2017概率作業(yè)紙答案

第一章隨機事件及其概率§1.1隨機事件§1.2隨機事件的概率一、單選題以A表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”則其對立事件A為(D)(A)“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”(B)“甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷”(C)“甲種產(chǎn)品暢滯銷”(D)“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”對于事件A、B，有BUA，則下述結論正確的是(C)(A)a、B必同時發(fā)生；(B)A發(fā)生，B必發(fā)生；(C)B發(fā)生，A必發(fā)生；(D)B不發(fā)生，A必發(fā)生設隨機事件A和B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則下列式子正確的是(C)(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A)+P(B)(C)P(C)>P(A)+P(B)-1(D)P(C)<P(A)+P(B)-1二、填空題設A,B,C表示三個隨機事件，用A,B,C的關系和運算表示(1)僅A發(fā)生為：ABC；A,B,C中正好有一個發(fā)生為：ABC+ABC+ABC；A,B,C中至少有一個發(fā)生為：A..IBJC；A,B,C中至少有一個不發(fā)生表示為：ABC.2?某市有50%住戶訂日報，65%住戶訂晩報，85%住戶至少訂這兩種報紙中的一種，則同時訂這兩種報紙的住戶所占的百分比是30%.設P(A)二P(B)二P(C)二4,P(AB)二P(AC)二P(BC)二8P(ABC)二/則716P(716P(ABC)=916P(A,B,C至多發(fā)生一個)=3P(A,B,C恰好發(fā)生一個)=—.16(a)(a)p(BA)>o(B)P(A|B)=P(A)§1.3古典概率一、填空題31?將數(shù)字1，2,3,4,5寫在5卡片上，任取3排成3位數(shù)，則它是奇數(shù)的概率為匸.2?把10本書任意放在書架上，求其中指定的3本書放在一起的概率為10!.若袋中有3個紅球，12個白球，從中不返回地取10次，每次取一個，則第一次取得紅11球的概率為匚，第五次取得紅球的概率為匚.55盒中有2只次品和4只正品，有放回地從中任意取兩次，每次取一只，則1(1)取到的2只都是次品石；94(2)取到的2只中正品、次品各一只石；98(3)取到的2只中至少有一只正品石.9二、計算題1．一份試卷上有6道題.某位學生在解答時由于粗心隨機地犯了4處不同的錯誤.試求這4處錯誤發(fā)生在最后一道題上的概率；這4處錯誤發(fā)生在不同題上的概率；至少有3道題全對的概率.解：4個錯誤發(fā)生在6道題中的可能結果共有64=1296種，即樣本點總數(shù)為1296.設A表示“4處錯誤發(fā)生在最后一道題上”只有1種情形，因此P(A)丄；1296設B表示“4處錯誤發(fā)生在不同題上”即4處錯誤不重復出現(xiàn)在6道題上，共有P6436053605129618種方式，因此有6543360種可能，故P(B)設C表示“至少有3道題全對”相當于“至少有2個錯誤發(fā)生在同一題上”而C表示

“4處錯誤發(fā)生在不同題上”C=B,P(C)=1-P(B)=13.18已知N件產(chǎn)品中有M件是不合格品，今從中隨機地抽取n件，試求：n件中恰有k件不合格品的概率；n件中至少有一件不合格品的概率.解：從N件產(chǎn)品中抽取n件產(chǎn)品的每一取法構成一基本事件，共有Cn種不同取法.N設A表示抽取n件產(chǎn)品中恰有k件不合格品的事件，則A中包含樣本點數(shù)為CkCn-kMN-M由古典概型計算公式，P(A)=Ck由古典概型計算公式，P(A)=MN-MCnN設B表示抽取n件產(chǎn)品中至少有一件不合格品的事件，則B表示n件產(chǎn)品全為合格品的事件，包含Cn個樣本點。則P(B)=1-P(B)=1-nm。N-MCnN3．一批產(chǎn)品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。從這批產(chǎn)品中任取3件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中恰有2件等級相同的概率；(2)取出的3件產(chǎn)品中至少有2件等級相同的概率.解：設事件A表示取出的3件產(chǎn)品中有2件i等品，其中i=1，2，3；iC2C1+C2C1+CC2C1+C2C1+C2C1—9_H7_134_16=0671C320P(A+A+A)二P(A)+P(A)+P(A)二123123(2)設事件A表示取出的3件產(chǎn)品中至少有2件等級相同，那么事件A表示取出的3件產(chǎn)品中等級各不相同，則P(件產(chǎn)品中等級各不相同，則P(A)=1-P(A)=1-C1C1C1―9_7_4C320=0.779§1.4條件概率一、單選題1?設A,B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,則必有(D).

