信號與系統(tǒng)討論課課題目

一.卷積的高階微分與積分性質(zhì)的應(yīng)用中的適用性問題f

(i)

(t)

f

(

j

)

(t)*

f

(i

j

)

(t)1

2特別的無21-

?tdf

(t)dtf

(t)

=

1

*

ò

f2

(t

)dt1無21f

2f

et

1u

t

1f1

t

*2f1

t

1

u(t

1)f1

(t)*

f2

(t)

[1

u(t

1)]*

e(t

1)u(t

1)

1*

e(t

1)u(t

1)

u(t

1)

*

e(t

1)u(t

1)

1

(1

et

)u(t)f1

(t

)

*無21f

2

(t

)df1

(t

)

*2f

(

)d

(1

e

t

)u

(t

)tdtf1(t)

E

u(t

1)詮釋：事實(shí)上，卷積的微分積分定理的運(yùn)用是有條件得到，這可從下面過 看出?？捎蓤D形驗(yàn)證解一是正確的，然而解一和解二都利用了微分積分特性，那么解二錯在哪里無212無21f

(t

)dt￥tòdf(t

)

1

*dt(

)

1

2f

(x)d

xdt?-

??dft

tt蝌dt=?

t

t=

蝌

f2

(x)dxdf1

(t

)12=

-

f1

(-

?￥)

ò

f2

(x)dx-

?f1

(t)*

f2

(t)=

f

(t

)t

)dt-

?

??+

f1

(t

)

f2

(t

--

?-

??蝌t-

2f

(x)dx

|￥由此可以看出，若要無21f1(t)*f2

(t)

成立，應(yīng)有1f

()

0

或2f

(

)d

0f1

()

0u(t

1)處為事實(shí)上，由推導(dǎo)可以看出，直接對1+u（t-1)進(jìn)行微分積分運(yùn)算，會比正確值多出無21這一項(xiàng)。

f1

()

f2

(

)d由此也不難解釋書中P69頁中<需要注意的是常數(shù)信號f

(t)

E

(-

t

)經(jīng)微分為0，這種情況需特殊考慮>這句話。其實(shí)質(zhì)就是當(dāng)t

-時(shí)，f

(t)

E

0,因而不能直接利用微分積分定理。[]-￥12,

f

(t)

=

sin

t

u(t)

-

u(t

-

2p

)

，￥2.

若ò

f2

(x)dx

=0。-

?-

t取f

(t)=e可知f2

(t)限信，且ゥ蝌f2

(x)dx

=-

?sin

t

[u(t

)?2p-

u(t

- 2p

)]dt

=

?0可出一例明確定也有tdf

(t)dtf1

(t)*f2

(t)=

1

*

ò

f2

(t

)dtsin

t

dt

=

0,在以下推 利用到以下

分 果，2p

2p令I(lǐng)1

=

ò

e

sin

t

dt

,

I

=

ò

e

cos

t

dt

,t

t20

0有，無21e(t

)

sin

u(

)

u(t

2

)d無21102

1

e2

I11

e2e2

I1

,

I2

I1

f1

(t)*

f2

(t)

I

sin

|cos

e

d12220直接計(jì)算，022t1

e2

e

e

sin

d

et

df1

(t)

*2tfdt

e(t

)

(1

cos

)

u(

)

u(

2

(e

)

*

sin

u(

)

-利e2無21

f1

(t

)

*

f2

(t)12t

e由此可知，盡管無21f1(t)

在但由于t

時(shí)并不為0，f2

(

)d

0，從而使得微分t若

lim

f1(t)

0

或

，那么有積分定理依然能夠應(yīng)用。結(jié)論：綜上所述，微分積分定理可表述如下：f2

(t)

0tdf

(t)dtf1

(t)*f2

(t)

1

*

f2

(

)d2004-3-31電子工程系13無21推論:當(dāng)f1(t)和f2

(t)均為時(shí)限信號或因果信號時(shí)，總有：ttdf

(t)dtdf

(t)dtf1

(t)*

f2

(t)

