保險(xiǎn)精算匯總課件

保險(xiǎn)學(xué)第十章保險(xiǎn)精算1

保險(xiǎn)學(xué)1本章教學(xué)目的在了解保險(xiǎn)精算的產(chǎn)生與發(fā)展、基本任務(wù)和基本原理的基礎(chǔ)上，掌握非壽險(xiǎn)精算中保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定方法、“大數(shù)”的測(cè)定、財(cái)務(wù)穩(wěn)定性分析，以及自留額與分保額的決策；掌握壽險(xiǎn)精算中生命表，躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)、年金保險(xiǎn)純保險(xiǎn)費(fèi)、年度純保費(fèi)和毛保險(xiǎn)費(fèi)的計(jì)算，以及理論責(zé)任準(zhǔn)備金和實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算。

2本章教學(xué)目的2第一節(jié)保險(xiǎn)精算的基本原理—收支相等原則

所謂收支相等原則就是使保險(xiǎn)期內(nèi)純保費(fèi)收入的現(xiàn)金價(jià)值與支出保險(xiǎn)金的現(xiàn)金價(jià)值相等。由于壽險(xiǎn)的長(zhǎng)期性，在計(jì)算時(shí)要考慮利率因素，可分別采取三種不同的方式1.根據(jù)保險(xiǎn)期間末期的保費(fèi)收入的本利和（終值）及支付保險(xiǎn)金的本利和（終值）保持平衡來計(jì)算；2.根據(jù)保險(xiǎn)合同成立時(shí)的保費(fèi)收入的現(xiàn)值和支付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值相等來計(jì)算；3.根據(jù)在其他某一時(shí)點(diǎn)的保費(fèi)收入和支付保險(xiǎn)金的“本利和”或“現(xiàn)值”相等來計(jì)算。所謂大數(shù)法則，是用來說明大量的隨機(jī)現(xiàn)象由于偶然性相互抵消所呈現(xiàn)的必然數(shù)量規(guī)律的一系列定理的統(tǒng)稱。3第一節(jié)保險(xiǎn)精算的基本原理—收支相等原則

所謂收支相第一節(jié)保險(xiǎn)精算的基本原理—大數(shù)法則

（一）切比雪夫（Chebyshev）大數(shù)法則

設(shè)，，…，，…是由兩兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量所構(gòu)成的序列，每一隨機(jī)變量都有有限方差，并且它們有公共上界：

4

這一法則的結(jié)論運(yùn)用可以說明，在承保標(biāo)的數(shù)量足夠大時(shí)，被保險(xiǎn)人所交納的純保險(xiǎn)費(fèi)與其所能獲得賠款的期望值相等。這個(gè)結(jié)論反過來，則說明保險(xiǎn)人應(yīng)如何收取純保費(fèi)。

D()≤C，D()≤C，…D()≤C，…，則對(duì)于任意的ε>0，都有：第一節(jié)保險(xiǎn)精算的基本原理—大數(shù)法則（一）切比雪夫（Ch三、保險(xiǎn)精算的基本原理

（二）貝努利(Bernoulli)大數(shù)法則

設(shè)Mn是n次貝努利實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，而p是事件A在每次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，則對(duì)于任意的ε>0，都有：

5三、保險(xiǎn)精算的基本原理

（二）貝努利(Bernoulli)大三、保險(xiǎn)精算的基本原理

（三）普阿松(Poisson)大數(shù)法則

假設(shè)某一事件在第一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為P1,在第二次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為P2，…，在第n次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為Pn。同樣用Mn來表示此事件在n次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則依據(jù)普阿松大數(shù)法則有：對(duì)于任意的ε>0，成立

6普阿松大數(shù)法則的意思是說：當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)無限增加時(shí)，其平均概率與觀察結(jié)果所得的比率將無限接近。三、保險(xiǎn)精算的基本原理（三）普阿松(Poisson)大數(shù)法保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定，關(guān)鍵在于純費(fèi)率的確定。而純費(fèi)率的確定通常有兩種方法：一是依據(jù)統(tǒng)計(jì)資料計(jì)算保額損失率，進(jìn)而確定純費(fèi)率r；二是在損失分布和賠款條件已知的情況下，用賠款金額的期望值E除以保險(xiǎn)金額I而得到r，即r=E/I。如果附加費(fèi)率在保險(xiǎn)費(fèi)率中的比例為k，則保險(xiǎn)費(fèi)率可由R=r/(1-k)求得。7保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定，關(guān)鍵在于純費(fèi)率的確定。而純費(fèi)率保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定

（一）觀察法觀察法是指對(duì)個(gè)別標(biāo)的的風(fēng)險(xiǎn)因素進(jìn)行分析，觀察其優(yōu)劣，估計(jì)其損失概率，直接決定其費(fèi)率。這種方法的采用，往往是因?yàn)楸ｋU(xiǎn)標(biāo)的數(shù)量較少，無法采用統(tǒng)計(jì)資料，因而主要憑借精算人員的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)。觀察法所制定的費(fèi)率，最能反映個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)的特性，具有靈活、精確的特點(diǎn)，這是因?yàn)椋孩僭陲L(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)量很少的情況下，不能硬性將風(fēng)險(xiǎn)性質(zhì)差異很大的各風(fēng)險(xiǎn)單位集中在一塊，統(tǒng)一制定費(fèi)率，否則，將違反利用大數(shù)法則估計(jì)損失概率的前提條件；②觀察法制定費(fèi)率，雖是針對(duì)個(gè)別標(biāo)的而言，但精算人員往往根據(jù)過去的費(fèi)率和經(jīng)驗(yàn)，以及對(duì)此標(biāo)的有影響的各種風(fēng)險(xiǎn)因素進(jìn)行仔細(xì)的分析，然后才確定費(fèi)率；③觀察法通常也要利用一些資料，只不過較為粗略而已。8保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定（一）觀察法8第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定（二）分類法

分類法是指將性質(zhì)相同的風(fēng)險(xiǎn)，分別歸類，而對(duì)同一分類的各風(fēng)險(xiǎn)單位，根據(jù)它們共同的損失概率，訂出相同的保險(xiǎn)費(fèi)率。分類費(fèi)率確定之后，經(jīng)過一定時(shí)期，如與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)有所出入，則應(yīng)進(jìn)行調(diào)整，其調(diào)整公式為：

