數值分析(研究生)常微分方程的數值解法二市公開課一等獎省名師優(yōu)質課賽課一等獎課件

第七章常微分方程數值解法（二）第四節(jié)線性多步法第五節(jié)單步法收斂性與穩(wěn)定性第六節(jié)一階方程組和高階方程第七節(jié)邊值問題數值解法§4線性多步法用若干節(jié)點處y及y’值線性組合來近似y(xi+1).)...(...110111101kikiiikikiiiffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa其通式可寫為：當10時，為隱式公式;1=0則為顯式公式.

基于數值積分結構法將在上積分，得到只要近似地算出右邊積分，則可經過近似y(xi+1).而選取不一樣近似式Ik，可得到不一樣計算公式.亞當姆斯顯式公式利用k+1個節(jié)點上被積函數值結構k階牛頓后插多項式,有Newton插值余項/*顯式計算公式*/局部截斷誤差為：例1k=1時有注：普通有，其中Bk與yi+1計算公式中fi,…,fik

各項系數均可查表得到.10123kfifi1fi2fi3…Bk…………………Misprintonp.106慣用是k=3

4階亞當姆斯顯式公式亞當姆斯隱式公式利用k+1個節(jié)點上被積函數值fi+1

,fi,…,fik+1

結構k階牛頓前插多項式。與顯式多項式完全類似地可得到一系列隱式公式，并有，其中與fi+1

,fi,…,fik+1系數亦可查表得到.~~10123kfi+1fifi1fi2…Bk…………………~慣用是k=3

4階亞當姆斯隱式公式小于Bk較同階顯式穩(wěn)定亞當姆斯預測-校正系統(tǒng)

Step1:用Runge-Kutta法計算前k

個初值；Step2:用Adams顯式計算預測值；Step3:用同階Adams隱式計算校正值.注意：三步所用公式精度必須相同。通慣用經典Runge-Kutta法配合4階Adams公式.4階Adams隱式公式截斷誤差為4階Adams顯式公式截斷誤差為當h充分小時，可近似認為ii

，則：Predictedvaluepi+1Modifiedvaluemi+1Correctedvalueci+1Modifiedfinalvalueyi+1外推技術/*extrapolation*/§5收斂性和穩(wěn)定性一、收斂性定義若某算法對于任意固定x=xi=x0+ih，當h0

(同時i)時有yi

y(xi

)，則稱該算法是收斂.例3就初值問題考查歐拉顯式格式收斂性.解：該問題準確解為尤拉公式為對任意固定x=xi=ih，有0.00.10.20.30.40.5準確解改進尤拉法

尤拉隱式尤拉顯式

節(jié)點xi二、穩(wěn)定性例4考查初值問題在區(qū)間[0,0.5]上解.分別用歐拉顯、隱式格式和改進歐拉格式計算數值解.

1.00002.00004.00008.00001.6000101

3.101

1.00002.5000101

6.25001021.56251023.90631039.76561041.00002.50006.25001.56261013.90631019.76561011.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107定義若某算法在計算過程中任一步產生誤差在以后計算中都逐步衰減，則稱該算法是絕對穩(wěn)定.普通分析時為簡單起見，只考慮試驗方程常數，能夠是復數當步長取為h時，將某算法應用于上式，并假設只在初值產生誤差，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該算法相對于絕對穩(wěn)定，全體組成絕對穩(wěn)定區(qū)域.我們稱算法A比算法B穩(wěn)定，就是指A絕對穩(wěn)定區(qū)域比B

大.hlh=h例5考查顯式歐拉法由此可見，要確保初始誤差0以后逐步衰減，必須滿足：0-1-2ReImg例6考查隱式歐拉法可見絕對穩(wěn)定區(qū)域為：210ReImg注：普通來說，隱式尤拉法絕對穩(wěn)定性比同階顯式法好.例7隱式龍格-庫塔法而顯式1~4階方法絕對穩(wěn)定區(qū)域為其中2階方法絕對穩(wěn)定區(qū)域為0ReImgk=1k=2k=3k=4-1-2-3---123ReImg無條件穩(wěn)定§6微分方程組與高階方程一、一階微分方程組IVP普通形式為：==))(,...),(,()(.........))(,...),(,()(1111xyxyxfxyxyxyxfxymmmm初值0002020101)(,...,)(,)(mmyxyyxyyxy===將問題記作向量形式，令：前述全部公式皆適合用于向量形式.二、高階微分方程====---10)1(1000)1()()(,...,)(,)(),...,,,(nnnnaxyaxyaxyyyyxfy化作一階微分方程組求解.引入新變量初值條件為：§7邊值問題數值解法2階常微分方程邊值問題打靶法先猜測一個初始斜率y(a)=s，經過解初值問題y(b)=(s)找出s*使得(s*)=，即把問題轉化為求方程(s)=0根.yx0abyx()b斜率=s