1

*

f2

(

)d

f2

(

)d

*

2

[

f1

*

f2

]*

f3無21=

f1

*[

f2

*

f3

]疑問:

取f

=

1+

et

,

f

=

d'

(t),

f

=

u(t),可得1

2

3[

f

*

f

]*

f

=

et

*u(t)

=

et1

2

3f

*[

f

*

f

]

=

1+

et1

2

3很明顯,這兩式的結(jié)果不相等,說明結(jié)合律并非普遍成立的,其成立是有條件的.無21f1

*

f2

*

f3d'(t

- l

)u(t

- t

)dtd(t

)d(t

-

l

- t

)dtゥ-

?=

蝌(1+

el

)?ゥ-

?=

蝌(1+

el

)?t

=

l無21t

=

ld2

(t

)dtゥ-

?蝌(1+

el

)?d2

(t

)d(t)f1

(t)無21因此，小組認(rèn)為，由于沖激偶函數(shù)的奇異性質(zhì)，從而使得結(jié)合律也就不再成立了。這也說明，當(dāng)多個函數(shù)卷積積分中出現(xiàn)沖激偶函數(shù)時(shí)，一定要慎重使用卷積的結(jié)合律性質(zhì)。另： 組經(jīng) 認(rèn)為，結(jié)合律成立的必要條件是兩兩卷積存在，但時(shí)間倉促，有待進(jìn)一步考證若L[f1(t)]

F1(s[

f

(t)

2

(t)]

無21疑問:已知f

(t)

=

e-

tu(t),

f

(t)

=

e-

2tu(t

+

1),

試求信號1

2f

(t)

=

f1

(t)*

f2

(t).解:用卷積性質(zhì)可得:無21f1

(t

)

f2

(t

-

t

)dte-

t

e-

2(t-

t

)u(t

)u(t

-

t

+

1)dt￥f

(t)

=

ò-

?￥-

?=ò=

[e-

(t-

1)

-e-

2t

]u(t

+

1)12f

(t)

=

L-

1[]

=

(e-

t

-

e-

2t

)u(t)但是若采用拉氏變換,可得1L[

f

(t)]

=s

+

11L[

f

(t)]

=s

+

2L[

f

(t)]

=

L[

f1

(t)*

f2

(t)]=

L[

f1

(t)]?

L[

f2

(t)]1(s

+

1)(s

+

2)1(s

+

1)(s

+

2)=顯然得到結(jié)果與用直接卷積得到的結(jié)果不一致,后種解法錯在哪兒呢?無21解釋:對兩函數(shù)取的是單邊拉氏變換,而單邊拉氏變換的作用域是(0,+),因此單邊拉氏變換的時(shí)域卷積定理要求兩信號是因果的.本例中f2

(t)為一非因果信號,因此導(dǎo)致了錯誤.事實(shí)上,求得的為f

(t)

etu(t)*

e2tu(t)表達(dá)式.無21Lb

[

f1

(t)]

==

es+

2另解:由上述,錯誤是由于單邊拉氏變換的作用域?yàn)?0,1,

s

>

-

1s

+

11+ゥ)而引起的,如果一種變換的作用域是(- ,?)那么理論上可以通過此變換來解此題.由此可以考慮雙邊拉氏變換:L

[e-

2tu(t

+

1)]

=

L

[e-

2(t+

1)b

be2u(t

+

1)]s

+

2無21,

s

>

-

2

es21Fb

(s)

Lb

[

f1

(t)*

f2

(t)]

Fb1

(s)

Fb2

(s),

1(s

1)(s

2)1](s

1)(s

2)b1[es2f

(t)

L

e(t

1)u(t

1)

e2tu(t

1)所得結(jié)果與直接進(jìn)行卷積的結(jié)果一致,可見此法是可行的.無21利用時(shí)域卷積定理