9公式中各符號(hào)的含義如下：M—調(diào)整因素，即保險(xiǎn)費(fèi)應(yīng)調(diào)整的百分比；A—實(shí)際損失比率；E—預(yù)期損失比率；C—信賴因素。

采用上面的公式來決定費(fèi)率調(diào)整的百分比，關(guān)鍵在于確定信賴因素C的大小。第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定9公式中各符號(hào)的第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定（三）增減法增減法是指在同一費(fèi)率類別中，對(duì)被保險(xiǎn)人給以變動(dòng)的費(fèi)率。其變動(dòng)或基于在保險(xiǎn)期間的實(shí)際損失經(jīng)驗(yàn)，或基于其預(yù)想的損失經(jīng)驗(yàn)，或同時(shí)以兩者為基礎(chǔ)。增減法對(duì)分類費(fèi)率可能有所增加，但也可能有所減少，主要在于調(diào)整個(gè)別費(fèi)率。1.表定法采用表定法時(shí)，必須首先在各分類中對(duì)各項(xiàng)特殊顯著的風(fēng)險(xiǎn)因素設(shè)立客觀標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)被保險(xiǎn)人購買保險(xiǎn)時(shí)，就以這種客觀標(biāo)準(zhǔn)來測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)的大小。

10第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定10第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定（三）增減法

2.經(jīng)驗(yàn)法

采用經(jīng)驗(yàn)法制定費(fèi)率，是根據(jù)被保險(xiǎn)人以往的損失經(jīng)驗(yàn)，對(duì)按照分類費(fèi)率制定的費(fèi)率加以增減變動(dòng)。所以經(jīng)驗(yàn)法主要是一種調(diào)整費(fèi)率的方法。采用經(jīng)驗(yàn)法調(diào)整費(fèi)率的公式為：

11公式中各符號(hào)的含義如下：M——保險(xiǎn)費(fèi)率調(diào)整的百分比；A——經(jīng)驗(yàn)時(shí)期被保險(xiǎn)人的實(shí)際損失；E——被保險(xiǎn)人適用某分類時(shí)的預(yù)期損失；C——信賴因素；T——趨勢(shì)因素（考慮平均賠償金額支出趨勢(shì)及物價(jià)指數(shù)的變動(dòng)）。第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定11公式中各符第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定（三）增減法3、追溯法

追溯法是與經(jīng)驗(yàn)法相對(duì)的一種費(fèi)率調(diào)整方式，它以保險(xiǎn)期內(nèi)被保險(xiǎn)人的實(shí)際損失為基礎(chǔ)，計(jì)算被保險(xiǎn)人當(dāng)期應(yīng)繳的保險(xiǎn)費(fèi)。在使用這種方法時(shí)，先在保險(xiǎn)期開始前以其他方式確定預(yù)繳保險(xiǎn)費(fèi)，然后在保險(xiǎn)期滿后，根據(jù)實(shí)際損失，對(duì)已繳保費(fèi)進(jìn)行增減變動(dòng)，其計(jì)算公式如下：

RP=［BP+L·LCF］·TM公式中符號(hào)的含義如下：RP—RetrospectivePremium，為計(jì)算所得的追溯保險(xiǎn)費(fèi)；BP——asicPremium，為基本保險(xiǎn)費(fèi)；L—Loss，實(shí)際損失金額；LCF—LossConversionFactor，損失換算因數(shù)（其數(shù)值大于1）；TM—TaxMultiplier，租稅乘數(shù)（其數(shù)值大于1）。

12第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定12第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定（三）增減法

4、折扣法：對(duì)個(gè)別被保險(xiǎn)人采用折扣費(fèi)率。

二、“大數(shù)”的測(cè)定在一定的要求之下，“大數(shù)”由下面的公式來測(cè)定：

13公式中各個(gè)符號(hào)的含義為：N—在一定條件下應(yīng)具有的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)。E—相對(duì)于預(yù)期損失次數(shù)而言）實(shí)際損失變動(dòng)次數(shù)與總數(shù)的比率，表示所需要的精確度。S—實(shí)際損失與預(yù)期損失相差的標(biāo)準(zhǔn)差的個(gè)數(shù)。S的值可以說明對(duì)所獲得的結(jié)果的信賴程度。p—某一特定標(biāo)的（風(fēng)險(xiǎn)單位）發(fā)生損失的概率。第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定13公式中各個(gè)第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

三、財(cái)務(wù)穩(wěn)定性分析

假定某公司承保的某項(xiàng)業(yè)務(wù)有n個(gè)保險(xiǎn)單位，每個(gè)保險(xiǎn)單位的保險(xiǎn)金額為a元，純費(fèi)率為q。如果損失標(biāo)準(zhǔn)差為σ，則稱aσ為賠償金額標(biāo)準(zhǔn)差，用Q表示，即Q=aσ。把a(bǔ)nq（即純保費(fèi)總額）稱為保險(xiǎn)賠償基金，用P表示，即P=anq。賠償金額標(biāo)準(zhǔn)差與保險(xiǎn)賠償基金的比值，稱為財(cái)務(wù)穩(wěn)定系數(shù)，用K表示，即K=Q/P。一般而言，財(cái)務(wù)穩(wěn)定系數(shù)K越小，財(cái)務(wù)穩(wěn)定性越好；反之，財(cái)務(wù)穩(wěn)定系數(shù)K越大，財(cái)務(wù)穩(wěn)定性越差。假定有n個(gè)保險(xiǎn)標(biāo)的，每個(gè)保險(xiǎn)標(biāo)的的保險(xiǎn)金額為a元，損失概率為p，純費(fèi)率為q，若損失服從二項(xiàng)分布，則有：14第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算三、財(cái)務(wù)穩(wěn)定性分析14第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

假定保險(xiǎn)公司承保有兩類業(yè)務(wù)，第一類業(yè)務(wù)承保n1個(gè)單位，每個(gè)單位的保險(xiǎn)金額為a1元，純費(fèi)率為q1，第二類業(yè)務(wù)承保n2個(gè)單位，每個(gè)單位的保險(xiǎn)金額為a2元，純費(fèi)率為q2。則：

15第一類業(yè)務(wù)上的出險(xiǎn)次數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為：賠償金額標(biāo)準(zhǔn)差為：財(cái)務(wù)穩(wěn)定系數(shù)為：同樣可以得到：如果把第一類業(yè)務(wù)與第二類業(yè)務(wù)合并，則賠償金額標(biāo)準(zhǔn)差為：財(cái)務(wù)穩(wěn)定系數(shù)為：其中第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算假定保險(xiǎn)公司承保有兩類業(yè)務(wù)，第一類業(yè)務(wù)第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

