建筑結(jié)構(gòu)抗震原理-多自由度體系地震反應分析

工程抗震震原理PrinciplesofSeismicEngineering土木工程程專業(yè)本本科專業(yè)業(yè)課主要內(nèi)容容工程結(jié)構(gòu)構(gòu)抗震原原理2/322第一章工程抗震基礎礎知識第二章場地與地地基基礎礎抗震原理第三章建建筑結(jié)構(gòu)抗震原理理第六章橋梁結(jié)構(gòu)構(gòu)抗震原理第七章工程結(jié)構(gòu)構(gòu)減震控控制原理第三章建建筑結(jié)結(jié)構(gòu)抗震原理§1概述§2單自由度度體系地地震反應應分析§3單自由度度體系水水平地震震作用§4多自由度度體系地地震反應應分析§5地震分析析振型分分解反應應譜法§6水平地震震作用的的底部剪剪力法§7考慮扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的水平平地震作作用§8結(jié)構(gòu)豎向地震震作用§9建筑結(jié)構(gòu)抗震震驗算§10結(jié)構(gòu)自振振周期和和頻率的的實用計計算方法法§11工程結(jié)構(gòu)構(gòu)地震反反應的時時程分析析方法§12地基與結(jié)結(jié)構(gòu)動力力相互作作用效應應§4多自由度度體系地地震反應應分析4.1動力方程程的建立立實際工程程結(jié)構(gòu)的的質(zhì)量都都是沿結(jié)結(jié)構(gòu)幾何何形狀連連續(xù)分布布的，因因此，嚴嚴格地說說，其動動力自由由度應該是無限的的。但是，采采用無限限自由度度模型，，一方面面計算過過于復雜雜；另一一方面也也沒這種必要要，因為為，選用用有限多多自由度度模型的的計算結(jié)結(jié)果已能能充分滿滿足一般般工程設設計的精精度要求求。因此，在在研究和和應用中中，一般般通過結(jié)構(gòu)構(gòu)的離散散化方法，將無限自自由度體體系轉(zhuǎn)化化為有限限自由度度體系?！?多自由度度體系地地震反應應分析由結(jié)構(gòu)動動力學理理論可知知，結(jié)構(gòu)構(gòu)離散化化的基本本方法有有廣義坐標標法、有限元法和集中質(zhì)量量法。集中質(zhì)量量法是最最早提出出、也是是最簡單單的方法法。這一一方法人人為地將將質(zhì)量集集中于一一些點處處，與之之相對應應，結(jié)構(gòu)構(gòu)的剛度度特性、、阻尼特特性、荷荷載特征征則被集集中于質(zhì)質(zhì)量的平平移自由由度方向向。集中質(zhì)量量法所帶帶來的計計算便利利是顯而而易見的的，但是是，對于于動力問問題，不不適當?shù)氐丶匈|(zhì)質(zhì)量也可可能導致致較大的的計算誤誤差。因此，對對集中質(zhì)量量法應附加動動能等效效原則，，即集中中前后體體系的動動能不發(fā)發(fā)生顯著著變化。?！?多自由度度體系地地震反應應分析§4多自由度度體系地地震反應應分析定義影響響系數(shù)αij是由j坐標單位位物理量量在i坐標方向向上引起起的力，其具體含義義可以是是剛度系系數(shù)、阻阻尼系數(shù)數(shù)、質(zhì)量量等。對于一般般多自由由度體系系，假定定任意時時刻t，j坐標方向向的位移移（相對對于平衡衡位置））為uj，相應的的速度、、加速度度分別為為、。則在此時時刻，所所有j坐標處的的物理量量（包括括i坐標處））與相應應于坐標標i處的影響響系數(shù)乘乘積之和和即為i坐標方向向所受到到的力，，即：§4多自由度度體系地地震反應應分析慣性力：其其中mij—質(zhì)量，，對于集集中質(zhì)量法法，i≠j時mij=0；恢復力：kij—剛度系數(shù)；；n—動力自由度度數(shù);阻尼力:cij—阻尼系數(shù)。