(c)P(AB)=P(A)P(B)(D)P(A|B)=02?已知P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(AuB)=0.6，則P(A|B)=(d).(A)0.2(B)0.45(C)0.6(D)0.75已知AuB,P(A)=0.2,P(B)=0.3，則P(BA)二(c).(A)0.3(B)0.2(C)0.1(D)0.4已知P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(BIA)=0.5,貝qP(AuB)=(D).(A)0.9(B)0.8(c)0.7(D)0.65?擲一枚質地均勻的骰子，設A為"出現(xiàn)奇數(shù)點”，B為"出現(xiàn)1點”，則P(B|A)=(C).(A)1/6(B)1/4(C)1/3(D)1/2二、填空題已知P(A)=0.5,P(B)=0.6及P(B|A)=0.8,則P(AB)=0.7.設A,B互不相容，且P(A)=p,P(B)=q；則P(AB)二1-p-q.3.設事件A,B及AuB的概率分別為0.4,0.3,0.5，則P(AB)二0.2.4.已知事件A,4.已知事件A,B互不相容,且P(A)=0.3,0.6，則P(B)=0.5.5?設某種動物由出生算起活到20歲以上的概率為0.&活到25歲以上的概率為0.4.如果一只動物現(xiàn)在已經(jīng)活到20歲，則它能活到25歲以上的概率是0.5.三、計算題一批彩電，共100臺，其中有10臺次品，采用不放回抽樣依次抽取3次，每次抽一臺，求第3次才抽到合格品的概率.解設Ai(i=1,2,3)為第i次抽到合格品的事件，則有P(AAA)=P(A)P(AA)P(AAA)=10/100?9/99?90/98^0.0083.123213122?一個盒子裝有6只乒乓球，其中4只是新球.第一次比賽時隨機地從盒子中取出2只乒乓球，使用后放回盒子?第二次比賽時又隨機地從盒子中取出2只乒乓球.試求第二次取出的球全是新球的概率.解：設B：第一次取出的都是新球，B:都是舊球，B:一新一舊123P(A)=fP(B)P(A|B)二C2xC2+CxC2xC4%C2xC2=—iiC2C2C2C2C2C225i=1666666某保險公司把被保險人分為3類：“謹慎的”、“一般的”、“冒失的”。統(tǒng)計資料表明，這3種人在一年發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，一個被保險人在一年出事故的概率是多大？解：設B=“他是謹慎的”B=“他是一般的”B=“他是冒失的”則B,B,B123123構成了。的一個劃分，設事件A二“出事故”由全概率公式：P(A)=￡P(B)P(AIB)iii=1二0.05x20%+0.15x50%+0.30x20%=0.125.§1.5事件的獨立性§1.6獨立試驗序列一、單選題設A、B是兩個相互獨立的隨機事件，P(A)P(B)>0，則P(AB)=(B)(A)P(A)+P(B)(B)1-P(A)?P(B)(C)1+P(A)?P(B)(D)1-PCAB)設甲乙兩人獨立射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為0.9和0.8，則目標被擊中的概率是(B).(A)0.9(B)0.98(C)0.72(D)0.8每次試驗成功率為p(0<p<1)，進行10次重復試驗成功4次的概率為(A)進行重復試驗，直到第10次試驗才取得4次成功的概率為(B)進行10次重復試驗，至少成功一次的概率為(D)進行10次重復試驗，10次都失敗的概率為(C)(A)C4p4(1-p)6(B)C3p4(1-p)6(C)(1-p)10(D)1-(1-p)10109二、填空題1.設A與B為兩相互獨立的事件，P(AB)=0.6,P(A)=0.4，則P(B)=3.TOC\o"1-5"\h\z三臺機器相互獨立運轉，設第一、二、三臺機器不發(fā)生故障的概率依次為0.9,0.8,0.7，則這三臺機器中至少有一臺發(fā)生故障的概率0.496.3?某人射擊的命中率為0.4，獨立射擊10次，則至少擊中1次的概率為1一0.610.某射手在三次射擊中至少命中一次的概率為0.875，則這射手在一次射擊中命中的概率為0.5.一批電子元件共有100個，次品率為0.05.連續(xù)兩次不放回地從中任取一個，則第二次19才取到正品的概率為.396三、計算題1.5名籃球運動員獨立地投籃，每個運動員投籃的命中率都是80％.他們各投一次，試求：恰有4次命中的概率；至少有4次命中的概率；至多有4次命中的概率.解：設A表示第i個運動員命中，i=l,2,3,4,5iP(A)=5xP(AAAAA)=5x0.2x0.84=0.409612345P(B)=P(A)+P(AAAAA)=0.4096+0.85=0.737312345P(C)=1-P(AAAAA)=1-0.85=0.6723123452．一個工人看管三臺車床，在一小時車床不需要工人看管的概率：第一臺等于0.9，第二臺等于0.8，第三臺等于0.7.求在一小時三臺車床中最多有一臺需要工人看管的概率.解：設事件A?表示第i臺車床不需要照管，事件A表示第i臺車床需要照管，(i=1，2,3)，ii根據(jù)題設條件可知：P(A)=0.9,P(A)=0.111