一般地，當(dāng)有j個(gè)業(yè)務(wù)合并時(shí)，有：16

四、自留額與分保額的決策

假定在原有業(yè)務(wù)上，賠償基金為，賠償金額標(biāo)準(zhǔn)差為，則將另外接受n個(gè)保險(xiǎn)單位，保額為x元，純費(fèi)率為q，則：其中，第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算一般地，當(dāng)有j個(gè)業(yè)務(wù)合并時(shí)，有：第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

合并業(yè)務(wù)后：17要使K1+2仍維持K1的值，則應(yīng)有：

整理后可得：

當(dāng)q十分小時(shí)，可近似得到：要維持原有的財(cái)務(wù)穩(wěn)定性，對(duì)于新接受的業(yè)務(wù)，如果保險(xiǎn)金額在x以下，則可全部自留，對(duì)于保險(xiǎn)金額超過x的新業(yè)務(wù)，自留額以x為限，超過部分予以分保。

第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算合并業(yè)務(wù)后：17要使第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

討論問題的方便，本節(jié)的計(jì)算一律作如下幾個(gè)假定：①被保險(xiǎn)人的生死遵循預(yù)定生命表所示的生死規(guī)律；②同一種類的保險(xiǎn)合同，全部于該年齡初同時(shí)訂立；③保險(xiǎn)金于每年度末同時(shí)支付；④保險(xiǎn)費(fèi)按預(yù)定利率復(fù)利生息，并假定年利率為i；⑤假定保險(xiǎn)金額均為1元（有特別說明者例外），因而所求得的純保險(xiǎn)費(fèi)就是純保險(xiǎn)費(fèi)率；⑥總是假定生命表中某一年齡的人都向保險(xiǎn)公司投保了某種保險(xiǎn)，而不管實(shí)際情況是否這樣，因?yàn)檫@并不影響結(jié)論的正確性。

18第三節(jié)壽險(xiǎn)精算討論問題的方便，本節(jié)的計(jì)算一律作如下幾個(gè)假第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算一、生命表生命表是根據(jù)以往一定時(shí)期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計(jì)資料編制的，由每個(gè)年齡死亡率所組成的匯總表。生命表中最重要的就是設(shè)計(jì)產(chǎn)生每個(gè)年齡的死亡率。影響死亡率的因素很多，主要有年齡、性別、職業(yè)、習(xí)性、以往病史、種族等。一般情況下，在設(shè)計(jì)生命表時(shí)，只注重考慮年齡和性別。生命表可以分為國(guó)民生命表和經(jīng)驗(yàn)生命表。前者是根據(jù)全體國(guó)民或者以特定地區(qū)的人口的死亡統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)編制的生命表，它主要來源于人口普查的統(tǒng)計(jì)資料。后者是根據(jù)人壽保險(xiǎn)、社會(huì)保險(xiǎn)以往的死亡記錄(經(jīng)驗(yàn))所編制的生命表。保險(xiǎn)公司使用的是經(jīng)驗(yàn)生命表。19第三節(jié)壽險(xiǎn)精算一、生命表19第三節(jié)

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ｘ：表示年齡

20：生存數(shù)，是指從初始年齡至滿ｘ歲尚生存的人數(shù)。：死亡數(shù)，是指ｘ歲的人在一年內(nèi)死亡的人數(shù)。：死亡率，表示ｘ歲的人在一年內(nèi)死亡的概率。Px:生存率。表示ｘ歲的人在一年后仍生存的概率，即到ｘ＋１歲時(shí)仍生存的概率。：平均余命或生命期望值。表示ｘ歲的人以后還能生存的平均年數(shù)。若假設(shè)死亡發(fā)生在每一年的年中，則有：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算ｘ：表示年齡20：生存數(shù)，是指第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

21表示ｘ歲的人在ｔ年內(nèi)死亡的概率。表示ｘ歲的人在生存ｔ年后ｕ年內(nèi)死亡的概率。表示ｘ歲的人在ｔ年末仍生存的概率。第三節(jié)壽險(xiǎn)精算21表示ｘ歲的人在ｔ年內(nèi)死第三節(jié)

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二、躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)（一）定期人壽保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)

假定x歲的人投保n年定期人壽保險(xiǎn)，年初每個(gè)投保人應(yīng)繳的純保險(xiǎn)費(fèi)為元。依據(jù)收支相等原則，保險(xiǎn)公司支付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值總和與期初純保險(xiǎn)費(fèi)的總和應(yīng)相等。即有：

22其中，為折現(xiàn)率。如果令：則可得到：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算二、躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)22其中，為第三節(jié)

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二、躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)（二）終身人壽保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)

假設(shè)生命表中所定最終年齡為ω歲，則有：

23如果令：則定期和終身人壽保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)可分別表示為：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算二、躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)23如果令：則定期和終身人第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

二、躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)（三）純粹生存保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)

假定x歲的人投保n年定期生存保險(xiǎn)，所繳的純保險(xiǎn)費(fèi)為元?？紤]利息因素，依據(jù)收支相等原則有：

24整理后可得：（四）混合保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)如果把保險(xiǎn)期限為n年的混合保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)記為，則第三節(jié)壽險(xiǎn)精算二、躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)24整理后可得：（四）混合第三節(jié)

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三、年金保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)

（一）即期年金

假定x歲的人投保期限為n年的年金保險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司每年初支付保險(xiǎn)金。設(shè)投保人應(yīng)繳的純保險(xiǎn)費(fèi)為，則依據(jù)收支相等原則應(yīng)有：

25如果將給付周期改為終身，則可得到：令

，則可將上面兩個(gè)公式變?yōu)椋旱谌?jié)壽險(xiǎn)精算三、年金保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)25如果將給付周期第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算三、年金保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)

（一）即期年金用與上面同樣的方法可以得到期末付定期年金的純保險(xiǎn)費(fèi)為：

26期末付終身年金的純保險(xiǎn)費(fèi)為：（二）延期年金

x歲的人投保期限為n年的年金保險(xiǎn)，m年后開始（在期首）給付，即延期m年。表示n年定期期首付延期年金的純保險(xiǎn)費(fèi)，由收支相等原則有：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算三、年金保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)26期末付終身年金第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