根據(jù)達朗貝爾爾原理，上述述各力之和即等于i坐標處作用的的外力pi(t)，即：8/180§4多自由度體系系地震反應分分析全部n個坐標的運動動方程可用矩矩陣形式表示示為式中，[M]、[C]和[K]—分別為結(jié)構(gòu)構(gòu)離散體系的的質(zhì)量矩陣、、阻尼矩陣、、剛度矩陣，，對于集中質(zhì)質(zhì)量法，[M]為對角矩陣；；{uj}、{}和{}—分別為結(jié)構(gòu)構(gòu)離散體系的的位移向量、、速度向量和加速度向量；；{P}—動外力向量量?！?多自由度體系系地震反應分分析圖示多自由度度彈性體系在在水平地震運運動作用下的的變形情況。。這時，體系上上并無動外力力p(t)作用，僅有地地震引起的地地面運動。此時，i質(zhì)點的慣性力力為：§4多自由度體系系地震反應分分析注意到彈性力力和阻尼力僅僅與相對位移移和相對速度度有關，因此此，由達朗貝貝爾原理可得得水平地震運運動作用下的的運動方程為為：寫成矩陣形式式為：式中，{I}—慣性力指示示向量，§4多自由度體系系地震反應分分析4.2地震反應分析析的振型疊加加法1.振型與自振頻頻率求解彈性體系的自振頻率和振振型稱為自振特性分析。由于體系的固有頻率和相應的振型都僅取決于體體系自身的性性質(zhì)，而與時時間無關，所所以從廣義的的觀點，自振振特性分析的的基本手段是是變量分離法法，即把時間因素與與結(jié)構(gòu)位置因因素分離后，利用特征方程程具有非零解解的充分必要要條件求取自振頻率及相應的振型。§4多自由度體系系地震反應分分析無阻尼多自由度彈性體系的自由振動方程程為：設結(jié)構(gòu)作簡諧振動，其位移反應應為：式中，ω—自振頻率；；θ—初始相位角;{?}—僅與位置坐標標有關的向量量?？梢缘玫教卣髡鞣匠蹋焊鶕?jù)線性代數(shù)數(shù)的知識，特征方程存在在非零解的充要條件是是系數(shù)行列式等等于零，即得到頻率方程：§4多自由度體體系地震反反應分析對于穩(wěn)定結(jié)結(jié)構(gòu)體系，，其質(zhì)量矩矩陣和剛度度矩陣具有有實對稱性性和正定性性，所以，，相應的頻率方程的的根都是正正實根。對于處于隨遇平衡狀狀態(tài)或不穩(wěn)定狀態(tài)的結(jié)構(gòu)構(gòu)體系，頻頻率方程會會出現(xiàn)等于于零的重根或虛根根。一般地，地地震工程中中遇到的結(jié)結(jié)構(gòu)體系多多為穩(wěn)定體體系。§4多自由度體體系地震反反應分析根據(jù)特征方程：對應于頻率率方程中的的每一個根，都存在特特征方程的的一個非零零解{?j}，稱為振型向量，或叫叫特征向量，或叫叫模態(tài)向量。由于特征方方程的齊次性，該非零解是不不定的，即振型向量幅幅值是任意意的，但形狀是唯一一的。因此，振型型定義為結(jié)結(jié)構(gòu)位移形狀保保持不變的振動形式式。根據(jù)可知，若結(jié)結(jié)構(gòu)體系按按某一振型型振動，則則體系的所有質(zhì)點將將按同一頻頻率作簡諧諧振動。§4多自由度體體系地震反反應分析為了對不同同頻率的振振型進行形形狀上的比比較，需要要將其化為為無量綱形形式，這種種轉(zhuǎn)化過程程稱為振型的規(guī)格格化。振型規(guī)格化化的方法可可采用下述述三種方法法之一：(1)特定坐標的的規(guī)格化方方法：指定定振型向量量中某一坐標值值為1，其它元素素按比例確確定；(2)最大位移值的的規(guī)格化方方法：將振振型向量各元素分別別除以其中中的最大值值；§4多自由度體體系地震反反應分析(3)正交規(guī)格化化方法：令其中對于[M]為對角質(zhì)量量矩陣時，，可簡寫為為：式中，?ji—j振型向量第第i坐標處的值值；Mj—j振型的廣義義質(zhì)量?！?