最新高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題技巧和公式(已整理)

數(shù)學(xué)PAGEPAGE7關(guān)于三角函數(shù)的幾種解題技巧本人在十多年的職中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，面對三角函數(shù)內(nèi)容的相關(guān)教學(xué)時，積累了一些解題方面的處理技巧以及心得、體會。下面嘗試進行探討一下：一、關(guān)于的關(guān)系的推廣應(yīng)用：1、由于故知道，必可推出，例如：例1。分析：由于其中，，只要求出即可，此題是典型的知sin-cos，求sincos的題型。解：∵故：例2假設(shè)sin+cos=m2，且tg+ctg=n，那么m2n的關(guān)系為〔〕。A．m2=nB．m2=C．D．分析：觀察sin+cos與sincos的關(guān)系：sincos=而：故：，選B。例3：tg+ctg=4，那么sin2的值為〔〕。A．B．C．D．分析：tg+ctg=故：。答案選A。例4：tg+ctg=2，求分析：由上面例子，只要能化出含sin±cos或sincos的式子，那么即可根據(jù)tg+ctg進行計算。由于tg+ctg=，此題只要將化成含sincos的式子即可：解：=+2sin2cos2-2sin2cos2=〔sin2+cos2〕-2sin2cos2=1-2(sincos)2=1-==通過以上例子，可以得出以下結(jié)論：由于，sincos及tg+ctg三者之間可以互化，知其一那么必可知其余二。這種性質(zhì)適合于隱含此三項式子的三角式的計算。但有一點要注意的；如果通過sincos，求含的式子，必須討論其象限才能得出其結(jié)果的正、負號。這是由于〔〕2=1±2sincos，要進行開方運算才能求出二、關(guān)于“托底〞方法的應(yīng)用：在三角函數(shù)的化簡計算或證明題中，往往需要把式子添加分母，這常用在需把含tg〔或ctg〕與含sin〔或cos〕的式子的互化中，本文把這種添配分母的方法叫做“托底〞法。方法如下：例5：tg=3，求的值。分析：由于，帶有分母cos，因此，可把原式分子、分母各項除以cos，“造出〞tg，即托出底：cos；解：由于tg=3故，原式=例6：ctg=-3，求sincos-cos2=?分析：由于，故必將式子化成含有的形式，而此題與例4有所不同，式子本身沒有分母，為了使原式先出現(xiàn)分母，利用公式：及托底法托出其分母，然后再分子、分母分別除以sin，造出ctg：解：例7〔95年全國成人高考理、工科數(shù)學(xué)試卷〕設(shè)，求：的值分析：此題是典型含正弦函數(shù)的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法〞，由于，故，在等式兩邊同除以，托出分母為底，得：解：由等式兩邊同除以得：“托底〞適用于通過同角的含正弦及余弦的式子與含正切、余切的式子的互化的計算。由于，，即正切、余切與正弦、余弦間是比值關(guān)系，故它們間的互化需“托底〞，通過保持式子數(shù)值不變的情況下添加分母的方法，使它們之間可以互相轉(zhuǎn)化，到達根據(jù)求值的目的。而添加分母的方法主要有兩種：一種利用，把作為分母，并不改變原式的值，另一種是通過等式兩邊同時除以正弦或余弦又或者它們的積，產(chǎn)生分母。三、關(guān)于形如：的式子，在解決三角函數(shù)的極值問題時的應(yīng)用：可以從公式中得到啟示：式子與上述公式有點相似，如果把a，b局部變成含sinA，cosA的式子，那么形如的式子都可以變成含的式子，由于-1≤≤1，所以，可考慮用其進行求極值問題的處理，但要注意一點：不能直接把a當(dāng)成sinA，b當(dāng)成cosA，如式子：中，不能設(shè)sinA=3，cosA=4，考慮：-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下處理式子：由于。故可設(shè)：，那么，即：∴無論取何值，-1≤sin(A±x)≤1，≤≤即：≤≤下面觀察此式在解決實際極值問題時的應(yīng)用：例1〔98年全國成人高考數(shù)學(xué)考試卷〕求：函數(shù)的最大值為〔AAAA〕A．B．C．D．分析：，再想方法把變成含的式子：于是：由于這里：∴設(shè)：∴無論A-2x取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故≤≤∴的最大值為，即答案選A。例2〔96年全國成人高考理工科數(shù)學(xué)試卷〕在△ABC中，：AB=2，BC=1，CA=，分別在邊AB、BC、CA上任取點D、E、F，使△DEF為正三角形，記∠FEC=∠α，問：sinα取何值時，△EFD的邊長最短？并求此最短邊長。