三、年金保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)

用同樣的方法可以得到期末付定期延期年金的純保險(xiǎn)費(fèi)為：

27期首付延期終身年金的純保險(xiǎn)費(fèi)為：期末付延期終身年金的純保險(xiǎn)費(fèi)為：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算三、年金保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)27期首付延期終身第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

四、年度純保費(fèi)

假定n年定期死亡保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)分m年付清，用來表示年度純保費(fèi)，年度純保費(fèi)的現(xiàn)值之和應(yīng)與一次付足的純保費(fèi)的現(xiàn)值相等，即應(yīng)有：

28整理可得：五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)

保險(xiǎn)公司所收取的保險(xiǎn)費(fèi)中，用來作為給付的那部分保險(xiǎn)費(fèi)是純保險(xiǎn)費(fèi)，而用來作為業(yè)務(wù)費(fèi)用開支的那部分保險(xiǎn)費(fèi)稱為附加保費(fèi)。純保險(xiǎn)費(fèi)與附加保費(fèi)之和稱為毛保險(xiǎn)費(fèi)。

第三節(jié)壽險(xiǎn)精算四、年度純保費(fèi)28整理可得：五、人壽保第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)公司對(duì)原始費(fèi)用，不應(yīng)單純地將它全部加在第一年的純保險(xiǎn)費(fèi)上，而需將它均勻地分?jǐn)偟礁髌诘谋ｋU(xiǎn)費(fèi)上。如果被保險(xiǎn)人投保時(shí)的年齡為x歲，保險(xiǎn)期限為n年，保險(xiǎn)費(fèi)分次m交付，再假定全部原始費(fèi)用為α元，在每一年度保險(xiǎn)費(fèi)上應(yīng)攤加的金額為s元。很顯然，這些攤加在每一年度的費(fèi)用的現(xiàn)值的積存值與原始費(fèi)用的現(xiàn)值相等，于是成立：

29由此可以得到：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)29由此可以得到：第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)如果被保險(xiǎn)人投保時(shí)的年齡為x歲，保險(xiǎn)期限為n年，保險(xiǎn)費(fèi)分m次交付，再假定全部原始費(fèi)用為α元，每年的管理費(fèi)為β元，代理手續(xù)費(fèi)為毛保險(xiǎn)費(fèi)的比例γ。求保險(xiǎn)金額為1元的混合保險(xiǎn)的年繳毛保險(xiǎn)費(fèi)。（一）三元素法設(shè)年繳毛保險(xiǎn)費(fèi)為P，我們可以作如下分析：30第三節(jié)壽險(xiǎn)精算五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)30第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)（一）三元素法

根據(jù)收支相等原則應(yīng)有：

31整理后可得：（二）比例法比例法假定附加保費(fèi)為毛保費(fèi)的一定比例，設(shè)為K。如果純保費(fèi)為P，毛保費(fèi)為，則：

比例常數(shù)法根據(jù)每張保單的平均保額推算出每單位保額所必須支付的費(fèi)用，作為一個(gè)固定常數(shù)(用C表示)，然后再確定一個(gè)毛保費(fèi)的比例作為附加費(fèi)用，由此有：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)31整理后可得：（二第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

六、理論責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算

人壽保險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金，是保險(xiǎn)人向投保人所收取的純保險(xiǎn)費(fèi)，加上按事先約定的年利率復(fù)利結(jié)算方式計(jì)算的本利和，與人壽保險(xiǎn)合同中所規(guī)定的保險(xiǎn)人應(yīng)在當(dāng)年所支付保險(xiǎn)金的差額；從被保險(xiǎn)人方面來說，是他所交付的純保險(xiǎn)費(fèi)的本利和，與他當(dāng)年應(yīng)分?jǐn)偟慕o付保險(xiǎn)金之間的差額。責(zé)任準(zhǔn)備金實(shí)質(zhì)上是保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人或其收益人的一種負(fù)債。責(zé)任準(zhǔn)備金可分為理論責(zé)任準(zhǔn)備金和在其基礎(chǔ)上修正后的實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金。32第三節(jié)壽險(xiǎn)精算六、理論責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算32第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

六、理論責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算

（一）過去法過去法以分析已繳的純保險(xiǎn)費(fèi)為出發(fā)點(diǎn)。假定生命表內(nèi)所列年齡為x歲的人，全部向保險(xiǎn)公司投保同一保險(xiǎn)條件、同一保險(xiǎn)期限、同一繳費(fèi)次數(shù)的人壽保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額均為1元，則在投保后第t年年末，被保險(xiǎn)人的年齡為x+t歲，屆時(shí)保險(xiǎn)公司對(duì)全體被保險(xiǎn)人提存的責(zé)任準(zhǔn)備金應(yīng)等于：在被保險(xiǎn)人的年齡為x+t歲時(shí)，已繳純保險(xiǎn)費(fèi)的積存值，減去被保險(xiǎn)人的年齡為x+t歲時(shí)，根據(jù)生命表保險(xiǎn)公司已支付的保險(xiǎn)金的積存值。由于這種計(jì)算方式涉及到生存分紅年金和期末死亡保險(xiǎn)費(fèi)，故我們僅在此給出相應(yīng)的計(jì)算公式（用表示在第t年的準(zhǔn)備金）。33第三節(jié)壽險(xiǎn)精算六、理論責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算33第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

六、理論責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算

（一）過去法如果繳費(fèi)次數(shù)與保險(xiǎn)年限相同，則：

34

如果保險(xiǎn)期限為n年，保險(xiǎn)費(fèi)在最初m年交付，t≤m，則：如果保險(xiǎn)期限為n年，保險(xiǎn)費(fèi)在最初m年交付，t>m，則：如果是純粹生存保險(xiǎn)，由于保險(xiǎn)公司在以往t年內(nèi)并未有任何給付，上面公式中含有的項(xiàng)目均不出現(xiàn)。第三節(jié)壽險(xiǎn)精算六、理論責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算34第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

六、理論責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算

（二）未來法

未來法是與過去法相對(duì)的一種方法，它以分析未繳的純保險(xiǎn)費(fèi)為出發(fā)點(diǎn)。按照這一方法，在被保險(xiǎn)人x+t歲時(shí)，的值等于：未來的保險(xiǎn)責(zé)任的現(xiàn)值減去待收保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值。以定期死亡保險(xiǎn)為例：