多自由度體體系地震反反應分析2.振型的正交交性根據(jù)特征方程：分別對振型型i、j列出運動方方程：左式(a)兩邊邊乘乘以以向向量量{?j}的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置{?j}T，右式兩兩邊邊乘乘以以向向量量{?i}的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置{?i}T，則則有有：：左式式不不變變，，而而對對右右式式進進行行轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置運運算算可可得得18/180§4多自自由由度度體體系系地地震震反反應應分分析析將右右式式減減去去左左式式，，可可得得：：若ωj≠ωωi，則則有有：：同時時有：：分別別稱稱為為振振型型對對質(zhì)質(zhì)量量矩矩陣陣的的正正交交性性和和振振型型對對剛剛度度矩矩陣陣的的正正交交性性。。§4多自自由由度度體體系系地地震震反反應應分分析析振型型對對質(zhì)量量矩陣陣的的正交交性性的的物物理理意意義義是：：某某一一振振型型在在振振動動過過程程中中所所引引起起的的慣慣性性力力在在其其它它振振型型上上所所作作的的功功為為零零。。這說說明明某某一一個個振振型型的的動動能能不不會會轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移到到其其它它振振型型上上去去，，或或者者說說體體系系按按某某一一振振型型作作自自由由振振動動時時不不會會激激起起該該體體系系其其它它振振型型的的振振動動。。振型型對對剛度度矩陣陣正交交性性的的物物理理意意義義是，，體體系系按按某某一一振振型型振振動動時時，，它它的的位位能能不不會會轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移到到其其它它振振型型上上去去。。§4多自自由由度度體體系系地地震震反反應應分分析析振型型的的兩兩兩兩正正交交特特性性說說明明它它們們具具備備作為為一一類類線線性性空空間間基基底底的的基基本本條條件件。事實實上上，，由由振振型型向向量量所所張張成成的的線線性性空空間間正正是是一一般般動動力力反反應應空空間間，，在在這這空空間間的的任任一一點點表表示示一一個個特特定定的的動動力力反反應應，，并并且且這這一一點點的的坐坐標標值值可可由由關關于于基基底底（（振振型型））的的廣廣義義坐坐標標給給出出。。§4多自自由由度度體體系系地地震震反反應應分分析析3.正交交阻阻尼尼若無無外外部部能能量量輸輸入入，，則則任任何何原原來來振振動動的的物物理理系系統(tǒng)統(tǒng)都都會會隨隨著著時時間間的的增增長長趨趨于于靜靜止止，這是是因因為為系系統(tǒng)統(tǒng)的的能能量量會會因因為為某某些些原原因因而而耗耗散散。。產(chǎn)生生振振動動系系統(tǒng)統(tǒng)能能量量耗耗散散的的原原因因稱稱為為阻阻尼尼。。目前前，，關關于于結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)振振動動的的耗耗能能機機理理并并不不十十分分清清楚楚，，已已經(jīng)經(jīng)提提出出的的許許多多材材料料阻阻尼尼的的數(shù)數(shù)學學模模型型，，每每一一種種模模型型都都有有其其適適應應范范圍圍和和局局限限性性。。