P(A)二0.&P(A)二0.222P(A)=0.7,P(A)=0.333設所求事件為B，則P(B)=P(AAA+AAA+AAA+AAA)TOC\o"1-5"\h\z123123123123根據(jù)事件的獨立性和互不相容事件的關系，得到：P(B)=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)123123+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)123123=0.9x0.8x0.7+0.1x0.8x0.7+0.9x0.2x0.7+0.9x0.8x0.3=0.902.甲、乙、丙3位同學同時獨立參加《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》考試，不及格的概率分別為0.4,0.3,0.5（1）求恰有兩位同學不及格的概率；（2）如果已經(jīng)知道這3位同學中有2位不及格，求其中一位是同學乙的概率.解：（1）設A=｛恰有兩位同學不及格｝，B=｛甲考試及格｝，B=｛乙考試及格｝B=｛丙考試及格｝.則P(A)=P(BBBoBBBoBBB)=P(BBB)+P(BBB)+P(BBB)123123123123123123=P(B)P(B)P(B)+P(B)P(B)P(B)+P(B)P(B)P(B)=0.291231231232）P(B|A)P(AB2）P(B|A)P(AB)P(BBBoBBB)P(BBB)+P(BBB)15P(A)P(A)P(A)29第二章隨機變量及其分布隨機變量§2.2離散型隨機變量及其概率分布一、單選題1.離散型隨機變量X的概率分布為P（X=k）=Ak（k=1,2,）的充要條件是（A）.(A)九=(1+A)-i且A>0(B)A=1一九且0v九v1(C)A=九-1—1且九V1(D)A>0且0V九<1下面函數(shù)中，可以作為一個隨機變量的分布函數(shù)的是(B).(A)F(x)=(C)(A)F(x)=(C)F(x)=0,x>0;x<0.(B)F(x)=11

