線性代數(shù)-p第三節(jié)

一、非齊次線性方程組有解的判定條件問(wèn)題：如何利用系數(shù)矩陣A

和增廣矩陣A

的秩線性方程組Ax

b

的解．回答:

與

A組Ax

b

(b

0)不一定有解，而是有的充分必要條件是

Ar)；A()r(且在有無(wú)窮多解時(shí)，其通解表達(dá)式中含有

A)r個(gè)(n

任意參數(shù)齊次線性方程組

bx有A

解nm定理1

n這與方程組有解相則盾方程０＝１，證

必要性．設(shè)方程組

Ax

b

有解,

(反證法)設(shè)r

A

r

A,A

的行階梯形矩陣中最后一個(gè)非零行對(duì)應(yīng)矛因此只能是r(A)

r(A).其余n

r個(gè)作為

未知量,并令n

r個(gè)

未知量任意取值，即可得方程組的一個(gè)解．證畢則A

的行階梯形矩陣中含r

個(gè)非零行非把這r行的第一個(gè)非零元所對(duì)應(yīng)的未知量作為未知量,充分性.設(shè)r(A)

r(A)

r

(

n),推論

矩陣方程

AX

B有解r(

A)

r(

A,

B)由上一節(jié)，知道對(duì)線性方程組Ax

b的求解，主要是對(duì)增廣矩陣A進(jìn)行初等行變換而將其化為行最簡(jiǎn)形矩陣.例1

求解非齊次線性方程組

x1

x2

x31,3223,5332.2x1

x2

x32

3x1

x

x解對(duì)增廣矩陣A

進(jìn)行初等變換，定理1‘1

r12

(3)

1

3

2

1

2

3

1

1

5

31

2

2A

30

5

4

023r

(1)1

0

0

0

0 2

2

3

1

1

5

4

0

1顯然，r(A)

2

r(A)

3,定理1更常用的描述是13

r

(2)2

0對(duì)n

齊次線性方程組

bxmnr(

A)

r(

A)

nr(

A)

r(

A)

n(3)(()r)rAA

方程組無(wú)解.故方程組無(wú)解．此乃第三章的精華所在結(jié)論為求解非齊次線性方程組Ax

b，只需將增廣矩陣A

化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，再將行階梯形矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其通解。容易看出，n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線性方程組時(shí)使用的克拉默法則只是定理1的必要條件.故而定理1是克拉默法則的一個(gè)重要推廣.二、線性方程組的解法例2

求解非齊次方程組的通解3

3

x4

1

23

x4

03

4

3

x

1解

對(duì)增廣矩陣

A

進(jìn)行初等變換

1

211

1

1

1

0

1

1

3

1

2

3A

1

12

0

1

1

1

1

00

2

4

10

1

21

~

00

0

1

1

0

1 1

2

A

~

0

0

1

2 1

20

0

00

0

1

1

1

1

0

~

0

0

1

20

0

0由r(A)

r(A

)

2

4,知1

2

方程組有無(wú)窮多解.

繼續(xù)化簡(jiǎn)得432xx

212112001220123x2

x4x

x

x

2

x1

x2x2對(duì)應(yīng)同解方程組0

0

1

1

0

1 1

2

A

~

0

0

1

2 1

20

0

0而行最簡(jiǎn)形矩陣矩陣1

21

22

2

0

1

0

3

x4

x

1

0

x2

c

1

c

0

0

.

x1

1

1

1

2(其中c

,c

R)所以方程組的通解為注意線性方程組Ax

b的通解表達(dá)式不唯一！例如，

000

1

A

~

0中也可方程組

x2

x4

4

2

x

x若令x1

c1

,則得通3c

4

x3

x2

x1

1

2(其中c

,c

R)例3是

的

切證

對(duì)增廣矩陣

A

進(jìn)行初等變換，方程組的增廣矩陣為A

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0~

5有解rA

rA

ai

i

1將1，2，3加到第5方程組有解的充要條件是

ai

0.

x4由于原方程組等價(jià)于方程組

x

x2i

1

x1

x2

a1

x4

a3

x5

a4

x3

a23由此得通解：x3

a3

a4

cx4

a4

cx1

a1

a2

a3

a4

cx2

a2

a3

a4

c

c

為任意實(shí)數(shù).例4

設(shè)有線性方程組3

1

2

33

A

1

1

1

2

111

11

11

~

11問(wèn)取何值時(shí),有唯一解?

無(wú)解？有無(wú)窮多個(gè)解?解一

對(duì)增廣矩陣

A

(

A2

1

1

0

11

3

2

0

11

2

3

22

0

11

2

1

1

2

1

1

1

0

10

1

~

0

1 1

2

1

1

2

1

~

0

1 1

0 2

221

當(dāng)

1時(shí),

00

1

1

1

1

A

~

0

0

0

00

0由rA

rA

1

3,知方程組有無(wú)窮多解.且其通解為

x3

x32

2

x

x3c1

,

c2

R

1

1

0

1

0

1

2

3

2

1

x

x

c

1

c

0

0

x1

即2

當(dāng)

1時(shí),

0

11

2

1

~

0

1

10

(2

)2這時(shí)又分兩種情形：1)

2時(shí),

rA

rA

3,方程組有唯一解:

123

2

2

2

.

0

11

2

1

1

2

1

1

1A

~

0

102由2

rA

rA

3,故方程組無(wú)解.2)

2時(shí),

1

0

1

1

2

4

~

0

3

3

60

01

2

0

1

1

A

~

0

1

10

(2

)

2綜上所述(1)

當(dāng)

1，且

2(2)

當(dāng)

2時(shí)當(dāng)