35如果保險(xiǎn)期限為n年，保險(xiǎn)費(fèi)在最初m年交付，t≤m，則：

如果保險(xiǎn)期限為n年，保險(xiǎn)費(fèi)在最初m年交付，t>m，則：

如果繳費(fèi)次數(shù)與保險(xiǎn)年限相同，則：

第三節(jié)壽險(xiǎn)精算六、理論責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算35如果保險(xiǎn)期第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

六、理論責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算

（二）未來法

在上述三個(gè)公式中，如果將x+n推至極限年齡ω，則可得到終身死亡保險(xiǎn)的準(zhǔn)備金計(jì)算公式；如果將第一項(xiàng)分別改為或，則分別得到生存保險(xiǎn)或混合保險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算公式。

36小結(jié)：理論責(zé)任準(zhǔn)備金僅與保險(xiǎn)條件、保險(xiǎn)期限、繳費(fèi)方式以及保險(xiǎn)金額等有關(guān)，而與計(jì)算方法無關(guān)。第三節(jié)壽險(xiǎn)精算六、理論責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算36小第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

七、實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算

由于原始費(fèi)用的關(guān)系，第一年的費(fèi)用要比以后各年的費(fèi)用大得多。因此，保險(xiǎn)公司實(shí)際提存的準(zhǔn)備金并不與理論準(zhǔn)備金相同，而是將理論準(zhǔn)備金加以必要的修正計(jì)算出來的。這種修正后的準(zhǔn)備金稱為實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金，又稱修正責(zé)任準(zhǔn)備金。不論采用什么方式對(duì)理論責(zé)任準(zhǔn)備金加以修正，在保單到期時(shí)的實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金應(yīng)與理論責(zé)任準(zhǔn)備金相同。

我們假定承保有下面的具有代表意義的保單：某年齡為x歲的人，投保n年定期混合保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為元，保險(xiǎn)費(fèi)自保單開始時(shí)起分m年交付。37第三節(jié)壽險(xiǎn)精算七、實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算37第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

七、實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算

在修正準(zhǔn)備金時(shí)，第一個(gè)問題是如何決定第一年度的純保險(xiǎn)費(fèi)及第二年以后的純保險(xiǎn)費(fèi)，如果令與差額為α，則有：

38

由于可見，只要使α等于某個(gè)規(guī)定值，就可求出及。

不難求出α的最高限額為：因此：保險(xiǎn)公司第一年的給付，在理論上應(yīng)等于自然純保費(fèi)，故應(yīng)有：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算七、實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算38

保險(xiǎn)學(xué)第十章保險(xiǎn)精算39

保險(xiǎn)學(xué)1本章教學(xué)目的在了解保險(xiǎn)精算的產(chǎn)生與發(fā)展、基本任務(wù)和基本原理的基礎(chǔ)上，掌握非壽險(xiǎn)精算中保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定方法、“大數(shù)”的測(cè)定、財(cái)務(wù)穩(wěn)定性分析，以及自留額與分保額的決策；掌握壽險(xiǎn)精算中生命表，躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)、年金保險(xiǎn)純保險(xiǎn)費(fèi)、年度純保費(fèi)和毛保險(xiǎn)費(fèi)的計(jì)算，以及理論責(zé)任準(zhǔn)備金和實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算。

40本章教學(xué)目的2第一節(jié)保險(xiǎn)精算的基本原理—收支相等原則

所謂收支相等原則就是使保險(xiǎn)期內(nèi)純保費(fèi)收入的現(xiàn)金價(jià)值與支出保險(xiǎn)金的現(xiàn)金價(jià)值相等。由于壽險(xiǎn)的長(zhǎng)期性，在計(jì)算時(shí)要考慮利率因素，可分別采取三種不同的方式1.根據(jù)保險(xiǎn)期間末期的保費(fèi)收入的本利和（終值）及支付保險(xiǎn)金的本利和（終值）保持平衡來計(jì)算；2.根據(jù)保險(xiǎn)合同成立時(shí)的保費(fèi)收入的現(xiàn)值和支付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值相等來計(jì)算；3.根據(jù)在其他某一時(shí)點(diǎn)的保費(fèi)收入和支付保險(xiǎn)金的“本利和”或“現(xiàn)值”相等來計(jì)算。所謂大數(shù)法則，是用來說明大量的隨機(jī)現(xiàn)象由于偶然性相互抵消所呈現(xiàn)的必然數(shù)量規(guī)律的一系列定理的統(tǒng)稱。41第一節(jié)保險(xiǎn)精算的基本原理—收支相等原則

所謂收支相第一節(jié)保險(xiǎn)精算的基本原理—大數(shù)法則

（一）切比雪夫（Chebyshev）大數(shù)法則

設(shè)，，…，，…是由兩兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量所構(gòu)成的序列，每一隨機(jī)變量都有有限方差，并且它們有公共上界：

42

這一法則的結(jié)論運(yùn)用可以說明，在承保標(biāo)的數(shù)量足夠大時(shí)，被保險(xiǎn)人所交納的純保險(xiǎn)費(fèi)與其所能獲得賠款的期望值相等。這個(gè)結(jié)論反過來，則說明保險(xiǎn)人應(yīng)如何收取純保費(fèi)。

D()≤C，D()≤C，…D()≤C，…，則對(duì)于任意的ε>0，都有：第一節(jié)保險(xiǎn)精算的基本原理—大數(shù)法則（一）切比雪夫（Ch三、保險(xiǎn)精算的基本原理

（二）貝努利(Bernoulli)大數(shù)法則

設(shè)Mn是n次貝努利實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，而p是事件A在每次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，則對(duì)于任意的ε>0，都有：

43三、保險(xiǎn)精算的基本原理

（二）貝努利(Bernoulli)大三、保險(xiǎn)精算的基本原理

（三）普阿松(Poisson)大數(shù)法則

假設(shè)某一事件在第一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為P1,在第二次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為P2，…，在第n次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為Pn。同樣用Mn來表示此事件在n次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則依據(jù)普阿松大數(shù)法則有：對(duì)于任意的ε>0，成立

