向量組的線性相關與線性無關

向量組的線性相關與線性無關線性組合設q,???,々eRn,k,kkgR,稱kq+ka+??-+ka為a,???,々的一1 2t 1 2t 11 22 tt12t個線性組合。（k\1【備注11按分塊矩陣的運算規(guī)則，ka+kaH bka=（a,a*2o這TOC\o"1-5"\h\z11 22 tt1 2t-匕樣的表示是有好處的。線性表示\o"CurrentDocument"設a,a，---,<2eRn,b&Rn,如果存在k,k,k&R,使得1 2t 1 2tb=ka+ka+??-+ka11 22 tt則稱Z?可由q，???,々線性表示。1 2t（k\1kb=ka+ka+??-+ka,寫成矩陣形式，即b=（a，…2。因此，/?可11 22 tt 12t?X〕1由aq,…q線性表示即線性方程組Gs,???,々）*2=力有解，而該方程組有解1 2t 12t?當且僅當r{a,a,???,々）=r（a,a,???,々，/?）。TOC\o"1-5"\h\z1 2t 1 2t向量組等價設q,???,々，Z?,Z?,???，eRn,如果Q,a,???,々中每一個向量都可以由12t1 2s 1 2tb,b,???,/?線性表7K,則稱向量組ci,6/,???,々可以由向量組，,???,/?線性表7Ko12s 1 2t 12s如果向量組6Z,6Z,???,々和向量組，…，可以相互線性表示，則稱這兩個向1 2t 12s量組是等價的。向量組等價的性質：

自反性任何一個向量組都與自身等價。⑵對稱性若向量組I與II等價，則向量組II也與I等價。⑶傳遞性若向量組I與II等價，向量組II與III等價，則向量組I與III等價。證明：自反性與對稱性直接從定義得出。至于傳遞性，簡單計算即可得到。設向量組I為a,a,…,a，向量組II為b,b,…,b，向量組III為c,c,…,c。1 2r 1 2s 1 2t向量組II可由III線性表示，假設b=Eyc，j=1,2,…,s。向量組I可由向k=1i=1,2,…,r。因此，i=1,2,…,r。因此，c=Z(c=Z(Zyx)c，i=1,2,…,rkjk kjjikk=1j=1a=lLxb=lLxZy

ijjj/

j=1 j=1k=1因此，向量組I可由向量組III線性表示。向量組II可由I線性表示，III可由II線性表示，按照上述辦法再做一次，同樣可得出，向量組III可由I線性表示。因此，向量組I與III等價。結論成立！線性相關與線性無關設a,a,…,aeRn，如果存在不全為零的數(shù)k,k,…,keR，使得1 2t 1 2tka+ka+???+ka=011 22 tt則稱a,a,???,a線性相關，否則，稱a,a,???,a線性無關。12t 12t按照線性表示的矩陣記法，a,a,???,a線性相關即齊次線性方程組12t[k

k2a,a,???,a線性無關，即12t有非零解，當且僅當r(a「a2,???,a)<a,a,???,a線性無關，即12t(a,a,???,a)只有零解，當且僅當r(a,a,???,a)=t。TOC\o"1-5"\h\z1 2t特別的，若t=n，則a,a,???,aeRn線性無關當且僅當r(a,a,???,a)=n，1 2n 1 2n當且僅當(a,a,???,a)可逆，當且僅當|(a,a,???,a)豐0。1 2n 1 1 2n例1.單獨一個向量aeRn線性相關即a=0，線性無關即a主0。因為，若a線性相關，則。存在數(shù)k豐0，使得ka=0，于是a=0。而若a=0，由于1?a=a=0，1豐0因此，a線性相關。例2.兩個向量a,beRn線性相關即它們平行，即其對應分量成比例。因為，若a,b線性相關，則存在不全為零的數(shù)k,k，使得ka+kb=0。k,k不全為零，不妨12 1 2 12彳假設k主0，貝Ua=-土b，1 k1假設存在人，使得a=Xb彳假設k主0，貝Ua=-土b，1 k1假設存在人，使得a=Xb，則a-人b=0，于是a,b線性相關。)r0)r0)0,1,0〔0J0puj1pj例3.線性無關，且任意x=xx2頃3eR3都可以由其線性表示，且表示方法唯一。事實上，x「xr1)r0)r0、=x0+x1+x02123xJ30pj0pjp1jx=線性相關與無關的性質(1)若一向量組中含有零向量，則其必然線性相關。證明:設a,a,???,aeRn，其中有一個為零，不妨假設a=0，則1 2t tQ-a1+0-a2+???+0-a1+1-0=0因此，a,a,???,a線性相關。12t