由于結(jié)構(gòu)構(gòu)的阻尼尼機制十十分復雜雜，工程程上常采采用簡單單的正交交阻尼模模型?！?多自由度度體系地地震反應應分析目前工程程上廣泛應用用的是瑞瑞雷阻尼尼模型，，其數(shù)學學表達式式為：式中，α0、α1—瑞雷阻阻尼系數(shù)數(shù)。由于振型型向量對對質(zhì)量矩矩陣和剛剛度矩陣陣具有正正交性，，因此，，對于瑞瑞雷阻尼尼模型，，也有：：即振型對對阻尼矩矩陣也具具有正交交性。利用上述述正交性性條件，，并注意意到：§4多自由度度體系地地震反應應分析其中：為為第j振型的廣廣義質(zhì)量量；為第j振型的廣廣義剛度度；為第j振型的廣廣義阻尼尼；為第j振型阻尼尼比。因此有：：若已知任任意兩階階振型的的阻尼比，則則可定出出阻尼系系數(shù)：§4多自由度度體系地地震反應應分析4.求解地震震反應的的振型分分解法§4多自由度度體系地地震反應應分析§4多自由度度體系地地震反應應分析§4多自由度度體系地地震反應應分析§4多自由度度體系地地震反應應分析§4多自由度度體系地地震反應應分析§4多自由度度體系地地震反應應分析§4多自由度度體系地地震反應應分析4.求解地震震反應的的振型分分解法一組正交交向量可可以作為為線性空空間的一一組基底底，這些些基的適適當線性性組合構(gòu)構(gòu)成空間間的點。。根據(jù)這一一觀點，，線性結(jié)結(jié)構(gòu)的動動力反應應必然是是其振型型向量所所張成的的線性空空間中的的點，點點的規(guī)跡跡則反映映動力反反應的時時程變化化過程。。為簡單明明了地說說明問題題，先考慮兩兩個自由由度的體體系?！?多自由度度體系地地震反應應分析將質(zhì)點m1和m2在水平向向地震作作用下任任一時刻刻的位移移u1(t)和u2(t)用兩個振振型的線線性組合合表示：：其中，第第一振型型向量，第二振振型向量量。這實際上是是一個坐坐標變換換式，原原來的變變量u1(t)和u2(t)為幾何坐坐標，而而新的坐坐標q1(t)和q2(t)可稱為廣廣義坐標標。由于體系系的振型型是唯一一確定的的，因此此，當q1(t)和q2(t)確定后，，質(zhì)點的的位移u1(t)和u2(t)也將隨之之確定。?！?多自由度度體系地地震反應應分析對此也可以這這樣理解解：體系的位位移可看看作是由由各振型型向量乘乘以相應應的組合合系數(shù)q1(t)和q2(t)后疊加而而成的。。換句話講講，這種種方法是是將實際際位移按按振型加加以分解解，故稱稱為振型型分解法法。另外，由由于q1(t)和q2(t)是隨時間間變化的的，因此此，同一一振型在在不同時時刻對總總位移““貢獻””的大小小是不一一樣的。?！?多自由度度體系地地震反應應分析對于一般般的多自自由度線線彈性體體系，有：式中，為為位位移向量量；為廣義坐坐標向量量；為振型矩矩陣，其中{?j}為體系的的第j個振型向向量。將上式兩邊分別前乘乘{?j}T[M]，利用振振型關于于質(zhì)量矩矩陣的正正交性及及上式，可導導出廣義義坐標與與一般位位移反應應的關系系。一般用于決定定各振型型的初始始條件。。§4多自由度度體系地地震反應應分析在水平地地震作用用下，多多自由度度彈性體體系的運運動方程程為：為應用振振型分解解法，一一般采用用瑞雷阻阻尼模型型。將：代入，，并前乘乘振型型向量量的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置{?j}T，利用用振型型向量量對質(zhì)質(zhì)量矩矩陣、、阻尼尼矩陣陣和剛剛度矩矩陣的的正交交性，，可得得：注意到到§4多自由由度體體系地地震反反應分分析則上式式可轉(zhuǎn)化為：：其中稱為第第j振型的的振型型參與與系數(shù)數(shù)。利用有有阻尼尼體系系的Duhamel積分公公式：廣義坐坐標q