arctanx+

n2(D)F(x)=JXf(g》t,其中J+sfC》t二1—g—s已知隨機變量X服從二項分布X?B(6,0.5),則P(X=2)=(c).16(A)64二、填空題1.16(A)64二、填空題1.已知隨機變量1515(C)64X的取值是－1,0,1,2，隨機變量3(D)5X取這四個數(shù)值的概率依次是13522b'4b'8b'而0,x<02.X?B(l,0.8),則X的分布函數(shù)是F(x)=<0.2,0<x<1.1,x>1設隨機變量X?B(2,p),Y?B(3,p)，若P(X>1}=專，則P&>-927重復獨立地擲一枚均勻硬幣，直到出現(xiàn)正面向上為止，則拋擲次數(shù)Y的分布為P仗=k}=(2)k,k=1,2,3,.2三、計算題一尋呼臺每分鐘收到尋呼的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布?求(1)每分鐘恰有7次尋呼的概率.(2)每分鐘的尋呼次數(shù)大于10的概率.4k解：P(X=k)=e-4,(k=0,1,...)k!(1)P(X(1)P(X<7)—P(X<6)=4746——e—4———e—47!6!=0.9489—0.8893=0.059665656565410⑵1-P(X冬10)=1-10!e-4=1-°-9972=°.°028已知盒子中有4個白球和2個紅球，現(xiàn)從中任意取出3個，設X表示其中白球的個數(shù),求出X的分布列.解：X的可能取值為3、4、5，又11C23一，P{X二4}二—3-C31°C31°55X345133P———1°1°5P{X二3}C2,P{X二5}二4C35設隨機變量Y的分布列為:TOC\o"1-5"\h\zY012AAaP234求（1）系數(shù)A及Y的分布列;(2)Y的分布函數(shù)；P務<2.5}.A=6°77⑶Ph<YP務<2.5}.A=6°77⑵F(x)=°,3°⑵F(x)=°,3°775°77771,x<°,°<x<1,1<x<2,2<x<3x>3.4727650123P3°2°151277777777⑴丁1=呂+呂+專+?=6°(3°+20+15+12)此時分布為2.32.3連續(xù)型隨機變量及其概率密度一、單選題1.若函數(shù)f(x1.若函數(shù)f(x)=cosx,0,xeD是隨機變量X的概率密度，則區(qū)間D為其它A)(A)［0,土］(B)［牛，兀］(C)［0』］L-iL-i2.下列函數(shù)為隨機變量的密度函數(shù)的為(D)(A)Icosx,f(x)To,(A)Icosx,f(x)To,xe[0,n]其他1(B)f(x)=<2'°，|x<2其他(C)e202x>0x<03.設隨機變量X的概率密度為f(x)，則f(x)—定滿足(D)(A)0<f(x)<1(B)P(X>x)=Jxf(t)dt—g(C)J*8xf(x)dx=1(D)P(X<x)=Jxf(t)dt—g—g設X?N(RQ2)，那么當o增大時，則P(|X-訓<o)(C)(A)增大(B)減少(C)不變(D)增減不定設X?"6,02)且P(0<X<4)=0.6，則P(X<0)=(C)(A)0.3(B)0.4(C)0.2(D)0.5二、填空題1.設連續(xù)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx,—8<x<+8(1)A二1;B二-:⑵P(_1<X<1)=0.5;(3)概率密度f(x)=-二2nn1+x22?設隨機變量X在在區(qū)間[-1,2]上服從均勻分布，則

P(P(一6<x<一1)=0P(一4<x<1)=2/3P(-2<x<3)=1,(4)P(1<x<6)=1/3.設隨機變量X?N(1,9),，則若P(X<k)=2,k=1.設隨機變量X?NG,22),①(0.5)=0.6915，則事件{0<X<2}的概率為0.383.5.設隨機變量X?N(2,b2)，若P{0<X<4}=0.3，則P{X<0}=0.35.三、計算題設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為cx0<x<3f(x)=<2-—3<x<4,2

0其它求：⑴常數(shù)c；(2)概率pfe<X<6).解：⑴由密度函數(shù)的性質ff(x)dx=1，得1=ff(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dx+ff(x)dx+ff(x)dx=f0=f0dx+fcxdx+3c3(x2、49(7、—x2+2x—=—c+2—20kh丿22k4丿034—g1所以，得c=.即隨機變量X的密度函數(shù)為691=—c+—2462x20062x200<x<33<x<4.其它⑵pb<X<6)=ff(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dx+ff(x)dx2234(x「一6一一x23(x2]2-dx+J0dx=一+2x—2丿4122k忑丿=f—dx+6243512+=1243設隨機變量X的分布函數(shù)為0,x<1,