若一向量組線性相關，則增添任意多個向量所形成的新向量組仍然線性相關；若一向量組線性無關，則其任意部分向量組仍然線性無關。證明：設a,a,…,a,P,P,…,PeRn，a,a,…,a線性相關。存在不全為零的數(shù)1 2t1 2 s 1 2tk,k,…,k，使得12tka+ka+…+ka=011 22 tt這樣，ka+ka+???+ka+0-P+0-P+???+0-P=011 22 tt 1 2 sk,k,???,k不全為零，因此，a,a,???,a,P,P,???,P線性相關。1 2t 1 2t1 2 s后一個結論是前一個結論的逆否命題，因此也正確。若一個向量組線性無關，在其中每個向量相同位置之間增添元素，所得到的新向量組仍然線性無關。證明：設a,a,???,aeRn為一組線性無關的向量。不妨假設新的元素都增加在向量12t最后一個分量之后，成為［最后一個分量之后，成為［*"b)b,b,???,b是同維的列向量。令12t(ka+ka+ +ka)=11 22tt=0Ikb+kb+…+kbJ11 22 tt則ka+ka+...+ka=0。由向量組a,a,???,a線性相關，可以得到TOC\o"1-5"\h\z11 22 tt 1 2tk=k=...=k=0。結論得證！向量組線性相關當且僅當其中有一個向量可以由其余向量線性表示。證明：設a,a,???,aeRn為一組向量。1 2t必要性若a,a,???,a線性相關，則存在一組不全為零的數(shù)k,k,???,k，使得12t 12tka+ka+…+ka=011 22 ttk,k,???,k不全為零，設k主0，貝Q1 2t jkaH Fka+kaH FkaTOC\o"1-5"\h\za=—―1~1 ^=1~^=1j+1~j+1 1_t~j充分性若a,a，…,a中某個向量可以表示成其余向量的線性組合，假設a1 2t j可以表示成a,…,a,a，…,a的線性組合，則存在一組數(shù)k,…,k,k,…,k，i j—ij+i t i j—ij+i t使得a=ka+…ka+ka+???+kaj11 j—1j—1 j+1j+1 tt也就是ka+…ka一a+ka+…+ka=011 j—1j—1jj+1j+1 tt但k,???,k,—1,k,???,k不全為零，因此，a,a，…,a線性無關。1 j—1 j+1t 12t【備注2】請準確理解其意思，是其中某一個向量可以由其余向量線性表示，而不是全部向量都可以。(5)若a,a,???,a(=Rn線性無關，beRn，使得a,a,???,a,b線性相關，則b可由1 2t 1 2ta1,%,???,at線性表示，且表示方法唯一。證明：a,a,???,a,b線性相關，因此，存在不全為零的數(shù)k,k,???,k,k，使得1 2t 1 2tt+1ka+ka+???+ka+kb=011 22 ttt+1k。0，否則k=0，則ka+ka+???+ka=0。由a,a,???,a線性無關，我們t+1 t+1 1122 tt 12t就得到k=k=???=k=0，這樣，k,k，…,k,k均為零，與其不全為零矛盾！1 2 t 1 2tt+1這樣，7ka+ka+…+ka

b=— 1kt+1因此，b可由a,a，…，a線性表示。12t彳假設b=xa+xa+…+xa=ya+ya+…+ya，貝。11 22 tt11 22 tt(x—y)a+(x—y)a+???+(x—y)a=01 1 1 2 2 2 ttt由a,a,???,a線性無關，有x—y=x—y=...=x—y=0，即12t 1 1 2 2 tt