分析：首先，由于，可知△ABC為Rt△，其中AB為斜邊，所對角∠C為直角，又由于，那么∠B=90°—∠A=60°，由于此題要計算△DEF的最短邊長，故必要設(shè)正△DEF的邊長為，且要列出有關(guān)為未知數(shù)的方程，對進行求解。觀察△BDE，：∠B=60°，DE=，再想方法找出另兩個量，即可根據(jù)正弦定理列出等式，從而產(chǎn)生關(guān)于的方程。在圖中，由于EC=·cosα，那么BE=BC-EC=1-·cosα。而∠B+∠BDE+∠1=180°∠α+∠DEF+∠1=180°∠BDE=∠α∠B=60°，∠DEF=60°∴在△BDE中，根據(jù)正弦定理：在這里，要使有最小值，必須分母：有最大值，觀察：∴設(shè)：，那么故：∴的最大值為。即：的最小值為：而取最大值為1時，∴即：時，△DEF的邊長最短，最短邊長為。從以上例子可知，形如適合于計算三角形函數(shù)的極值問題。計算極值時與式子的加、減是無關(guān)，與的最值有關(guān)；其中最大值為，最小值為。在計算三角函數(shù)的極值應(yīng)用題時，只要找出形如的關(guān)系式，即能根據(jù)題意，求出相關(guān)的極值。三角函數(shù)知識點解題方法總結(jié)一、見“給角求值〞問題，運用“新興〞誘導(dǎo)公式一步到位轉(zhuǎn)換到區(qū)間〔-90o，90o〕的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、見“sinα±cosα〞問題，運用三角“八卦圖〞1.sinα+cosα>0(或<0)óα的終邊在直線y+x=0的上方〔或下方〕;2.sinα-cosα>0(或<0)óα的終邊在直線y-x=0的上方〔或下方〕;3.|sinα|>|cosα|óα的終邊在Ⅱ、Ⅲ的區(qū)域內(nèi);4.|sinα|<|cosα|óα的終邊在Ⅰ、Ⅳ區(qū)域內(nèi).三、見“知1求5〞問題，造Rt△，用勾股定理，熟記常用勾股數(shù)〔3，4，5〕，〔5，12，13〕，〔7，24，25〕，仍然注意“符號看象限〞。四、見“切割〞問題，轉(zhuǎn)換成“弦〞的問題。五、“見齊思弦〞=>“化弦為一〞：tanα,求sinα與cosα的齊次式，有些整式情形還可以視其分母為1，轉(zhuǎn)化為sin2α+cos2α.六、見“正弦值或角的平方差〞形式，啟用“平方差〞公式：1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.七、見“sinα±cosα與sinαcosα〞問題，起用平方法那么：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.假設(shè)sinα+cosα=t,(且t2≤2),那么2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.假設(shè)sinα-cosα=t,(且t2≤2),那么2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、見“tanα+tanβ與tanαtanβ〞問題，啟用變形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？九、見三角函數(shù)“對稱〞問題，啟用圖象特征代數(shù)關(guān)系：(A≠0)1.函數(shù)y=Asin(wx+φ)和函數(shù)y=Acos(wx+φ)的圖象，關(guān)于過最值點且平行于y軸的直線分別成軸對稱；2.函數(shù)y=Asin(wx+φ)和函數(shù)y=Acos(wx+φ)的圖象，關(guān)于其中間零點分別成中心對稱；3.同樣，利用圖象也可以得到函數(shù)y=Atan(wx+φ)和函數(shù)y=Acot(wx+φ)的對稱性質(zhì)。十、見“求最值、值域〞問題，啟用有界性，或者輔助角公式：1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);3.asinx+bcosx=c有解的充要條件是a2+b2≥c2.十一、見“高次〞，用降冪，見“復(fù)角〞，用轉(zhuǎn)化.1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等角函數(shù)公式兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2sin2A=2sinA*cosA半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)和差化積2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B))2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB積化和差公式sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]萬能公式sin(a)=(2tan(a/2))/(1+