F(x)=<lnx,1<x<e,1,x>e,3求P{X<2},P{1<X<4},P{X>-}；求分布密度f(x).解：(1)P{X<2}=P{X<2}=F⑵=ln211<x<e,P{1<X<4}=F(4)-F(1)=1-ln1=1,P{X>3}=1-11<x<e,(2)f(x)==-,f(x)=」x0,其他0,其他,3.設k在(0,5)上服從均勻分布，求方程4x2+4kx+k+2=0有實根的概率.解：x的二次方程4x2+4kx+k+2=0有實根的充要條件是它的判別式A二(4k)2-4x4(k+2)>0,即16(k+1)(k-2)>0,解得k>2,或k<-1由假設k在區(qū)間(0,5)上服從均勻分布，其概率密度為fk(fk(x)=0,0<x<5,其他,故這個二次方程有實根的概率為=ff(x)dx+2p=P{(k>2)(k<—1)}=P{k=ff(x)dx+2Jf(x)dx=J^dx+J0dx=3—g55—g—g22.4隨機變量的函數(shù)及其分布一、計算題解：Y=X2所有可能取值為0,1,4,9.P{Y0}=P{X=0}=P{Y1}=P{X1}=P解：Y=X2所有可能取值為0,1,4,9.P{Y0}=P{X=0}=P{Y1}=P{X1}=P{X=1}+P{X=-1}=首30P{Y4}=P{X4}=P{X=2}+P{X=—2}=P{Y9}=P{X9}=P{X=3}+P{X=—3}=11113030Y0Y014917111P————k530530故X的分布律為:2?設隨機變量X的概率密度f2?設隨機變量X的概率密度f(x)=2x,0,0<x<1其它求下列隨機變量的概率密度：1.設隨機變量X的分布列為X-2-1013111111pk5651530求Y=X2的分布列.(2(2)fY(y)={0,0<y<1(1)Y=1+2X；(2)Y=X2.y-1解:(1)fY(y)=<2,1<y<30

3.設隨機變量X在(0,1)區(qū)間服從均勻分布，求Y=eX的分布密度.解：Y的分布函數(shù)Fy(y)-P(Y<y)二P(ex<y)二P(X<lny)當y〉0時，F(xiàn)(y)=jlnyf(x)dx二lny(注意x在(0,1)有值，y在(0,e))—g11dy-,1<yae,fY(y)=\ydy|o,其他第三章二維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布一、單選題1.設二維隨機變量(1.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=e—(x+y)0,x>0,y>0;其他.則P(X<Y)=(A)(A)0.5(B)0.55(C)0.45(D)0.62.二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)是以下哪個隨機事件的的概率(B)(A)((A)(X<x)(Y<y)(B)(X<x)(Y<y)f(f(x,y)=6兀2(x2+4)(y2+9)C)XaxD)XC)Xax二、填空題xy1.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)=A(B+arctan-)(C+arctan彳)23則系數(shù)A=，(X,Y則系數(shù)A=2?設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=Ae-(2x+y)0,x>0,yf(x,y)=Ae-(2x+y)0,x>0,y>0;其他.則A=2三、計算題1.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：f(x,y)=兀2(x2+4)(y2+9)，(x，y<+◎求(1)系數(shù)A；(2)P{0<X<2,0<Y<3}.解：(1)由于J+"J+"f(x,y)二1,A兀2(x2+4)(y2+9)dxdy，+OT—OT1(x2+4)dxJ+OT—OT1(y2+9)dyt=1,所以A=6(2)P{0<XV2,0<Y<3}=—J2-dxJ3-dy兀20(x2+4)0(y2+9)1162.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為k(6—x—y),0<x<2,2<y<40,其他試求：(1)常數(shù)k；(2)概率P(X<1,Y<3).解：(1)由于J+"J+"f(x,y)=1，—OT—OT故卜卜k(6-x-y)dxdy=1，-OT-OT8k=1

所以k=-8(2)P(X<1,Y<3)=J1J3-(6-x-y)dxdy=302883!將三個球隨機的投入三個盒子中去，每個球投入盒子的可能性是相同的.以X及Y分別表示投入第一個及第二個盒子中球的個數(shù)，求二維隨機變量(X,Y)聯(lián)合概率分布.3!解：p（x=i，Y=j）=^^（護'=0^3;j=O'1'2,3；"）<3XY01230133127272727136302727272330027273100027邊緣分布§3.3隨機變量的獨立性1.下表列出了二維隨機變量(X,Y)聯(lián)合概率分布及關于X和關于Y的邊緣概率分布的部分數(shù)值，試將其余值填入表中的空白處y2y3P{X=x}=pii-1111x一12481241313x—28844