x-y,x-y,…,x-y1 12 2tt因此，表示法唯一?！緜渥?】剛才的證明過程告訴我們，如果向量b可由線性無關向量組a「…,彳線性表示，則表示法唯一。事實上，向量b可由線性無關向量組a1，…,a,線性表示，即線性方程組(a,…,a)x-b有解。而a,…,a線性無關，即r(a,…,a)-1。因此，TOC\o"1-5"\h\z1t 1t 1t若有解，當然解唯一，即表示法唯一。(6)若線性無關向量組a,a,…,a可由向量組b,b,…,b線性表示，則t<s。1 2t 1 2s證明:假設結論不成立，于是t>s。a,a,…,a可由b,b,…,b線性表示。假設t 1 2s「11'xa-xb+xbH b1 111 212a-xb+xbH b1 111 212-(b,b,…，b)12sa—xb+xbb b2 121 222-(b1，b2,…，bkXs1^'J'X22a—xb+xbb bxb—(b,b,…,b)t1t1 2t2"1X2tst2s任取k,k,…,k，則1 2tka+kab ka+kab bka—(a,a,…,a)11 22 tt1 2trk1rxxx1rk1111121t1kxxxk?2-(b,b,…,b)2122????2t2??1 2s??????::.k/〔xxx/.k/s2s1tstt由于(X11X21X12X22X1「X由于(X11X21X12X22X1「X21為一個sxt階矩陣，而t>s，因此，方程組kXls1(X11X21x12X22X「X21必有非零解，設為kXls1，于是ka+ka11 22+...+kaf=0。因此，存在一組不全為kkJ零的數(shù)k,k,...,k，使得ka+ka+..?+ka=0。因此，向量組a,a,…,a線性相1 2t 11 22 tt 1 2t關，這與向量組a,a,...,a線性無關矛盾！因此，t<s。12t⑺若兩線性無關向量組a,a,...,a和b,b,…,b可以相互線性表示，則t=s。1 2t1 2s證明:由性質(6)，t<s，s<t，因此，s=t?！緜渥?】等價的線性無關向量組所含向量個數(shù)一樣。a,a,...,a線性無關當且僅當12t⑻設a,a,…,aeRn，Pa,a,...,a線性無關當且僅當12t1 2tPa,Pa,…,Pa線性無關。1 2 tb可由a1,aPa,Pa,…,Pa線性無關。1 2 tPa,Pa,Pa,…，Pa線性表示。若可以線性表示，表示的系數(shù)不變。證明:ka+kaka+kaH—bka11 22=0oP(ka+kaH—Hka)=0tt 11 22 ttok(Pa)+k(Pa)H—Hk(Pa)=011 22 ttka=boP(ka+kaH—bka)=b

tt 11 22 ttok(Pa)+k(Pa)H—Hk(Pa)=Pb11 22 tt如此，結論得證!極大線性無關組定義1設a,a,…,ae死，如果存在部分向量組a,a,…,a，使得12f L匕ir⑴a,a,…,a線性無關;ii⑵a,a,…,a中每一個向量都可以由a,a,…,a線性表示;TOC\o"1-5"\h\z12f ?i2 ir則稱a,a,…,a為a,a,…,a的極大線性無關組。i'1‘2 i12f【備注5】設a,a,…,aeRn，a,a,…,a為其極大線性無關組。按照定義，12f ‘‘2 ira,a,…,a可由a,a,…,a線性表示。但另一方面，a,a,…,a也顯然可以由12f ii i ii i12 r 12 ra,a,…,a線性表示。因此，a,a,…,a與a,a,…,a等價。也就是說，任何一12f 12f ‘1‘2 ir個向量組都與其極大線性無關組等價。向量組的極大線性無關組可能不止一個，但都與原向量組等價，按照向量組等價的傳遞性，它們彼此之間是等價的，即可以相互線性表示。它們又都是線性無關的，因此，由之前的性質（7），向量組的任意兩個極大線性無關組含有相同的向量個數(shù)。這是一個固定的參數(shù)，由向量組本身所決定，與其極大線性無關組的選取無關，我們稱其為向量組的秩，即向量組的任何一個極大線性無關組所含的向量個數(shù)?！緜渥?】按照定義，向量組a,a,…,a線性無關，充分必要條件即其秩為f。12f定義2設a,a,…,aeRn，如果其中有r個線性無關的向量a,a,…,a，但沒有12 f ‘1‘2 ‘r更多的線性無關向量，則稱a,a,…,a為a,a,…,a的極大線性無關組，而r為‘1‘2 ‘r 12fa,a,…,a的秩。12f【備注7】定義2生動地體現(xiàn)了極大線性無關組的意義。一方面，有r個線性無關的向量，體現(xiàn)了“無關性”，另一方面，沒有更多的線性無關向量，又體現(xiàn)了“極大性”?！緜渥?】兩個定義之間是等價的。一方面，如果a,a,…,a線性無關，且TOC\o"1-5"\h\z‘1‘2 ‘ra,a,…,a中每一個向量都可以由a,a,…,a線性表示，那么，a,a,…,a就沒12f ‘1‘2 ‘r 12f有更多的線性無關向量，否則，假設有，設為久b,…,b，s>r。b,b,…,b當然1 2s 1 2s可以由a,a,…,a線性表示，且還線性無關，按照性質(6),s<r，這與假設矛ii2 i盾！另一方面，假設a,a,...,a為a,a,...,a中r個線性無關向量，但沒有更多i i12七的線性無關向量，任取a,a,...,a中一個向量，記為b，則a,a,…,a,b線性相1 2 f ?Z2關。按照性質(5)，b可有a,a,...,a線性表示(且表示方法唯一)。iii【備注9】設向量組a,a,...,a的秩為r，則其極大線性無關向量組含有r個向量。1 2t反過來，其中任何r個線性無關向量所成的向量組也是a,a,…,a的一個極大線12 t性無關組。這從定義即可得到。6.向量組的秩的矩陣的秩的關系稱矩陣A的列向量組的秩為A的列秩，行向量組轉置后所得到的列向量組的秩稱為矩陣A的行秩。定理1任意矩陣的秩等于其行秩等于其列秩。證明：設A=(a)eRmxn，r(A)=r。將其按列分塊為A=(a,a,…,a)。存在m階ij 1 2n可逆矩陣P，使得PA為行最簡形，不妨設為(100bb1,r+11,n10bb???2,r+1??? 2,n?????.??????????1bbr,r+1r,n00000?????????v0???0???0??????0???0??????PA=(Pa,Pa2,...,Pa)=線性無關，且PA中其余列向量都可以由其線性表示，因此,