44普阿松大數(shù)法則的意思是說：當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)無限增加時(shí)，其平均概率與觀察結(jié)果所得的比率將無限接近。三、保險(xiǎn)精算的基本原理（三）普阿松(Poisson)大數(shù)法保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定，關(guān)鍵在于純費(fèi)率的確定。而純費(fèi)率的確定通常有兩種方法：一是依據(jù)統(tǒng)計(jì)資料計(jì)算保額損失率，進(jìn)而確定純費(fèi)率r；二是在損失分布和賠款條件已知的情況下，用賠款金額的期望值E除以保險(xiǎn)金額I而得到r，即r=E/I。如果附加費(fèi)率在保險(xiǎn)費(fèi)率中的比例為k，則保險(xiǎn)費(fèi)率可由R=r/(1-k)求得。45保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定，關(guān)鍵在于純費(fèi)率的確定。而純費(fèi)率保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定

（一）觀察法觀察法是指對(duì)個(gè)別標(biāo)的的風(fēng)險(xiǎn)因素進(jìn)行分析，觀察其優(yōu)劣，估計(jì)其損失概率，直接決定其費(fèi)率。這種方法的采用，往往是因?yàn)楸ｋU(xiǎn)標(biāo)的數(shù)量較少，無法采用統(tǒng)計(jì)資料，因而主要憑借精算人員的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)。觀察法所制定的費(fèi)率，最能反映個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)的特性，具有靈活、精確的特點(diǎn)，這是因?yàn)椋孩僭陲L(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)量很少的情況下，不能硬性將風(fēng)險(xiǎn)性質(zhì)差異很大的各風(fēng)險(xiǎn)單位集中在一塊，統(tǒng)一制定費(fèi)率，否則，將違反利用大數(shù)法則估計(jì)損失概率的前提條件；②觀察法制定費(fèi)率，雖是針對(duì)個(gè)別標(biāo)的而言，但精算人員往往根據(jù)過去的費(fèi)率和經(jīng)驗(yàn)，以及對(duì)此標(biāo)的有影響的各種風(fēng)險(xiǎn)因素進(jìn)行仔細(xì)的分析，然后才確定費(fèi)率；③觀察法通常也要利用一些資料，只不過較為粗略而已。46保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定（一）觀察法8第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定（二）分類法

分類法是指將性質(zhì)相同的風(fēng)險(xiǎn)，分別歸類，而對(duì)同一分類的各風(fēng)險(xiǎn)單位，根據(jù)它們共同的損失概率，訂出相同的保險(xiǎn)費(fèi)率。分類費(fèi)率確定之后，經(jīng)過一定時(shí)期，如與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)有所出入，則應(yīng)進(jìn)行調(diào)整，其調(diào)整公式為：

47公式中各符號(hào)的含義如下：M—調(diào)整因素，即保險(xiǎn)費(fèi)應(yīng)調(diào)整的百分比；A—實(shí)際損失比率；E—預(yù)期損失比率；C—信賴因素。

采用上面的公式來決定費(fèi)率調(diào)整的百分比，關(guān)鍵在于確定信賴因素C的大小。第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定9公式中各符號(hào)的第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定（三）增減法增減法是指在同一費(fèi)率類別中，對(duì)被保險(xiǎn)人給以變動(dòng)的費(fèi)率。其變動(dòng)或基于在保險(xiǎn)期間的實(shí)際損失經(jīng)驗(yàn)，或基于其預(yù)想的損失經(jīng)驗(yàn)，或同時(shí)以兩者為基礎(chǔ)。增減法對(duì)分類費(fèi)率可能有所增加，但也可能有所減少，主要在于調(diào)整個(gè)別費(fèi)率。1.表定法采用表定法時(shí)，必須首先在各分類中對(duì)各項(xiàng)特殊顯著的風(fēng)險(xiǎn)因素設(shè)立客觀標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)被保險(xiǎn)人購買保險(xiǎn)時(shí)，就以這種客觀標(biāo)準(zhǔn)來測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)的大小。

48第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定10第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定（三）增減法

2.經(jīng)驗(yàn)法

采用經(jīng)驗(yàn)法制定費(fèi)率，是根據(jù)被保險(xiǎn)人以往的損失經(jīng)驗(yàn)，對(duì)按照分類費(fèi)率制定的費(fèi)率加以增減變動(dòng)。所以經(jīng)驗(yàn)法主要是一種調(diào)整費(fèi)率的方法。采用經(jīng)驗(yàn)法調(diào)整費(fèi)率的公式為：

49公式中各符號(hào)的含義如下：M——保險(xiǎn)費(fèi)率調(diào)整的百分比；A——經(jīng)驗(yàn)時(shí)期被保險(xiǎn)人的實(shí)際損失；E——被保險(xiǎn)人適用某分類時(shí)的預(yù)期損失；C——信賴因素；T——趨勢(shì)因素（考慮平均賠償金額支出趨勢(shì)及物價(jià)指數(shù)的變動(dòng)）。第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定11公式中各符第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定（三）增減法3、追溯法

追溯法是與經(jīng)驗(yàn)法相對(duì)的一種費(fèi)率調(diào)整方式，它以保險(xiǎn)期內(nèi)被保險(xiǎn)人的實(shí)際損失為基礎(chǔ)，計(jì)算被保險(xiǎn)人當(dāng)期應(yīng)繳的保險(xiǎn)費(fèi)。在使用這種方法時(shí)，先在保險(xiǎn)期開始前以其他方式確定預(yù)繳保險(xiǎn)費(fèi)，然后在保險(xiǎn)期滿后，根據(jù)實(shí)際損失，對(duì)已繳保費(fèi)進(jìn)行增減變動(dòng)，其計(jì)算公式如下：

RP=［BP+L·LCF］·TM公式中符號(hào)的含義如下：RP—RetrospectivePremium，為計(jì)算所得的追溯保險(xiǎn)費(fèi)；BP——asicPremium，為基本保險(xiǎn)費(fèi)；L—Loss，實(shí)際損失金額；LCF—LossConversionFactor，損失換算因數(shù)（其數(shù)值大于1）；TM—TaxMultiplier，租稅乘數(shù)（其數(shù)值大于1）。

50第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定12第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定（三）增減法

4、折扣法：對(duì)個(gè)別被保險(xiǎn)人采用折扣費(fèi)率。

二、“大數(shù)”的測(cè)定在一定的要求之下，“大數(shù)”由下面的公式來測(cè)定：

51公式中各個(gè)符號(hào)的含義為：N—在一定條件下應(yīng)具有的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)。E—相對(duì)于預(yù)期損失次數(shù)而言）實(shí)際損失變動(dòng)次數(shù)與總數(shù)的比率，表示所需要的精確度。S—實(shí)際損失與預(yù)期損失相差的標(biāo)準(zhǔn)差的個(gè)數(shù)。S的值可以說明對(duì)所獲得的結(jié)果的信賴程度。p—某一特定標(biāo)的（風(fēng)險(xiǎn)單位）發(fā)生損失的概率。第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算一、保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定13公式中各個(gè)第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