P{Y=y}=「1111X1-101P111—X1-101P111———424而P{XX二0}二1.12（1）求X和X的聯(lián)合分布；（2）問X和X是否獨立？為什么？1212解：X7X7-10100.2500.25100.50（2）X和X不獨立。123.把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求（X,Y）的概率分布以及關于X、Y的邊緣概率分布.解：X的可能取值為0，1，2，3；Y的可能取值為1，3并且（X,Y）可取值（0,3）,（1,1）,（2,1）,（3,3）P{x=°，y=3}=（2）3=1

TOC\o"1-5"\h\z113P{X=1,Y=1}=Ci(—)(—)2=--22811-P{X=2,Y=1}=C2(_)2(_)=—-228P{X=-,Y=-}=(—)-=—28得(X,Y)的分布及關于得(X,Y)的分布及關于X、Y的邊緣概率分布為Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=2e-(x+2y)0,4.已知二維隨機變量(X,,x>0,y>0其他.判斷隨機變量判斷隨機變量X和Y是否獨立?解:由于x>0x<解:由于x>0x<0f(y)='2e-2y'Y0,y>0y<0故故f(x,y)=f(x)f(y)XY所以隨機變量X和Y獨立一、單選題第四章隨機變量的數(shù)字特征一、單選題第四章隨機變量的數(shù)字特征§4.1數(shù)學期望0,x<01?設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=<x3,0<x<1，則E(X)=(B)1,x>1(B).3x3(B).3x3dx0(C).3x4dx0(D)J+"3x3dx—g2?擲10顆骰子，令X為10顆骰子的點數(shù)之和，則E(X)=(C)(A)42(B)21/2(C)35(D)213?設隨機變量X與Y相互獨立，且它們分別在區(qū)間［-1,3］和［2,4］上服從均勻分布，則E(XY)=(C)(A)1(B)2(C)3(D)4二、填空題［kxa,0<x<1,1?設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)=<其中k,a>0，又已知0,其它，E(X)=0.75，則k=_，a=2‘2?設隨機變量X服從參數(shù)為2?設隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則數(shù)學期望E+e—2x4/31+x,—1<x<0,3.設隨機變量X的概率密度為f(x)=<1—x,0<x<1,則E(X)=0,0,其它，4.已知離散型隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，即P(X=x)=,k=0,1,2,kk!則隨機變量Z=3X—2的數(shù)學期望E(Z)=4.三、計算題1設X的概率分布為

Q1解：E(X)=Q1解：E(X)=3,E(-3X+2)=-3E(X)+2=--44-22.設(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=12y2,0<y<x<1,0,其它，求E(X),E(Y).解:E(X)=J]xf(x,y)dxdy=J1xdxJx12y2dy二￡，同理E00550<y<x<13?設隨機變量X在區(qū)間［0,兀］上服從均勻分布，求隨機變量函數(shù)Y=sinX的數(shù)學期望.解:EY=『兀丄sinxdx=—(-cosx)k=?0兀兀o兀第五章中心極限定理一、計算題已知一本書有500頁，每一頁的印刷錯誤的個數(shù)服從泊松分布P(0.2)?各頁有沒有錯誤是相互獨立的，求這本書的錯誤個數(shù)多于88個的概率.(①(1.2)=0.8849)解：設X.表示第i頁上的錯誤個數(shù)，(i=1,2,,00)i

則X?P(0.2)，因此E(X)二0.2,D(X)二0.2(i=1,2,,500)iii設X表示這本書上的錯誤總數(shù)，由列維中心極限定理知X=f0X?N(100,100)ii=1因此P{x>88}=1-P{x<88}=1-P]Xz!00W空匚①(1.2)=0.8849TOC\o"1-5"\h\zI710010J2?計算機在進行數(shù)值計算時，每次計算的誤差都服從均勻分布U(-0.5,0.5)，若在一項計算中進行了100次數(shù)值計算，求平均誤差落在區(qū)間L』3，』3]上的概率(①(1.2)=0.8849)L2020」解：設X)表示第i次計算的誤差，(i=1,2,,00)則X.?U(—0.5,0.5)，因此E(X)=0,D(X)=丄(i=1,2,,00)Iii-42設X表示100次計算的總誤差，由列維中心極限定理知100100X=》X?N(0,——)i12i=12020〔5、3<2020〔5、3<X<P<X<100=0(3)—0(—3)=20(3)—1=0.99743.某單位有100部，每部約有20%的時間使用外線通話.設每部是否使用外線是獨立的,問該單位至少要安裝多少條外線，才能以90％以上的概率保證每部使用外線時都能夠打通？(①(1.28)=0.90)解:設X表示需要使用外面的數(shù)，Y表示安裝的外線數(shù)，則X?B(100,0.2)，因為n=100較大,所以X近似服從正態(tài)分布.np=20,npq=16.(q=1—p)p(x<Y)=p(x-20<Y—20)=①(Y—20)>90%444Y—20>1.28,.Y>25.124所以該單位至少要安裝26條外線，才能以90%以上的概率保證每部使用外線時都能夠打通？某品牌家電三年發(fā)生故障的概率為0.2,且各家電質量相互獨立.某代理商發(fā)售了一批此