為PA為PA的極大線性無關組，其個數(shù)為因此，a,a,…,a線性無1 2r關，且A中其余列向量均可由其線性表示(且表示的系數(shù)不變)。因此，A的列秩等于A的秩。 W1 將A按行分塊，A=:，則Ar=(b「b2,…,b)，因此，按照前面的結論，AV” 1徹*m'的行秩為Ar的秩，而Ar的秩等于A的秩。至此，結論證明完畢!【備注10】證明的過程其實也給出了求極大線性無關組的方法。擴充定理定理2設a,a,…,aeRn，秩為r，a,a,…,a為其中的k個線性無關的向量，1 2 ， ?匕ikk<r，則能在其中加入a,a,…,a中的(r-k)個向量，使新向量組為a,a,…,a的TOC\o"1-5"\h\z1 2t 1 2t極大線性無關組。證明：如果k=r，則a,a,…,a已經(jīng)是a,a,…,a的一個極大線性無關組，無須再?i2 ik 12 t添加向量。如果k<r，則a,a,…,a不是a,a,…,a的一個極大線性無關組，于是，?i2 ik 12 ta,a,…,a必有元素不能由其線性表示，設為a，由性質(5)，向量組12 t ik+1a,a,…,a,a線性無關。?i2 ikL+1如果k+1=r，則a,a,…,a,a已經(jīng)是a,a,…,a的一個極大線性無關組，ii2 ikik+1 12 t無須再添加向量。如果k+1<r，則a,a,..,.a,a不是a,a,...,a的一個極大線性無關組，于ii ikik+ 12t是，a,a,...,a必有元素不能由其線性表示，設為a，由性質(5)，向量組1 2 t ik+2

a,a,...,a,a,a線性無關。i'1i2 iik+1七2同樣的過程一直進行下去，直到得到r個線性無關的向量為止?！緜渥?1】證明的過程其實也給出了求極大線性無關組的方法。只是，這方法并不好實現(xiàn)。求極大線性無關組并將其余向量由極大線性無關組線性表示求向量組a,a,…agRn的極大線性無關組，可以按照下面的辦法來實現(xiàn)。1 2 ?⑴將a,a,?-a合在一起寫成一個矩陣A=(a,a,…a)；1 2t 1 2t(2)將A通過初等行變換化成行階梯形或者行最簡形，不妨設化得的行階形為(b110b12b22(b110b12b22b1rb2rbr+1br+1b1，nb2,nbrr0br,n0=B，b壬0,i=1,2,…,r，r=r(A)⑶在上半部分找出r個線性無關的列向量，設為j,j,…,j列，則j,j,…,j為