三、財(cái)務(wù)穩(wěn)定性分析

假定某公司承保的某項(xiàng)業(yè)務(wù)有n個(gè)保險(xiǎn)單位，每個(gè)保險(xiǎn)單位的保險(xiǎn)金額為a元，純費(fèi)率為q。如果損失標(biāo)準(zhǔn)差為σ，則稱aσ為賠償金額標(biāo)準(zhǔn)差，用Q表示，即Q=aσ。把a(bǔ)nq（即純保費(fèi)總額）稱為保險(xiǎn)賠償基金，用P表示，即P=anq。賠償金額標(biāo)準(zhǔn)差與保險(xiǎn)賠償基金的比值，稱為財(cái)務(wù)穩(wěn)定系數(shù)，用K表示，即K=Q/P。一般而言，財(cái)務(wù)穩(wěn)定系數(shù)K越小，財(cái)務(wù)穩(wěn)定性越好；反之，財(cái)務(wù)穩(wěn)定系數(shù)K越大，財(cái)務(wù)穩(wěn)定性越差。假定有n個(gè)保險(xiǎn)標(biāo)的，每個(gè)保險(xiǎn)標(biāo)的的保險(xiǎn)金額為a元，損失概率為p，純費(fèi)率為q，若損失服從二項(xiàng)分布，則有：52第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算三、財(cái)務(wù)穩(wěn)定性分析14第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

假定保險(xiǎn)公司承保有兩類業(yè)務(wù)，第一類業(yè)務(wù)承保n1個(gè)單位，每個(gè)單位的保險(xiǎn)金額為a1元，純費(fèi)率為q1，第二類業(yè)務(wù)承保n2個(gè)單位，每個(gè)單位的保險(xiǎn)金額為a2元，純費(fèi)率為q2。則：

53第一類業(yè)務(wù)上的出險(xiǎn)次數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為：賠償金額標(biāo)準(zhǔn)差為：財(cái)務(wù)穩(wěn)定系數(shù)為：同樣可以得到：如果把第一類業(yè)務(wù)與第二類業(yè)務(wù)合并，則賠償金額標(biāo)準(zhǔn)差為：財(cái)務(wù)穩(wěn)定系數(shù)為：其中第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算假定保險(xiǎn)公司承保有兩類業(yè)務(wù)，第一類業(yè)務(wù)第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

一般地，當(dāng)有j個(gè)業(yè)務(wù)合并時(shí)，有：54

四、自留額與分保額的決策

假定在原有業(yè)務(wù)上，賠償基金為，賠償金額標(biāo)準(zhǔn)差為，則將另外接受n個(gè)保險(xiǎn)單位，保額為x元，純費(fèi)率為q，則：其中，第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算一般地，當(dāng)有j個(gè)業(yè)務(wù)合并時(shí)，有：第二節(jié)

非壽險(xiǎn)精算

合并業(yè)務(wù)后：55要使K1+2仍維持K1的值，則應(yīng)有：

整理后可得：

當(dāng)q十分小時(shí)，可近似得到：要維持原有的財(cái)務(wù)穩(wěn)定性，對(duì)于新接受的業(yè)務(wù)，如果保險(xiǎn)金額在x以下，則可全部自留，對(duì)于保險(xiǎn)金額超過x的新業(yè)務(wù)，自留額以x為限，超過部分予以分保。

第二節(jié)非壽險(xiǎn)精算合并業(yè)務(wù)后：17要使第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

討論問題的方便，本節(jié)的計(jì)算一律作如下幾個(gè)假定：①被保險(xiǎn)人的生死遵循預(yù)定生命表所示的生死規(guī)律；②同一種類的保險(xiǎn)合同，全部于該年齡初同時(shí)訂立；③保險(xiǎn)金于每年度末同時(shí)支付；④保險(xiǎn)費(fèi)按預(yù)定利率復(fù)利生息，并假定年利率為i；⑤假定保險(xiǎn)金額均為1元（有特別說明者例外），因而所求得的純保險(xiǎn)費(fèi)就是純保險(xiǎn)費(fèi)率；⑥總是假定生命表中某一年齡的人都向保險(xiǎn)公司投保了某種保險(xiǎn)，而不管實(shí)際情況是否這樣，因?yàn)檫@并不影響結(jié)論的正確性。

56第三節(jié)壽險(xiǎn)精算討論問題的方便，本節(jié)的計(jì)算一律作如下幾個(gè)假第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算一、生命表生命表是根據(jù)以往一定時(shí)期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計(jì)資料編制的，由每個(gè)年齡死亡率所組成的匯總表。生命表中最重要的就是設(shè)計(jì)產(chǎn)生每個(gè)年齡的死亡率。影響死亡率的因素很多，主要有年齡、性別、職業(yè)、習(xí)性、以往病史、種族等。一般情況下，在設(shè)計(jì)生命表時(shí)，只注重考慮年齡和性別。生命表可以分為國(guó)民生命表和經(jīng)驗(yàn)生命表。前者是根據(jù)全體國(guó)民或者以特定地區(qū)的人口的死亡統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)編制的生命表，它主要來源于人口普查的統(tǒng)計(jì)資料。后者是根據(jù)人壽保險(xiǎn)、社會(huì)保險(xiǎn)以往的死亡記錄(經(jīng)驗(yàn))所編制的生命表。保險(xiǎn)公司使用的是經(jīng)驗(yàn)生命表。57第三節(jié)壽險(xiǎn)精算一、生命表19第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

ｘ：表示年齡

58：生存數(shù)，是指從初始年齡至滿ｘ歲尚生存的人數(shù)。：死亡數(shù)，是指ｘ歲的人在一年內(nèi)死亡的人數(shù)。：死亡率，表示ｘ歲的人在一年內(nèi)死亡的概率。Px:生存率。表示ｘ歲的人在一年后仍生存的概率，即到ｘ＋１歲時(shí)仍生存的概率。：平均余命或生命期望值。表示ｘ歲的人以后還能生存的平均年數(shù)。若假設(shè)死亡發(fā)生在每一年的年中，則有：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算ｘ：表示年齡20：生存數(shù)，是指第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