品牌家電,三年到期時進行跟蹤調查：(1)抽查了四個家電用戶,求至多只有一臺家電發(fā)生故障的概率；(2)抽查了100個家電用戶，求發(fā)生故障的家電數(shù)不小于25的概率.(①(1.25)=0.8944)解:設X表示發(fā)生故障的家電數(shù)，則X~B(4,0.2)P(X<1)=P(X二0)+P(X二1)=0.84+C1X0.2X0.83=0.81924X?B(100,0.2)，因為n=100較大，所以X近似服從正態(tài)分布.np=20,npq=16.(q=1-p)25—20P(X>25)=1—P(X<25)=1-①(=1—①(1.25)=1—0.8944=0.1056第六章數(shù)理統(tǒng)計的基本知識一、單選題設X,X,,X是來自總體X的簡單隨機樣本，則X,X,,X必然滿足(C)12n12n(A)獨立但分布不同(A)獨立但分布不同(C)獨立并且分布相同(B)分不相同但不獨立(D)既不獨立也不同分布2?設總體X?N(p,Q2)，其中卩未知，b已知，X,X,X是來自總體的樣本，則下列不是123統(tǒng)計量的是(D)A)min{XA)min{X,X,X}123(B)X+X+X123X+2XX+2X—X―123b2(D)2X—X+卩123?設X,X,,X獨立且服從同一分布N(3?設X,X,,X獨立且服從同一分布N(卩Q2),X是樣本均值，記-2nS2=—X(x—X》，1n—1i.則下列服從t(n—-)S2=2ni的是(A=)S2=厶3n—-i=1S2=-為(X—^)2,4nii=-(A)t=(C)t=(D)t=4?總體X服從正態(tài)分布N(—1,4)，X為其容量為100的樣本的樣本均值，則服從正態(tài)分布N(0,1)的是(A)(A)5X+5(B)5X—5(C)1X+1(D)1X—-5555X,X,,X是來自正態(tài)總體N(pQ2)的樣本，X為樣本均值，S2為樣本方差，則下列12n不正確的的是(C)(B)(X-心n?n(0,1)(D)("—3?咒2(n—1)G2二、填空題已知某總體X的樣本值為99.3,98.7,100.05，101.2，98.3，99.7,99.5，102.1,TOC\o"1-5"\h\z100.5，則樣本均值X=99.93，樣本方差s2=1.43.已知樣本觀測值為：1050110010801120120012501040113013001200則樣本均值X=1147，樣本方差s2=7579_在一小時觀測用戶對站的呼喚次數(shù)，按每分鐘統(tǒng)計得到觀測數(shù)據(jù)列表如下：呼喚次數(shù)x/min0123456頻數(shù)mi8161710621則樣本均值X=2，樣本方差s2=1.966TOC\o"1-5"\h\z4?設X,,X是獨立且服從標準正態(tài)分布的隨機變量，且每個X(i=1,,5)都服從N(0,1).15i若c(X2+X2)服從咒2分布，則c=1，其自由度為212.?????X5?隨機變量XN(0,1)，Yx2(9)，且X與Y相互獨立，則^=t(9)厲—設總體X在區(qū)間[-a,a](a>0)服從均勻分布，X,X,,X是來自總體X的簡單隨機樣12nTOC\o"1-5"\h\z本，X=-XX，則E(X)=0nii=1?..從總體N(50,4)中抽取容量為9的樣本，則P(X>48)=0.9987X,,X和Y,,Y是來自正態(tài)總體N(-2,40)的兩個獨立樣本，則X-YN(0,13)1518第七章參數(shù)估計§7.1點估計一、單選題X,X,X是來自總體X的樣本，且E(X)=卩,D(X)=G2，則下列不是卩的無偏估計的是TOC\o"1-5"\h\z123(D)(a)(b)X+X+X(c)XXX(d)XXX(A)X(B)-23(C)-+2+3(D)-+2+323424633X,X,X是來自正態(tài)總體N(PQ2)的樣本，下列卩的無偏估計量中最有效的是(A)123(A)X(B)X(C)1X+-X(D)1X+1X+1X23133412243二、填空題

