBD.延長MF交AE于N，在矩形ABME內(nèi)，AB＝ME＝1，編輯ppt編輯ppt【名師點評】該題要找平面PBD的垂線，應(yīng)先找出面PBD的垂面ABME，則垂線就在面ABME內(nèi)，且與交線BE垂直，故要找垂線往往是先找垂面．編輯ppt編輯ppt解：(1)取AB的中點E，連結(jié)DE、CE，因為△ADB是等邊三角形，所以DE⊥AB.當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，因為平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.編輯ppt編輯ppt②當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE、CE為相交直線，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD.綜上所述，總有AB⊥CD.編輯ppt方法技巧1．這部分內(nèi)容知識多，準(zhǔn)確理解，熟練掌握定義、判定定理、性質(zhì)定理并能夠進行三種語言的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵．2．直線與平面垂直的判定方法①定義法：直線與平面內(nèi)任一直線垂直．方法感悟編輯ppt②判定定理法：要證一條直線與一個平面垂直，只要證這條直線和這個平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可．③面面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面．3．轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用：線線、線面、面面的垂直關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化：編輯ppt失誤防范1．在觀察空間幾何體圖形時，線線、線面的垂直“位置”觀察錯誤，沒有合理地推導(dǎo)，只憑主觀猜想造成結(jié)論錯誤．2．在某些題目中，所給的邊角數(shù)量較多，這類題應(yīng)主要由數(shù)量如勾股定理、等腰等，構(gòu)造出垂直關(guān)系，易忽視數(shù)量對垂直的影響．編輯ppt考向瞭望·把脈高考考情分析從近幾年的江蘇高考試題來看，線面垂直的判定與性質(zhì)是高考的重點和熱點，其題型既有填空題，也有解答題，難度中等偏高．預(yù)測2012年江蘇高考考查的可能性仍然較大，要求學(xué)生有較強的空間想象力，邏輯推理能力以及分析問題解決問題的能力．編輯ppt(本題滿分14分)如圖，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.規(guī)范解答例編輯ppt編輯ppt∴EN綊AM，∴四邊形AMNE為平行四邊形．∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，∠PDA＝45°，∴△PAD為等腰直角三角形.7分編輯ppt∴AE⊥PD.又∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，而AE?平面PAD，∴CD⊥AE.10分又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD.14分編輯ppt【名師點評】本題主要考直線面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，理清關(guān)系，合理轉(zhuǎn)化，對空間想象力，推理論證能力要求較高．編輯ppt1．已知m、n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，有下列4個命題：①若m∥n，n?α，則m∥α；②若m⊥n，m⊥α，n?α，則n∥α；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n；④若m，n是異面直線，m?α，n?β，m∥β，則n∥α.其中正確的命題序號是________．名師預(yù)測編輯ppt解析：根據(jù)空間線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理可知正確的命題序號是②③.答案：②③2．在正三棱錐P－ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個結(jié)論：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.則所有正確結(jié)論的序號是________．編輯ppt解析：如圖，設(shè)P在面ABC內(nèi)射影為O，則O為正△ABC的中心．①可證AC⊥面PBO，∴AC⊥PB；②AC∥DE，可得AC∥面PDE；③BA與DE不垂直，故AB與平面PDE不垂直．答案：①②編輯ppt3．如圖，在底面為菱形的直四棱柱ABCD