59表示ｘ歲的人在ｔ年內(nèi)死亡的概率。表示ｘ歲的人在生存ｔ年后ｕ年內(nèi)死亡的概率。表示ｘ歲的人在ｔ年末仍生存的概率。第三節(jié)壽險(xiǎn)精算21表示ｘ歲的人在ｔ年內(nèi)死第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

二、躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)（一）定期人壽保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)

假定x歲的人投保n年定期人壽保險(xiǎn)，年初每個(gè)投保人應(yīng)繳的純保險(xiǎn)費(fèi)為元。依據(jù)收支相等原則，保險(xiǎn)公司支付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值總和與期初純保險(xiǎn)費(fèi)的總和應(yīng)相等。即有：

60其中，為折現(xiàn)率。如果令：則可得到：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算二、躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)22其中，為第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

二、躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)（二）終身人壽保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)

假設(shè)生命表中所定最終年齡為ω歲，則有：

61如果令：則定期和終身人壽保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)可分別表示為：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算二、躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)23如果令：則定期和終身人第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

二、躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)（三）純粹生存保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)

假定x歲的人投保n年定期生存保險(xiǎn)，所繳的純保險(xiǎn)費(fèi)為元?？紤]利息因素，依據(jù)收支相等原則有：

62整理后可得：（四）混合保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)如果把保險(xiǎn)期限為n年的混合保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)記為，則第三節(jié)壽險(xiǎn)精算二、躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)24整理后可得：（四）混合第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

三、年金保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)

（一）即期年金

假定x歲的人投保期限為n年的年金保險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司每年初支付保險(xiǎn)金。設(shè)投保人應(yīng)繳的純保險(xiǎn)費(fèi)為，則依據(jù)收支相等原則應(yīng)有：

63如果將給付周期改為終身，則可得到：令

，則可將上面兩個(gè)公式變?yōu)椋旱谌?jié)壽險(xiǎn)精算三、年金保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)25如果將給付周期第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算三、年金保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)

（一）即期年金用與上面同樣的方法可以得到期末付定期年金的純保險(xiǎn)費(fèi)為：

64期末付終身年金的純保險(xiǎn)費(fèi)為：（二）延期年金

x歲的人投保期限為n年的年金保險(xiǎn)，m年后開始（在期首）給付，即延期m年。表示n年定期期首付延期年金的純保險(xiǎn)費(fèi)，由收支相等原則有：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算三、年金保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)26期末付終身年金第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

三、年金保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)

用同樣的方法可以得到期末付定期延期年金的純保險(xiǎn)費(fèi)為：

65期首付延期終身年金的純保險(xiǎn)費(fèi)為：期末付延期終身年金的純保險(xiǎn)費(fèi)為：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算三、年金保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)27期首付延期終身第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

四、年度純保費(fèi)

假定n年定期死亡保險(xiǎn)的純保險(xiǎn)費(fèi)分m年付清，用來表示年度純保費(fèi)，年度純保費(fèi)的現(xiàn)值之和應(yīng)與一次付足的純保費(fèi)的現(xiàn)值相等，即應(yīng)有：

66整理可得：五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)

保險(xiǎn)公司所收取的保險(xiǎn)費(fèi)中，用來作為給付的那部分保險(xiǎn)費(fèi)是純保險(xiǎn)費(fèi)，而用來作為業(yè)務(wù)費(fèi)用開支的那部分保險(xiǎn)費(fèi)稱為附加保費(fèi)。純保險(xiǎn)費(fèi)與附加保費(fèi)之和稱為毛保險(xiǎn)費(fèi)。

第三節(jié)壽險(xiǎn)精算四、年度純保費(fèi)28整理可得：五、人壽保第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)公司對(duì)原始費(fèi)用，不應(yīng)單純地將它全部加在第一年的純保險(xiǎn)費(fèi)上，而需將它均勻地分?jǐn)偟礁髌诘谋ｋU(xiǎn)費(fèi)上。如果被保險(xiǎn)人投保時(shí)的年齡為x歲，保險(xiǎn)期限為n年，保險(xiǎn)費(fèi)分次m交付，再假定全部原始費(fèi)用為α元，在每一年度保險(xiǎn)費(fèi)上應(yīng)攤加的金額為s元。很顯然，這些攤加在每一年度的費(fèi)用的現(xiàn)值的積存值與原始費(fèi)用的現(xiàn)值相等，于是成立：

67由此可以得到：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)29由此可以得到：第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)如果被保險(xiǎn)人投保時(shí)的年齡為x歲，保險(xiǎn)期限為n年，保險(xiǎn)費(fèi)分m次交付，再假定全部原始費(fèi)用為α元，每年的管理費(fèi)為β元，代理手續(xù)費(fèi)為毛保險(xiǎn)費(fèi)的比例γ。求保險(xiǎn)金額為1元的混合保險(xiǎn)的年繳毛保險(xiǎn)費(fèi)。（一）三元素法設(shè)年繳毛保險(xiǎn)費(fèi)為P，我們可以作如下分析：68第三節(jié)壽險(xiǎn)精算五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)30第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)（一）三元素法

根據(jù)收支相等原則應(yīng)有：

69整理后可得：（二）比例法比例法假定附加保費(fèi)為毛保費(fèi)的一定比例，設(shè)為K。如果純保費(fèi)為P，毛保費(fèi)為，則：

比例常數(shù)法根據(jù)每張保單的平均保額推算出每單位保額所必須支付的費(fèi)用，作為一個(gè)固定常數(shù)(用C表示)，然后再確定一個(gè)毛保費(fèi)的比例作為附加費(fèi)用，由此有：第三節(jié)壽險(xiǎn)精算五、人壽保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)31整理后可得：（二第三節(jié)

壽險(xiǎn)精算

六、理論責(zé)任準(zhǔn)備金及其計(jì)算

人壽保險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金，是保險(xiǎn)人向投保人所收取的純保險(xiǎn)費(fèi)，加上按事先約定的年利率復(fù)利結(jié)算方式計(jì)算的本利和，與人壽保險(xiǎn)合同中所規(guī)定的保險(xiǎn)人應(yīng)在當(dāng)年所支付保險(xiǎn)金的差額；從被保險(xiǎn)人方面來說，是他所交付的純保險(xiǎn)費(fèi)的本利和，與他當(dāng)年應(yīng)分?jǐn)偟慕o付保險(xiǎn)