設總體X在區(qū)間［o,o］上服從均勻分布，其中6>0為未知參數(shù).如果取得樣本觀測值為x,x,,x，則參數(shù)6的矩估計值為2x12n2?設某廠生產(chǎn)的燈泡的壽命X服從壽命為九的指數(shù)分布，測得n個燈泡失效的時間為x,x,,x，則九的矩估計值丄12nx三、計算題1.設總體X的概率分布為X01p1-pp或P（X=k）=pk（l-p）i—k,k=0,1,其中p（0<p<1）為未知參數(shù)。如果取得樣本觀測值為x,x,,x，求p的矩估計值和極大似然估計值。12n解：（1）令x=E（X）=p，求得p=x為矩估計值。（2）似然函數(shù)為l（p）=Hp（x）=Hpx；（i-p）1-x；=pi=「（i-p）i；=1；=1取對數(shù)，得lnL(p)=lnp?工x+ln(1-p)-(n一工x)；=；=1；=1于是，得dlnL(p)區(qū)xn一dlnL(p)區(qū)xn一區(qū)x；；d6T=t-i=1p1-p=0.由此可得參數(shù)的極大似然估計值為求得p=x設總體X的概率分布為X123p6226(1-6)(1-6)2其中6（0<6<1）為未知參數(shù)。已知取得樣本值x=1,x=2,x=1,試求6的矩估計值和極大123似然估計值.

具體地，X=X1+\+X3=尖也=02+40(1-0)+3(1-0)2即:4=-20+3，求得°=6為矩估計值。(2)似然函數(shù)為L(0)=Hp(x,0)=0220(1-0)02=205(1-0)i取對數(shù)，得lnL(0)=ln2+5ln0+ln(1-0)于是，得d0dlnL(0)01-0=0.由此可得參數(shù)的極大似然估計值為求得e=5d0others0,others3.設總體X的密度函數(shù)為f(x)=<3.設總體X的密度函數(shù)為f(x)=<e-0,x>0,0>012n0觀測值，求參數(shù)0的極大似然估計值.0n解：似然函數(shù)為L(0)=Hf(x,0)=H￡ei0ni=1ii=1取對數(shù)，得InL(0)=-nIn0-丄工x于是,0ii=1d0dlnL(0)=-n+丄》x=0d0i=100i=1由此可得參數(shù)的極大似然估計值為求得6=X。正態(tài)總體的置信區(qū)間、單選題1.對總體X?NWQ2)的均值卩進行區(qū)間估計，得到置信度為0.95的置信區(qū)間，意義是這個區(qū)間是(D)(A)平均含總體95%的值(B)平均含樣本95%的值(C)有95%的機會含樣本的值(D)有95%的機會含卩的值2?若總體X?N(PQ2)，其中b2已知，當樣本容量n保持不變時，如果置信度1-a變小，則卩的置信區(qū)間(B)(A)長度變大(B)長度變小(C)長度不變(D)長度不一定不變3?設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對給定的a(0<a<1)，數(shù)u^滿足P(X>uj=a?若P(|x|<x)，則x等于(C)TOC\o"1-5"\h\z(A)u(B)u(C)u(D)uq&i—i—a2一22二、填空題由來自正態(tài)總體X?N(卩,0.92)，測得容量為9的簡單隨機樣本15.8,24.2,14.5,17.4,14.9,20.8,17.9,19.1,21.0則未知參數(shù)卩的置信度為0.95的置信區(qū)間為(17.812,18.988).(u=1.96)0.025進行10次獨立測試